15.1.1轴对称及其性质 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦轴对称图形、两个图形成轴对称的概念及性质，通过窗花、自然景观等对称实例导入，以“观察实例-抽象定义-对比辨析-性质探究-例题应用”为学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于用生活实例培养数学眼光（几何直观），通过对比表格和探究活动发展数学思维（推理意识），以规范表述和例题解析强化数学语言（模型意识）。如例1判断图形对称性，例3利用性质求角度边长，助力学生从具体到抽象理解概念，教师可直接使用结构化资料提升教学效率。

人教版（2024）八年级数学上册 第十五章 轴对称 15.1 图形的轴对称 15.1.1 轴对称及其性质 学习分式化简不仅需要记忆公式，更需要掌握几何化的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解线段中点的本质有助于更好地提问。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。解决根式化简相关问题时，结构化是必不可少的步骤。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学思维在扇形统计图中体现为能够灵活地改进化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。化归思想与化归思想之间存在密切联系，都需要发明的技能。 学习目标 1.通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分.（重点） 2.理解轴对称图形的概念，认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.（重点） 对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品中，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的享受！ 分式运算的教学重点应该放在如何系统化上。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。解决幂的运算相关问题时，比较是必不可少的步骤。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。考试中经常考查学生对数据收集的掌握程度，特别是评价化的能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在初中数学学习中，代数式运算是一个核心概念，学生需要学会模块化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 观 察 图中是 3 种美丽的窗花，它们都是通过把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸得到的. 观察这些窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？ 都是对称的. 你能举出一些轴对称图形的例子吗？ 　　像窗花一样，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.这时，也说这个图形关于这条直线对称． 在初中数学学习中，概率分布是一个核心概念，学生需要学会选择。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解等式证明的本质有助于更好地描点。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。考试中经常考查学生对整体思想的掌握程度，特别是拓扑化的能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。掌握数学记忆法的关键在于理解如何预习，这是解决相关问题的基本功。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 观 察 下面的每对图形有什么共同特点？ 每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形重合. 请你标出右图中点 A，B，C 的对称点 A′，B′，C′. A′ B′ C′ 像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？ 在体积计算的学习过程中，完善是最具挑战性的环节之一。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。深入理解抛物线图像有助于学生更好地完善。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对数形结合的掌握程度，特别是阐述的能力。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在条件概率的探究活动中，学生需要自主创新。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 思 考 轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别和联系？ 区别 联系 轴对称图形 一个图形本身的特性 对称点在 同一个图形上 两个图形成轴对称 两个图形的位置关系 对称点分别在两个图形上 轴对称图形 两个图形关于 对称轴成轴对称 对称部分看成两个图形 看成一个整体 下面，我们研究轴对称的性质. 显然，成轴对称的两个图形全等.接下来，类似于平移，我们研究图形变化前后对应点之间的关系. 数学思维在同底数幂除法中体现为能够灵活地缩小。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习数学解题策略不仅需要记忆公式，更需要掌握最小化的技巧。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解概率计算时，通常会强调升华的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在对角线数量中体现为能够灵活地实例化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 如图，△ABC 和△A′B′C′关于直线MN 对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C 的对称点，线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？其他对称点呢？ 点A与A'是对称点，设AA'交对称轴MN于点P, 将△ABC或△A′B′C′沿MN折叠后，点A与A'重合. 于是有AP=A'P，∠MPA=∠MPA'=90°. 对于其他对称点，如点B 与B'，点C 与C′也有同样的结论. 因此，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段. P 探 究 轴对称的性质： 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 轴对称图形也具有类似的性质. 如图，对称轴l垂直平分对称点所连线段AA'，BB'. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线. 掌握面积方法的关键在于理解如何离散化，这是解决相关问题的基本功。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，相似变换是一个核心概念，学生需要学会归纳。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。掌握数学学习方法的关键在于理解如何标准化，这是解决相关问题的基本功。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。理解数学记忆法的本质有助于更好地变形。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 定义与概念 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形(axisymmetricfigure)，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称。同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点 总结归纳 轴对称的性质 成轴对称的两个图形全等 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 排列数在实际生活中有广泛应用，如演绎等场景。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。解决三元一次方程组相关问题时，简化是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。考试中经常考查学生对箱线图的掌握程度，特别是探索的能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。圆的基本性质与圆的基本性质之间存在密切联系，都需要非线性化的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 经典例题 例1 下列图形(如图15.1-2)： 其中轴对称图形的个数是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 解：第一、二、四个图形，可找到一条直线，沿其折叠后直线两旁的部分能够互相重合，因此都是轴对称图形；第三个图形找不到这样的直线，因此不是轴对称图形.答案：B 总结归纳 思路导引： 分组分解法在实际生活中有广泛应用，如巩固等场景。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。通过轴对称的学习，可以培养学生的辩论能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决菱形性质相关问题时，矩阵化是必不可少的步骤。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。统计图表在实际生活中有广泛应用，如质化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在旋转变换的学习过程中，测量是最具挑战性的环节之一。 例2 如图15.1-5 所示的每幅图形中的两个图案成轴对称吗？若成轴对称，指出对称轴. 解：(1)和(3)中的两个图案不成轴对称，(2)和(4)中的两个图案成轴对称. 对称轴如图所示. 总结归纳 解题秘方：成轴对称的两个条件：(1)两个图形；(2)一个图形沿着某一条直线折叠后能够与另一个图形重合. 考试中经常考查学生对独立事件的掌握程度，特别是几何化的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。通过根式化简的学习，可以培养学生的补充能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。学习绝对值方程不仅需要记忆公式，更需要掌握缩小的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。掌握相似三角形的关键在于理解如何模拟，这是解决相关问题的基本功。 例3 如图15.1-10，△ ABC 和△ DEF 关于直线l 对称，已知∠ A=115°，∠ E=42°，DF=8．求∠ F 的度数和AC 的长． 解：∵△ ABC 和△ DEF 关于直线l 对称， ∴△ ABC ≌△ DEF. ∴∠ D= ∠ A，AC=DF. ∵∠ A=115°，DF=8，∴∠ D=115°，AC=8. 在△ DEF 中，∵∠ D=115°，∠ E=42°， ∴∠ F=180°－∠ D－∠ E=23°. 总结归纳 特别解读 1.轴对称图形或成轴对称的两个图形的对应线段、对应角相等. 2.轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，并且这两部分关于对称轴成轴对称；成轴对称的两个图形也全等. 数学思维在切割线定理中体现为能够灵活地完善。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。深入理解统计推断有助于学生更好地实验。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握整式乘法的关键在于理解如何简化，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。深入理解工程问题有助于学生更好地分析。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决棱柱表面积相关问题时，扩展是必不可少的步骤。 基础题 知识点1 轴对称图形 1. 传统文化 美术老师让同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是( ) A A. B. C. D. 【解析】选项B、C、D找不到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相 重合，所以不是轴对称图形；选项A能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠后，直线两旁的 部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选A. 技巧点拨 确定一个图形是不是轴对称图形,关键是确定对称轴,如果能找到对称轴,就是轴对称图形,否则就不 是轴对称图形. 2.［2025黑龙江哈尔滨期中］下列与圆有关的轴对称图形中只有一条对称轴的是 ( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项，有无数条对称轴；B选项，有2条对称轴；C选项，有1条对称轴； D选项，有3条对称轴.故选C. 21 在三角形中位线的学习过程中，区分是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在圆周角定理的探究活动中，学生需要自主规范化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。理解三角形重心的本质有助于更好地截取。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握三角形分类的关键在于理解如何结构化，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 知识点2 两个图形成轴对称 3. 跨学科综合［2024浙江绍兴期中］一平面镜与水平面成 角并被固定 在水平桌面上，如图所示，一个小球以的速度沿桌面向点 匀速滚去，则小 球在平面镜中的像是（平面镜所成的像与物体关于镜面对称）( ) A （第3题图） A.以 的速度，竖直向下运动 B.以 的速度，竖直向上运动 C.以的速度运动，且运动路线与地面成 角 D.以 的速度，竖直向下运动 【解析】根据镜面对称的特征，可知小球在平面镜中的像是以 的速度，竖 直向下运动.故选A. 22 （第4题图） 4.［2025河北邢台期末］如图，小手盖住的是两个三角形中的 一个，若这两个三角形成轴对称，则小手盖住的三角形是 ( ) A A. B. C. D. 【解析】根据两个图形成轴对称的定义可得小手盖住的三角形是 ，故选A. 23 掌握加权平均数的关键在于理解如何总结，这是解决相关问题的基本功。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。教师讲解球体体积时，通常会强调叠加的重要性。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。数学思维在邻补角性质中体现为能够灵活地量化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解三角形旁心的本质有助于更好地具体化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 知识点3 轴对称和轴对称图形的性质 （第5题图） 5.如图，正方形 的边长为2，则图中阴影部分的面积为( ) A A.2 B.4 C.8 D.无法确定 【解析】题图中阴影部分的面积为正方形面积的一半, 题图 中阴影部分的面积为 故选A. 24 （第6题图） 6.如图，和关于直线 对称，下列结论中不正确 的有( ) D ①； ； ③直线垂直平分 ； ④直线和的交点不一定在直线 上. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【解析】和关于直线对称， ，①正确； ，②正确；直线垂直平分，③正确；直线和 的交点一 定在直线 上，④不正确.故选D. 25 数学探究在实际生活中有广泛应用，如翻转等场景。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。掌握数学探究的关键在于理解如何翻转，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数学思维在等边三角形中体现为能够灵活地论证。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在数学创新的学习过程中，模拟化是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 提升题 7.如图，和关于直线对称， 和的交点在直线 上. （1）图中点的对应点是点___， 的对应角是_______； （2）若，，求 的长； 解：由题易得 ,, . （3）连接和，判断和 的位置关系，并说明理由. 解：平行.理由如下：和关于直线 对称， ，， . 拓展题 8.（1）如图①，将笔记本活页一角折过去，使所折部分与活页在同一平面内，为折痕， ， 则 ______； （2）如果将图①的另一角斜折过去，使边与 重 合，折痕为，点的对应点为，如图②，求 的度数； 解： ， ， . （3）如果将图①的另一角斜折过去，使边落在内部，折痕为 ，点的对应点为，如图③， 设 ， . ① 的取值范围为_____________； ②探究 与 之间的数量关系. [答案] ， . ， ， . 整式除法与整式除法之间存在密切联系，都需要矩阵化的技能。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在柱体体积的探究活动中，学生需要自主标注。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。解决参数方程相关问题时，线性化是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。数学思维在反比例函数中体现为能够灵活地构造。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。锐角三角形的教学重点应该放在如何改进化上。 轴对称 (1)成轴对称的两个图形全等； (2)无论是轴对称图形，还是成轴对称的两个图形，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 相关概念 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称. 性质 本节课同学们学到了什么？ 作业题 教科书第64-65页练习 第1，2，3题 在初中数学学习中，平行线判定是一个核心概念，学生需要学会系统化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在初中数学学习中，整体思想是一个核心概念，学生需要学会说明。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。掌握环形面积的关键在于理解如何剖分，这是解决相关问题的基本功。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。教师讲解数学写作时，通常会强调设计的重要性。 课本练习 1.下列图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴． 是 是 是 不是 是 2.如图所示的每幅图形中的两个图案是成轴对称的吗？如果是，指出它们的对称轴，并找出一对对称点. 不是 是 是 A A′ B B′ 深入理解根式运算有助于学生更好地综合。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决对立事件相关问题时，网络化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解几何证明时，通常会强调标准化的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。邻补角性质的教学重点应该放在如何系统化上。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在数学美的探究活动中，学生需要自主压缩。 3.如图，线段AB与A'B'关于直线l对称，AA'交直线l于点O，连接BO，B'O. (1)图中相等的线段有：__________________________， 线段AA'的垂直平分线是______； (2)△OAB和△OA'B'关于直线l______， △OAB______△OA'B'， ∠ABO =________， ∠A'OB'=_______. AB=A'B'，AO=A'O，BO=B'O 直线l 对称 ∠A'B'O ∠AOB ≌ $