第15章 轴对称 典例精讲与强化训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以“典例精讲+强化训练”构建轴对称知识体系，通过问题递进与方法提炼培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精讲|3道|坐标特征分析、垂直平分线性质应用、截长补短法构造全等|从坐标变换到三角形性质，构建“概念-性质-综合应用”逻辑链| |强化训练|21题（单选10/填空6/解答5）|轴对称识别、对称点坐标规律、折叠性质迁移|覆盖基础辨析到复杂证明，体现“基础巩固-能力提升”层级|

第15章轴对称典例精讲与强化训练 典例精讲 1．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在第二象限，求的取值范围． (2)若将点向下平移6个单位得到点，此时两点关于轴对称，求点的坐标． 2．如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 3．根据题意解答下列问题： (1)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点在外，连接、、，且，过点作于点，请直接写出、、之间的数量关系． 小马同学的解题思路如下：如图，在上截取，连接，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为_______； (2)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； (3)【学以致用】如图，在中，，，点在边上，过点作交的延长线于点，延长至点，连接，使，连接交于点，若，，求的面积． 强化训练 一、单选题 1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．点关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，将三角形纸片按下列方式折叠，所得为中线的是（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，已知点，，下列说法正确的是（    ） A．与关于轴对称 B．与关于轴对称 C．与关于原点对称 D．将点向右平移个单位长度得到点 5．平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．如图，在中，，的中垂线交于点D，交于点E，连接，若的周长为7，且，则的周长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 7．如图，是等边三角形，动点D在线段上（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段，的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，关于结论I，Ⅱ下列判断正确的是（　　） 结论I：；结论Ⅱ：． A．只有I对 B．只有Ⅱ对 C．I，Ⅱ均对 D．I，Ⅱ均不对 8．如图，在中，平分，，，若，，则的长为（    ） A．16 B．18 C．14 D．12 9．如图，的外角的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点，连接，，则下列结论错误的是（    ） A．B． C． D． 10．如图在第一个中，，，在边上任取一点，延长到，使，得到第二个，再在边上任取一点，延长到，使，得到第3个…，如此类推，可得到第个等腰三角形．则第个等腰三角形中，以为顶点的底角的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，点与点关于______轴对称．（填“”或“”） 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，是关于直线的轴对称图形，则点的坐标为______． 13．如图，在中，点D在边上，连接，，，且满足，若，则______． 14．如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 15．如图，在中，边上的点到、边的距离相等，连接，，，，点、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为_____． 16．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以镜面为轴，镜面侧面为（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则________． 三、解答题 17．如图，在等边三角形中，于，于，，相交于点．求证：． 18．如图，在平面直角坐标系中，． (1)画出关于轴对称的，并直接写出点的坐标___________； (2)在轴上找一点使得最小，画出点所在的位置（保留作图痕迹，不写画法）． (3)点在轴上，且为等腰三角形，满足条件的点有___________个． 19．如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G．求证： (1)为等腰三角形． (2)是的垂直平分线． 20．已知中，，点P是上的一点，过点P作于点H． (1)如图1，___________ ．（用含α的式子表示） (2)如图2，是边上的高，点P为的角平分线与的交点，交于点Q． ①求证：； ②连接，求的度数． 21．如图1，在平面直角坐标系中，等边的边长为6，在轴上，点在轴上方，边交轴于点，点为边上一点，连接，已知点，点． (1)①___________，___________；（用含的式子表示） ②求证：； (2)如图2，连接，当为直角三角形时，求点的坐标； (3)如图3，过点作，且，当点在延长线上时，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 典例精讲解析 1．(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）第二象限内点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0，据此列出一元一次不等式组，解不等式组得到的取值范围． （2）根据平移规则写出点坐标，再利用关于轴对称的点的坐标特征列方程求出，回代算出点坐标． 【详解】（1）解：点在第二象限， ， 解得， 解得， ； （2）解：点向下平移个单位得到点，点的坐标为， ，即， ，关于轴对称，点的坐标为， ， 解得， 把代入得 ，， ∴点的坐标为． 2．(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据垂直平分线的性质得出，，即可证明，得出，，根据平行线的性质得出，，，根据平角的定义即可求出的度数； （2）根据的周长为，结合得出，根据的周长为得出，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵垂直平分， ∴，， 在与中，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为，， ∴， ∵的周长为， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 3．(1)； (2)解：，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等腰直角三角形， ∴平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）在上截取，连接，与交于点，然后证明，则有，再由等腰三角形的三线合一定理可得，从而有，即， （2）在上截取，连接，由等边三角形的性质可得，，，则有，再通过等边对等角可得，证明，所以，再证明为等边三角形，所以，则； （3）过作于点，证明，所以，，则有，然后证明，所以，最后通过即可求解． 【详解】（1）解：如图，在上截取，连接，与交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）略； （3）解：如图，过作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的面积为． 强化训练解析 1．B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．D 【分析】本题考查求关于y轴对称的点的坐标，掌握关于y轴对称的点的坐标的特征是解决本题的关键． 依据关于y轴对称的点的坐标特征进行求解即可． 【详解】解：∵关于y轴对称的点的坐标特征为纵坐标不变，横坐标互为相反数． ∵点． ∴该点关于y轴对称的点的横坐标为，纵坐标为，即坐标为． 故选D． 3．A 【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形的中线、高线及角平分线，熟练掌握折叠的性质、三角形的中线、高线及角平分线是解题的关键； 根据折叠的性质、三角形的中线、高线及角平分线的定义，逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A、由折叠可知，，则所得为的中线，符合题意； B、由折叠可知，，则所得不为的中线，不符合题意； C、由折叠可知，，即，则所得为的高，不符合题意； D、由折叠可知，，则所得为的角平分线，不符合题意； 故选：A． 4．A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称性质与平移规律，熟练掌握关于轴、轴、原点对称的点的坐标特征及点的平移规律是解题的关键。根据平面直角坐标系中关于轴、轴、原点对称的点的坐标特征，以及点的平移规律，逐一判断每个选项的正确性，从而选出正确答案。 【详解】∵关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 又∵点，的横坐标相同，纵坐标与互为相反数． ∴与关于轴对称，选项正确． ∵关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，而、横坐标相同． ∴选项错误． ∵关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数，而、横坐标相同． ∴选项错误． ∵将点向右平移个单位长度，横坐标为，得到的点为，不是点． ∴选项错误． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查坐标系中点的坐标的特征与轴对称，熟练掌握相关知识是关键． 关于轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数．先计算出对称的点的坐标，再判断象限即可． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为， ∵，， ∴点在第三象限． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是转化的周长． 根据垂直平分线的性质可得，则的周长为，再由，求解与的长即可． 【详解】解：∵的中垂线交于点D， ∴， ∴的周长为①， ∵②， ∴①②可得，，解得， ∴， ∵在中，， ∴， 则的周长为． 故选：C ． 7．C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得和，结合等边三角形的性质得，利用等边三角形的性质得和，结合已知即可证明，利用 “”可证，由全等三角形的性质可得，可得即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 则结论I对； ∵是等边三角形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ∴， 在和中， ， ， ，， ∴， 则结论Ⅱ对； 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定．延长交于点E，如图，证明，得到，，可得，由可得，进而可得答案． 【详解】解：延长交于点E，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：B． 9．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、角平分线的性质等知识；利用证明，可判断C正确；再利用证明，可判断B正确；由，，可判断D正确；由外角平分线与等腰三角形的性质，可判断A错误． 【详解】解：∵的垂直平分线过点D， ∴， ∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，故C正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，故D正确； ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故A错误， 故选：A． 10．D 【分析】本题考查了等边对等角、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，由等边对等角并结合三角形内角和定理得出，再由等边对等角并结合三角形外角的定义及性质计算得出，，即可得出规律，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， …， ∴第个等腰三角形中，以为顶点的底角的度数为， 故选：D． 11． 【分析】本题考查了关于轴的对称点的坐标特点，根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点与点的纵坐标均为，相同；横坐标分别为和，互为相反数， ∴点与点关于轴对称， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了坐标与图形、轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质可知，点和点到的距离相等，是3个单位长度，且轴，据此即可获得答案． 【详解】解：根据题意，点和点是关于直线对称的对应点， 它们到的距离相等，是3个单位长度，且轴， 点的坐标为， 点的坐标是． 故答案为：． 13．10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，三角形面积公式，作于点，交的延长线于点，证明，得出，结合直角三角形的性质可得，最后再由三角形的面积公式计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于点，交的延长线于点， ， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， 故答案为：． 14．/64度 【分析】本题主要考查轴对称，平行线的性质的应用，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质推出，由光的反射定律得到，求出，由直角三角形的性质求出，即可求出的度数． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由光的反射定律得到：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，根据题意，易得平分，在上截取，连接，证明，得到，进而得到，再根据垂线段最短，得到时，最短，利用面积公式求出的长即可. 【详解】解：在上截取，连接， ∵边上的点到、边的距离相等， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时的值最小为的长， 又∵垂线段最短， ∴当时，的值最小， ∵， ∴， ∵平分， ∴为的中线， ∴， ∴当时，， ∴, ∴的最小值为； 故答案为：. 16．1 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 根据平面镜成像原理，点与关于轴对称，根据对称的性质可列方程求出的数值，代入计算即可求解． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 17． 证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，点为中点，为中点， ∴，，平分 ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，30度的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质， 正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合为等边三角形，得，，又因为，，得出，，再证明，则，即可作答． 【详解】略 18．(1) 即为所求；； (2) 点即为所求： (3)4 【分析】本题考查了作轴对称图形，最短路径问题，等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质；能根据轴对称图形的性质，等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质进行作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）作点关于y轴的对称点，连接与y轴交点即为点，则，那么由两点间线段最短可得，故此时点P即为所求； （3）根据等腰三角形的定义及线段垂直平分线的性质进行作图，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，以A为圆心，长为半径作圆与y轴有两个交点，其中交点在直线上，所以另一个交点即为点；以C为圆心，长为半径作圆交y轴两个交点，即为点；作的垂直平分线交y轴的交点即为点，则满足条件的点F共有个， 故答案为：4． 19．(1) 证明：∵是的角平分线，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． (2)证明：由（1）知，为等腰三角形，是的角平分线， ∴，且平分， 即是的垂直平分线． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质． （1）根据角平分线的性质可得，可证明，得出，随即证得结论； （2）根据等腰三角形的性质，即可得证结论． 【详解】（1）略 （2）略 20．(1)α (2) ①证明：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∵点P为的角平分线与的交点，交于点Q， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ② 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，再根据直角三角形的性质即可求解； （2）①根据三角形内角和定理推出，利用角的和差得到，根据角平分线的定义得到，得到，推出是等腰直角三角形，即可证明； ②在上截取，连接，先证明，得到，进而证出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵点P是上的一点，于点H， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：①略 ②如图2，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 21．(1)①，； ②证明：由①得，， 又∵，， ∴， ； (2)或 (3) 【分析】（1）①由得到，求出，得到，然后结合求出； ②得到，证明，由全等三角形的性质证出； （2）分两种情况：①当时，，②当时，，由直角三角形的性质可得出答案； （3）在点的右侧截取，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，，，则可得出答案． 【详解】（1）①解：∵， ∴， ∵为等边三角形， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②略 （2）解：由题意得，， ①当时，， ∴， ∴， 解得， ∴； 当时，， ∴， ∴， 解得， ∴， 综合以上可得，点的坐标为或； （3）解：在点的右侧截取， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质，等边三角形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $