2.2.1 直接开平方法解一元二次方程 同步练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 以直接开平方法为核心，通过基础巩固、能力提升、拓展应用三层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直接开平方法基本求解、根的概念|单选题1-3、填空题7-8，直接考查方程求解与根的简单性质| |能力提升|根的判别、参数取值、错误辨析|单选题4-6、填空题9-12，涉及含参数方程、平方根性质及解题规范性| |拓展应用|实际情境应用、整体思想、数学文化|解答题15-17，结合符号运算（第16题）、赵爽几何法（第17题），发展创新意识与应用能力|

2.2.1直接开平方法解一元二次方程 一、单选题 1．一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．已知2是一元二次方程x2﹣c＝0的一个根，则该方程的另一个根是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 3．如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（　　） A． B． C． D． 4．已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 5．若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 6．若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 二、填空题 7．方程的根为________． 8．已知是一元二次方程的一个根，则另一根是___________． 9．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是______． 10．阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容． 解方程： 解：∵，     ① ∴，      ② ∴．     ③ 上述过程中有没有错误？若有，错在步骤_____（填序号）；原因是_____________，正确的解是_____________． 11．若一元二次方程（）的两个根分别是与，则_______． 12．关于x的方程的根是，，（a，b，m均为常数，），则关于x的方程的根是___________． 三、解答题 13．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．用直接开平方法解方程： (1)； (2)． 15．对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如 ，若，求x 的值． 16．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：． 请借助整体思想完成： (1)计算． (2)，求的值． 17．三国时期的数学家赵爽在《勾股圆方图说》中记载了构造几何图形解一元二次方程的方法，以解一元二次方程为例： 将方程写成； 如图1，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即． 所以，．易得一个正实数根． 请用构造几何图形方法解决下列问题： (1)一元二次方程的一个正实数根为 ； (2)关于的一元二次方程（为常数），在所构造的图形中大正方形的面积为81，求出该一元二次方程的正实数根及的值．（在图2虚线框中画出构造的几何图形并标出相应的边长）． 第1页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【详解】解：， ∴， 解得：，， 故选：C． 2．B 【详解】解：把x＝2代入方程x2﹣c＝0得4﹣c＝0，解得c＝4， 方程为x2﹣4＝0， 所以x2＝4， 解得x1＝2，x2＝﹣2， 即该方程的另一个根是﹣2． 故选：B． 3．C 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 直接开平方得：或， 解得． 故选：C． 4．A 【详解】解：甲方程： ∴两边开平方得， 解得，因此甲有两个不相等的实数解； 乙方程：， ∵任意实数的平方都满足，不可能等于 ∴不存在实数使等式成立，因此乙无解； 综上，甲有两个不相等的解，乙无解． 5．C 【详解】解：解方程， 解得，， ，， A、，A选项错误； B、a与b不是互为相反数，B选项错误； C、，是17的算术平方根，C选项正确； D、，不是17的算术平方根，D选项错误． 6．D 【详解】解：设， 则原方程为， ． 7．， 【详解】解： 移项得 开平方得 解得，． 8． 【详解】解：将代入一元二次方程，得：， 解得：， ∴， 解得：， ∴另一根是， 故答案为：． 9． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 10． ② 正数的平方根有两个，它们互为相反数 ， 【详解】解：上述过程中有错误，错在步骤②， 原因是正数的平方根有两个，它们互为相反数， 正确的解答过程为：， ， ，． 故答案为：②；正数的平方根有两个，它们互为相反数；，． 11．1 【详解】解：∵方程的两个根分别是与， ∴， 解得：． 12．， 【详解】∵方程的根是，， ∴， ∴， ∴， ∴的根为， ∴， 故答案为：，． 13．(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴x2， ∴， 解得，； （3）解：∵， ∴， ∴， 解得，； （4）解：∵， ∴， ∴， 解得，． 14．(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 移项得，， 开方得，， ∴，； （2）解：， 化简得，， 开方得，， ∴，． 15．2 或 【详解】解：∵ 若，则 ， 解得或， 当时，与矛盾， ； 若，则， 解得或， 当 时，与 矛盾， ． 综上，的值为2 或． 16．(1) (2) 【详解】（1）解：． （2）解：， ， ． 令， ， ． 又，即， ， ． 17．(1) (2) ；该一元二次方程的正实数根为； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 如图所示，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即， ∴， ∴或， ∴或， ∴一元二次方程的一个正实数根为； （2）解：∵， ∴， ∴； 如图所示（见答案），大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即， ∵在所构造的图形中大正方形的面积为81， ∴，， ∴或，， ∴或， ∴该一元二次方程的正实数根为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $