第4章 一元一次方程 典例精选与跟踪训练 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

**基本信息** 以一元一次方程为核心，通过典例与跟踪训练系统整合概念辨析、解法步骤、实际应用及综合拓展，提炼分类讨论、模型构建等解题方法，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精选|3道|解方程四步法（移项/合并/系数化1）、新定义运算转化法、数轴动点分类讨论|概念生成（定义辨析）→解法推导（步骤训练）→应用拓展（行程/经济模型）→综合创新（新定义/动点综合）| |跟踪训练|19题|应用题等量关系建模、错误解法溯源分析、参数方程整数解讨论|基础巩固（选择/填空）→能力提升（解答题）→素养达成（跨情境综合题）|

第4章一元一次方程典例精选 1．解方程： (1)； (2) ； (3) 2．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定☆． 如：☆． (1)求☆的值； (2)若☆☆，求的值； (3)若☆，☆（其中为有理数），试比较，的大小． 3．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为，动点P从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒 (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点返回到点时动点两点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 跟踪训练 一、单选题 1．若方程是关于的一元一次方程，则的值不可能是（   ） A．0 B．1 C． D． 2．设“●”“”“”表示三种不同的物体，先用天平称了两次，情况如图所示：则下列图示不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．淇淇解方程，淇淇的过程如下，下列判断正确的是（） 解：去分母，得（第一步） 解得．（第二步） 检验：当时， 所以，原分式方程的解为（第三步） A．第一步开始出错 B．第二步开始出错 C．第三步开始出错 D．整个过程正确 5．在如图所示的2025年1月的月历中，用十字形框框出五个数，这五个数的和不可能是（    ） A．35 B．75 C．100 D．120 6．光明中学组织全校七年级学生到山西省博物院开展研学活动，所有学生分别乘坐客车若干辆．若每车坐人，则有人无车可乘；若每车坐人，则刚好空出一辆车．若设人数为人，则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 7．定义一种新的运算：．例如：，则当时，x的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 8．七年级手工社27名同学一起做某种规格的圆柱体，一个圆柱由一个长方形和两个圆形组成，每名学生每节课做长方形16个或圆形22个，若分配x名同学做长方形，其他同学做圆形，恰好使每节课做的长方形和圆形配套，则下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．是方程的解，则____． 10．已知关于x的方程的解是整数，则符合条件的所有整数a的和为_____． 11．《九章算术》第八卷《方程》记载：“今有六雀七燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡视平”意思是：六只雀比七只燕重，若将这群雀和这群燕互相交换一只以后，两群鸟一样重，假设一只燕重a克，则用含a的式子表示一只雀的重量为______克． 12．在解关于的方程时，去分母过程中没有给方程左边的“1”乘最简公分母6，解得，则原方程正确的解为___________． 13．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________ ． 14．对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则______． 三、解答题 15．解方程： (1)； (2)． 16．对于数、定义新运算：，那么，求的值． 17．我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时． (1)当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？ (2)当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？ 18．为喜迎中国共产党成立周年，某中学举行了以“追寻红色信仰，传承红色基因”为主题的“重走长征路”活动．七年级需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗分发给学生作为活动道具，已知每袋国旗图案贴纸有张，每袋小红旗有面，国旗图案贴纸和小红旗需整袋购买．甲、乙两家文具店同样商品的标价相同，每袋国旗图案贴纸价格比每袋小红旗价格少元，且袋国旗图案贴纸的价格与袋小红旗的价格相同． (1)求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？ (2)如果购买国旗图案贴纸和小红旗共袋，给每位参加活动的学生分发国旗图案贴纸张，小红旗面，恰好全部分完，请问该校七年级有多少名学生？ (3)在（）的条件下，两家文具店的优惠如下：甲文具店：全场商品购物超过元后，超出元的部分打八折；乙文具店：相同商品，“买十件赠一件”．请问在哪家文具店购买比较优惠？ 19．已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点．且，两点间的距离为10，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．设运动时间为秒．求： (1)当点运动多少秒时，点追上点？ (2)当点运动多少秒时，点与点间的距离为8个单位长度？ (3)如果、、中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称、、为一组“幸福点”．求出点运动多少秒时，点、点、点是一组“幸福点”． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 典例精选答案 1．(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 移项，得 ； 合并同类项，得 ； 系数化为1，得 ． （2）解： 去括号得 ； 移项得 ； 合并同类项得 ； 系数化为1，得 ． （3）解： 去分母，两边同乘分母的最小公倍数15，得 ； 去括号得 ； 移项得 ； 合并同类项得 ； 系数化为1，得 ． 2．(1) (2) (3) 【分析】此题考查了新定义，整式的加减，解一元一次方程，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式用已知的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用已知新定义变形，得出关于的方程求解即可； （3）已知等式利用新定义表示出，，然后用作差法比较即可． 【详解】（1）解：☆． （2）解：☆ ☆ 解得． （3）解：由题意， ， ， ． 3．(1)2 (2)①4秒；②1秒或7秒或9秒 【分析】（1）先得到点B表示的数，再列式计算即可得到答案； （2）①根据问题中的等量关系，正确列出方程，解方程即可； ②根据点P与点Q间的距离为6个单位长度，分三种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为8， ∴点B表示的数为， ∴P点运动到线段的中点时，它所表示的数是； （2）解：①当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点追上点时，， 解得：， 即当点P运动4秒时，点P追上点Q； ②点P到点C所用的时间为（秒）， 点Q到点C所用的时间为（秒）， 点P从点C返回到点A所用的时间为（秒）， 点Q从点C返回到点A所用时间为（秒） 当时， 若点P在点Q的右侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 若点P在点Q的左侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 当时，点P从点C向点A运动，点Q从点B向点C运动，点P表示的数为， 若点P在点Q左侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得，不合题意，舍去 若点P在点Q右侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 当时，点P从点C向点A运动，点Q从点C向点B运动，且点P在点Q的右侧， 点Q表示的数为， 点P与点Q之间的距离为6个单位长度，则， 解得，不合题意，舍去； 综上，点P运动1秒或7秒或9秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度． 跟踪训练答案 1．C 【分析】根据一元一次方程的定义，一元一次方程中未知数的系数不能为0，据此即可求出m不能取的值，得到答案. 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， 解得， ∴的值不可能是. 2．C 【详解】解：由天平的平衡条件可知，，， 则，A天平平衡； ，B天平平衡； ，C天平平衡，图中所给天平不平衡，故不正确，符合题意； ∵，，∴，D天平平衡； 3．C 【分析】根据等式性质逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：若，等式两边需同时加或减同一个数，等式才成立，可得，因此A错误； 若，不一定等于，例如当时，成立，但，因此B错误； 若，根据等式性质2，等式两边同时乘以同一个数，等式仍然成立，可得，因此C正确； 若，当时，分母为0，分式无意义，等式无意义，因此D错误． 4．A 【分析】根据分式方程去分母的变形规则，可判断第一步去分母开始出错． 【详解】解：原方程可化为， 方程两边同乘最简公分母去分母，得， ∵淇淇第一步去分母得到的结果没有改变右边分子的符号，结果错误， ∴第一步开始出错． 5．A 【分析】设最中间的数为x，则可表示出其他四个数，进而可表示出这五个数的和，令这五个数的和分别等于四个选项中的数，解方程求出对应的x，看是否符合月历的特点即可得到答案． 【详解】解：设最中间的数为x，则其他四个数为， ∴这五个数的和为， 当时，解得，不符合月历的特点； 当时，解得，符合月历的特点； 当时，解得，符合月历的特点； 当时，解得，符合月历的特点； 6．D 【分析】分别用总人数表示两种乘车方式下的客车数量：①每车坐人时，人无车可乘，坐满车的人数为，因此客车数量为；②每车坐人时空出一辆车，说明实际使用的客车数量比“坐满人所需的车数”多1辆，即客车数量为．由于客车数量固定，据此可列出匹配的方程． 【详解】解：设七年级学生总人数为人． 每车坐人时，有人无车可乘，此时使用的客车数量为辆； 每车坐人时，刚好空出一辆车，此时使用的客车数量为辆； ∴可列方程：，对应选项D． 7．A 【分析】根据给定的运算规则，代入得到关于x的一元一次方程，解方程即可得到x的值． 【详解】解：∵，且 ∴， 解得． 8．D 【分析】先根据题意确定做长方形和做圆形的人数，进而表示出两类部件的总个数，再结合配套要求列出方程即可． 【详解】解：∵分配名同学做长方形，总共有27名同学， ∴做圆形的同学人数为 名， ∴每节课做长方形的总个数为，做圆形的总个数为， ∵一个圆柱需要1个长方形搭配2个圆形，恰好配套时圆形总数是长方形总数的2倍， ∴可得方程 ． 9． 【详解】根据方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解． ∵是方程的解， ∴将代入方程：， ∴． 10．8 【分析】先把a看成已知，解关于x的一元一次方程即可用含a的代数式表示出x，然后根据方程的解是整数、a是整数可得符合题意的a的值，进而可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 当，即时，方程的解为x， ∵关于x的方程的解是整数，a为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴符合条件的所有整数a的和为． 11． 【分析】设一只雀的重量为克，根据交换一只后两群鸟重量相等列方程，求解后验证六只雀比七只燕重，即可得到所求代数式． 【详解】解：设一只雀的重量为克． 根据题意列方程得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为得： 验证：六只雀的重量为，七只燕的重量为． ，符合题意． 12． 【分析】先根据题意错误去分母得到含参数m的错误方程，将已知解代入错误方程求出m的值，再将m代入原方程，按照一元一次方程的解法求解即可得到原方程的正确解． 【详解】解：由题意，去分母时未给1乘6，得到的错误方程为：， 把代入错误方程，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 把，代入原方程，得， 方程两边同乘6去分母，得， 去括号，得，， 移项合并同类项，得， 系数化为1，得． 13． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据题意得到，代入方程可得，再解方程即可． 【详解】已知关于的一元一次方程的解为， ， 则 移项，得， ， 解得， 则关于y的一元一次方程的解为． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查等式的性质以及代数式整体代入求值，关键是根据“特殊数对”的定义列出等式，化简得到与的关系式，再通过整体代入法计算所求代数式的值．首先将代入“特殊数对”的等式中，得到；再将变形为含的形式，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是“特殊数对”， ∴， 去分母化简得：， 则； 故答案为：． 15．(1) (2) 【分析】（1）按照解一元一次方程的一般步骤：去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化成1，进行解答即可； （2）按照解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化成1，进行解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 16． 【分析】根据新定义，列出方程，解方程即可． 【详解】解：由定义可知，， ∴原方程可化为： 故， 整理，得， 解得，． 17．(1)选用汽车运输比较好 (2)550千米 【分析】（1）分别求出两种运输方式所需的费用，比较大小即可； （2）根据两种运输方式所需的费用相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：汽车：（元） 火车：（元） 因为6120元元，所以选汽车． （2）解：设运输路程为千米，由题意得， 解得 即路程为550千米时，两种运输工具所需费用相同． 18．(1)每袋国旗图案贴纸的价格是元，每袋小红旗的价格是元 (2)名 (3)在乙文具店购买更优惠 【分析】（）设每袋贴纸元，则每袋红旗元，根据题意列出方程解答即可求解； （）设购买贴纸袋，购买小红旗袋，根据题意列出方程解答即可求解； （）求出总金额，再分别求出甲文具店和乙文具店购买应付金额，比较即可判断求解； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数四则运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设每袋贴纸元，则每袋红旗元， 根据题意得，， 解得， ∴， 答：每袋国旗图案贴纸的价格是元，每袋小红旗的价格是元； （2）解：设购买贴纸袋，购买小红旗袋， 根据题意得，， 解得， ∴七年级的人数为：名， 答：七年级有名学生； （3）解：由（）知购买贴纸袋，购买小红旗袋， ∵贴纸每袋元，红旗每袋元， ∴全部金额为：元， 在甲文具店应付金额为：元， 在乙文具店应付金额为：元， ∵， ∴在乙文具店购买更优惠． 19．(1)当运动秒时，点追上点 (2)当点运动秒或秒时，点与点间的距离为8个单位长度 (3)当点P运动秒或秒或秒时，点P、点Q、点B是一组“幸福点” 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴动点问题，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程． （1）根据追及问题的等量关系，利用动点的运动距离减去动点的运动距离等于，两点间的距离为10，列方程即可求解； （2）根据点与点相遇前和相遇后之间的距离为8个单位长度，分两种情况列方程即可求解． （3）根据题意分3种情况讨论：当点B为的中点，当点P 为的中点，当点Q为的中点，然后分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 答：当运动2.5秒时，点追上点． （2）解：根据题意，得当点与点相遇前，距离为8个单位长度： ， 解得； 当点与点相遇后，距离8个单位长度： ， 解得； 答：当点运动0.5秒或4.5秒时，点与点间的距离为8个单位长度； （3）解：∵点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点．且，两点间的距离为10， ∴点表示的数为， 根据题意，得当点B为的中点：， 解得； 当点P 为的中点：， 解得； 当点Q为的中点：， 解得； 答：当点P运动1.25秒或2秒或5秒时，点P、点Q、点B是一组“幸福点”． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $