第2章 一元二次方程单元测试卷2026-2027学年九年级上册数学苏科版

**基本信息** 本单元卷聚焦“一元二次方程”，覆盖定义、解法、根的判别式、根与系数关系及实际应用，通过基础巩固与情境化问题设计，培养运算能力、模型意识与应用意识，适配初中数学单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5/20|定义判断（题1）、根的判别式（题3）、实际应用（题5）|结合商场销售情境，考查方程建模| |填空题|6/24|新运算转化（题1）、根与系数（题2）、配方法（题6）|创新“☆”运算，强化符号意识| |解答题|6/56|解方程（题1）、几何面积（题4、5）、增长率（题3）|融合足球联赛、车棚设计等真实场景，提升应用能力|

第2章 一元二次方程 一．选择题（共5小题，满分20分，每小题4分） 1．（4分）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2x+1＝0 B．x2＝2+3y C． D．x（x﹣2）﹣x2＝2 2．（4分）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＝0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1 3．（4分）一元二次方程x2﹣4x＝﹣4的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝m，则关于x的一元二次方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）必有一根为（　　） A．﹣m B． C．m D． 5．（4分）某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（40﹣x）（200+8x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）对于实数a，b定义一种新运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如4☆3＝4×32﹣4×3＝24，则关于x的方程1☆x＝2的根为 　 　 ． 2．（4分）方程x2+mx﹣2m＝0的两个根为x1、x2，若x1+x2＝﹣5，则x1•x2的值为 　 　 ． 3．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是﹣7，则另一个根是 　 　 ． 4．（4分）已知一元二次方程x2+x﹣2026＝0的两根分别为m，n，则的值为　 　 ． 5．（4分）某校八年级举行篮球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，且两个班级之间只比赛一次，结果一共进行了21场比赛，设八年级共有x个班级，那么列出方程是　 　 ． 6．（4分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0时，将原方程转化为（x+m）2＝n的形式可得 　 　 ． 三．解答题（共6小题，满分56分） 1．（12分）解下列方程： （1）3（x﹣3）＝（x﹣3）2； （2）3x2﹣5x﹣1＝0． 2．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣1＝0． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个实数根为2，求m的值． 3．（9分）某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润达到6032元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 4．（9分）2026年江苏省足球联赛（“苏超”联赛）将于4月11日拉开战幕，首场比赛由常州队主场迎战南通队．为满足球迷们的需求，某镇准备开辟第二现场，在乡村的大广场挂上大屏，摆放凳子，供球迷观看．已知大广场的长为50米，宽为40米，并在广场内预留三条同样宽的过道（如图），以更好地维持秩序．如果要保证观众座位的面积达到1872平方米，则过道的宽应该设计为多少米？ 5．（9分）如图，某小区计划用18m的铁栅栏，再借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚ABCD，为了方便存车，在CD（CD＞2）边上开了一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为96m2的车棚？ 6．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两个根x1，x2满足x1+x2+x1x2﹣6＝0，求m的值． 参考答案 一．选择题 1．【解答】解：A．选项方程是一元二次方程，符合题意； B．选项方程含有x和y两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．选项方程分母中含有未知数，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D．选项方程展开整理得﹣2 x﹣2＝0，未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：A． 2．【解答】解：当k＝0时， 此时方程为﹣3x0， 该方程有实数根， 所以k＝0满足题意． 当k≠0时， Δ＝（﹣3）2﹣4k×（）≥0， 解得k≥﹣1， 综上所述，k的取值范围是k≥﹣1． 故选：C． 3．【解答】解：∵x2﹣4x＝﹣4， ∴x2﹣4x+4＝0， ∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0， ∴一元二次方程x2﹣4x＝﹣4有两个相等的实数根． 故选：A． 4．【解答】解：∵m是若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）的一个根， ∴am2+bm+c＝0， ∴abc＝0， ∴c（）2﹣（）b+a＝0， ∴是方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）的一个根， 故选：D． 5．【解答】解：当每件降低x元时，每件的销售利润为60﹣x﹣40＝（20﹣x）元，平均每周可售出（200+8x）件， 根据题意得：（20﹣x）（200+8x）＝8450． 故选：D． 二．填空题 1．【解答】解：1☆x＝2， x2﹣x＝2， x2﹣x﹣2＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣1， 故答案为：x1＝2，x2＝﹣1． 2．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣2m， ∴﹣m＝﹣5， 解得m＝5， ∴x1x2＝﹣2×5＝﹣10． 故答案为：﹣10． 3．【解答】解：设方程的另一根为x2，由条件可知﹣7+x2＝﹣5， 解得：x2＝2， 则另一根是2． 故答案为：2． 4．【解答】解：∵一元二次方程x2+x﹣2026＝0的两根分别为m，n， ∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2026， ∴， 故答案为：． 5．【解答】解：根据题意，列出方程是x（x﹣1）＝21． 故答案为：x（x﹣1）＝21． 6．【解答】解：x2﹣4x+1＝0， x2﹣4x＝﹣1， x2﹣4x+4＝3， （x﹣2）2＝3． 故答案为：（x﹣2）2＝3． 三．解答题 1．【解答】解：（1）由题意得，3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， ∴（x﹣3）（3﹣x+3）＝0， ∴（x﹣3）（6﹣x）＝0， ∴6﹣x＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝6，x2＝3； （2）由题意得，a＝3，b＝﹣5，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝25+12＝37＞0， ∴， ∴． 2．【解答】（1）证明：∵Δ＝（2m）2﹣4（m2﹣1）＝4m2﹣4m2+4＝4＞0， ∴一元二次方程x2+2mx+m2﹣1＝0总有两个不相等的实数根； （2）∵x2+2mx+m2﹣1＝0的一个实数根为2， ∴22+4m+m2﹣1＝0， 解得m1＝﹣1，m2＝﹣3； ∴m的值为﹣1或﹣3． 3．【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意得：150（1+x）2＝216， ∴x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个， ∴（y﹣300）（601）＝6032． ∴y1＝416，y2＝404， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴y＝404． 答：该品牌头盔的实际售价应定为404元/个． 4．【解答】解：设过道的宽为x米， 根据题意得（50﹣2x）（40﹣x）＝1872， 解得x1＝1，x2＝64（不符合题意，舍去）， 答：过道的宽应该设计1米． 5．【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（18+2﹣x）米， 根据题意得：x（18+2﹣x）＝96， 整理得：x2﹣20x+96＝0， 解得：x1＝8，x2＝12， 当x＝8时，18+2﹣x＝18+2﹣8＝12（米）； 当x＝12时，18+2﹣x＝18+2﹣12＝8（米）． 答：当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为96m2的车棚． 6．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个实数根， ∴Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m+5≥0， 解得：m， ∴m的取值范围为m； （2）∵x1和x2是关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1， ∵x1+x2+x1x2﹣6＝0， ∴﹣（2m+1）+m2﹣1﹣6＝0， 整理得：m2﹣2m﹣8＝0， 解得：m1＝4，m2＝﹣2， 又∵m， ∴m＝4． 答：m的值为4． 学科网（北京）股份有限公司 $