4.2.2第1课时等差数列的前n项和公式同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式 一．选择题 1.在等差数列{an}中,若a2=1,a4=5,则数列{an}的前5项和S5等于(　　) A.7 B.15 C.20 D.25 2.已知等差数列{an}的前n项和Sn=n2+5n,则公差d等于(　　) A.1 B.2 C.5 D.10 3.已知{an}是等差数列,a1=10,前10项和S10=70,则其公差d等于(　　) A.- B.- C. D. 4.已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n>1),Sn是数列{an}的前n项和,a2,a1 021是函数f(x)=x2-6x+5的两个零点,则S1 022的值为(　　) A.3 066 B.12 C.1 020 D.3 060 5.已知{an}是公差d=1的等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10等于(　　) A. B. C.10 D.12 6.(2023·全国甲高考)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=(　　) A.25 B.22 C.20 D.15 7.在等差数列{an}中,如果a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,那么此数列的前20项和为(　　) A.160 B.180 C.200 D.220 8.(多选题)已知等差数列10,7,4,…,则(　　) A.该数列的通项公式为an=-3n+13 B.-25是该数列的第13项 C.该数列的前5项和最大 D.设该数列为{an},则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=48 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,则n等于(　　) A.12 B.14 C.16 D.18 二．填空题 10.已知{an}是等差数列,Sn是它的前n项和.若S4=20,a4=8,则S8=　　　　　.  11.在等差数列{an}中,若an=2n+3,其前n项和Sn=an2+bn+c(a,b,c为常数),则a-b+c=　　　　　.  12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=a1+a200,且A,B,C三点共线(该直线不过原点O),则S200=　　　　　.  13.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且,则使得为整数的n的个数是　　　　　.  三．解答题 14.已知数列{an}满足a1=50,an+1=an+2n. (1)求{an}的通项公式; (2)已知数列{bn}的前n项和为an,若bm=50,求正整数m的值. 15.已知等差数列{an}的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110. (1)求a及k的值; (2)设数列{bn}的通项公式为bn=,求证:数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn. 16.已知数列{an}的所有项均为正数,其前n项和为Sn,且Sn=an-. (1)求证:{an}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 17.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3a4=117,a2+a5=22. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若{bn}是等差数列,且bn=,求非零常数c. 4.2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式 一．选择题 1.B 设等差数列{an}的公差为d,则有 故S5=5a1+d=15. 2.B ∵a1=S1=6,a1+a2=S2=14,∴a2=8, ∴d=a2-a1=2. 3.A 因为S10=10a1+d=70,a1=10, 所以d=-. 4.A ∵数列{an}满足2an=an-1+an+1(n>1), ∴数列{an}为等差数列, 又a2,a1 021是函数f(x)=x2-6x+5的两个零点, 即a2,a1 021是方程x2-6x+5=0的两个根, ∴a2+a1 021=6,∴S1 022==3 066. 5.B 由题意,可知S8=8a1+d=8a1+28,S4=4a1+d=4a1+6.因为S8=4S4,即8a1+28=4(4a1+6),解得a1=,所以a10=a1+9d=. 6.C 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 由已知得解得S5=5a1+d=20. 7.B 由题意可知a1+a2+a3=3a2=-24,得a2=-8,由a18+a19+a20=3a19=78,得a19=26,于是S20=10(a1+a20)=10(a2+a19)=10×(-8+26)=180. 8.AD 依题意知,首项a1=10,公差d=-3, 所以该数列的通项公式为an=a1+(n-1)d=10-3(n-1)=-3n+13,故A正确; 由an=-3n+13=-25,得n=≠13,故B不正确; 由an=-3n+13≥0,得n≤4,由an=-3n+13<0,得n≥5,所以该数列的前4项和最大,故C不正确; 数列{an}的前n项和Sn=10n+×(-3)=, |a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=a1+a2+a3+a4-(a5+a6+a7+a8) =2S4-S8=2×=48,故D正确.故选AD. 9.B 因为Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80, S4=a1+a2+a3+a4=40, 所以4(a1+an)=120,a1+an=30. 由Sn==210,得n=14. 二．填空题 10. 72 设等差数列{an}的公差为d, 则由解得a1=d=2, 故S8=8×2+×2=72. 11. -3 因为an=2n+3,所以a1=5,Sn==n2+4n,与Sn=an2+bn+c比较,得a=1,b=4,c=0,故a-b+c=-3. 12. 100 因为A,B,C三点共线(该直线不过原点O),所以a1+a200=1, 所以S200==100. 13. 5 由等差数列的性质,知=7+,若∈Z,则n-2只能取-1,1,3,11,33这5个数,故满足题意的n有5个. 三．解答题 14. 解:(1)当n≥2时, an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1 =2(n-1)+2(n-2)+…+2×2+2×1+50=2×+50=n2-n+50, 又a1=50=12-1+50,故{an}的通项公式为an=n2-n+50. (2)b1=a1=50,当n≥2时,bn=an-an-1=n2-n+50-[(n-1)2-(n-1)+50]=2n-2, 即bn= 当m≥2时,令bm=50,得2m-2=50,解得m=26. 又b1=50,故正整数m的值为1或26. 15. (1)解:设等差数列{an}的公差为d, 则a1=a,a2=4,a3=3a, 由已知有a+3a=8,得a1=a=2,d=4-2=2, 故Sk=ka1+·d=2k+×2=k2+k. 由Sk=110,得k2+k-110=0,解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10. (2)证明:由(1)得Sn==n(n+1), 则bn==n+1, 故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,且b1=2, 即{bn}是首项为2,公差为1的等差数列, 故Tn=. 16. (1)证明:当n=1时,a1=S1=a1-, 解得a1=3或a1=-1(舍去). 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=+2an-3)-+2an-1-3),得4an=+2an-2an-1, 即(an+an-1)(an-an-1-2)=0. 因为an+an-1>0,所以an-an-1=2(n≥2). 故{an}是以3为首项,2为公差的等差数列. (2)解:由(1)知an=3+2(n-1)=2n+1. 17. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则d>0. ∵a3+a4=a2+a5=22,且a3a4=117, ∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个根. 又公差d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13. 则解得即an=4n-3. (2)由(1)知,∵Sn=n×1+×4=2n2-n, ∴bn=. ∴b1=,b2=,b3=. ∵{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3, ∴2c2+c=0,∴c=-或c=0(舍去). 经检验,c=-符合题意,即c=-. 学科网（北京）股份有限公司 $