2.3 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|直接应用韦达定理求两根和与积|单选题1-3、填空题7-8，考查符号意识，强化概念记忆| |提升层|结合参数、代数式变形应用|单选题4-6、填空题9-11，训练运算能力，涉及根的性质判断| |综合层|综合判别式、几何应用及方程构造|填空题12、解答题13-18，体现模型意识，解决菱形面积等实际问题|

2.3一元二次方程的根与系数的关系 一、单选题 1．已知方程的两根分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 3．下列方程的两个实数根的和为的是（     ） A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 5．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A．4 B．8 C．24 D．26 6．若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 二、填空题 7．已知关于x的方程的两根分别为，，则________． 8．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 9．已知，是一元二次方程的两根，则的值为________． 10．菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 11．设，是方程的两个根，则________． 12．已知互不相等的实数a，b满足，，则的值为 _____． 三、解答题 13．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (1)； (2)； (3)． 14．已知方程的两个根分别为，，求下列代数式的值： (1) (2) 15．已知关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求a的值及方程的另一个根． 16．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 17．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 18．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 第1页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【详解】对于一元二次方程 ， 若方程两根为 ， 则两根之和 ， ∵ 原方程为 ， ∴ ，， ∴ ． 2．A 【详解】解：对于一元二次方程，若两根为，则，． ∵一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 则A对应正确结论． 3．C 【详解】解：A． ，，该方程有实根，，不符合题意； B． ，，该方程有实根，且，不符合题意； C． ，，该方程有实根，且，符合题意； D． ，，该方程无实根，不符合题意 4．B 【详解】∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 5．C 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个根， ∴，， 又∵ ， ∴ 代入得． 6．A 【详解】解：设方程的两根为． ∵ 方程两根互为倒数， ∴ ． 又∵由根与系数的关系得． ∴ ，解得或． ∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴． ∴． ∵ ，不符合要求舍去， ∴ ． 7．1 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴， ， ∴. 8． 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 9． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴由根与系数的关系可得，； 对所求代数式因式分解得， 将，代入， 得原式． 10．3 【详解】解：设方程的两个根为，，由根与系数的关系得：， ∵菱形的两条对角线的长是该方程的两根，∴菱形两条对角线的乘积为， ∵菱形的面积等于对角线乘积的，∴菱形的面积为． 11． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 12．2021 【详解】解：设a、b是方程的两根，且， ∴，ab＝， ∴＝＝2021． 13．(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：， ，， ，； （2）解：， ，， ，； （3）解：， ， ， ，， ，． 14．(1) (2) 【详解】（1）解：由根与系数的关系可知，，． ； （2）解：． 15．(1) (2)a的值是2，方程的另一个根是3 【详解】（1）解：∵，即， ∴． ∵方程总有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：设方程的两个根分别为， 将代入，得， 解得； ∵方程的两个根分别为，且， ∴， ∴， 即a的值是2，方程的另一个根是3． 16．(1)证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)的值为 【详解】（1）略 （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 17．(1) (2) 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又，． 18．(1) (2) 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $