北京教育学院附属丰台实验学校2027届高三年级上学期数学阶段性测试（一）

**基本信息** 本试卷为高三开学阶段性测试，通过方波科技情境、体质健康数据等真实素材，覆盖函数、三角、概率等核心知识，设置基础巩固到创新应用的能力梯度，培养数学眼光与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|集合、函数性质、三角函数定义|第10题以方波科技情境考查函数性质，体现应用意识| |填空题|5/25|定义域、二项式定理、函数零点|第15题多角度探究函数零点，培养逻辑推理| |解答题|6/85|三角函数应用、概率统计、导数综合|第19题结合体质健康数据考查期望与独立性，落实数据意识；第21题分层设问导数极值与零点，提升数学思维|

北京教育学院附属丰台实验学校 2027届高三数学学科阶段性测试（一） 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为90分钟。请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合，，则 （A） （B） （C） （D） 【答案】A （2）已知，则 （A） （B） （C） （D） 【答案】C （3）下列函数中，是偶函数又在上单调递减的是 （A） （B） （C） （D） 【答案】B （4）若，则 （A） （B） （C） （D） 【答案】D （5）已知，则函数的最小值为 （A） （B） （C） （D） 【答案】B （6）已知角的终边经过点，则 （A） （B） （C） （D） 【答案】C （7）在中，，若，则的大小是 （A） （B） （C） （D） 【答案】C （8）已知函数．则“”是“为偶函数”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】B （9）设函数得零点分别为则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A （10）方波是一种非正弦曲线的波形，广泛应用于数字电路、定时器、逻辑控制、开关电源等领域. 理想方波的解析式为，而在实际应用中多采用近似方波发射信号. 如就是一种近似情况，则 （A）函数是最小正周期为π的奇函数 （B）函数的对称轴为 （C）函数在区间上单调递增 （D）函数的最大值不大于2 【答案】D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）函数的定义域是_______． 【答案】 （12） 在的展开式中，常数项为_______．（用数字作答） 【答案】 （13） 三个数中最小的数是____． 【答案】 （14）已知函数，当时，函数的最大值为_______；若函数的最大值为，则常数的一个取值为______． 【答案】 （15）已知函数，给出下列四个结论： ①当时，恰有个零点； ②存在负数，使得恰有个零点； ③存在负数，使得恰有个零点； ④存在正数，使得恰有个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题13分） 是单位圆O上的点，点是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限．记且. （Ⅰ）求点坐标; （Ⅱ）求的值. 16. 解：（Ⅰ）设B点坐标为，则． …………2分 因为点B在第二象限，，即B点坐标为： …………8分 （Ⅱ）…………13分 （17）（本小题14分） 已知函数． （Ⅰ）求的极值； （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）因为，所以． ………2分 令，得． ………3分 ，的变化情况如下： ↘ 极小值 ↗ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为．………6分 从而的极小值为；无极大值． ………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，， ………11分 所以在区间上的最大值为，最小值为． ………13分 （18）（本小题14分） 已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求的单调递增区间. 【解析】（Ⅰ） 所以，的最小正周期. （Ⅱ）由得，所以的单调递增区间为. （19）（本小题14分） 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）： 立定跳远单项等级 高三男生 高三女生 优秀 及以上 及以上 良好 ~ ~ 及格 ~ ~ 不及格 及以下 及以下 从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）： 男生： 女生： 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． （Ⅰ）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率； （Ⅱ）从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望； （Ⅲ）从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明） 【解析】（Ⅰ）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为；估计高三女生立定跳远单项的优秀率为． （Ⅱ）由题设，的所有可能取值为．估计为； 估计为；估计为； 估计为．估计的数学期望． （Ⅲ）与相互独立．假设该校高三女生立定跳远单项的优秀率为当时，与相互独立；当且时，与不独立．证明如下：由题意，， ，由，得因为，可解得 （20）（本小题15分） 在中，. （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，的平分线交于，求的长. （17）（Ⅰ）由正弦定理， ………1分 得. ………3分 因为， 所以. 所以. ………4分 所以. ………5分 因为， 所以，. 所以. ………6分 所以. 所以. ………7分 （Ⅱ）因为. 因为为的平分线，所以， 根据， 有， 即，解得. ……… 【13分】 （21）（本小题15分） 设函数，其中． （Ⅰ）若曲线在处的切线与直线平行，求的值； （Ⅱ）当时，判断函数是否存在极值. 如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由. （Ⅲ）若函数有且只有一个零点，求的取值范围. 【解析】：（1）函数的定义域为，， 由题意得，所以，解得 （2） 当时，，定义域为 令，则 故在上单调递减，在上单调递增， 即恒成立，仅时，且两侧符号不变，故函数不存在极值 （3）设函数，． 求导，得. ① 当时， 由，得，所以在单调递增． 又因为，所以有且仅有一个零点，符合题意． ② 当时， 当变化时，与的变化情况如下表所示： 0 ↘ ↗ 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 故有且仅有一个零点，符合题意． ③ 当时， 令，解得． 当变化时，与的变化情况如下表所示： 0 ↘ ↗ 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，． 因为，，且在上单调递增， 所以 又因为存在 ，， 所以存在使得， 所以函数存在两个零点，1，与题意不符. 综上，曲线与有且仅有一个公共点时，的范围是，或. （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 高三数学试卷第10页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京教育学院附属丰台实验学校 2027届高三数学学科阶段性测试（一） 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为90分钟。请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合，，则 （A） （B） （C） （D） （2）已知，则 （A） （B） （C） （D） （3）下列函数中，是偶函数又在上单调递减的是 （A） （B） （C） （D） （4）若，则 （A） （B） （C） （D） （5）已知，则函数的最小值为 （A） （B） （C） （D） （6）已知角的终边经过点，则 （A） （B） （C） （D） （7）在中，，若，则的大小是 （A） （B） （C） （D） （8）已知函数．则“”是“为偶函数”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9）设函数得零点分别为则（ ） （A） （B） （C） （D） （10）方波是一种非正弦曲线的波形，广泛应用于数字电路、定时器、逻辑控制、开关电源等领域. 理想方波的解析式为，而在实际应用中多采用近似方波发射信号. 如就是一种近似情况，则 （A）函数是最小正周期为π的奇函数 （B）函数的对称轴为 （C）函数在区间上单调递增 （D）函数的最大值不大于2 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）函数的定义域是_______． （12） 在的展开式中，常数项为_______．（用数字作答） （13） 三个数中最小的数是____． （14）已知函数，当时，函数的最大值为_______；若函数的最大值为，则常数的一个取值为______． （15）已知函数，给出下列四个结论： ①当时，恰有个零点； ②存在负数，使得恰有个零点； ③存在负数，使得恰有个零点； ④存在正数，使得恰有个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题13分） 是单位圆O上的点，点是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限．记且. （Ⅰ）求点坐标; （Ⅱ）求的值. （17）（本小题14分） 已知函数． （Ⅰ）求的极值； （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值． （18）（本小题14分） 已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求的单调递增区间. （19）（本小题14分） 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）： 立定跳远单项等级 高三男生 高三女生 优秀 及以上 及以上 良好 ~ ~ 及格 ~ ~ 不及格 及以下 及以下 从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）： 男生： 女生： 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． （Ⅰ）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率； （Ⅱ）从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望； （Ⅲ）从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明） （20）（本小题15分） 在中，. （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，的平分线交于，求的长. （21）（本小题15分） 设函数，其中． （Ⅰ）若曲线在处的切线与直线平行，求的值； （Ⅱ）当时，判断函数是否存在极值. 如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由. （Ⅲ）若函数有且只有一个零点，求的取值范围. （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 高三数学试卷第10页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $