2.2.6 一元二次方程根的判别式 同步练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习围绕一元二次方程根的判别式，通过基础巩固、中档提升、综合拓展三层设计，实现从概念理解到参数分析再到跨知识应用的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|判别式计算与根的情况判断|直接应用判别式公式，如单选题1、填空题7| |中档|参数取值范围分析|含参数方程的判别式分析，如单选题2、解答题14| |提升|综合应用与跨知识点结合|结合一次函数、等腰三角形等，如填空题11、解答题19|

2.2.6一元二次方程根的判别式 一、单选题 1．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 2．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 4．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 5．当时，关于x的一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 7．一元二次方程根的判别式的值为__________． 8．已知关于的方程的判别式的值是53，则______． 9．判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________    ②_____________________ ③____________________    ④_____________________ 10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 11．已知一次函数经过第一、三、四象限，则关于的方程根的情况是：_______________． 12．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_________． 三、解答题 13．不解方程，判断下列方程根的情况． (1)； (2)； (3)． 14．已知关于的方程． (1)当取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)当取何值时，方程有两个相等的实数根？ (3)当取何值时，方程没有实数根？ 15．关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 16．已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求整数 的值． 17．为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根中有且仅有一个正数，求m的取值范围． 19．已知关于的方程； (1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根； (2)若等腰的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长． 第1页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 2．A 【详解】解：将原方程整理为一般形式，得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 3．A 【详解】解：一元二次方程为， ，，， ． 为实数， ，即． 方程必有实根． 4．B 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 5．A 【详解】解：∵，∴， 一元二次方程的根的判别式为： 把代入得： 配方得 ∵任意实数的平方为非负数，即， ∴， ∴原一元二次方程有两个不相等的实数根．故选：A． 6．C 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 7．17 【详解】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2， ∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17，故答案为：17． 8． 【详解】解；由题意得，， 解得， 故答案为：． 9． 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 没有实数根 【详解】解：①方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ②方程中，，，， ，因此该方程有两个相等的实数根； ③方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ④方程中，，，， ，因此该方程没有实数根． 10． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式，即， 解得． 11．有两个不相等的实数根 【详解】解：直线经过第一、三、四象限， ，， ， 关于的方程为， ， 关于的方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 12． 【详解】解：当，即时，原方程变形为，解得，有实数根，符合要求； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式， 化简得， 解得， 即此时的范围是且； 综上，的取值范围是． 13．(1)无实数根； (2)无实数根； (3)有两个不相等的实数根． 【详解】（1）解：整理， 可得：， ， 原方程没有实数根； （2）解：整理， ， ， 原方程没有实数根； （3）解：整理， 可得：， ， 原方程有两个不相等的实数根． 14．(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：∵， ∴当，即时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：当，即时，方程有两个相等的实数根； （3）解：当，即时，方程没有实数根． 15．(1)原方程有两个实数根，理由见解析 (2) 【详解】（1）原方程有两个实数根，理由如下： ∵ ∴原方程有两个实数根； （2）∵， ∴， 解得：，， ∵方程有一个根不小于5， ∴， ∴． 16．【详解】(1)证明：方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根． （2）解：由求根公式得      计算得，， 两根均为整数，为整数， ， 解得或 ． 17．(1)原方程总有两个实数根 (2)或 【详解】（1）解：原方程为一元二次方程，可化为． ． 无论为何实数，都是非负数．即． ∴原方程总有两个实数根． （2）解：由（1），原方程的根． 或． 若，则， ． 若，则， ． 综上，的值为或． 18．【详解】(1)证明：∵， ∴无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）解：因式分解得：， ， 又方程的两根中有且仅有一个正数， ，即，无解； ，即，解得； 综上，． 19．(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）解：对于一元二次方程， 根的判别式 ． 无论取何值，， ， 无论取何值，这个方程总有实数根． （2）解：分两种情况讨论： ①若等腰三角形的底边为，两腰相等，即，则方程有两个相等的实数根， ，解得， 此时关于的方程化为， 解得，此时三角形三边为， ，不满足三角形两边之和大于第三边，故这种情况舍去． ②若等腰三角形的一腰为，则方程的有一个根为， 将代入原方程：，解得， 此时关于的方程化为， 因式分解得，解得，． 此时三角形三边为， ，，满足三角形三边关系， 的周长为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $