第2章一元二次方程单元检测卷2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学一元二次方程单元检测卷，涵盖定义、解法、判别式、根与系数关系及实际应用，结合航天、新能源等真实情境，梯度设计培养抽象能力、运算能力与模型意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|一元二次方程定义、解的代入、增长率问题|结合分式方程（第5题）考查根的限制，体现严谨性| |填空题|8/16|根的应用、判别式、整数根问题|数轴与方程结合（第13题），培养几何直观| |解答题|7/64|解方程、化简求值、应用题、几何综合、探究题|航天模型进价（第21题）、新能源汽车增长率（第18题）体现模型意识，折纸探究（第25题）发展创新思维|

第2章一元二次方程单元检测卷 一、选择题（共20分） 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 3．若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 4．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．若分式的值为0，则x的值为（     ） A．或2 B．0 C．2 D． 6．已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（     ） A．57 B．58 C．59 D．60 7．关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 9．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．15元 D．15元或20元 10．下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（共16分） 11．已知是关于的方程的一个根，则________． 12．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 13．如图，在数轴上包含四段，其中有一段包含两个整数，请写出一个以这两个整数为根的一元二次方程（写一般式）______． 14．已知关于x的一元二次方程有一根为0，则它的另一个根是_____． 15．若方程无实数根，则m应满足的条件是______． 16．关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 17．某加工厂九月份加工了吨干果，十一月份加工了吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 18．近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为______． 三、解答题（共64分） 19．解下列方程： (1)； (2)． 20．先化简，再求值：，其中x的值是方程的根． 21．年，中国载人航天的征程令人期待．神舟二十号、神舟二十一号、天舟九号蓄势待发，昊龙货运航天飞机、轻舟货运飞船也将携手朱雀三号、力箭二号闪亮登场．这些新成员的加入，让中国空间站——天宫的发展充满无限的遐想．某航模店购进了“神舟”和“天宫”两种模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多元，同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个．求每个“天宫”模型的进价是多少元． 22．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 23．某水果商店销售一种进价为40元的优质水果．若售价为50元，则一个月可售出；若售价在50元的基础上每上涨1元，则月销售量就减少．已知这种水果的售价不得超过70元． (1)当售价为55元时，每月可以销售该种水果多少千克？ (2)当月利润为8750元时，每千克该种水果的售价为多少元？ 24．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，点坐标为且m，n满足． (1)求点A，B，C的坐标； (2)将线段沿轴正方向平移个单位长度到线段，连接，． ①当面积为24时，求直线的函数表达式； ②在移动过程中，能否等于？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由． 25．【问题背景】折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．通过折纸不仅能够创造出非常奇妙的图形，还可以发现一些有趣的数学问题，下面我们就利用一张正方形纸片来开展“折纸与数学”探究活动． 【操作探究】 (1)小创小组将正方形纸片（如图1）按照图2至图3的方式操作，那么图3中 ； (2)小智小组将正方形纸片（如图4）按照图5至图7的方式操作，经过测量，发现是的三等分点，请你帮助小智小组证明这个结论； 【深入探究】 (3)小创小组继续探究，如图3，将沿直线折叠，点落到点处，得到．当点落在的边上时，如果正方形的边长为3，请直接写出的长． 参考答案 1．B 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 含有一个未知数，且未知数的次数最高是2的整式方程是一元二次方程，依据一元二次方程的定义判断各选项即可． 【解答】解：A、方程分母含有未知数，是分式方程，不符合一元二次方程定义，故选项不符合题意； B、对去括号、移项、合并同类项，得，符合一元二次方程定义，故选项符合题意； C、未说明，当时方程不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、对去括号、移项、合并同类项，得，是一元一次方程，故选项不符合题意． 2．A 【解答】解：把代入方程，得，即， 解得． 3．A 【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果. 【解答】解：∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ， 又∵ ， ∴ ， 则， 把代入得 ， ∴ ，. 4．D 【分析】明确第二季度包含四、五、六三个月，结合月增长率表示各月产量后根据总产量列方程． 【解答】解：四月份产量为25万个， 五月份产量为万个， 六月份产量为万个． ∵第二季度总产量为91万个， ∴． 5．D 【分析】解题需同时满足分子为0、分母不为0两个条件，不可忽略分母的限制. 【解答】解：由题意得且， ∵ ， ∴ 或， ∵ ， ∴ ， ∴ . 6．B 【分析】解方程求出或，根据方程根的定义得出，，则整体代入可求出，然后把m、n的值分别代入求解即可. 【解答】解：解方程得，， ∵m，n是方程的两根， ∴或， ∵m，n是方程的两根， ∴， ∴， 同理可得：， ∴ ， 当时， 原式 ， 当时， 原式 ， 综上，代数式的值为58. 7．D 【分析】以一元二次方程无实数根的条件，利用判别式列不等式求解． 【解答】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴，解得． 8．C 【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立的等量关系，代入所求式后配方求最值即可． 【解答】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 9．A 【分析】设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天销售数量为件，根据每天销售利润每件盈利销售量建立方程求解即可． 【解答】解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天销售数量为件，即件， 依题意得， 整理得， 解得，； ∵每件盈利不少于25元， ∴，即， ∴． 10．B 【分析】计算各一元二次方程的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，逐一验证三个说法的正误即可． 【解答】解：①对于方程，，当时，，方程有两个相等的实数根，即有实数解，故①错误； ②对于方程，， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程都有两个不相等的实数根，故②正确； ③对于方程，由方程有两个不相等的实数根得，即，解得， 当时，方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，故错误，③错误； 综上，正确的说法有1个． 11． 【分析】把代入方程中求得的值，再将所求代数式变形并整体代入即可求解． 【解答】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴． 12． 【分析】需分类讨论求解，当时方程为一元一次方程，直接判断根的情况，当时方程为一元二次方程，根据根的判别式判断取值范围即可． 【解答】解：当时，原方程为， 解得，方程有实数根，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 方程有实数根， ， 化简得， 解得且， 综上，的取值范围是． 13．（答案不唯一） 【分析】首先得到②段包含两个整数和0，然后根据一元二次方程的解写出方程即可． 【解答】解：由数轴可知②段包含两个整数和0， 由题意得，一元二次方程的根为，， 可以写出一个以这两个整数为根的一元二次方程为，化为一般式是（答案不唯一）． 14．2 【分析】将代入，结合一元二次方程的定义求出m的值，进而得到原方程，求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程有一根为0， ∴将代入得， 解得：， ∵一元二次方程 ∴，即， ∴， ∴原方程为， 解得：， 即它的另一个根是2． 15． 【分析】一元二次方程无实数根时判别式小于零，列出关于的不等式，求解不等式即可得到满足的条件． 【解答】解：∵方程无实数根， ∴， ∴． 16．59 【分析】根据根的判别式并结合，可求出，设方程的两个整数根为，根据根与系数的关系得，则，不妨设，利用、为正整数，可得出或，或，，从而得到对应的的值，即可求解． 【解答】解：设方程的两个整数根为， 根据题意得， ∵， ∴， ， 根据根与系数的关系得， ∴、同号且为正整数， ∴， 不妨设， ∴或，或，， 解得或或， ∴或16或18， ∴满足条件的所有正实数的和． 17． 【分析】十一月加工量=九月加工量（+月平均增长率），把相关数值代入即可． 【解答】解：设该厂加工干果重量的月平均增长率为， 根据题意，可列方程为：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 18． 【分析】设月平均增长率为，根据3月份和5月份的销售量列出一元二次方程，舍去不符合题意的负根后即可得到结果． 【解答】解：设该新能源汽车月平均增长率为． 根据题意列方程得：， 解得：，， 因为增长率不能为负，不合题意，舍去． ∴该新能源汽车月平均增长率为． 19．(1) (2)， 【解答】（1）解：原方程化为， 开平方，得， ； （2）解：， ， ， 或， ，． 20． 化简结果为，值为 【分析】先通分计算括号内部分，将除法转化为乘法约分化简，最后求出方程的解并代入最简式计算结果 ． 【解答】解： 原式 ； 解方程，得 ， 解得或， 原分式各分母不能为，因此且，舍去，得， 将代入化简后的式子，得原式． 21．元 【分析】设每个“天宫”模型的进价是x元，则每个“神舟”模型的进价是元，由题意可得， ，解方程即可． 【解答】解：设每个“天宫”模型的进价是x元，则每个“神舟”模型的进价是元， 由题意可得， ， 整理，得， 解得， 而价格不能为负数， 故舍去， 故， 经检验，是原方程的根， 答：每个“天宫”模型的进价是20元． 22．(1)证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； (2)的值为，方程的另一个实数根为． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【解答】（1）略 （2）解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 23．(1) 千克 (2) 元 【分析】（1）根据售价上涨量和销量的减少关系，直接计算得到每月销售量； （2）设出每千克水果售价，表示出每千克利润和月销售量，根据总利润等于每千克利润乘销售量列一元二次方程求解，结合售价不超过70元的限制舍去不符合题意的解． 【解答】（1）解：当售价为55元时， 根据题意，每月销售量为（千克）， 答：每月可以销售该种水果450千克； （2）解：设每千克该种水果的售价为元，由题意得，每千克销售利润为元，月销售量为千克， 根据题意列方程得， 整理得， 解得，， ，不符合售价不得超过70元的要求，舍去， ， 答：每千克该种水果的售价为65元． 24．(1)， (2)①；②能等于， 如图，过点D作于点G， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：（舍去）， ∴． 【分析】（1）分别令，，可求出点A，B的坐标，再由非负数的性质，可求出m，n的值，可得到点C的坐标； （2）①设交y轴于点F，根据平移的性质可得，，再求出直线的解析式，可得，从而得到，再由面积为24，可求出t的值，即可求解； ②过点D作于点G，可得为等腰直角三角形， 再由，，可得， ，在中，利用勾股定理可得，可求出t的值，即可． 【解答】（1）解：对于， 当时，，当时，， ∴点， ∵， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴； （2）解：①如图，设交y轴于点F， ∵将线段沿轴正方向平移个单位长度到线段，点， ∴，， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点， ∴， ∴， ∵面积为24， ∴，解得：， ∴将线段沿轴正方向平移4个单位长度到线段， ∴直线的函数表达式为； ②略 25．(1)45； (2)证明：设正方形的边长为， 由折叠可知，是的中点， ∴， 由折叠可知，，，，，，， ∴，即点E，F，G在同一条直线上， ∴， 设，则，， 在中， ∵， ∴，即， ∴是的三等分点； (3)的长为或 【分析】（1）由两次折叠可知，平分，平分，则可得，结合正方形，可得； （2）设正方形边长为，由对折得是中点，．由折叠得，，且，即E，F，G共线，故．设，在中由勾股定理得，解得，即，故是的三等分点； （3）根据正方形边长为3，设．由折叠性质得，，．分两种情况点落在上和点落在上时进行求解即可． 【解答】（1）解：由折叠可知，， ∵四边形是正方形， ． ∴ ； （2）略 （3）解：设， ∵正方形边长为， ∴， 由（2）同理可得，E，F，G共线，则， 设，则，， 在中， 解得， ∴， 由折叠可得，，，， 当点落在边上时，如图， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， 又∵， ∴ 解得（负根舍去）， 当点落在边上时，如图， ∵，， ∴为等腰直角三角形，即， ∴， ∴， ∴ 解得或（舍去）， 综上所述，的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $