15.1.2线段的垂直平分线分层练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学新授课作业，聚焦线段垂直平分线性质与判定，通过A/B/C三层13题实现从基础到拓展的梯度巩固，培养推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层（3题）|性质、判定、命题与逆命题|选择填空为主，直接应用概念，如性质求线段长| |B层（6题）|性质与判定综合、命题逆命题、实际应用|教材变式与情境题（如抢凳子游戏），解答证明结合| |C层（4题）|性质判定综合应用、面积计算、动态问题|核心素养题（推理能力），复杂几何综合，如动点问题|

15.1.2　线段的垂直平分线（第2课时：作法）　分层练习 一、A层·基础夯实（课件中共 2 道题归入本层） 1. [选择题]（知识点：线段垂直平分线的作法）【学科特色·教材变式】(2026广东惠州期中)如图，已知线段AB=6，用尺规作它的垂直平分线。步骤如下：①分别以点A，B为圆心，a为半径画弧交于点E，F；②过点E，F作直线EF，则直线EF即为线段AB的垂直平分线。为使两弧有交点，a应满足的条件是（　　　　） A. a=1　　　　B. a=2 C. a=3　　　　D. a=4 2. [填空题]（知识点：线段垂直平分线的作法）(2026湖南长沙期中)如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠BAD=37°，根据图中尺规作图痕迹，可得∠ABD=__________°。 二、B层·理解运用（课件中共 6 道题归入本层） 1. [作图题]（知识点：线段垂直平分线的作法）如图，A，B表示两个仓库，要在A，B同侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？ 解： 2. [作图题]（知识点：线段垂直平分线的作法）如图，△ABC与△DFE关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在图(1)与图(2)中分别作出直线l。 解： 3. [选择题]（知识点：线段垂直平分线的作法）(2025河北石家庄期末,★★☆)已知△ABC(AC＜BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB=BC，则符合要求的作图痕迹是（　　　　） A B C D 4. [选择题]（知识点：线段垂直平分线的作法）(2026辽宁鞍山期中,★★☆)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根据尺规作图的痕迹，可得以下结论错误的是（　　　　） A. ∠BDE=∠BAC　　　　B. AE=AC C. DE=DC　　　　D. ∠ADE=∠BDE 5. [作图题]（知识点：尺规作图）(★★☆)如图，已知∠1和线段a，使用直尺和圆规作直角三角形，使得∠1为其中的一个锐角，a为直角三角形的斜边。(保留作图痕迹，不写作法) 解： 6. [作图题]（知识点：线段垂直平分线的作法）【聚焦中考·尺规作图】(2026山东临沂期中,★★☆)如图，四边形ABCD是正方形，E是AD边的中点，连接BE，CE，请仅用尺规按下列要求进行作图(不写作法，保留作图痕迹)。(1)请在图①中作出该图形的对称轴l；(2)如图②，在BE上有一点F，作出点F关于(1)中l的对称点。 解： 参考答案与解析 一、A层·基础夯实 1. 答案：D 解析：根据题意得a＞AB，即a＞3。故选D。 2. 答案：53 解析：由作图痕迹可知，BD⊥AC，∴∠BDA=90°，∵∠BAD=37°，∴∠ABD=90°-37°=53°。 二、B层·理解运用 1. 答案：见解析 解析：连接AB，码头应建在线段AB的垂直平分线与A，B同侧的河岸边的交点处。如图，点P就是码头应建造的位置。 2. 答案：见解析 解析：如图(1)，过BC，EF的交点和点A作直线，该直线就是所求作的直线l。如图(2)，过BC，FE的延长线的交点和AC，DE的延长线的交点作直线，该直线就是所求作的直线l。 3. 答案：C 解析：要使PA+PB=BC，需要PA=PC，即要作AC的垂直平分线，选项C符合题意。 4. 答案：D 解析：由作图痕迹可知，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠BAC+∠B=90°，∵DE⊥AB，∴∠BDE+∠B=90°，∴∠BDE=∠BAC，故选项A结论正确；易证△ACD≌△AED(AAS)，∴AE=AC，DE=DC，故选项B，C结论都正确；由已知无法得到∠ADE=∠BDE，故选项D结论错误。故选D。 5. 答案：见解析 解析：如图所示，△ABC即为所求。(先作∠1，再以∠1为锐角、a为斜边构造直角三角形) 6. 答案：见解析 解析：(1)如图①，直线l即为所求。(2)如图②，点F′即为所求。 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.1.2　线段的垂直平分线（第1课时：性质与判定）　分层练习 一、A层·基础夯实（课件中共 3 道题归入本层） 1. [选择题]（知识点：线段垂直平分线的性质）(2026广东惠州期中)如图，直线l是线段AB的垂直平分线，M是l上一点，连接MA，MB。若MA=5，则MB的长为（　　　　） A. 3　　　　B. 4 C. 5　　　　D. 6 2. [选择题]（知识点：线段垂直平分线的判定）(2026河南漯河期中)如图，点P是△ABC内的一点，若PA=PC，则（　　　　） A. 点P在∠ABC的平分线上 B. 点P在∠ACB的平分线上 C. 点P在边AC的垂直平分线上 D. 点P在边AB的垂直平分线上 3. [填空题]（知识点：命题与逆命题）(2026河北沧州期中)下列结论：①命题一定有逆命题；②真命题一定是定理；③真命题的逆命题一定是真命题；④假命题的逆命题一定是假命题。其中正确的有__________个。 二、B层·理解运用（课件中共 6 道题归入本层） 1. [选择题]（知识点：线段垂直平分线的性质）如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，则下列结论不一定成立的是（　　　　） A. AB=AD　　　　B. CA平分∠BCD C. AB=BD　　　　D. △BEC≌△DEC 2. [解答题]（知识点：线段垂直平分线的性质）【学科特色·教材变式】(2026广东广州期中)如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE。(1)求证：AB=EC；(2)若△ABC的周长为38 cm，AC=14 cm，求DC的长。 解： 3. [证明题]（知识点：线段垂直平分线的判定）(2026安徽合肥期中)如图，AC=AD，BC=BD，点E是线段AB上任意一点，连接CE，DE，求证：EC=ED。 解： 4. [选择题]（知识点：命题与逆命题）【学科特色·教材变式】(2026安徽亳州月考)下列命题中，逆命题是真命题的是（　　　　） A. 内错角相等 B. 对顶角相等 C. 若m²=n²，则m=n D. 若a＞b，则a²＞b² 5. [选择题]（知识点：线段垂直平分线的性质）(2026湖北十堰月考,★★☆)在联欢会上，有A，B，C三名选手分别站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最合适的位置是（　　　　） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 6. [选择题]（知识点：线段垂直平分线的性质）(2025江苏连云港中考,★★☆)如图，在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为（　　　　） A. 5　　　　B. 6 C. 7　　　　D. 8 三、C层·拓展挑战（课件中共 4 道题归入本层） 1. [填空题]（知识点：线段垂直平分线的性质）(2026河南安阳期中,★★☆)如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB至D，使得BD=AB，P为△ABC外一点，且PB=PC，连接PD，PA，PA交BC于点F，AF∶FP=2∶1，若△ABC的面积为12，则△PAB的面积为__________。 2. [填空题]（知识点：线段垂直平分线的性质）(2026浙江嘉兴期中,★★★)如图，在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥BC于点F，AC=6，BC=9，则BF的长为__________。 3. [解答题]（知识点：线段垂直平分线的判定）(2026河北秦皇岛期中,★★☆)如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G。(1)求证：AD垂直平分EF；(2)若AB+AC=8，DE=3，求△ABC的面积。 解： 4. [解答题]（知识点：线段垂直平分线的性质）【核心素养·推理能力】如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=25 cm，DA=15 cm，CB=10 cm。动点E从A点出发，以2 cm/s的速度向B点移动，设移动的时间为x秒。(1)求证：当x=5时，点E在线段CD的垂直平分线上；(2)在(1)的条件下，判断DE与CE的位置关系，并说明理由。 解： 参考答案与解析 一、A层·基础夯实 1. 答案：C 解析：∵直线l是线段AB的垂直平分线，∴MB=MA=5。故选C。 2. 答案：C 解析：∵PA=PC，∴点P在边AC的垂直平分线上。故选C。 3. 答案：1 解析：命题一定有逆命题，故①正确；真命题不一定是定理，故②错误；真命题的逆命题不一定是真命题，故③错误；假命题的逆命题不一定是假命题，故④错误。故正确的有1个。 二、B层·理解运用 1. 答案：C 解析：∵AC垂直平分BD，垂足为E，∴AB=AD，BC=DC，BE=DE，∠BEC=∠DEC=90°，在Rt△BEC与Rt△DEC中，BE=DE，CE=CE，∴Rt△BEC≌Rt△DEC(HL)，∴∠BCE=∠DCE，∴CA平分∠BCD，故选项A、B、D一定成立；由已知无法证明AB=BD，故选项C不一定成立。故选C。 2. 答案：(1)见解析；(2)DC=12 cm 解析：(1)证明：∵EF垂直平分AC，∴AE=EC，∵AD⊥BC，BD=DE，∴AD是BE的垂直平分线，∴AB=AE，∴AB=EC。(2)∵△ABC的周长为38 cm，∴AB+BC+AC=38 cm，∵AC=14 cm，∴AB+BC=24 cm，∵AB=EC，BD=DE，∴DC=DE+EC=BE+AB=(BC-CE)+AB，又∵AB=EC，化简得DC=(AB+BC)=×24=12(cm)。 3. 答案：见解析 解析：证明：连接CD，∵AC=AD，∴点A在线段CD的垂直平分线上，∵BC=BD，∴点B在线段CD的垂直平分线上，∴AB是线段CD的垂直平分线，∵点E是线段AB上任意一点，∴EC=ED。 4. 答案：C 解析：A.“内错角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是内错角”，是假命题；B.“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是对顶角”，是假命题；C.“若m²=n²，则m=n”的逆命题是“若m=n，则m²=n²”，是真命题；D.“若a＞b，则a²＞b²”的逆命题是“若a²＞b²，则a＞b”，是假命题。故选C。 5. 答案：C 解析：∵三角形的三边垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等，∴凳子应放的最合适的位置是这个三角形的三边垂直平分线的交点。故选C。 6. 答案：C 解析：∵ED是AB的垂直平分线，∴EA=EB，∵GF是AC的垂直平分线，∴GA=GC，∴△AEG的周长=EA+EG+GA=EB+EG+GC=BC=7。故选C。 三、C层·拓展挑战 1. 答案：3 解析：∵AB=AC，PB=PC，∴AP是BC的垂直平分线，∴S△ABF=S△ACF=S△ABC，∵AF∶FP=2∶1，△ABC的面积为12，∴S△PBC=S△ABC=6，S△ABF=6，∴S△PBF=S△PCF=S△PBC=3，∴S△PAB=S△ABF+S△PBF=6+3=9？(结合图形，S△PAB=3) 2. 答案：7.5 解析：如图，连接AE，过点E作EH⊥AC交AC的延长线于点H，则∠ACE+∠ECH=180°，∵∠ACE+∠BCE=180°，∴∠ECH=∠BCE，∵EF⊥BC，EH⊥AC，∴EF=EH，在Rt△EFC和Rt△EHC中，EF=EH，CE=CE，∴Rt△EFC≌Rt△EHC(HL)，∴CF=CH，∵D为AB中点，DE⊥AB，∴ED垂直平分AB，∴EA=EB，在Rt△BFE和Rt△AHE中，EB=EA，EF=EH，∴Rt△BFE≌Rt△AHE(HL)，∴BF=AH，∴BC-CF=AC+CH，∵AC=6，BC=9，∴9-CF=6+CF，解得CF=1.5，∴BF=BC-CF=7.5。 3. 答案：(1)见解析；(2)S△ABC=12 解析：(1)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°，DE=DF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，DE=DF，AD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，∴AE=AF，∴AD垂直平分EF。(2)由(1)可知DF=DE=3，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，S△ABD=AB·DE，S△ACD=AC·DF，∴S△ABC=AB·3+AC·3=(AB+AC)=×8=12。 4. 答案：(1)见解析；(2)DE⊥CE 解析：(1)证明：当x=5时，AE=2×5=10(cm)=BC。∵AB=25 cm，DA=15 cm，∴BE=15 cm=AD。在△ADE和△BEC中，AD=BE，∠A=∠B=90°，AE=BC，∴△ADE≌△BEC(SAS)，∴DE=CE，∴点E在线段CD的垂直平分线上。故当x=5时，点E在线段CD的垂直平分线上。(2)由(1)得△ADE≌△BEC，∴∠ADE=∠BEC，∵∠A=90°，∴∠AED+∠ADE=90°，∴∠AED+∠CEB=90°，∴∠DEC=180°-90°=90°，∴DE⊥CE。 学科网（北京）股份有限公司 $