《第二章一元二次方程第二节一元二次方程的解法（二）》提优特训A·B卷 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 苏科版九年级数学上一元二次方程解法同步练，分A/B卷分层设计，以“概念理解-规范运算-综合应用”为路径，强化运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A卷基础过关|求根公式推导、判别式计算、公式法解方程|含直接判断a/b/c值、判别式符号等基础题，如选择第1题识别b值，解答题规范解方程步骤| |B卷强化提优|含参方程根的情况、几何综合应用|设置参数范围讨论（如填空第14题a值求解）、等腰三角形边长与方程根结合题（解答第23题），培养模型意识|

数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第二章一元二次方程第二节一元二次方程的解法（二）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.理解求根公式是由配方法推导而来，认识公式法本质是配方法的一般化结论；掌握一元二次方程根的判别式 △ =b 2 -4ac的意义，建立 “ 由系数直接判断根的情况 ” 的代数模型。 2.能完整梳理求根公式的推导逻辑，区分a,b,c的符号；能根据 △ =b 2 -4ac 的正负，严谨推理方程实数根的个数；能解决含参数一元二次方程根的存在性问题，规范分类讨论。 3.熟练将方程化为一般形式，准确识别a、b、c（注意自带符号）；能代入求根公式规范运算，化简二次根式；能利用判别式快速验算，减少运算失误，提升根式方程计算准确率。 4.会用公式法求解各类一元二次方程；能结合含参题型、代数式求值、简单实际问题，借助判别式分析参数范围，解决综合题型。 ) 二．知识梳理 ( （一） 求根公式推导 一元二次方程的求根公式是由配方法演变而来 . 用配方法解方程： （ 、 、 为常数且 ） 因为 ，方程两边同除以 ，得 移项，得 ，配方 ， 因为 ，所以 ，当 时，直接开平方得： ，又因为式子前面已有符号 “ ” ，所以无论 还是 ，最终结果总是 即 ；当 时，原方程无解． 求根公式由配方法一步步推导得到，因此公式法适用于所有一元二次方程，是通用解法。 （二） 根的判别式 1.定义： △ =b 2 -4ac 2.判别： （ 1 ） Δ = b 2 -4ac >0：方程有两个不相等实数根，可以代入求根公式计算； （ 2 ） Δ = b 2 -4ac =0：方程有两个相等实数根； （ 3 ） Δ = b 2 -4ac <0：方程无实数根。 3.注意：使用判别式前，必须先确认是一元二次方程，即a ≠ 0。 （三） 一元二次方程求根公式 当 Δ = b 2 -4ac ≥ 0 时，方程ax 2 +bx+c=0\(a ≠ 0)的实数根： （1） “ ± ” 代表两个根； （2）只有 Δ = b 2 -4ac ≥ 0 ，才能代入公式求实数根； Δ = b 2 -4ac <0 ，无需代入公式，直接判定无实根。 （四） 公式法标准解题步骤（必考规范） 1.化一般式：整理成ax 2 +bx+c=0(a ≠ 0)； 2.定系数：准确写出a、b、c，系数自带正负号； 3.算判别式：计算 Δ = b 2 -4ac ，先判断根的情况； ) ( 4.代公式：若 Δ = b 2 -4ac ≥ 0 ，代入求根公式； 5.化简：化简根式、约分，得到最终两根； 6.书写根：规范写成x 1 、x 2 。 （五） 适用场景与方法选择 1.优先公式法：不易配方、二次项系数复杂、含分数系数、题目指定公式法求解； 2.不优先公式法：本身是(mx+n) 2 =p形式（优先直接开平方法）；容易配方的简单方程； 3.判别式独立考点：不求方程的根，只判断根的个数、求参数取值，直接算\Delta即可。 （六） 高频题型分类（提优重点） 1.基础计算：直接用公式法解方程（含整数、分数系数）； 2.根的判定：不解方程，利用 △ 判断实数根个数； 3.含参题型：已知根的情况（两个不等/相等/无实根），求参数取值范围；一元二次方程隐含a ≠ 0，极易遗漏； 4.逆向题型：已知方程根的情况，反向构造参数； 5.综合题型：结合代数式化简、三角形边长、等腰三角形、几何存在性问题。 （七） 易错点汇总 1.找a,b,c出错：忽略系数负号，例如2x 2 -5x-1=0中，b=-5,c=-1； 2.先算根再判断： Δ = b 2 -4ac <0时代入公式，错误写出虚数根（初中只研究实数根）； 3.含参题目漏掉a ≠ 0限制； 4.根式化简不彻底、约分错误； 5.混淆： Δ = b 2 -4ac =0是 “ 两个相等实数根 ” ，不能说只有一个根（初中标准表述）。 （八） 补充结论 1.若方程有两个相等实数根，则b 2 -4ac=0，此时x 1 =x 2 =- ； 2.判别式只和系数a,b,c有关，与未知数取值无关； 3.公式法是后续学习根与系数关系的基础。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1．用求根公式计算方程x2﹣3x+2＝0的根，公式中b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D． 【答案】B 【解析】：用求根公式计算方程x2﹣3x+2＝0的根，公式中b的值为﹣3，故选：B． 2.（2025·盐城阜宁期末）一元二次方程判别式△的公式是（ ） A.△=b2+4ac B.△=b2-4ac C.△=4ac-b2 D.△=a2-4bc 【答案】B 【解析】根的判别式固定公式：△=b2-4ac 3.（2025·苏州吴中期末）方程x2-2x-3=0的判别式的值为（ ） A.-8 B.8 C.16 D.4 【答案】C 【解析】a=1,b=-2,c=-3，△=(-2)2-4×1×(-3)=4+12=16 4．x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【答案】D 【解析】：A、3x2+2x﹣1＝0中，x＝，不合题意；B、2x2+4x﹣1＝0中，x＝，不合题意； C、﹣x2﹣2x+3＝0中，x＝，不合题意； D、3x2﹣2x﹣1＝0中，x＝，符合题意；故选：D． 5．用公式法解方程x2+4x＝2，其中求得b2﹣4ac的值是（　　） A．16 B．±4 C．32 D．64 【答案】D 【解析】：∵x2+4x＝2，∴x2+4x﹣2＝0，∴a＝，b＝4，c＝﹣2， ∴b2﹣4ac＝（4）2﹣4××（﹣2）＝64；故选：D． 6．一元二次方程x2+4x+5＝0的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有一个实根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】：∵△＝42﹣4×5＝﹣4＜0，∴方程无实数根．故选：A． 7．下列方程中，没有实数根的是（　　） A．x2﹣2x﹣3＝0 B．（x﹣5）（x+2）＝0 C．x2﹣x+1＝0 D．x2＝1 【答案】C 【解析】：A．方程x2﹣2x﹣3＝0中△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等的实数根，不符合题意；B．方程（x﹣5）（x+2）＝0的两根分别为x1＝5，x2＝﹣2，不符合题意；C．方程x2﹣x+1＝0中△＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，没有实数根，符合题意；D．方程x2＝1的两根分别为x1＝1，x2＝﹣1，不符合题意；故选：C． 8．一元二次方程x（x﹣2）＝3x根的情况是（　　） A．两个相等的实数根 B．一个实数根 C．两个不相等的实数根 D．无实数根 【答案】C 【解析】：原方程变形为：x2﹣5x＝0，∵△＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×0＝25＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选：C． 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m≤ C．m＜ D．m＞ 【答案】B 【解析】：根据题意得，△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝﹣4m+1≥0， 解得：m≤，故选：B． 10．若关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜ B．k≤ C．k＞ D．k≥ 【答案】B 【解析】：根据题意得△＝（﹣1）2﹣4k≥0，解得k≤．故选：B． 二．填空题（共30分） 11.（2025·盐城阜宁期末）方程x2-6x+5=0的判别式△=________。 【答案】16 【解析】判别式△=36-20=16 12.（2025·苏州吴中期末）一元二次方程判别式△<0时，方程________实数根。 【答案】无 【解析】判别式小于0，实数范围内无解 13.（2025·泰州姜堰期末）方程2x2-4x+2=0有________实数根（相等/不相等）。 【答案】两个相等 【解析】△=16-16=0 14.（2025·扬州邗江期末）若方程x^2-ax+4=0有两个相等实根，则a=________。 【答案】±4 【解析】△=a2-16=0→ a=±4 15.（2025·连云港海州期末）方程4x2-1=0的c=________。 【答案】-1 【解析】一般式：4x2+0x-1=0，常数项c=-1 16.关于x的方程kx2﹣4x＝0有两个实数根，则k的取值范围是　 　． 【答案】k≥﹣6且k≠0 【解析】：当k＝0时，方程为﹣4x﹣＝0，方程有一个实数根；当k≠0时，根据题意得（﹣4）2﹣4×k×（﹣）≥0，解得k≥﹣6且k≠0；综上，k≥﹣6且k≠0．故答案为：k≥﹣6且k≠0． 17．若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，则k的取值范围是　 　． 【答案】k≤5 【解析】：当k﹣1＝0时，方程为4x+1＝0，显然有实数根；当k﹣1≠0，即k≠1时，△＝42﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤5且k≠1；综上，k≤5．故答案为：k≤5． 18．若关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，则a的最大整数值是　 　． 【答案】﹣1 【解析】：∵关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，∴△＝（﹣1）2﹣4×a×1≥0，且a≠0，则a≤且a≠0，则a的最大整数值为﹣1，故答案为：﹣1． 19．已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　 　． 【答案】m≤且m≠﹣2 【解析】：∵关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×（m+2）×1≥0且m+2≠0，解得m≤且m≠﹣2．故答案为：m≤且m≠﹣2． 20．关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的系数满足ac＞0，则此方程的根x＝　 　． 【答案】 【解析】：∵ax2﹣bx﹣c＝0，∴△＝b2+4ac，∵对于任意实数b，b2≥0，ac＞0，∴b2+4ac＞0，∴一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．∴x＝． 故答案为：． 三．解答题（共60分） 21．用公式法解一元二次方程： （1）x2+6x+4＝0． 解：这里a＝1，b＝6，c＝4，∵Δ＝b2﹣4ac＝36﹣16＝20，∴x＝＝﹣3±， 则x1＝﹣3，x2＝﹣﹣3． （2）3x2﹣4x﹣2＝0． 解：△＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）＝40＞0，x＝＝ 所以x1＝，x2＝． （3）2x2+x＝6． 解：∵2x2+x＝6，∴2x2+x﹣6＝0，则a＝2，b＝1，c＝﹣6，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣6）＝1+48＝49＞0，∴，∴． （4）2a2﹣3＝﹣4a． 解：2a2﹣3＝﹣4a，整理得：2a2+4a﹣3＝0，∵Δ＝42﹣4×2×（﹣3）＝16+24＝40＞0， ∴a＝＝＝，∴a1＝，a2＝． （5）x2﹣2x﹣8＝0． 解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣8，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣8）＝36＞0， x＝＝＝1±3，所以x1＝4，x2＝﹣2． （6）x2﹣2x+1＝0． 解：x2﹣2x+1＝0，∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，∴x＝＝＝±1；∴x1＝+1，x2＝﹣1． 22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0． （1）当k＝3时，求一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的解； （2）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根． 解：（1）当k＝3时，方程可化为x2﹣4x+3＝0，（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x1＝1，x2＝3； （2）证明：∵Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4（2k﹣3）＝k2﹣6k+13＝（k﹣3）2+4，而（k﹣3）2≥0， ∴Δ＞0．∴对任意实数k，方程有两个不相等的实数根． 23．已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）判断方程的根的情况； （2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长． 解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根； （2）x＝＝m±1，∴x1＝m+1，x2＝m﹣1，当m+1＝5时，解得m＝4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3，△ABC的周长为5+5+3＝13；当m﹣1＝5时，解得m＝6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，△ABC的周长为5+5+7＝17； 综上所述，△ABC的周长为13或17。 24．关于x的一元二次方程3x2+8x+m＝0． （1）当m＝5时，解方程； （2）当方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围． 解：（1）m＝5时，原方程为3x2+8x+5＝0，∴（3x+5）（x+1）＝0，∴3x+5＝0或x+1＝0， ∴x1＝﹣，x2＝﹣1； （2）∵关于x的一元二次方程3x2+8x+m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝82﹣4×3×m＞0， 解得：m＜，故m的取值范围是m＜． 25．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根． （2）等腰△ABC的底边长为2，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 解：（1）证明：Δ＝（k+3）2﹣4×3k＝（k﹣3）2≥0，故不论k取何实数，该方程总有实数根； （2）依题意有Δ＝（k﹣3）2＝0，则k＝3，将其代入方程x2﹣（k+3）x+3k＝0，得x2﹣（3+3）x+3×3＝0．解得x1＝x2＝3．故△ABC的周长是2+3+3＝8． 26.我们规定：方程ax2＋bx＋c＝0的变形方程为a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝0.例如，2x2－3x＋4＝0的变形方程为2(x＋1)2－3(x＋1)＋4＝0. (1)直接写出方程x2＋2x－5=0的变形方程． (2)若方程x2＋2x＋m＝0的变形方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． (3)若方程ax2＋bx＋c＝0的变形方程为x2＋2x＋1＝0，请直接写出a＋b＋c的值． 解：(1)(x＋1)2＋2(x＋1)－5＝0. (2)方程x2＋2x＋m＝0的变形方程为(x＋1)2＋2(x＋1)＋m＝0，整理，得x2＋4x＋3＋m＝0.∵变形后的方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝42－4(3＋m)＝4－4m>0，∴m<1. （3）∵方程ax2＋bx＋c＝0的变形方程为a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝0，整理，得ax2＋2ax＋a＋bx＋b＋c＝0，即ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b＋c)＝0.∵方程ax2＋bx＋c＝0的变形方程为x2＋2x＋1＝0，∴a＋b＋c＝1． 27．设a，b，c是△ABC的三条边长，且关于x的方程(a＋b)x2＋2x＋a－b＝0有两个相等的实数根． (1)求证：△ABC为等腰三角形． (2)若a，b为方程x2＋2mx－6m＝0的两个根，求m的值． (3)试说明关于x的一元二次方程ax2＋x＋b＝0必有实数根． 解：(1)∵方程(a＋b)x2＋2x＋a－b＝0有两个相等的实数根， ∴[2]2－4(a＋b)(a－b)＝0，整理，得(a－b)(c－a－b)＝0.∵c－a－b≠0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形． (2)∵a＝b，∴x2＋2mx－6m＝0有两个相等的实数根，∴4m2＋24m＝0，∴m1＝0，m2＝－6.∵a，b为正数，∴m1＝0不合题意，舍去，∴m＝－6. (3)由题意，得Δ＝()2－4ab＝2(a2＋b2)－4ab＝2(a－b)2≥0， ∴关于x的一元二次方程ax2＋x＋b＝0必有实数根． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．用公式法解方程x2－4x－2＝0，其中b2－4ac的值是(　　) A．16 B．24 C．8 D．4 【答案】B　 【解析】∵a＝1，b＝－4，c＝－2，∴b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－2)＝16＋8＝24.故选B. 2．下列方程有两个相等的实数根的是（　　） A．x2+0.09＝0.6x B．4y（y﹣1）﹣1＝0 C．x2﹣6+9x＝0 D．2y2+4y+3＝0 【答案】A 【解析】A、方程整理得：x2﹣0.6x+0.09＝0，∵Δ＝（﹣0.6）2﹣4×1×0.09＝0.36﹣0.36＝0，∴方程有两个相等的实数根，符合题意；B、方程整理得：4y2﹣4y﹣1＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×4×（﹣1）＝16+16＝32＞0，∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；C、方程整理得：x2+9x﹣6＝0，∵Δ＝92﹣4×1×（﹣6）＝81+24＝105＞0，∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；D、方程2y2+4y+3＝0，∵Δ＝42﹣4×2×3＝16﹣24＝﹣8＜0，∴方程没有实数根，不符合题意．故选：A． 3.（2026·盐城盐都二模）方程ax2+bx+c=0中,△>0，则方程（ ） A.无实根 B.两相等实根 C.两不等实根 D.无法判断 【答案】C 【解析】根的情况只看△，△>0一定两个不相等实数根 4．若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（　　） A．0，﹣2 B．0，0 C．﹣2，﹣2 D．﹣2，0 【答案】B 【解析】设方程的另一根为a，∵x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，∴4﹣4+m＝0，解得m＝0，则﹣2a＝0，解得a＝0．故选：B． 5．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1 【答案】D 【解析】根据题意得：Δ＝22﹣4×1×（﹣m）≥0，解得m≥﹣1，故选：D． 6．若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．﹣4 B． C． D．4 【答案】C 【解析】根据题意得Δ＝12﹣4m＝0，解得m＝．故选：C． 7．已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（　　） A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根 B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根 C．当p＜0时，方程没有实数根 D．方程的根的情况与p的值无关 【答案】B　 【解析】方程（x﹣1）（x+2）＝p可整理为x2+x﹣2﹣p＝0，∴Δ＝12﹣4×1×（﹣2﹣p）＝1+8+4p＝4p+9．当p＝0时，Δ＝4p+9＝9＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选项A不符合题意；当p＞0时，Δ＝4p+9＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选项B符合题意；当p＜0时，Δ的正负无法确定，∴无法判断该方程实数根的情况，故选项C不符合题意； ∵方程的根的情况和p的值有关，故选项D不符合题意．故选B． 8．用公式法解方程3x2＋4＝12x，下列代入公式正确的是 (　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 【答案】D　 【解析】∵3x2＋4＝12x，∴3x2－12x＋4＝0，∴a＝3，b＝－12，c＝4， ∴x＝. 故选D. 9．已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2且a≠0 D．a＞﹣2且a≠0 【答案】C 【解析】根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣2）≥0，解得a≥﹣2且a≠0． 故选：C． 10、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意得,,代入得,∴,∴。 二．填空题（共30分） 11．关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　 　． 【答案】1 【解析】∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]＝0，解得m＝1．故答案为：1． 12.（2026·淮安淮阴二模）若一元二次方程2x2+mx+8=0判别式为0，则m=________。 【答案】±8 【解析】△=m2-64=0→ m=±8 13．方程2x2＋5x－3＝0的解是______________． 【答案】 x1＝，x2＝－3 【解析】运用公式法．∵a＝2，b＝5，c＝－3，b2－4ac＝49， ∴x1＝ ＝＝， x2＝＝＝－3. 14．已知关于x的方程x2＋2(1＋a)x＋(3a2＋4ab＋4b2＋2)＝0有实数根，则b＝____． 【答案】－ 【解析】　∵关于x的方程x2＋2(1＋a)x＋(3a2＋4ab＋4b2＋2)＝0有实数根，∴Δ＝4(1＋a)2－4(3a2＋4ab＋4b2＋2)＝－4[(a＋2b)2＋(a－1)2]≥0，∴(a＋2b)2＋(a－1)2≤0.又∵(a＋2b)2＋(a－1)2≥0，∴(a＋2b)2＋(a－1)2＝0，∴a＋2b＝0，a－1＝0，∴a＝1，b＝－. 15．现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是________． 【答案】－1或4　 【解析】由x★2＝6，根据新定义，得x2－3x＋2＝6，即x2－3x－4＝0，解得x1＝－1，x2＝4. 16.对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝a2－2ab，如x※1＝1.。那么x的值为__________． 【答案】1＋，或1－. 【解析】 ∵a※b＝a2－2ab，∴x※1＝x2－2x＝1.∴x2－2x－1＝0.∴x＝＝1±.∴x1＝1＋，x2＝1－. 17．方程2x2﹣6x﹣1＝0的负数根为　 　． 【答案】x＝ 【解析】△＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）＝44，x＝＝，所以x1＝＞0，x2＝＜0．即方程的负数根为x＝．故答案为x＝． 18．一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是 　 　． 【答案】x1＝，x2＝． 【解析】3x2＝4﹣2x3x2+2x﹣4＝0，则b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，故x＝，解得：x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝． 19．若x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则判别式Δ＝b2﹣4ac和完全平方式M＝（2a+b）2的关系是：Δ 　 　M．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】= 【解析】∵x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，∴a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2﹣4ac＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2，M＝（2a+b）2＝（2a﹣a﹣c）2＝（a﹣c）2，则Δ＝M．故答案为：＝． 20．若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两个根，则m的值为 　 　． 【答案】12或16． 【解析】当等腰三角形的底边为6时，则关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0有两个相等的实数根，根据根的判别式的意义得Δ＝（﹣8）2﹣4m＝0，解得m＝16，此时方程为x2﹣8x+16＝0，解方程得x1＝x2＝4，因为4+4＞6，所以m＝16符合题意；当等腰三角形的腰为6时，则x＝6为关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0一个根，把x＝6代入方程得36﹣48+m＝0， 解得m＝12，此时方程为x2﹣8x+12＝0，解方程得x1＝2，x2＝6，因为6+6＞2，所以m＝12符合题意；综上所述，m的值为12或16．故答案为：12或16． 三．解答题（共60分） 21．解下列一元二次方程： （1）x2﹣4x+1=0； （2）2x2+3x﹣3=0． （3）（2x﹣1）2=（3﹣x）2； （4）． （5） （6） 解：(1) x2﹣4x+1＝0，x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，∴x﹣2＝， ∴x1＝2+，x2＝2﹣； (2)2x2+3x﹣3＝0，∵a＝2，b＝3，c＝﹣3，∴Δ＝32﹣4×2×（﹣3）＝33＞0， ∴x＝＝，∴x1＝，x2＝． (3)，，， ，∴或，解得或，∴方程的解为或． (4)，，∴或 解得或，∴方程的解为或． （5）∵，∴a=9，b=，c=1，∴△=， ∴方程有两个不相等的实数根，∴=， ∴． （6），，，， ， 22．已知关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m=0． (1)求证：不论m取何值，此方程总有实数根； (2)若m为整数，且方程的一个根小于2，请写出一个满足条件的m的值． 解：(1)证明：由题意知 ∵（m+2）2≥0，∴△≥0，∴关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0总有实数根； (2)由（1）知，△＝（m+2）2，∴x， ∴，，∵方程有一根小于2，∴﹣m＜2，∴m＞﹣2，∵m为整数，∴满足条件的m的一个值为﹣1． 23．已知：关于x的方程x2﹣（k＋2）x＋2k=0 （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 解：（1）证明：由题意知：Δ＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0， ∴无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）当b＝c时，Δ＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2， ∴△ABC的周长＝2+2+1＝5；当b＝a＝1或c＝a＝1时，把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，不符合三角形三边的关系，此情况舍去，∴△ABC的周长为5． 24．观察下列方程： ①；②；③；④；⑤；… 上面每一个方程的二次项系数都是2，各个方程的解都不同，但每个方程的值均为1， （1）请你写出两个方程，使每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同． （2）对于一般形式的一元二次方程（a≠0，≥0），能否作出一个新方程，使与相等？若能，请写出所作的新的方程（，需用a，b，c表示），并说明理由；若不能，也请说明理由． 解：（1）答案不唯一，如； （2）能，所作的新方程为． 通过观察可以发现． 25．已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0，当m为何值时： (1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根. 解：(1)∵方程只有一个实数根，∴m−2=0解得：m=2； (2)∵方程有两个相等的实数根，∴△=4(m−1)2−4(m−2)(m+1)=0，解得：m=3； (3)∵方程有两个不相等的实数根，∴△=4(m−1)2−4(m−2)(m+1)>0解得：m<3， ∵m为非负整数，且m≠2，∴m=0或1. 26．关于x的方程 (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根． (2)若此方程的一个根为1，求m的值： (3)求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长 解：(1)证明：x2−(m+2)x+(2m−1)=0，∵a=1，b=−(m+2)，c=2m−1，∴b2−4ac=[−(m+2)]2−4×1×(2m−1)=(m−2)2+4，∵在实数范围内，m无论取何值，(m−2)2+4>0，即b2−4ac＞0， ∴关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0恒有两个不相等的实数根； (2)将x=1代入方程可得：12−(m+2)+(2m−1)=0，解得：m=2； (3)∵m=2，∴方程为x2−4x+3=0，解得：x1=1或x2=3，∴方程的另一个根为x=3；∴直角三角形的两直角边是1、3，∵，∴斜边的长度为，∴直角三角形的周长为1＋3＋=4＋． 27．如图，在中，，所对的边分别为．将形如的一元二次方程称为“直系一元二次方程”． （1）请直接写出一个“直系一元二次方程”； （2）求证：关于的“直系一元二次方程”必有实数根； （3）若是“直系一元二次方程”的一个根，且，求的值． 解：（1）如；(答案不唯一，满足条件即可） （2）由，又，， 该一元二次方程必有实数根； （3）是方程的一个根，，，， 即，由，得：，， ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第二章一元二次方程第二节一元二次方程的解法（二）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.理解求根公式是由配方法推导而来，认识公式法本质是配方法的一般化结论；掌握一元二次方程根的判别式 △ =b 2 -4ac的意义，建立 “ 由系数直接判断根的情况 ” 的代数模型。 2.能完整梳理求根公式的推导逻辑，区分a,b,c的符号；能根据 △ =b 2 -4ac 的正负，严谨推理方程实数根的个数；能解决含参数一元二次方程根的存在性问题，规范分类讨论。 3.熟练将方程化为一般形式，准确识别a、b、c（注意自带符号）；能代入求根公式规范运算，化简二次根式；能利用判别式快速验算，减少运算失误，提升根式方程计算准确率。 4.会用公式法求解各类一元二次方程；能结合含参题型、代数式求值、简单实际问题，借助判别式分析参数范围，解决综合题型。 ) 二．知识梳理 ( （一） 求根公式推导 一元二次方程的求根公式是由配方法演变而来 . 用配方法解方程： （ 、 、 为常数且 ） 因为 ，方程两边同除以 ，得 移项，得 ，配方 ， 因为 ，所以 ，当 时，直接开平方得： ，又因为式子前面已有符号 “ ” ，所以无论 还是 ，最终结果总是 即 ；当 时，原方程无解． 求根公式由配方法一步步推导得到，因此公式法适用于所有一元二次方程，是通用解法。 （二） 根的判别式 1.定义： △ =b 2 -4ac 2.判别： （ 1 ） Δ = b 2 -4ac >0：方程有两个不相等实数根，可以代入求根公式计算； （ 2 ） Δ = b 2 -4ac =0：方程有两个相等实数根； （ 3 ） Δ = b 2 -4ac <0：方程无实数根。 3.注意：使用判别式前，必须先确认是一元二次方程，即a ≠ 0。 （三） 一元二次方程求根公式 当 Δ = b 2 -4ac ≥ 0 时，方程ax 2 +bx+c=0\(a ≠ 0)的实数根： （1） “ ± ” 代表两个根； （2）只有 Δ = b 2 -4ac ≥ 0 ，才能代入公式求实数根； Δ = b 2 -4ac <0 ，无需代入公式，直接判定无实根。 （四） 公式法标准解题步骤（必考规范） 1.化一般式：整理成ax 2 +bx+c=0(a ≠ 0)； 2.定系数：准确写出a、b、c，系数自带正负号； 3.算判别式：计算 Δ = b 2 -4ac ，先判断根的情况； ) ( 4.代公式：若 Δ = b 2 -4ac ≥ 0 ，代入求根公式； 5.化简：化简根式、约分，得到最终两根； 6.书写根：规范写成x 1 、x 2 。 （五） 适用场景与方法选择 1.优先公式法：不易配方、二次项系数复杂、含分数系数、题目指定公式法求解； 2.不优先公式法：本身是(mx+n) 2 =p形式（优先直接开平方法）；容易配方的简单方程； 3.判别式独立考点：不求方程的根，只判断根的个数、求参数取值，直接算\Delta即可。 （六） 高频题型分类（提优重点） 1.基础计算：直接用公式法解方程（含整数、分数系数）； 2.根的判定：不解方程，利用 △ 判断实数根个数； 3.含参题型：已知根的情况（两个不等/相等/无实根），求参数取值范围；一元二次方程隐含a ≠ 0，极易遗漏； 4.逆向题型：已知方程根的情况，反向构造参数； 5.综合题型：结合代数式化简、三角形边长、等腰三角形、几何存在性问题。 （七） 易错点汇总 1.找a,b,c出错：忽略系数负号，例如2x 2 -5x-1=0中，b=-5,c=-1； 2.先算根再判断： Δ = b 2 -4ac <0时代入公式，错误写出虚数根（初中只研究实数根）； 3.含参题目漏掉a ≠ 0限制； 4.根式化简不彻底、约分错误； 5.混淆： Δ = b 2 -4ac =0是 “ 两个相等实数根 ” ，不能说只有一个根（初中标准表述）。 （八） 补充结论 1.若方程有两个相等实数根，则b 2 -4ac=0，此时x 1 =x 2 =- ； 2.判别式只和系数a,b,c有关，与未知数取值无关； 3.公式法是后续学习根与系数关系的基础。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1．用求根公式计算方程x2﹣3x+2＝0的根，公式中b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D． 2.（2025·盐城阜宁期末）一元二次方程判别式△的公式是（ ） A.△=b2+4ac B.△=b2-4ac C.△=4ac-b2 D.△=a2-4bc 3.（2025·苏州吴中期末）方程x2-2x-3=0的判别式的值为（ ） A.-8 B.8 C.16 D.4 4．x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 5．用公式法解方程x2+4x＝2，其中求得b2﹣4ac的值是（　　） A．16 B．±4 C．32 D．64 6．一元二次方程x2+4x+5＝0的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有一个实根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 7．下列方程中，没有实数根的是（　　） A．x2﹣2x﹣3＝0 B．（x﹣5）（x+2）＝0 C．x2﹣x+1＝0 D．x2＝1 8．一元二次方程x（x﹣2）＝3x根的情况是（　　） A．两个相等的实数根 B．一个实数根 C．两个不相等的实数根 D．无实数根 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m≤ C．m＜ D．m＞ 10．若关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜ B．k≤ C．k＞ D．k≥ 二．填空题（共30分） 11.（2025·盐城阜宁期末）方程x2-6x+5=0的判别式△=________。 12.（2025·苏州吴中期末）一元二次方程判别式△<0时，方程________实数根。 13.（2025·泰州姜堰期末）方程2x2-4x+2=0有________实数根（相等/不相等）。 14.（2025·扬州邗江期末）若方程x^2-ax+4=0有两个相等实根，则a=________。 15.（2025·连云港海州期末）方程4x2-1=0的c=________。 16.关于x的方程kx2﹣4x＝0有两个实数根，则k的取值范围是　 　． 17．若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，则k的取值范围是　 　． 18．若关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，则a的最大整数值是　 　． 19．已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　 　． 20．关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的系数满足ac＞0，则此方程的根x＝　 　． 三．解答题（共60分） 21．用公式法解一元二次方程： （1）x2+6x+4＝0． （2）3x2﹣4x﹣2＝0． （3）2x2+x＝6． （4）2a2﹣3＝﹣4a． （5）x2﹣2x﹣8＝0． （6）x2﹣2x+1＝0． 22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0． （1）当k＝3时，求一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的解； （2）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根． 23．已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）判断方程的根的情况； （2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长． 24．关于x的一元二次方程3x2+8x+m＝0． （1）当m＝5时，解方程； （2）当方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围． 25．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根． （2）等腰△ABC的底边长为2，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 26.我们规定：方程ax2＋bx＋c＝0的变形方程为a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝0.例如，2x2－3x＋4＝0的变形方程为2(x＋1)2－3(x＋1)＋4＝0. (1)直接写出方程x2＋2x－5=0的变形方程． (2)若方程x2＋2x＋m＝0的变形方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． (3)若方程ax2＋bx＋c＝0的变形方程为x2＋2x＋1＝0，请直接写出a＋b＋c的值． 27．设a，b，c是△ABC的三条边长，且关于x的方程(a＋b)x2＋2x＋a－b＝0有两个相等的实数根． (1)求证：△ABC为等腰三角形． (2)若a，b为方程x2＋2mx－6m＝0的两个根，求m的值． (3)试说明关于x的一元二次方程ax2＋x＋b＝0必有实数根． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．用公式法解方程x2－4x－2＝0，其中b2－4ac的值是(　　) A．16 B．24 C．8 D．4 2．下列方程有两个相等的实数根的是（　　） A．x2+0.09＝0.6x B．4y（y﹣1）﹣1＝0 C．x2﹣6+9x＝0 D．2y2+4y+3＝0 3.（2026·盐城盐都二模）方程ax2+bx+c=0中,△>0，则方程（ ） A.无实根 B.两相等实根 C.两不等实根 D.无法判断 4．若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（　　） A．0，﹣2 B．0，0 C．﹣2，﹣2 D．﹣2，0 5．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1 6．若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．﹣4 B． C． D．4 7．已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（　　） A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根 B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根 C．当p＜0时，方程没有实数根 D．方程的根的情况与p的值无关 8．用公式法解方程3x2＋4＝12x，下列代入公式正确的是 (　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 9．已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2且a≠0 D．a＞﹣2且a≠0 10、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 二．填空题（共30分） 11．关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　 　． 12.（2026·淮安淮阴二模）若一元二次方程2x2+mx+8=0判别式为0，则m=________。 13．方程2x2＋5x－3＝0的解是______________． 14．已知关于x的方程x2＋2(1＋a)x＋(3a2＋4ab＋4b2＋2)＝0有实数根，则b＝____． 15．现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是________． 16.对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝a2－2ab，如x※1＝1.。那么x的值为__________． 17．方程2x2﹣6x﹣1＝0的负数根为　 　． 18．一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是 　 　． 19．若x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则判别式Δ＝b2﹣4ac和完全平方式M＝（2a+b）2的关系是：Δ 　 　M．（填“＞”“＜”或“＝”） 20．若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两个根，则m的值为 　 　． 三．解答题（共60分） 21．解下列一元二次方程： （1）x2﹣4x+1=0； （2）2x2+3x﹣3=0． （3）（2x﹣1）2=（3﹣x）2； （4）． （5） （6） 22．已知关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m=0． (1)求证：不论m取何值，此方程总有实数根； (2)若m为整数，且方程的一个根小于2，请写出一个满足条件的m的值． 23．已知：关于x的方程x2﹣（k＋2）x＋2k=0 （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 24．观察下列方程： ①；②；③；④；⑤；… 上面每一个方程的二次项系数都是2，各个方程的解都不同，但每个方程的值均为1， （1）请你写出两个方程，使每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同． （2）对于一般形式的一元二次方程（a≠0，≥0），能否作出一个新方程，使与相等？若能，请写出所作的新的方程（，需用a，b，c表示），并说明理由；若不能，也请说明理由． 25．已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0，当m为何值时： (1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根. 26．关于x的方程 (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根． (2)若此方程的一个根为1，求m的值： (3)求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长 27．如图，在中，，所对的边分别为．将形如的一元二次方程称为“直系一元二次方程”． （1）请直接写出一个“直系一元二次方程”； （2）求证：关于的“直系一元二次方程”必有实数根； （3）若是“直系一元二次方程”的一个根，且，求的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $