第2章《一元二次方程》单元测试卷 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 《一元二次方程》单元测试卷，全面覆盖定义、解法、根的判别式、根与系数关系及实际应用，通过分层设计与创新情境，适配单元复习，培养数学抽象、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|定义判断、公式法参数、根的应用|接力游戏找错（乙步骤错误），结合数学思维的推理能力| |填空题|8题|直接开平方法、判别式计算、运动问题|矩形道路面积方程（(20-x)(15-x)=264），体现几何直观| |解答题|8题|多种解法、根与系数关系、实际应用|“差根方程”定义辨析、农业科技增长率问题（a(1+x)²=a+b），融合创新意识与模型观念|

第2章《一元二次方程》单元测试卷 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．用公式法解方程时，a、b、c的值分别是（　　） A．5、6、 B． C． D． 3．已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 4．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．一元二次方程根的情况为（     ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 6．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 7．随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 8．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．＞2 B． C．且 D．且 二、填空题 9．方程x2＝2026x的解是_____． 10．一元二次方程的根的判别式的值为________． 11．若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______． 12．若，则代数式的值为__________． 13．已知，是方程的两个根，则__________． 14．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽若设道路宽为，则根据题意可列方程为___________________    15．某地进行“迎国庆振兴杯”篮球邀请赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），若计划安排21场比赛，则邀请____________个球队参赛． 16．如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 三、解答题 17．解方程 (1)（配方法）； (2)（用适当的方法） (3) （用适当的方法） (4)（公式法）； 18．解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 19．已知关于的方程的一根为． (1)求的值； (2)求方程的另一根． 20．关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 21．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 22．为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为24米）作为一边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），将矩形表演区中的长度用米表示． (1)的长度可表示为 米，并直接写出的取值范围； (2)若矩形表演区的面积为320平方米，那么的长度多少米？ 23．“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 24．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： (1)试判断方程x2+2x+1=0是否为 “勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根； (3)若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积． 25．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 第1页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【详解】解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 2．C 【详解】解：将化为一元二次方程的一般形式为：， a、b、c的值分别是， 故选：C． 3．D 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴． 4．B 【详解】解：王老师：， 甲：两边同除以2，移项得，正确， 乙：配方，两边加4，得，即，但乙写成了，错误， 丙：开平方，得，正确， 丁：，则，正确， ∴错误的是乙． 5．A 【详解】解：∵，则，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 6．B 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 7．B 【详解】解：设每亩产量的年平均增长率为， ∵两年前每亩产量为吨， ∴一年后产量为吨，两年后产量为吨， ∵现在每亩产量比旧技术多吨，即现在产量为吨， ∴根据题意可列方程． 8．C 【详解】解：∵ 方程 是关于的一元二次方程，且有实数根， ∴ 二次项系数满足 ，即 ， 根的判别式满足 ， 解得 综上，的取值范围是且． 故选：C． 9．x1＝0，x2＝2026． 【详解】移项得：x2﹣2026x＝0， ∴x（x﹣2026）＝0， 则x＝0或x﹣2026＝0， 解得x1＝0，x2＝2026， 故答案为：x1＝0，x2＝2026． 10． 【详解】解：一元二次方程中，，，， 则． 11． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， ， ， ，． 12．4 【详解】解： 把代入，得 . 13． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，，故． 14． 【详解】解：利用平移，原图可转化为，如图所示，    设小路宽为x米， 根据题意得：， 故答案为：． 15．7 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛， 根据题意可得：， 解方程可得：（舍去）， 答：应邀请7个球队参加比赛． 故答案为：7． 16．或 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 17．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ， 解得， 解得； （2）解：， ， 可得， 解得； （3）解：， ， ， 解得； （4）解：， 可得， 可得， 解得． 18．(1)错误；错误． (2)． 【详解】（1）解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或是错误的； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法错误； （2）解： 移项得：， 提取公因式得：， ∴或， ． 19．(1)； (2)． 【详解】（1）把代入方程可得： （2）根据题意得： 方程为 配方： 解得：， ∴方程的另一个根为． 20．(1) (2) 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴． 21．无论取何实数，二次三项式有最大值23 【详解】解： ， 无论取何实数，总有， ， ． ∴无论取何实数，二次三项式有最大值23． 22．(1)； (2)的长度为16米 【详解】（1）解：∵的长为x米， ∴的长为（米）． 由题意可得， 解得， 即x的取值范围为． （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 由（1）有， ∴． 答：的长度为16米． 23．(1) (2)购买的这种乒乓球台的台数为200台 【详解】（1）解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得：， 解得（不符合题意，舍去）， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； （2）解：（元）元， ∴购买的乒乓球台数超过100台． 设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由题意得：， 解得， 又， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台． 24． 【详解】（1）解：∵a=1，b=2，， ∴a2+b2=c2， ∴是“勾系一元二次方程”． (2)根据题意得：△＝（c）2﹣4ab＝2c2-4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0， ∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根； （3）解：当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0， 即a+b＝c， ∵四边形ACDE的周长是12， ∴2（a+b）+c＝12， ∴2c +c＝12， ∴c＝2， ∴a+b＝4，a2+b2=c2=8， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2=16， ∴ab＝4， ∴S△ABC＝ ab＝2． 25．(1)① (2) (3) 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $