15.1.2线段的垂直平分线同步练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本练习以线段垂直平分线为核心，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到尺规作图与性质综合应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|线段垂直平分线性质、互逆命题|单选题1-5直接考查定义与性质，填空题11夯实概念| |能力提升|性质与判定综合、周长计算|填空题9-10结合三角形边长，解答题15-16融合性质与内角和| |综合应用|尺规作图与性质迁移|解答题17-20通过作图（如作垂线、角平分线）解决面积最小化等问题|

15.1.2 线段的垂直平分线 同步练习（附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，点E为的边上一点，的垂直平分线刚好经过点C且与边交于点D，连接，若，，，则的周长是（    ） A．10 B．15 C．14 D．12 2．如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 3．下列命题： ①线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等； ②全等三角形的周长相等； ③在同一个三角形中，大边对大角； ④同旁内角互补，两直线平行； 其逆命题为真命题的是（     ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 4．下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 5．下列命题中错误的是（　　） A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题可能是真命题 C．一个定理不一定有逆定理 D．任何一个定理都有逆定理 6．观察下列作图痕迹，所作线段能把三角形的面积分成相等的两部分的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，．根据尺规作图的痕迹可知，的度数为（     ） A． B． C． D． 8．下列图形都是轴对称图形，其对称轴条数最多的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，，，，垂直平分边，是直线上一点，则的最小值为____________． 10．如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______． 11．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的________，而第一个命题的结论是第二个命题的________，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的________．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的________． 12．如图，在中，的周长为，通过尺规作图，的周长为，则________． 13．如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：①；②；③．其中正确的是________（填序号）． 14．如图，长方形是轴对称图形，对称轴可以是直线__________． 三、解答题 15．如图，中，的垂直平分线交于点F，交于点E，且，连接． (1)吗？说明理由； (2)若的周长为，cm，求长． 16．如图，在中，平分． (1)作出的边上的高（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的度数； 17．如图，在中，请用尺规作图法，在上求作一点，连接，使得最小．（保留作图痕迹，不写作法） 18．如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为20，，求的长． 19．用无刻度直尺和圆规作图： ①画出的角平分线； ②在线段上找一点E，使得和面积相等 20．尺规作图：如图，已知和一点，请按以下要求完成作图： (1)过点作的垂线，垂足为点； (2)在线段上试确定一点，使得到射线，的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《15.1.2 线段的垂直平分线 同步练习（附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A C D A B C 1．D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，进而求出的长，最后利用三角形周长公式及线段和差关系求解即可． 【详解】解：的垂直平分线经过点且与边交于点， 垂直平分， ，， ，， ， ， ， 的周长． 2．B 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】连接，交于点，利用线段垂直平分线的判定定理即可得出结论. 【详解】解：连接，交于点， ∵， ∴， ∴正确，错误. 3．A 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假 【分析】先写出每个命题的逆命题，再根据初中几何定理判断逆命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：①原命题：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等；逆命题：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；该逆命题为真命题； ②原命题：全等三角形的周长相等；逆命题：周长相等的三角形是全等三角形；举例：边长为，，的三角形和边长为，，的三角形周长都是，但二者不全等，因此该逆命题为假命题； ③原命题：在同一个三角形中，大边对大角；逆命题：在同一个三角形中，大角对大边；该逆命题为真命题； ④原命题：同旁内角互补，两直线平行；逆命题：两直线平行，同旁内角互补；该逆命题为真命题； 综上，逆命题为真命题的是①③④， 故选：A． 4．C 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、判断命题真假、判断是否为互逆命题、平行公理的应用 【分析】本题考查了命题的判断，根据逆命题、平行线的性质，平行公理，等角的余角相等，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 真命题的逆命题不一定是真命题，故该选项不符合题意； B. 两边分别平行的两个角相等或互补，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 等角的余角相等，故该选项符合题意； D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不符合题意； 故选：C． 5．D 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假、定理与证明、互逆定理 【分析】根据命题、逆命题、定理、逆定理的基本概念，逐一判断各选项正误即可得到答案． 【详解】将原命题的题设与结论互换即可得到逆命题，因此任何命题都有逆命题，A选项说法正确； 真命题的逆命题真假性不确定，可能为真也可能为假， 例如“同位角相等，两直线平行”的原命题和逆命题都是真命题，B选项说法正确； 只有定理的逆命题本身也是真命题时，原定理才有逆定理，否则没有，因此一个定理不一定有逆定理，C选项说法正确； 不是所有定理的逆命题都是真命题，例如“对顶角相等”是定理，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，因此这个定理没有逆定理，所以“任何一个定理都有逆定理”的说法错误，D选项说法错误． 6．A 【知识点】根据三角形中线求面积、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、作线段(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【详解】解：A．由作图可知D为中点，即所作线段能把三角形的面积分成相等的两部分； B．由作图可知，无法判断两部分面积是否相等； C．由作图可知平分，无法判断两部分面积是否相等； D．由作图可知，无法判断两部分面积是否相等． 7．B 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、三角形内角和定理的应用 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，由作图方法可得平分，，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在直角三角形中，，， ∴， 由作图方法可得平分，， ∴， ∴． 8．C 【知识点】求对称轴条数 【分析】按照对称轴的定义，针对每个选项的图形确定其对称轴的条数，最后选出对称轴条数最多的图形所对应的选项． 【详解】解：对于A选项：该图形有1条对称轴； 对于B选项：该图形有1条对称轴； 对于C选项：该图形有5条对称轴； 对于D选项：该图形有3条对称轴； 故图形对称轴条数最多的是5条，即C选项． 9．6 【知识点】线段垂直平分线的性质、三角形三边关系的应用 【分析】连接，由垂直平分线的性质得，推出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，P，C三点共线时，取得最小值，即的长度， ∵， ∴的最小值是． 10．16 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】根据垂直平分线的性质，得到，求出，推导出是的垂直平分线，，得到，进而求出的周长即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵垂直于点，且为的中点， ∴是的垂直平分线，， ∴， ∴的周长是． 11． 结论 条件 逆命题 逆定理 【知识点】判断是否为互逆命题、互逆定理 【分析】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．以及定理的逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理，进行作答即可． 【详解】解：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理． 故答案为：结论，条件，逆命题，逆定理． 【点睛】本题考查互逆命题，以及定理的逆定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 12．3 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】先根据垂直平分线的性质得到，，列出两个三角形周长式子并作差，再用线段等量代换消去、、，化简后直接算出的长度． 【详解】解：由尺规作图痕迹可得，直线是线段的垂直平分线， ，． 的周长为， 的周长为， ， ∴． ∴， ， 13．②③ 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、三角形内角和定理的应用 【分析】根据尺规作图判断出平分，，即可作答． 【详解】解：根据尺规作图：平分，， ∴②正确； ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵无法确定是否平分， ∴无法确定， 即无法确定①， 故正确的有：②③． 14． 【知识点】画对称轴 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴识别，掌握长方形的对称轴是过对边中点的直线，而非对角线所在直线是解题的关键． 先根据轴对称图形的定义，判断图中哪条直线能使长方形沿其折叠后完全重合，从而确定长方形的对称轴． 【详解】解：长方形是轴对称图形，它的对称轴是过对边中点的直线． 图中直线是竖直方向过对边中点的直线，沿它折叠，长方形两边能完全重合，是对称轴； 直线是对角线所在直线，折叠后两边无法完全重合，不是对称轴； 沿折叠后两边无法完全重合，不是对称轴； 因此，对称轴可以是直线． 故答案为：． 15．(1)解：，理由如下： 垂直平分， ， ，， ， ； (2)． 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段的和与差 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，于是结论得证； （2）由的周长为可得，再结合，可得，即，由（1）可得，再结合，可得，于是得解． 【详解】（1）略； （2）解：的周长为， ， ， ， ， 由（1）可得：， 又， ， 即， 长为． 16．(1)解：如图，即为所求； (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）利用尺规作垂线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义，三角形的内角和定理进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴. 17．如图即为所求 【知识点】垂线段最短、作垂线(尺规作图) 【分析】作与交于点，根据垂线段最短可得最小； 【详解】略 18．(1) (2) 【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）由垂直平分得，为等腰三角形，，故．由垂直平分得，为等腰三角形，为的外角，故，． （2）由（1）得．，周长为20，，得，即，可得． 【详解】（1）解：， ∴垂直平分， ， 为等腰三角形． ， 垂直平分， ∴， 为等腰三角形， ． ， ． （2）解：由（1）得，且， 周长 ， ，即， ，即． 19． 【知识点】根据三角形中线求面积、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】①作的角平分线； ②作的垂直平分线交于点，则和面积相等 【详解】略 20．(1)如图，直线即为所求． (2)如图，点即为所求． 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）以为圆心，以大于点到的距离为半径画弧，交于两点，分别以这两点为圆心，以大于它们距离的为半径画弧，连接与两弧的交点所得的直线与交于点； （2）用尺规作的角平分线，其与的交点即为所求的点，根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等可知到射线，的距离相等． 【详解】（1）略 （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $