1.1认识勾股定理（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理，通过情境导入（勾股定理历史与外星人信号）和游戏导入（七巧板拼图）激发兴趣，以测量直角三角形边长、方格纸面积验证为支架，逐步引导学生理解直角三角形两直角边平方和等于斜边平方的核心知识点。 其亮点在于融合数学文化与探究活动，通过《九章算术》竹折问题、勾股树面积计算等实例，培养学生数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理意识）和数学语言（模型意识）。采用分层练习（选择、填空、解答题）与易错总结，帮助学生提升运算与应用能力，教师可直接利用丰富素材实施高效教学。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月29日 1.1认识勾股定理 第一章 勾股定理 北师大版八年级上册1.1认识勾股定理练习题 ### 核心知识点回顾 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边长分别为$$a、b$$，斜边长为$$c$$，则满足公式：$$a^2+b^2=c^2$$。本节重点掌握利用勾股定理求直角三角形边长，区分直角边与斜边，解决基础计算和简单实际应用问题。 ### 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边$$a=3$$，$$b=4$$，则斜边$$c$$的长为（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知直角三角形斜边长为13，一条直角边长为5，则另一条直角边长为（） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 3. 直角三角形两直角边边长之比为3:4，斜边长为10，则最短直角边长为（） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 4. 若Rt△ABC中，∠A=90°，三边关系式正确的是（） A. $$a^2+b^2=c^2$$ B. $$b^2+c^2=a^2$$ C. $$a^2+c^2=b^2$$ D. 以上都不对 5. 边长为6、8、10的三角形，最长边上的高为（） A. 4.8 B. 5 C. 6 D. 8 ### 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，$$a=9$$，$$c=15$$，则$$b=$$______。 2. 已知直角三角形两边长为3和4，则第三边长为______。 3. 等腰直角三角形直角边长为2，则斜边长为______。 4. 直角三角形三边长为连续偶数，则三边长分别为______。 5. 如图，以直角三角形三边为边长向外作正方形，正方形面积分别为$$S_1、S_2、S_3$$，若$$S_1=16$$，$$S_2=9$$，则$$S_3=$$______。 ### 三、解答题（共60分） 1. （20分）在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件求未知边长：（1）$$a=5$$，$$b=12$$，求$$c$$；（2）$$c=25$$，$$b=15$$，求$$a$$。 2. （20分）《九章算术》经典问题：今有竹高一丈（1丈=10尺），末折抵地，去根6尺。竹子顶端折断后落地，落地点距离竹根6尺，求折断处距离地面的高度。 3. （20分）已知直角三角形周长为24，一条直角边长为6，求该三角形的面积。 ### 参考答案与简要解析 选择题：1.A 2.C 3.C 4.B 5.A 填空题：1.12 2.5或$$\sqrt{7}$$ 3.$$2\sqrt{2}$$ 4.6、8、10 5.25 解答题：1.（1）$$c=\sqrt{5^2+12^2}=13$$；（2）$$a=\sqrt{25^2-15^2}=20$$。 2. 设折断处离地高$$x$$尺，折断竹长$$(10-x)$$尺，列方程$$x^2+6^2=(10-x)^2$$，解得$$x=3.2$$，即折断处离地3.2尺。 3. 设另一直角边为$$x$$，斜边为$$18-x$$，由勾股定理得$$6^2+x^2=(18-x)^2$$，解得$$x=8$$，面积=$$\frac{1}{2}×6×8=24$$。 ### 易错总结 解题时需先判断直角与斜边，已知两边求第三边无配图时，要分情况讨论，避免漏解；实际问题需先构建直角三角形模型，再套用勾股定理计算。 通过对勾股定理的学习，理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系，提高推理能力． 通过小组讨论，学会运用勾股定理进行简单的计算，提高计算能力和数形结合能力． 通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情，让学生在探索勾股定理的过程中，感受数学之美，探究之趣． 情境导入 科学家曾经建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。勾股定理有着悠久的历史，古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系。古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系。 一级标题：黑体， 3 游戏导入 拼图游戏 一千多年前，中国人发明了七巧板，外国人管它叫“中国魔板”、“唐图”。 一级标题：黑体， 4 思考 从电线杆离地面8 m处向地面拉一根钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？ 为了解决这个问题，我们今天要研究 直角三角形三边之间的数量关系. 知识点1 探索勾股定理 5 在直角三角形中，任意两条边确定了，另外一条边也就随之确定，三边之间存在着一种特定的数量关系. 知识点1 勾股定理 事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系. 6 思考 (1)在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，分别测量它们的三条边长，并填入表中.看看三边长的平方之间有怎样的关系？ 知识点1 勾股定理 3 5 4 5 12 13 6 8 10 7 可以发现直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 知识点1 勾股定理 a b c a2，b2，c2之间关系 3 4 5 3²+4²=5² 5 12 13 5²+12²=13² 6 8 10 6²+8²=10² 8 (2)如图，方格纸中每个小方格的边长均为1，直角三角形三边长的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗? 知识点1 勾股定理 观察图1,正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积. 正方形B的面积是 个单位面积. 正方形C的面积是 个单位面积. 9 9 9 9 知识点1 勾股定理 割：分割为四个直角三角形和一个小正方形 补：补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积 10 (2)如图，方格纸中每个小方格的边长均为1，直角三角形三边长的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗? 知识点1 勾股定理 观察图1，正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积. 正方形B的面积是 个单位面积. 正方形C的面积是 个单位面积. 9 9 9 18 该直角三角形三边长的平方分别是9,9,18，即9+9=18. 11 知识点1 勾股定理 A B C 图2 如图2，正方形A，B，C的面积分别是4，4，8，所以该直角三角形三边长的平方分别是4，4，8，即4+4=8. 这两个直角三角形的三边长均满足上面所猜想的数量关系： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. (2)如图，方格纸中每个小方格的边长均为1，直角三角形三边长的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗? 12 (3)图中的直角三角形是否也具有这样的关系? 知识点1 勾股定理 9 16 25 9 1 10 上面所猜想的数量关系仍然成立. 13 如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.　 知识点1 勾股定理 2.4 1.6 上面所猜想的数量关系仍然成立. 将该直角三角形放在方格中，一个方格的边长为0.2个单位长度，用同样的方法即可验证 14 通过上面的活动，可以发现：直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方. 知识点1 勾股定理 A B C ∟ a b c 较长的直角边 较短的直角边 斜边 勾 股 弦 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦. 因此，人们把上面的结论称为勾股定理. 15 a A B C b c ∟ 勾股定理：直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2． 几何语言： 如图，在Rt△ABC中 ，∠C=90°， 所以a2+b2=c2. 知识点1 勾股定理 例1 从电线杆离地面8 m处向地面拉一根钢索，如果这条钢索离地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？ 解：在Rt△ABC中，∠C=90°， 根据勾股定理，得AC2+BC2=AB2, 即62+82=AB2， 所以AB=10 m. 所以需要10 m长的钢索. 知识点1 勾股定理 17 跟踪训练 1.求下列直角三角形中未知边的长. 知识点1 勾股定理 8 x 17 12 5 x 解：(1)由勾股定理，得 82+ x2=172， 即x2=172-82， x=15. (2)由勾股定理，得 52+ 122= x2， 即x2=52+122， x=13. (1) (2) 18 知识点1 认识勾股定理 1.下列说法中正确的是(　　) A.已知a，b，c是三角形的三边，则a2＋b2＝c2 B.在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，所以a2＋b2＝c2 D.在Rt△ABC中，∠B＝90°，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，所以a2＋b2＝c2 返回 C 基础提优题 2.如图，直线AB⊥CD，垂足为O，AO＝15，CO＝8，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交射线AB于点E，则OE的长 为(　　) A.8　　 B.6　　 C.4　　 D.2 返回 (第2题) D 基础提优题 【点拨】因为AB⊥CD，所以∠COA＝90°，所以AC2＝AO2＋OC2.因为AO＝15，CO＝8，所以AC＝17.因为以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交射线AB于点E，所以AC＝AE＝17，所以OE＝AE－AO＝2. 返回 (第2题) 基础提优题 3. 如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为4 cm，则“帥”“马”两棋子所在格点之间的距离为　 　. 返回 (第3题) 20 cm 基础提优题 4. 在△ABC中，AB＝30，AC＝26，高AD＝24，则△ABC的周长为　　　　　. 返回 84或64 基础提优题 【点拨】(1)当高AD在△ABC的内部时，如图①.在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝324，所以BD＝18.在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2＝100，所以CD＝10.所以BC＝BD＋CD＝28，此时△ABC的周长是AB＋BC＋AC＝30＋28＋26＝84； 返回 基础提优题 (2)当高AD在△ABC的外部时，如图②.在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝324，所以BD＝18.在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2＝100，所以CD＝10.所以BC＝BD－CD＝8，此时△ABC的周长是AB＋ 返回 此题易漏掉高AD在△ABC外部这种情况而致错. BC＋AC＝30＋8＋26＝64.综上所述，△ABC的周长是84或64. 基础提优题 5.如图，四边形ABCD中，AD⊥AB，BD⊥CD，AD＝3，AB＝4，BC＝13，求四边形ABCD的面积. 返回 基础提优题 【解】因为AD⊥AB，BD⊥CD，所以∠A＝∠BDC＝90°. 因为AB＝4，AD＝3，所以根据勾股定理得BD＝5. 又因为CB＝13，所以根据勾股定理得CD＝12， 所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×3×4＋×12×5＝36. 返回 基础提优题 6. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别是4，6，2，4，则正方形E的面积是(　　) A.12　 B.14　　 C.16 D.18 返回 (第6题) C 知识点2 勾股定理与图形的面积 基础提优题 7.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AC，AB为直径向外作两个半圆，面积分别记为S1和S2.在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，分别以BD，CD为边向外作两个正方形，面积分别记为S3和S4.若S1－S2＝2π，S3＝41，则S4的值为(　　) A.5　　 B.15　　 C.20　　 D.25 返回 (第7题) D 基础提优题 8. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图②的方式放置在最大正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(　 ) A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积 C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积之和 返回 C 综合应用题 直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方. 如果用a，b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么a2+b2=c2. 利用勾股定理进行简单计算. 探索勾股定理 课堂小结 $