5.5 三角恒等变换 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦三角恒等变换核心知识点，系统梳理两角和差的正余弦、正切公式，延伸至二倍角公式、辅助角公式，拓展半角、和差化积与积化和差公式，构建从基础到综合应用的知识支架，强调公式正用、逆用及变形技巧。 资料通过表格对比呈现公式，设计多梯度例题与变式题（如拆角凑角、限定范围求值），融入高考真题，培养学生数学思维（推理与运算能力）和数学语言表达（符号应用），课中助力教师系统授课，课后帮助学生强化练习、弥补知识盲点。

三角 恒等变换 -史老师 g 学习目标 理解题意，熟练做题 多元导学 函数 y=sinx y=coS.x y =tanx 图象 21 //和/ 定义域 xx≠kr+子keZ因 值域 -1,1 [-1,1 R 周期性 最小正周期为2元 最小正周期为2元 最小正周期为π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调递增区间：2-受2水+孕ke☑ 单调递增区间：[2kπ-元，2kπ(keZ) 单调递增区间： 单调性 单调这减区间：+号27学e习 单调递减区间：[2kπ，2kπ+π]k∈Z) kr-于kr+tez 最值 当x-2kx+kez)时，=1 当x=2kπk∈Z)时，ya。=1 当x=2kπ+πkez)时，ym=-l 无最大最小值 当x=2kx-受ke)时，n=-1 对称轴 x-kx+(keZ) x=kπ(keZ) 无 对称中心 (kz,0)(kEZ) (kx+Z.OXkcZ) 0kez) 互动精讲+课堂检测 知识点一、两角和与差的正（余弦公式 名称 简记符号 公式 适用条件 两角差的余弦 cos(a-B)=cosacosB++sinasinB a,B∈R 公式 C(a-B) 两角和的余弦 cos(a+B)=cosacosB-sinasinB a,B∈R 公式 Cia+B 两角和的正弦 S(a+ sin(a+B)=sinacosB+cosasing a,B∈R 公式 两角差的正弦 S(a-B) sin(a-B)=sinacosB-cosasinB a,B∈R 公式 1 两角和与差的余弦公式的灵活运用 要学会顺用（从左至右，即展开）、逆用（从右至左，即化简）、变用（移项变形） 公式 (1)顺用公式，如： cos(2a+B)=cosla+(a+B)]=cosacos(a++B)-sinasin(a+B); cos(2a+B)=cos2acosB-sin2asinB; cosa=cos[(a+B)-B]=cos(a+B)cos8+sin(a+B)sinB. (2)逆用公式，如： cos(a+B)cos(a-B)-sin(a++B)sin(a-B)=cos[(a++B)+(a-B)]=cos2a. 3)变用公式，如： cos(a+B)++sinasing=cosacos; cos(a-B)-cosacosB=sinasinB. 注意：(1)在利用两角差的三角公式求非特殊角的三角函数式的值时，要先把非 特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接化简求值.逆用公式时充分利用诱导公 式，构造出两角差的余弦公式的结构形式. (2)两角差的余弦公式常见题型及解法： ①两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解； ②求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角 差的余弦公式求解： ③含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦 公式求解 (3)特殊角：0°，30,45°，60°.… (4)公式的运用有三种： ①正用；②逆用；③变形用，都要熟练 例一：利用公式求值 在△ABC中，若cosA=3 .cosB=-5 则cos(A+B)等于 A号 B·器 C.6 65 【变式1】已知点p(1,2V2)是角α终边上一点.则cos(信 A.22+5 B.2-V6 6 C.+6 6 6 【变式2】计算：sin105°=() A.6-2 B.6+V2 C.6-2 2 2 4 【变式3】co号=（） A.6+V2 B.6-V2 4 4 C.-6+2 D.-6-2 4 4 【变式4！心段的值为(） A.6+V2 B.② C.6-V2 4 2 【变式5】求下列各式的值. 1os75;21eos773eos-1659j:④os(-0 3 l (元 卧 E7+E7 誰(N a 例二：利用公式求值一限定取值范围给值求角 sina=是，ae兮)，则cos(经-)的值为（) A昌 B.-② 10 C. D.. 10 5 【变式1】若sin=昌：ae(,),则cos(a+孚)=（） A. 10 B.互 c.号 D.72 0 10 【变式2】(2024高-上安微宿州期末)已知0<a<号号<B<x,且easa-号 sinB=55,求B-a的值. 14 变式】已知锐角、B满足ma-5mB,则a+B等于() 10 A.3r 4 巴好 41 c.4 D 【变式4已知sina=号cosp=}且aB都是第=象限角，则coa-)=（） A.55-6B.-35+27C.35+2 D.35-2万 12 12 12 12 14 例三：利用公式求值一拆角或凑角 1、由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆 角或凑角.常见角的变换有①a=(a-)+B;②a=a+2+a-B2;③2a=(a+) +(a-)；④2B=(a+B)-(a-B). 2、已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知 角与所求表达式中角的关系.常见的三角变换有：切化弦、1=sinα+cos2a等. 奥创已知“为锐角m(任a)6 则cosu=() 3 A.V6+3V5 B.V6-35 6 6 c.5+3V2 D.5-3V2 6 6 【变式1】(2024高一下.广东深圳，期中)已知，B都为锐角，cosa= 12 13 cosa+B1=手，则cosB等于() 65 B.3 c器 D. 33 65 65 【使式2】已知sm0+-华≤0s孕.则co9（ A.4-V2 B.4+V2 C.2-2 D.2+V2 6 6 6 6 【变式3】若cosa-B)=5 ,cos2a=v10 并且o,B均为钝角，且a<B,则 cos(a+B)=() A.=V2 B.2 C.7V2 D.-7N2 2 2 10 10 【支式】25-26离三上浙江抗州月为已知wa+》则esu=《) A. B.7V2 c.-2或5 D. 或 10 10 1010 10 10 π）V2 【变式5l已知牙<a<元coa-4- ,则cosa= 【变式6l已知ae(行Be0 sna-号caa-=是则oB的性为 【变式d】2026高三全国专题练习)d已知sna-叭eosa-oB--ajsina-号B是 第三象限角.求如B+买）的值。 2已知aB是锐角.cu=方ma+例=片求asB的值 【凌式71变异别若0<a受0<号oe+时-}snB-》}则 cosla+() A.② 2 B.2 C.56 5 D 4-7 使式8】（度荆若0a号0<B受oa+1-nB-音则oa+引 () 6 A.2 2 【变式9】（变异）(25-26高一上广东·期末) (1)求函数∫(x)的单调递增区间. 求∫(x)的值域 (32fa)= 3)若a∈见，7π〉 求sin2a的值 例四：递用两角和差公式 【典例1】化简cos2π-0)cos20-sin0sin A.cos B.-cos0 【变式1】cos105cos45-sin75sin45°=( A.-3 2 【变式2】cos20cosg-sim20sin5=(） 9 9 9 0 7 C. 器 D. 4-7 已知函数f(x)=2sin(2x- π+20所得的结果是() C.cos30 D.-c0s30 )） C.i D. √5 2 A B. D.3 2 2 【度式】化简smlx-29om任9eosa-29jsn-小 【变式5 -cos15 2inl5°- 【变式6】已知sin(a-B)cosa-cos(B-a)sina= 5,B是第四象限角，则coB+ π的 5 4 值是() A.10 B._V10 C.3v10 D.-3W0 10 10 10 10 【变式7已知<a<经0<B<、 5 4 13 则sina+B)=(） A. 16 16 63 B. C. D 63 65 65 65 知识点二、两角和与差的正切公式 简记符 名称 公式 适用条件 号 两角和的 tan(a+B)=tana+ a,B,a+B≠m+π2(k∈Z) 正切 T(a+B) tanβl一tanatanB 且tanatanB≠1 公式 两角差的 tan(a-B)=tana- a,B,a-B≠m+π2(k∈Z)且 正切 T(a-B) tanB1+tanatanB tanatanβ≠-l 公式 两角和与差的正切公式的灵活运用 (1)正切公式的逆用 tan☐au+β☐一tanal+tan☐cu+B☐tana=tan[(a+B)一a=tanB; 1+tanal一tana=元4元4=tan a vs44 alcol(f(元4)+o). (2)正切公式的变形应用 tana+tanB=tan(a+B)(1-tanatanB); 8 tana-tanB=tan(a-B)(1+tanatanB); 1-tanatanB=tand-+tanβtan口a+β☐； 1+tanatanB=tand-tanβtan☐oa-β☐. 例一：已知两角的正余弦，求和差角的正切 【典例】已知ama-引-3，则ana=（) A.2 B.-2 C. D 【变式1】(2526高三上山东济宁期)中）设-号5ose+1-4,则{) A.sina sinB B.cosa-B）=0 C.tana tan B=-1 D.2tana+B=tano+tanβ 【变式21(24-25高-下安徽期末)已知mgaa-万.则ama-到（） cosa A.√2-1 B.1-√2 c.2-1 2 D.1-2 2 【支式】2025河南新乡三澳已知在△ABC中.o4=号un8=2.则amC的信为 () A.号 B.-2 C.2 D.1 2 【凌式42s-26高三上上海期胖：已知mm。子则aa引 【变式5】(2024高一上·全国课后作业)已知tana=2,tanB=-3,其中0°<a<90°， 90°<B<180°，则1 ,0-B= tan(a+B) 例二：求15°等特殊角 【典例1】(24-25高二下.云南红河·期中)tan15°-tan75°=() 9 学习目标 理解题意，熟练做题 多元导学 互动精讲+课堂检测 知识点一、两角和与差的正(余)弦公式 名称 简记符号 公式 适用条件 两角差的余弦 公式 C(α－β) cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ α，β∈R 两角和的余弦 公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ α，β∈R 两角和的正弦 公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ α，β∈R 两角差的正弦 公式 S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ α，β∈R 两角和与差的余弦公式的灵活运用 要学会顺用(从左至右，即展开)、逆用(从右至左，即化简)、变用(移项变形)公式． (1)顺用公式，如： cos(2α＋β)＝cos[α＋(α＋β)]＝cosαcos(α＋β)－sinαsin(α＋β)； cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ； cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ. (2)逆用公式，如： cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos2α. (3)变用公式，如： cos(α＋β)＋sinαsinβ＝cosαcosβ； cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ. 注意：(1)在利用两角差的三角公式求非特殊角的三角函数式的值时，要先把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接化简求值．逆用公式时充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式． (2)两角差的余弦公式常见题型及解法: ①两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解; ②求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解; ③含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解. (3)特殊角:0°,30,45° ,60°... (4)公式的运用有三种: ①正用;②逆用;③变形用，都要熟练. 例一：利用公式求值 在中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在中，，，则，. 故选：D 【变式1】已知点是角终边上一点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，， =+=××， 故选：A． 【变式2】计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将拆成，用两角和的正弦计算即可. 解：.故选：D. 【变式3】（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由及余弦差公式求值. ，故选：A． 【变式4】的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 .故选：C 【变式5】求下列各式的值． (1)；(2)；(3)；(4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 例二：利用公式求值—限定取值范围给值求角 ，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意先求出的值，再利用两角差的余弦公式，即可得答案.∵且， ∴， ∴． 故选：B. 【变式1】若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，  ， ， ． 故选：A． 【变式2】（2024高一上·安徽宿州·期末）已知，且，，求的值． 【答案】 【分析】 根据给定条件，利用平方关系求出，再利用差角的余弦公式求解作答. 【详解】 因为，则，又，， 于是，， 因此， 所以. 【变式3】已知锐角满足，则等于（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由，利用同角三角函数的关系算出、的值，进而根据两角和的余弦公式算出，结合可得的值． 【详解】因为满足， 所以，. 由此可得. 又因为，所以， 故选：C. 【变式4】已知且都是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先利用三角函数的平方关系求得，再利用余弦函数的和差公式即可得解. 【详解】因为且都是第二象限角， 所以，， 所以. 故选：C. 例三：利用公式求值—拆角或凑角 1、由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． 2、已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系．常见的三角变换有：切化弦、等． 【典例】已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过条件求出的范围，利用同角的平方关系求出，构角，再利用两角差的余弦公式即可求出结果. 【详解】， ，又， ， ， . 故选：C. 【变式1】（2024高一下·广东深圳·期中）已知都为锐角，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦的差角公式，结合,同角三角函数关系求解即可. 【详解】解：因为都为锐角，即，所以 因为，， 所以，， 所以 . 故选：A 【变式2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据给定条件，利用平方关系及差角的余弦公式求解. 【详解】由，得，由，得， 所以 . 故选：B 【变式3】若，并且均为钝角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据给定条件，利用同角公式及差角的余弦公式求解. 【详解】由均为钝角，且，得， 而，则， 所以 . 故选：C 【变式4】（25-26高三上·浙江杭州·月考）已知，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据同角三角函数关系式及两角差的余弦公式直接计算即可. 【详解】由已知，则， 又， 当时，， 当时，. 故选：C. 【变式5】已知，则 . 【答案】 【知识点】给值求值型问题、已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】先利用已知的的值，结合的范围求出的值，再将变形为，最后利用两角和的余弦公式求出. 【详解】因为，则， 因为，所以，可得： . 将变形为， 可得：， 把，，代入上式， 可得：. 因此， . 故答案为： 【变式6】已知，，，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由同角三角函数的基本关系，求出，，再由角的变换及两角差的余弦公式得解. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 所以由可得， 所以 ， 故答案为： 【变式6】（2026高三·全国·专题练习）（1）已知，是第三象限角，求的值． （2）已知是锐角，，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）逆用正弦差角公式得到，从而得到，从而利用正弦和角公式计算出答案； （2）先计算出，，利用凑角法和余弦差角公式进行求解. 【详解】（1）， 故， 又是第三象限角，故， 故 . （2）都是锐角，，，故， 所以，， 所以 【变式7】（变异）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式和两角差的余弦公式，准确运算，即可求解. 【详解】由，可得，则， 又由，所以， 所以 ． 故选：C． 【变式8】（变异）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据已知条件及同角的平方关系可求得，，再利用两角差的余弦公式和整体思想求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以, 又， 所以， 所以 . 故选：C. 【变式9】（变异）（25-26高一上·广东·期末）已知函数． (1)求函数的单调递增区间． (2)若，求的值域． (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、求含sinx(型)函数的值域和最值、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）令，求解即得函数单调递增区间； （2）求出的范围，结合正弦函数的性质可求函数的值域； （3）利用同角三角函数关系求出，再利用两角和差的正弦公式计算即得. 【详解】（1）令， 得， 可得的单调递增区间为； （2）若，可得， 当时，即，有； 当时，即，有， 故的值域为； （3）因为，所以， 因为，可得，所以， 所以 . 例四：逆用两角和差公式 【典例1】化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用诱导公式以及两角差的余弦公式化简计算即可得出结果. 【详解】易知. 故选：A. 【变式1】（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】特殊角的三角函数值、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、诱导公式二、三、四 【分析】先利用诱导公式变形，再根据余弦差角公式和特殊角三角函数值得到答案. 【详解】 . 故选：A 【变式2】（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据两角和的余弦公式计算即可. 【详解】. 故选：B 【变式3】化简：= . 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据三角函数的诱导公式进行计算即可. 【详解】 故答案为：. 【变式5】 ． 【答案】/ 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由已知结合两角和的余弦公式进行化简即可求解． 【详解】原式． 故答案为：． 【变式6】已知，是第四象限角，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、诱导公式二、三、四、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据条件，利用诱导公式结合正弦的差角公式，求得，再利用平方关系，求出，再利用余弦的和角公式，即可求解. 【详解】由得， 即，所以 ∵是第四象限角，∴. 所以. 故选：D. 【变式7】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、给值求值型问题 【分析】由题可知，进而根据计算即可. 【详解】由，得， 因为， 所以， 所以 . 故选：D 知识点二、两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 适用条件 两角和的正切 公式 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tanαtanβ≠1 两角差的正切 公式 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tanαtanβ≠－1 两角和与差的正切公式的灵活运用 (1)正切公式的逆用 ＝tan[(α＋β)－α]＝tanβ； ＝＝tan. (2)正切公式的变形应用 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)； tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)； 1－tanαtanβ＝； 1＋tanαtanβ＝. 例一：已知两角的正余弦，求和差角的正切 【典例1】已知，则（    ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】B 【解析】已知，解得. 故选：B. 【变式1】（25-26高三上·山东济宁·期中）设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据已知条件结合两角和的余弦公式，两角差的余弦公式，同角三角函数关系，两角和的正切公式依次判断每个选项即可. 【详解】对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 【变式2】（24-25高一下·安徽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、正、余弦齐次式的计算 【分析】先根据条件求出，再利用两角和差的正切公式求值即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 【变式3】（2025·河南新乡·三模）已知在中，，，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据诱导公式及两角和的正切公式即可求解． 【详解】由已知得，则， 所以， 故选：D． 【变式4】（25-26高三上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】先将的分子分母都除以，求得，再利用两角和差的正切公式求解. 【详解】，，， . 故答案为：. 【变式5】（2024高一上·全国·课后作业）已知，其中，，则 ， . 【答案】 / 【分析】利用两角和的正切公式可求得的值，再利用两角差的正切公式可求得的值. 【详解】因为， 所以， ， 因为，，所以， 所以， 故答案为：， 例二：求15°等特殊角 【典例1】（24-25高二下·云南红河·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、求15°等特殊角的正切 【分析】将15°变成，75°变成，然后利用和差倍角的正切值进行计算. 【详解】. 所以. 故选：D. 【变式1】（25-26高一上·全国·课前预习）由和（差）角公式可知 ， ． 【答案】 ； / 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、求15°等特殊角的正切、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由、结合两角和正弦公式、两角差正切公式即可求解. 【详解】， . 故答案为：； 【变式2】（22-23高二上·陕西西安·月考）三角函数相关计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、求15°等特殊角的正弦 【分析】（1）由，利用两角差的正弦公式求解； （2）利用两角差的正切公式求解； （3）利用两角和的正切公式的变形公式求解. 【详解】（1）解：； （2）原式； （3）设， 则， 则， 则， 所以， ， ， 同理， ， 则原式. 例三：用和差角的正切公式化简求值 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）已知均为锐角，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【分析】由两角和的正切公式分别求出，，再判断角的范围即可求解． 【详解】由题可知， ， 由于均为锐角，且，故， 同理有， 故，所以， 故选：A． 【典例2】（2025·四川绵阳·一模）在中，，则 . 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正切公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由同角三角函数关系得到，由诱导公式和正切的和角公式得到答案. 【详解】，故，， 又， 故. 故答案为： 【变式1】已知，则（    ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】B 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【分析】由两角差的正切公式求解即可. 【详解】已知，解得. 故选：B. 【变式2】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【分析】利用两角差的正切公式可求得的值. 【详解】因为，则. 故选：B. 【变式3】（2025·全国·二模）已知，则 ． 【答案】 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【分析】利用同角三角函数关系得到，凑角，由正切和角公式得到答案. 【详解】，即， . 故答案为：. 【变式4】（23-24高一下·湖北·月考）已知，，且，则的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】基本不等式求和的最小值、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由两角和的正弦公式化简得，然后转化正切可得，进而将用来表示，从而利用基本不等式可得最大值. 【详解】由得，即， ， 由于，则， ，当且仅当，即时，等号成立， 故． 故答案为：. 【变式5】（24-25高一下·湖北襄阳·月考）已知 (1)若，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)3 (2)1 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、三角函数的化简、求值——诱导公式、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）先应用诱导公式化简得出，再弦化切计算求解； （2）应用两角和的正切公式计算求解. 【详解】（1） ， ． （2）依题意，由，可得， ． 【变式6】已知，，其中，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出、的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值； （2）求出、的值，利用两角差的正切公式求出、的值，代入可得的值. 【详解】（1）因为，，则，， 因为，， 所以，， ， 所以， . （2）因为， ， 所以， ， 因此. 【变式7】如图，设是单位圆和轴正半轴的交点，点是单位圆上的一点，是坐标原点，，且且. (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【知识点】二倍角的正切公式、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）根据三角函数定义求得，结合同角三角函数关系由求得，再根据正弦的和角公式即可求得结果； （2）根据（1）中所得求得，再根据二倍角的正切公式求得，进而由正切的差角公式即可求得结果. 【详解】（1）根据三角函数定义可得； 又，，则； . （2）由（1）可得，， 又， 故. 【变式8】（24-25高一下·云南·月考）已知. (1)求的值； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）根据平方关系式求解，再利用和差公式求解即可得答案； （2）根据商数关系可得的值，再根据正切两角和差公式求解即可. 【详解】（1）因为所以 则 所以. （2）由（1）可得 所以 例三：逆用和差角的正切公式化简求值 公式的变形应予以灵活运用． 【典例1】（24-25高一下·江西上饶·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】逆用两角差的正切公式，即可求得答案. 【详解】． 故选：A. 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）化简求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】本题主要涉及三角函数的两角和正切公式 及其变形的应用,对于第一小问，需要利用和，和等角度和为的关系进行化简；对于第二小问，直接利用两角和正切公式的变形来求解. 【详解】（1）解法1：由， 同理得，… ， 以上各式相乘得原式． 解法2：用倒序积求解． 设， ， 从而， 所以． （2）解法1：因为， 所以， 所以． 解法2： ． 【变式2】（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据两角和的正切公式和诱导公式求解. 【详解】根据两角和的正切公式，， 可得，即； 根据诱导公式，， 故原式. 故选：A. 【变式3】若，则 . 【答案】 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用两角和的正切公式可得出，由此可求得的值. 【详解】因为，则， 所以，， 因此，. 故答案为：. 【变式4】若，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用正切的两角差公式，即可求值. 【详解】由，可得：， 又因为， 所以， 即， 故选：C. 【变式5】已知，，，则 . 【答案】/ 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、逆用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】结合正余弦，正切函数的和差角公式即可求得. 【详解】因为，，，解得， 又，则，，则， ，因为 所以， 由， 解得. 故答案为： 【变式6】已知分别为第一象限角和第三象限角，，则 . 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、已知角或角的范围确定三角函数式的符号、逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据两角差的正切公式得的值，再结合两个角的取值范围得到的取值，即可得到结果. 【详解】依题意，， 因为，， 即， 所以，又， 所以，， 所以. 故答案为：. 【变式7】（2025·高一·天津红桥·期末）在中,,则角等于 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由两角和公式可得 以及诱导公式可知 ，可得，据此即可求出结果.由两角和公式可得 由诱导公式可知 ，所以，可知，又，所以，又，所以.故选：B. 【变式8】（24-25高一下·江苏徐州·月考）在锐角中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】辅助角公式、逆用和、差角的正切公式化简、求值、求cosx(型)函数的值域 【分析】（1）根据两角和的正切公式和诱导公式即可求解， （2）根据三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由， 可得：， 则， 又，所以， 由于为锐角，所以； （2）由于，所以， 故， 由于为锐角三角形，所以且，故， 则，故， 故的取值范围为. 知识点三、二倍角公式 1、二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin2α＝2sinαcosα C2α cos2α＝cos2α－sin2α T2α tan2α＝ 2、二倍角公式的变形 (1) (2)sinαcosα＝sin2α，cosα＝. (3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2. 3、 “二倍”的含义 倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的． 4、万能公式 用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下： (1)sin2α＝2sinαcosα＝＝，即sin2α＝. (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝＝，即cos2α＝. 1、公式的逆用 ；． ． ． 2、公式的变形 ； 降幂公式： 升幂公式： 例一：公式记忆 正弦二倍角公式 【典例1】（24-25高一下·北京大兴·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二倍角的正弦公式 【分析】利用正弦的二倍角公式计算可得结果. 【详解】易知. 故选：A 【变式1】（24-25高二下·河南新乡·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二倍角的正弦公式、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】根据，平方即可得出的值. 【详解】由题意，， ∴， 解得：． 故选：C. 【变式2】已知 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二倍角的正弦公式、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】利用平方的方法求得正确答案. 【详解】由两边平方得， 即. 故选：C 【变式3】已知，则 . 【答案】 【知识点】二倍角的正弦公式 【分析】将条件两边平方，再利用同角三角函数的平方关系和二倍角公式化简，得，解得. 【详解】由，两边平方得， ， 所以. 故答案为： 【变式4】（24-25高一下·云南临沧·期末）若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二倍角的正弦公式、正、余弦齐次式的计算 【分析】利用二倍角正弦公式，结合平方关系，弦化切，则代入求值即可. 【详解】因为， 所以， 故选：C 【变式5】若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【知识点】二倍角的正弦公式、正、余弦齐次式的计算 【分析】根据二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为， 所以． 故选：A 例二：公式记忆 余弦二倍角公式 【典例1】（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式二、三、四、二倍角的余弦公式 【分析】由二倍角公式以及诱导公式即可求解. 【详解】. 故选：D. 【变式1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】根据余弦的二倍角公式，求出结果. 【详解】由二倍角公式得. 故选：D. 【变式2】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】根据余弦二倍角公式直接计算即可． 【详解】． 故选：A． 【变式3】已知为第四象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】由余弦的二倍角公式，结合为第四象限角即可求. 【详解】，， 又为第四象限角，，. 故选：C. 【变式4】（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】利用余弦二倍角公式求解. 【详解】解析因为， 所以. 【变式5】（2025·河南·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】由二倍角余弦公式可得答案. 【详解】. 故选：A 【变式6】的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】根据题意利用余弦的倍角公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 【变式7】求值： . 【答案】/ 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】利用余弦二倍角公式即可求解. 【详解】. 故答案为： 【变式8】已知，则 . 【答案】/ 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】根据余弦函数的二倍角公式，可得答案. 【详解】. 故答案为：. 【变式9】（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、二倍角的余弦公式 【分析】利用同角三角函数之间的关系及二倍角公式化简求值即可. 【详解】因为，所以，又， 所以 . 故选：A. 例三：公式记忆-正切二倍角公式 【典例1】已知，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【知识点】二倍角的正切公式 【分析】利用二倍角的正切公式即可求解. 【详解】． 故选：C． 【变式1】（24-25高一下·河南南阳·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二倍角的正切公式 【分析】变形后逆用二倍角的正切公式求解即可. 【详解】 故选：A. 【变式2】（2025·河南·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二倍角的正切公式 【分析】利用二倍角的正切公式计算即可. 【详解】由题意得，. 故选：D 【变式3】（24-25高二下·湖南·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二倍角的正切公式 【分析】根据已知的正弦值及同角三角函数基本关系可求其余弦和正切，再根据正切的二倍角公式即可求解. 【详解】，则，. ，则， 则. 故选：A. 【变式4】已知为第二象限角，且满足，则 ． 【答案】/ 【知识点】二倍角的正切公式、三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用诱导公式化简求得，利用同角的三角函数关系求得，进而利用二倍角的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，又为第二象限角，所以，则， 故． 故答案为：. 例四：二倍角公式的给值求值 寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． 【典例1】（25-26高三上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 【分析】利用诱导公式、二倍角余弦公式直接求解即可. 【详解】. 故答案为：. 【典例2】（25-26高三上·江苏扬州·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的余弦公式 【分析】联立，解方程，再根据余弦的倍角公式可得答案. 【详解】联立，解得： 或， 又因为，则，所以， 所以. 故选：D 【典例3】（2024高一下·江苏南通·阶段练习）已知，，且，都是锐角， (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二倍角公式和同角三角函数的关系，化简可得结论. （2）利用二倍角公式得，再利用两角和的正切函数公式得，最后利用三角函数的求值计算得结论． 【详解】（1）由，得. （2）由，得，而， 因此， 又，为锐角，且，则， 因此， 所以的值是. 【变式1】（2025高二上·山东枣庄·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、二倍角的正切公式 【分析】先求出，然后求出，最后根据二倍角的正切公式求出结果即可. 【详解】因为，， 所以，所以. 所以. 故选：D. 【变式2】已知，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用二倍角公式对进行化简，求得，再将化为齐次式，将正弦、余弦转化为正切，代入即可得到答案. 【详解】， 则. 故选：D． 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知，则 . 【答案】 【分析】将要求的的角度，通过使用诱导公式和二倍角公式即可与已知条件进行靠拢，即，从而完成求解. 【详解】 . 故答案为：. 【变式4】（2024高三上·山西忻州·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求角用已知角表示，再根据诱导公式及二倍角的余弦公式即可得解. 【详解】由， 得 . 故选：B. 【变式5】若,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】根据二倍角公式、诱导公式等求解即可. 【详解】, ,, . 故选：B. 【变式6】已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， ，又， 所以，， 所以， . 故选：D. 【变式7】（2025·四川眉山·模拟预测）已知，且，则（   ） A． B． C．或-1 D．1或 【答案】A 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用二倍角公式化简求解即可. 【详解】因为，所以， 即，得， 因此，或，又时，, 所以或， 又因为时，所以，所以. 故选：A 【变式8】（2025·河南·模拟预测）已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式 【分析】由三角函数的定义得到，再结合同角三角函数商的关系弦化切即可求解. 【详解】由角终边经过点，得， 所以， 故选：B 【变式9】（25-26高三上·山东潍坊·月考）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边所在的直线经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正弦公式 【分析】应用三角函数定义得出，再应用诱导公式结合二倍角公式计算，最后弦化切计算求解. 【详解】 因为角的终边所在的直线经过点，所以， 则. 故选：B. 【变式10】（2025高三上·甘肃兰州·专题练习）已知且，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】先利用二倍角公式求的三角函数，在根据，结合两角和与差的三角函数公式求值. 【详解】因为，所以， 又，所以. 所以， . 所以 . 故选：D 【变式11】（24-25高三下·陕西西安·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】先利用三角恒等变换公式将复杂表达式化简，再结合的值计算结果. 【详解】因为， 又因为， 所以， 又因为，所以： . 故选A. 【变式12】（2025·江苏·模拟预测）已知，，则 ． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正切公式、给值求值型问题 【分析】以为整体，根据同角三角关系求，结合倍角公式可得，再结合诱导公式运算求解. 【详解】因为，则，且， 可得， ， 则， 所以. 故答案为：. 例五：二倍角公式的给角求值 1、直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． 2、若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 【典例1】 . 【答案】2 【分析】根据三角恒等变换公式化简求值即可. 【详解】因为， ， ， 所以 故答案为：2. 【变式1】【多选】（2024高一下·广东佛山·阶段练习）下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】运用正弦、余弦、正切的二倍角公式进行求解即可. 【详解】因为，所以选项A不符合题意； 因为，所以选项B符合题意； 因为，所以选项C符合题意； 因为，所以选项D不符合题意， 故选：BC 【变式2】【多选】（2024高一下·四川宜宾·期中）下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，由正余弦的二倍角公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：ACD 例五：二倍角公式的给值求角 1、利用二倍角公式给值求角问题的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 2、在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角．其中确定角的范围是关键的一步． 【典例1】（2024高一下·江苏南通·期中）已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用两角和的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式结合商数关系化弦为切即可得解； （2）先利用利用二倍角的余弦公式结合商数关系化弦为切求出，再利用两角差的正弦公式求出的正弦值，并求出的范围，即可得解. 【详解】（1）由， 解得， 所以； （2）， 由，，得， 所以 ， 因为，， 所以，所以， 又，， 所以，所以， 所以， 所以． 【变式1】（21-22高一上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，锐角、的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为、．已知点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、利用定义求某角的三角函数值、给值求角型问题、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】（1）利用三角函数的定义以及同角三角函数的基本关系可求得、的正弦值、余弦值，利用两角和的正弦公式可求得的值； （2）求出的正弦值、余弦值，利用两角和的余弦公式可求得的余弦值，求出的取值范围，即可求得结果. 【详解】（1）解：利用三角函数的定义可得，， 又、是锐角，所以，， 所以，. （2）解：因为，， 又是锐角，则，所以， 又因为，则， 而，所以． 【变式2】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)若，，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、给值求角型问题、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据给定条件，利用平方关系求出即可得解. （2）由（1）的结论，结合二倍角的余弦函数化简求得. （3）利用和角的正切公式，结合角的范围求得角的大小. 【详解】（1）由，得，解得， 而，则，， 因此，所以. （2）由（1）得. （3）由（1）知，，则， ，，则，所以. 【变式3】（22-23高一下·江苏镇江·期中）已知，，且，． (1)求； (2)求角的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的正切公式、二倍角的余弦公式、给值求角型问题、给值求值型问题 【分析】（1）综合利用同角间的三角函数的关系，二倍角公式和两角和的余弦公式进行计算； （2）根据已知条件，利用两角和差和倍角三角函数公式依次求得，，的值。然后根据三角函数的单调性进一步缩小的范围，从而得解. 【详解】（1）∵，，∴ ∴， ∴，， ∴； （2），，， ∵，∴， 由倍角公式得, 由（1）得，∴， ∴， ∵，，∴ ∴, ∴. 【变式4】（25-26高二上·广西贵港·开学考试）已知，，且，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、给值求角型问题、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）根据给定条件，利用差角的正切公式计算即可. （2）利用二倍角的正余弦公式化简得解. （3）确定角的范围，再利用和角的正切公式求解. 【详解】（1）由，，得. （2）由，得. （3）由，，得，由（1）知， 则，，， 所以. 【变式5】（24-25高一下·江苏南通·期中）已知 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦、给值求角型问题、二倍角的正弦公式 【分析】（1）根据同角的三角函数关系可求出，利用二倍角公式即可求得答案； （2）利用二倍角正切公式以及两角和的正切公式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，故， 故； （2）由于，且，则， 结合，可得， 结合（1）可得， 而， 故， 由于，故. 【变式6】（2007·四川·高考真题）已知，，且. （1）求的值； （2）求. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】给值求值型问题、给值求角型问题 【分析】（1）先根据，且，求出，则可求，再求； （2）先根据，，求出，再根据求解即可. 【详解】（1）∵且， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ， 所以. 【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．本题考查运算求解能力，是中档题. 【变式7】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以，，所以． 由，得， 即， 所以，所以． 又，所以． 故选：D 知识点四、辅助角公式 1、形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 2、辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 【典例1】（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ． 【答案】2 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 【典例2】（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ． 【答案】 1 【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可. 【详解】∵，∴，∴，. 【典例3】（2021·全国乙卷·高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（    ） A．和 B．和2 C．和 D．和2 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值. 【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为. 【典例4】（2022·浙江·高考真题）若，则 ， ． 【答案】 【详解】利用辅助角公式处理：∵，∴，即， 即，令，，则，∴，即，∴ ， 则. 【典例5】（2025·高一·北京·期中）函数的值域是 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 令，可知，则，， 二次函数图象开口向下，对称轴为， 当，， 当，，即函数的值域为． 故答案为：. 【变式1】函数的最大值与最小值的和为 【答案】 【解析】由函数，得，化简整理得，所以， 又根据正弦函数，得，即， 解不等式得， 所以. 故答案为： 【方法技巧与总结】 辅助角公式的应用策略 （1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． （2）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性． 【变式2】（2025·高一·河南南阳·期末）设，已知，则 【答案】 【解析】依题意，，其中锐角由确定， 当且仅当，即时，取得最大值， 因此，， 所以. 故答案为： 【变式2-1】若函数在时取到最大值，则 ． 【答案】 【解析】已知，其中， 当时，取得最大值，且， 可知， 则， 同理可得， 则. 故答案为：. 【变式3】（2016·山东·高考真题）函数的最小正周期是（    ） A． B．π C． D．2π 【答案】B 【分析】因为，根据辅助角公式可化简为，根据正弦二倍角公式和正弦周期公式，即可求得答案. 【详解】，, 故最小正周期,故选：B. 【变式4】（2025·高一·贵州六盘水·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的最大值和最小值； (3)若函数为奇函数，求的最小值. 【解析】（1）因为， 所以的最小正周期. （2）当时，则， 所以当，即时，， 当，即时，. （3）， 若为奇函数，则，， 解得， 当时，，当时，， 所以的最小值为. 【方法技巧与总结】 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤：（1）运用和、差、倍角公式化简；（2）统一化成的形式；（3）利用辅助角公式化为的形式，研究其性质． 【变式5】（2025·高一·四川成都·期末）已知． (1)求的最小正周期与对称中心； (2)若，求的值域； (3)若，方程有三个实数解，且，求取值范围． 【解析】（1）， 所以的最小正周期为，由，解得， 所以的对称中心为； （2）因为，所以，所以， 即的值为； （3）当时，令， 由题意方程在上有三个实数解，分别为且， 即函数与的图象在区间上有三个交点，作出函数图象，如图： 则，由正弦函数的对称性可知，，， 则，解得，又，所以， 故，即取值范围为． 【变式6】（2025·高一·湖南衡阳·期末）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的最值及相应x的值． 【解析】（1）（1）因为 ， 所以令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为：，， （2）因为，所以， 令，则函数在单调递增，在单调递减； 所以时，； 时，； 所以当时，函数取最大值为，当时，函数取最小值为． 【变式7】（2025·高一·河南南阳·期末）已知函数的最小正周期为，且 (1)求的单调递减区间； (2)求在上的值域. 【解析】（1） ，因为的最小正周期为，所以，即， 又，所以，所以， 令，解得， 所以函数单调递减区间为； （2）设，因为，所以，所以， 所以的值域为 知识点五、半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆） ， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 【典例1】（2025·高三·辽宁辽阳·期末）已知，，则 . 【答案】 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 【变式1】已知，则 ． 【答案】或 【解析】方法一：因为，所以． 由，可得，， 则，，所以． 故， 将代入可得， 将代入可得， 故或； 方法二：因为，所以． 若，则； 若，则． 故答案为：或 【方法技巧与总结】 1、化简问题中的“三变” （1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． （2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． （3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等． 2、利用半角公式求值的思路 （1）看角：看已知角与待求角的2倍关系． （2）明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备． （3）选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用计算． 提醒：已知的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号． 【变式2】（2025·高一·江苏南京·期末）已知，，则 . 【答案】 【解析】，则， 由半角公式可得. 故答案为： 【变式3】（2025·高二·安徽·竞赛） ． 【答案】1 【解析】方法一：， ，同理得， ， 令，以上三式相乘有： ． 方法二：令． 令， ， ， 令 ， ． 故答案为：1 【变式4】已知，，则 . 【答案】 【解析】因为，， 所以， 所以. 故答案为： 知识点六、和差化积公式 知识点诠释： 规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2． 规律2：在所有的公式中，左边都是角与的弦函数相加减，右边都是与的弦函数相乘． 规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”． 规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘． 注意 1、公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系． 2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如就不能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式． 3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其结果实质上是一样的． 4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如． 5、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式． 【技巧通法·提分快招】 和差化积公式: 口诀： 正弦＋正弦,正弦在前； 正弦－正弦,正弦在后； 余弦＋余弦,余弦并肩； 余弦－余弦，余弦靠边。 证明：由，，得 .其他同理可证. 1．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和差化积公式可得，利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】原式 . 故选：C. 2．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用和差化积公式和二倍角公式．可解 【详解】由和差化积公式， 得， ， 两式相除，所以. 所以. 故选：B． 3．（2025·湖南常德·一模）已知，则（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】先利用条件求出，然后可得答案. 【详解】因为，所以， 由和差化积公式可得， 因为，所以， 由， 可得，所以. 故选：C 4．在中，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题及和差化积公式可得，然后结合诱导公式及二倍角余弦公式可得答案. 【详解】由和差化积公式： ，又注意到， 则. 故选：A 5．（2025·吉林长春·一模）已知，是函数，的两个零点，则 ． 【答案】 【分析】利用和差化积公式得，再结合正弦函数性质即可得到答案. 【详解】根据和差化积公式得， 则令， 当时，因为，则，此时无解， 当 ，因为，则， 则或，解得或， 则. 故答案为：. 6．在三角恒等变化中，积化和差实际上就是把与，与相加或相减而变形得到的；和差化积实际上就是一种角的变化，如：. 如果角与满足，，则 . 【答案】/ 【分析】根据已知及和差化积公式得、，进而有，再由，即可求值. 【详解】由， 所以， 由， 所以， 所以，而. 故答案为： 知识点七、积化和差公式 知识点诠释： 规律1：公式右边中括号前的系数都有． 规律2：中括号中前后两项的角分别为和． 规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数． 【技巧通法·提分快招】 积化和差公式： ； ； ； . 口诀： 积化和差得和差，余弦在后要相加； 异名函数取正弦，正弦相乘取负号。 证明：由两角和与差的正弦公式得 两式相加可得， 两式相减可得． 同理，由两角和与差的余弦公式可得其他公式. 1．若，则 ． 【答案】 【分析】根据积化和差公式求解即可. 【详解】因为 ，所以， 故答案为：. 2．已知，则 . 【答案】 【分析】先由积化和差公式对已知式化简，再利用三角降幂公式化简代入计算即得. 【详解】由， 可得 ， 则. 故答案为：. 3．计算： ． 【答案】 【分析】根据和差的余弦公式和积化和差角公式对原式进行化简即可求得结果. 【详解】因为， . 同理，由积化和差角公式可得，， 则. 所以. 故. 故答案为：. 4．已知，那么 ． 【答案】 【分析】由三角恒等变换化简表达式得，代入即可得解. 【详解】 . 故答案为：. 5．（24-25高三下·安徽安庆·月考）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意对目标式合理变形，再利用积化和差公式化简求值即可. 【详解】首先，我们先对合理变形， 得到， ， 由积化和差公式得， 同理可得， ， 则， 得到，故A正确. 故选：A 温故知新 1、（2024高一下·上海徐汇·期中）已知 (1)求的值； (2)求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用倒数关系可得关于的方程，从而可得的值． （2）利用万能公式可求，再利用诱导公式可得的值． 【详解】（1）由可得，整理得到：， 故或，因，故，所以． （2）． 【点睛】三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法（或统一函数名）、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法（注意二倍角中的万能公式）． 2、（2024高一上·全国·课后作业）已知，α为第四象限角，求，，. 【答案】答案见解析 【分析】利用半角公式即可. 【详解】， ， . ∵为第四象限角，∴为第二、四象限角． 当为第二象限角时， ； 当为第四象限角时， . 3、（2024高一·全国·课堂例题）化简． 【答案】 【分析】法1：由倍角余弦公式得，以此形式及和差角余弦公式化简求值；法2：应用和差角正弦公式及平方关系化简求值. 【详解】法1：由倍角公式，得． 原式 ． 法2： ． 4、（2024高一上·河南新乡·期末）已知，其中． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，先确定的取值范围，利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后把凑成的形式，再利用两角差的正弦公式，展开求解即可； （2）结合（1）中结论，利用二倍角公式求得和的值，再利用两角差的正弦公式，展开求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，且，所以． 因为，，所以， 则， 又因为，所以． （2）由（1）可得，， 因为， 则， 所以 5、（2024高一下·四川泸州·阶段练习）已知函数. (1)求函数的最小正周期及的单调递增区间； (2)若，，求的值； 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，求出最小正周期，整体法求出单调递增区间； （2）由计算出，由同角三角函数关系得到，由诱导公式得到，由正弦和角公式求出答案. 【详解】（1） ， 故的最小正周期为， 令，解得， 故的单调递增区间为； （2），解得， 因为，所以， 故，故， 所以 . 6、（2024高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式： (1)； (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先通分，利用正切的二倍角公式化简即可； （2）先将正切化弦，通分得到原式，再用辅助角公式，最后利用二倍角公式，即可证明. 【详解】（1）. （2）左边 , 原式得证. 7、（2024高一上·河南郑州·期末）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和对称轴方程； (2)求时，函数的值域. 【答案】(1)最小正周期为，对称轴为 (2) 【分析】（1）化简的解析式，然后求的最小正周期以及对称轴. （2）利用三角函数值域的求法求得正确答案. 【详解】（1） . 所以的最小正周期为， 由解得， 所以的对称轴为. （2）由于，， 所以. 即的值域为. 8、（2024高二上·北京怀柔·开学考试）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)若函数在上是减函数，求的取值范围. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值是； (3) 【分析】（1）首先化简函数，再求函数的周期；（2）根据（1）的结果，求的范围，再结合三角函数的性质，即可求解函数的最值；（3）根据自变量的范围，求的范围，再结合函数是单调性，列出关于左端点的不等式，即可求解. 【详解】（1） ， 函数的最小正周期； （2），，所以， 则 所以函数的最大值为，最小值是； （3）若，则， 由题意可知，，得， 所以的取值范围是. 9、（2024高三上·北京·开学考试）已知函数． (1)求的值； (2)求函数的单调递增区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入计算即可求得结果； （2）利用二倍角公式和辅助角公式可得，利用整体代换法根据正弦函数的单调性可得的单调递增区间. 【详解】（1）由题意可得 ， 即 （2）由可得， ， 令，解得； 即函数的单调递增区间为 10、（2024高一上·山东菏泽·期末）已知函数 (1)求函数的最小正周期及函数的单调递减区间； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1)最小正周期；单调递减区间为， (2) 【分析】（1）由三角函数公式化简，由周期公式可得周期，由整体法求解可得单调区间； （2）由x的范围和三角函数的性质逐步求解可得值域． 【详解】（1）∵， ∴的最小正周期； 令，，解得：，， ∴的单调递减区间为，； （2）当时，， ∴，∴ 即在上的值域为 2 学科网（北京）股份有限公司 $