第2章《一元二次方程》单元测试卷（2） 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 《一元二次方程》单元复习卷，全面覆盖概念、解法及应用，融合数学文化与现实情境，适配初中数学单元学情检测，培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|定义、解法、根的判别式|结合欧几里得几何图形考方程根| |填空题|8|根与系数关系、实际应用|以《九章算术》门高问题渗透文化| |解答题|8|综合解法、动态几何、增长率|设计“苏超”文旅情境考查模型意识，动点问题提升空间观念|

第2章《一元二次方程》单元测试卷（2） 一、单选题 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若将一元二次方程转化为的形式，则b的值为（     ） A．1 B．8 C．9 D．10 3．用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 5．关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 8．欧几里得的《几何原本》中记载了形如的方程根的图形解法：构造，为斜边中线，且，作，与的延长线交于点．设，，则较小的根是（　　） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 二、填空题 9．方程的根为________． 10．方程的根的判别式的值为_____． 11．已知是方程的一个根，则__________． 12．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．则门高_______尺． 13．已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____． 14．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 15．关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________． 16．已知关于的方程，下列说法： ①当时，方程无解；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程有两个相等的实数根； ④当时，方程有两个不相等的实数根．其中错误的是：______（只填序号） 三、解答题 17．解一元二次方程 (1) (2) (3) (4) 18．某同学解一元二次方程的步骤如下： (1)小张认为解答过程有错误，开始出现错误的是第 步；（填序号） (2)请写出你认为正确的解答过程． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 20．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 21．如图，小明同学要给长城风景画安装一个四周宽度相等的白色画框，制成一个矩形工艺品，该工艺品的长为，宽为．若该工艺品中间风景画的面积为，求白色画框的宽度是多少？ 22．根据多项式乘法可知，从而我们可得利用十字相乘法进行因式分解的公式，比如：．据此回答下列问题： (1)将二次三项式分解因式； (2)解一元二次方程； (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：，方程左边分解为，从而可以快速求出方程的解． 请你利用此方法尝试解方程． 23．阅读下面的例题： 解方程：． 解：原方程可化为：，即：． ∵，∴，∴，， ∴原方程的根是，． 请参照例题解方程：． 24．自5月日“苏超”开赛以来，江苏各市文旅不断推动观赛体验与文化体验紧密串联，有效带动了江苏文旅消费．某旅行社推出了 “跟着苏超去旅行” 活动，现要对活动方案进行升级，需要对定价和报名人数进行调研． “跟着苏超去旅行”的活动调研 素材1 6月份，报名参加“跟着苏超去旅行”活动的人数有1500人，随着“苏超”热度不断提升，8月份的报名达到2160人． 素材2 经过研讨，旅行社初步制定方案为：30人起组团；每人团费900元． 素材3 在统计游客的反馈后，发现每人团费每下降10元，平均每个团报名的人数会增加1人，但每人团费不低于750元 问题解决 任务1 确定增长率 求从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率． 任务2 拟定价格方案 若旅行社要使平均每个团的总团费为32000元，求下调后每人的团费． 请完成 “问题解决” 中的任务1和任务2． 25．如图，在平面直角坐标系中，，点P从点O开始沿x轴正方向以每秒1个单位的速度移动，点Q从点A开始沿y轴负方向以每秒2个单位的速度移动，点P，Q分别从点O，A同时出发，且当点P到达点C处时，点Q也停止运动，设P、Q两点的运动时间为t秒． (1)若点Q在y轴的正半轴上． ①试用含t的代数式表示： __________， __________； ②t为何值时，的面积是面积的？ (2)是否存在这样的t的值，使是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【详解】解：A、方程分母含有未知数，是分式方程，不符合一元二次方程定义，故选项不符合题意； B、对去括号、移项、合并同类项，得，符合一元二次方程定义，故选项符合题意； C、未说明，当时方程不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、对去括号、移项、合并同类项，得，是一元一次方程，故选项不符合题意． 2．D 【详解】解：， ， ， ，即b的值为10． 3．C 【详解】解：形如的一元二次方程， 当时， 其两根为， ∵一元二次方程的根为， ∴， 故选：C． 4．C 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 5．D 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴，解得． 6．D 【详解】解：四月份产量为25万个， 五月份产量为万个， 六月份产量为万个． ∵第二季度总产量为91万个， ∴． 7．D 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 8．B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴为较小的根， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵在中，为斜边中线， ∴， ∴， ∴方程较小的根是的长度， 故选：B． 9．， 【详解】解： 移项得 开平方得 解得，． 10．37 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故答案为：37． 11．2022 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴. 12．8 【详解】解：设竿的长度为尺，则门高为尺，门宽为尺， 依题意得：， 化简得：， 解得：，． 当时，，，不合题意，舍去； 当时，． 门高为8尺． 故答案为：8． 13．1 【详解】解 （x-3m）（x-m）=0 ∴x-3m=0或x-m=0 解得x1=3m,x2=m， ∴3m-m=2 解得m=1 故答案为：1． 14．9 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 15．/-0.125 【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=， ∵x12+x22=， ∴（x1+x2）2-2x1x2=， ∴4m2-m=， ∴m1=-，m2=， ∵Δ=16m2-8m＞0， ∴m＞或m＜0时， ∴m=不合题意， 故答案为：． 16．①②④ 【详解】解：当时，． ①当时，原方程为， 解得：，故①不正确； ②当时，， 方程有两个不相等的实数根，故②不正确； ③当时，， 方程有两个相等的实数根，故③正确； ④当，时，方程有一个解，故④不正确； 综上，错误的是①②④． 故答案为：①②④． 17．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， 移项得， 开方得， 解得； （2）解：， 因式分解得， 即， 整理得， 解得； （3）解：， 整理得， 配方得， 即， 开方得， 解得； （4）解：， 因式分解得， ∴或， 解得． 18．(1)第②步 (2)或 【详解】（1）第②步 （2）解：， ， 或． 19．【详解】(1)证明：由题意得：， 则：， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 20．(1) (2) 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 21．【详解】解设画框的宽度为，由题意可知，         ．         解得，．             ∵，且，即， ∴． 答：画框的宽度是． 22．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：， 或 ，； （3）解：， ， 或， ，． 23．或 【详解】解：原方程可化为，， 即， 因式分解得，， ∴或（不合，舍去）， 解得或． 24．任务1：；任务2：下调后每人的团费为元 【详解】解：任务1：设从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率为； 任务2：设下调后每人的团费为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ∵每人团费不低于元， ， 答：下调后每人的团费为元． 25．(1)①，；②t为1秒或2秒时，的面积是面积的； (2)当秒或秒或6秒时，是等腰三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ①∵点P从点O开始沿x轴正方向以每秒1个单位的速度移动，点Q从点A开始沿y轴负方向以每秒2个单位的速度移动， ∴，，则； 故答案为：，； ②由题意得， 解得或； ∴t为1秒或2秒时，的面积是面积的； （2）解：由题意得，，， 当点Q在y轴的正半轴上时，此时， ，， 若，则，整理得， 解得（舍去），； 若，则，整理得， 解得（舍去）； 若，，整理得， 解得（舍去），（舍去）； 当点Q在y轴的负半轴上时，此时， ，， 若，则，整理得， 解得（舍去），（舍去）； 若，则，整理得， 解得（舍去），； 若，，整理得， 解得（舍去），； 综上，当秒或秒或6秒时，是等腰三角形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $