第二章 有理数的运算（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦有理数运算，通过滇超联赛观众数科学记数法、停车场分段计费等现实情境题及完美提取、除方新定义等创新题型，适配初中数学单元复习，提升运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|倒数、相反数、数轴应用|第2题结合滇超联赛体现时代性，第8题停车场计费考查分段运算| |填空题|6/12|四舍五入、二进制转化|第17题二进制与十进制互化渗透跨学科思维| |解答题|8/72|混合运算、利润计算、新定义|第20题蔬菜销售利润综合考查运算与实际应用，第26题除方概念培养创新探究能力|

第二章 有理数的运算（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．的倒数是（     ） A． B． C．3 D． 2．2026年滇超联赛热度空前，5月23日文山VS临沧的比赛在文山盘龙体育馆进行，本场比赛吸引了线上线下观众约350000人，数据“350000”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 3．下列各对数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．计算：（    ） A． B． C． D． 5．某潜水艇停在海面下500米处，先下降300米，又上升170米，这时潜水艇停在海面下多少米处（     ） A．430 B．670 C．630 D．470 6．计算：得（     ） A． B． C． D． 7．如图，数轴上的点，分别对应有理数，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 8．停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免费，半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算．一辆小汽车付停车费24元，那么它的停车时间段可能是（     ） A． B． C． D． 9．在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这m个数的和与积相加正好等于这n个数的和，则称这样的提取为完美提取．例如：在1，2，3，4，5中，因为，，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取（提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，下列说法正确的个数是（     ） ①6，7是这十个数中的一种完美提取； ②1，2，4，5是这十个数中的一种完美提取； ③这十个数的完美提取一共有4种． A．0 B．1 C．2 D．3 10．有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 11．下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 12．嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色．如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类．用红色颜料和黄色颜料调配出的颜色属于（     ） A．①类 B．②类 C．③类 D．④类 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．一本故事书，聪聪每天看20页，6天可以看完．如果他想5天看完，平均每天要看________页． 14．已知博物馆有四个展厅，分别为A、B、C、D，四个展厅的参观时长分别为：15分钟、15分钟、10分钟、5分钟，学校组织学生分队伍参观，要求同一展厅同一时间仅1支队伍参观，若展厅被占用则需排队等候，每支队伍需按顺序参观完所有展厅． （1）若要使每支队伍在参观过程中均无需等待，则最多可将学生分成__________支队伍； （2）若将学生分成4支队伍，则4支队伍都完成参观至少需要__________分钟． 15．一个三位小数，四舍五入后是，这个三位小数最小是( )，最大是( )． 16．在，，，中，结果是负数的有_________个． 17．将二进制数101转化成十进制数这样进行：，即二进制数101转化成十进制数为5．再如：二进制数1101转化成十进制数这样进行：，即二进制数1101转化成十进制数为13．依此类推． （1）将二进制数10011转化成十进制数为___________； （2）将十进制数23转化成二进制数为___________． 18．计算： ________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）计算： (1)． (2)． 20．（8分）小明的爸爸周日买进某种蔬菜10000斤，每斤2.5元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000斤该品种的蔬菜，每个摊位的市场管理费为每天25元．下表为本周内该蔬菜每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日该种蔬菜的批发价格为每斤2.7元，表示比前一天涨0.3元，-0.1表示比前一天跌0.1元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况元 当天的交易量斤 2500 2000 3000 1500 1000 在销售过程中小明的爸爸采用逐天减少摊位个数的方法来降低成本，增加收益，他在本周的买卖中共赚了多少钱？ 21．（8分）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 22．（8分）如图，数轴上的点M，N分别表示数，1． (1)求点M，N之间的距离； (2)数x对应此数轴上的点A，若点A，N之间的距离为2，求x的值． 23．（10分）在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”． 对于下面的计算：，运算顺序是怎样的呢？ 24．（10分）用四舍五入法按括号内的要求对下列各数取近似数，结果用科学记数法表示． (1)（精确到万位） (2)（精确到千万位） (3)（精确到百位） 25．（10分）计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 26．（10分）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二章有理数的运算（高效培优单元自测·强化卷） (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1 2 3 4 5 6 个 8 9 10 11 12 D B D B B D C B B C 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.) 13.24 14.3 60 15.4.895 4.904 16.1 17.19 10111 2027 18. 4052 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.【答案】(1)0 1 (2)2 【详解】 ()解： (←4(-2)-[9( -(18号4(2(+ =-4+2-（-2) =-4+2+2 =0 2解.+(24+月 =14(-8)*4+月 1/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =14(2+号 二1+2 1 20.【详解】星期一的价格：2.7+0.3=3（元） 星期二的价格：3-0.1=2.9（元） 星期三的价格：2.9+0.25=3.15（元） 星期四的价格：3.15+0.2=3.35（元） 星期五的价格：3.35-0.5=2.85（元） 本周赚的钱： 2500×3+2000×2.9+3000×3.15+1500×3.35+1000×2.85-(5×25+4×25+3×25+2×25+1×25)-10000×2.5 =7500+5800+9450+5025+2850-(1+2+3+4+5)×25-25000 =30625-15×25-25000 =30625-375-25000 =30625-25000-375 =5625-375 =5250(元) 答：小明的爸爸在本周的买卖中共赚了5250元钱： 21.【答案】(1)抽取-5和+4两张卡片，幂最大，最大为625 (2)抽取+3、-5、+4三张卡片，乘积最小，最小为60； B抽取3、-5、0、+3,0-3×[-3)+(-5刃=24（答案不唯一） 【详解】(1)解：-5和+4两张卡片，幂最大，（5°=625 (2)解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为负数时，积最小， 抽取+3、-5和4三张卡片，（+3)x(-5)x(+4)=-6 乘积最小，最小为60， (3)解：抽取3、-5、0、+3.0-3×[-3)+(-5)]=24 （答案不唯一） 22.【答案】(1)4 216 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)-1或3 -(-3)=1+3=4 【详解】(1)解：由数轴可知：点M,N之间的距离为 (2)解：点A,N之间的距离为2，且点N表示的数为1， .点A表示的数为1-2=-1或1+2=3， 即x的值-1或3. 23.【答案】运算顺序为：先算乘方和括号内的减法，接着算除法和乘法，最后从左到右计算加减， 【详1浆.36+（-日 =36+(043x 1 4 =36(4) =36-4- 4 32、3 =125 4 24.【答案】(1)2.57×10 2,457x109 B)4.60x10 【详解】(1)解：2567000（精确到万位）≈2.57×10； (2)解：4.568×10°（精确到千万位）=4568000000≈4.57×10°： (3)解：46021（精确到百位）≈4.60×104 2.【答125 (2)5.25: 316 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,2000 (3)301: (4)4.755: 34 (5)39 16)381 45· 【详解】(1)解： x2+号 21-21 4 5 -14-12+5 24 =1--0-小+5 =1--o小}+5 3 =1-1×2+5 4 3 =1- +5 4 1x5 4 =5 4； dg-f品oj小ea -21-(68小r 416 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 -8- 95 =28×1 30115 1007 =28× 1005 3017 100 =20× 301 2000 301: (4)解： 10-[19.08+(3.2-0.299÷0.23)]×0.25 =10-[19.08+(3.2-1.3)]×0.25 =10-[19.08+1.9]×0.25 =10-20.98×0.25 =10-5.245 =4.755: 266.96、722、6 (5)解：7×13713291329 =26×6x7_6x7_226 713913291329 =26×6-7x6226 91313291329 4（722.6 3131329 429、6 31329 46 313 5218 -3939 1 26.【答案】(1)1，-3 516 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)D (3)12 【详解】（4)解：由思意可得：2°=2+2=1：(3)=((-3)-(3)=月 (2A.任何非季数的阳2次方都等于1，m2=加*川=1伽40)，故正， B。任何非零数的图3次方都等于它的倒数，=n*n*m=≠0)，故正确； c(2可，4，且j0.则y(4.数 D.1÷1÷1÷…÷1=1,（-l)÷(-)÷(-)÷…÷(-)=或1，故错误：故选D; 3202×°-(4-(2y =-2022÷2022 【(-[2-(2(-2-(2 =4 =-4+16 =12 616 第二章 有理数的运算（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．的倒数是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：， 的倒数是． 2．2026年滇超联赛热度空前，5月23日文山VS临沧的比赛在文山盘龙体育馆进行，本场比赛吸引了线上线下观众约350000人，数据“350000”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：350000用科学记数法表示为. 3．下列各对数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：、∵，，两数相等， ∴不是互为相反数，不符合题意； 、∵，，两数相等， ∴不是互为相反数，不符合题意； 、∵，，两数相等， ∴不是互为相反数，不符合题意； 、∵，，两数绝对值相等，符号相反， ∴两数互为相反数，符合题意． 4．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 5．某潜水艇停在海面下500米处，先下降300米，又上升170米，这时潜水艇停在海面下多少米处（     ） A．430 B．670 C．630 D．470 【答案】C 【详解】解：设海面高度为0，海面下记为负，上升记为正，下降记为负， 此时潜水艇的位置为米，即停在海面下630米处． 6．计算：得（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原式， ． 7．如图，数轴上的点，分别对应有理数，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴可得，，且， ∴，． 8．停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免费，半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算．一辆小汽车付停车费24元，那么它的停车时间段可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 停车费为24元，每小时收费8元， ∴停车时间为：小时. ∵ 半小时内免费，不足1小时按1小时计费， ∴ 实际停车时长满足2小时30分小时30分. A．小时45分，3小时45分小时30分，不符合. B．小时，2小时小时30分，不符合. C．小时20分，2小时30分小时20分小时30分，符合. D． 小时25分，2小时25分小时30分，不符合. 9．在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这m个数的和与积相加正好等于这n个数的和，则称这样的提取为完美提取．例如：在1，2，3，4，5中，因为，，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取（提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，下列说法正确的个数是（     ） ①6，7是这十个数中的一种完美提取； ②1，2，4，5是这十个数中的一种完美提取； ③这十个数的完美提取一共有4种． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：首先计算1到10这十个数的总和，得． 对①，提取6和7，按定义计算得，等于总和，符合完美提取的定义，故①正确． 对②，提取1，2，4，5，按定义计算得，不符合定义，故②错误． 对③，枚举所有符合条件的完美提取： 当时，仅符合，共1种； 当时，仅符合，共1种； 当时，仅符合，共1种； 当时，最小的乘积为，不可能符合条件； 因此一共只有3种完美提取，故③错误． 综上，正确的说法共1个． 10．有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：由数轴可知：，且， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； ，故④错误． 综上所述，一定成立的有①②③，共3个． 11．下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【答案】C 【详解】解：近似数的精确位数由最后一位有效数字在原数中的位置决定，逐个判断选项： A.的最后一位在千分位，因此精确到千分位，原说法错误， B.万，在千位，因此精确到千位，原说法错误， C.，在十位，因此精确到十位，原说法正确， D.近似数的精确数位具有不确定性，故原说法错误． 12．嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色．如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类．用红色颜料和黄色颜料调配出的颜色属于（     ） A．①类 B．②类 C．③类 D．④类 【答案】C 【详解】解：∵红色颜料质量为，黄色颜料质量为 ∴调配出的颜料总质量为 ∴红色颜料的占比为 ∵ ∴该颜色属于③类 ． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．一本故事书，聪聪每天看20页，6天可以看完．如果他想5天看完，平均每天要看________页． 【答案】 【详解】解：总页数 = 每天看的页数 × 原天数， 即 （页）． 平均每天看的页数 = 总页数 ÷ 新天数， 即 （ 页）． 14．已知博物馆有四个展厅，分别为A、B、C、D，四个展厅的参观时长分别为：15分钟、15分钟、10分钟、5分钟，学校组织学生分队伍参观，要求同一展厅同一时间仅1支队伍参观，若展厅被占用则需排队等候，每支队伍需按顺序参观完所有展厅． （1）若要使每支队伍在参观过程中均无需等待，则最多可将学生分成__________支队伍； （2）若将学生分成4支队伍，则4支队伍都完成参观至少需要__________分钟． 【答案】 3 60 【详解】解：（1）四个展厅参观时长分别为15分钟、15分钟、10分钟、5分钟，最长参观时长为15分钟， 要使每支队伍无需等待，相邻两支队伍进入第一个展厅的间隔至少为15分钟，否则会出现展厅占用等待， 一支队伍参观完所有展厅总时长为 （分钟）， ， 因此最多可分为3支队伍，第4支队伍进入时必然产生等待， 故最多3支； （2）若分为4支队伍，每个展厅总占用时间为：A展厅（分钟），B展厅（分钟），C展厅（分钟），D展厅 （分钟）， 每个队伍同一时间只能参观一个展厅，所有展厅中总占用时间最长为60分钟， 可以合理安排参观顺序，可以让所有队伍都完成参观的总时间为60分钟， 如：队伍一：A展厅，D展厅，C展厅，B展厅， 队伍二：B展厅，C展厅，D展厅，A展厅， 队伍三：C展厅，D展厅，B展厅，A展厅， 队伍四：D展厅，A展厅，B展厅，C展厅， 因此最少需要60分钟． 15．一个三位小数，四舍五入后是，这个三位小数最小是( )，最大是( )． 【答案】 【详解】解：若近似数是“四舍”得到的，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位最大取，即最大的三位小数为； 若近似数是“五入”得到的，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位最小取，即最小的三位小数为． 16．在，，，中，结果是负数的有_________个． 【答案】1 【详解】解：逐个计算各数并判断正负： ，结果为正数，不是负数； ，结果为负数，是符合要求的数； ，结果为正数，不是负数； ，结果为正数，不是负数； 统计可得，结果是负数的共有个． 17．将二进制数101转化成十进制数这样进行：，即二进制数101转化成十进制数为5．再如：二进制数1101转化成十进制数这样进行：，即二进制数1101转化成十进制数为13．依此类推． （1）将二进制数10011转化成十进制数为___________； （2）将十进制数23转化成二进制数为___________． 【答案】 19 10111 【详解】解：（1）由题意知，， ∴将二进制数10011转化成十进制数为19； （2）， ， ， ， ， 将余数从下往上排列，得到：10111， 经检验：， ∴将十进制数23转化成二进制数为10111． 18．计算： ________． 【答案】 【详解】解： ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（8分）小明的爸爸周日买进某种蔬菜10000斤，每斤2.5元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000斤该品种的蔬菜，每个摊位的市场管理费为每天25元．下表为本周内该蔬菜每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日该种蔬菜的批发价格为每斤2.7元，表示比前一天涨0.3元，-0.1表示比前一天跌0.1元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况元 当天的交易量斤 2500 2000 3000 1500 1000 在销售过程中小明的爸爸采用逐天减少摊位个数的方法来降低成本，增加收益，他在本周的买卖中共赚了多少钱？ 【答案】5250元 【详解】星期一的价格：（元） 星期二的价格：（元 星期三的价格：（元 星期四的价格：（元 星期五的价格： （元 本周赚的钱： （元 答：小明的爸爸在本周的买卖中共赚了5250元钱． 21．（8分）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【答案】(1)抽取和两张卡片，幂最大，最大为 (2)抽取、、三张卡片，乘积最小，最小为； (3)抽取、、、，（答案不唯一） 【详解】（1）解：和两张卡片，幂最大，； （2）解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为负数时，积最小， 抽取、和三张卡片，乘积最小，最小为； （3）解：抽取、、、，（答案不唯一） 22．（8分）如图，数轴上的点M，N分别表示数，1． (1)求点M，N之间的距离； (2)数x对应此数轴上的点A，若点A，N之间的距离为2，求x的值． 【答案】(1)4 (2)或3 【详解】（1）解：由数轴可知：点M，N之间的距离为； （2）解：∵点A，N之间的距离为2，且点N表示的数为1， ∴点A表示的数为或， 即x的值或3． 23．（10分）在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”． 对于下面的计算：，运算顺序是怎样的呢？ 【答案】运算顺序为：先算乘方和括号内的减法，接着算除法和乘法，最后从左到右计算加减． 【详解】解：， ， ， ， ， 24．（10分）用四舍五入法按括号内的要求对下列各数取近似数，结果用科学记数法表示． (1)（精确到万位） (2)（精确到千万位） (3)（精确到百位） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （精确到万位）； （2）解：（精确到千万位）； （3）解： （精确到百位）． 25．（10分）计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： （6）解： ． 26．（10分）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 【答案】(1)1， (2)D (3)12 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，，故正确； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，，故正确； C．，，且，则，故正确； D．，或1，故错误；故选D； （3） 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $