第13章 三角形 典例精讲与强化训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为逻辑链，通过典例分层精讲与梯度训练，系统整合三角形边、角及三线性质，强化抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精讲|3道|非负数性质判形状、三边关系求周长、作平行线辅助线、角平分线定义|从边的关系（等边三角形判定）到角的计算（内角和、外角性质），再到动态几何综合应用| |强化训练|21道（单选10+填空6+解答5）|三角形稳定性应用、中线面积性质、特征角分类讨论|覆盖基础概念（重心、外角定义）到综合探究（三分线新定义），形成完整知识网络|

第13章三角形典例精讲与强化训练 典例精讲 1．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 2．如图，B，F，E，C在同一条直线上，，若，求证：． 3．已知，点M在直线上，点N、Q在直线上，点P在直线之间，，平分． (1)如图1，求的度数（用含α的式子表示）； (2)如图2，过点Q作交的延长线于点E，过E作平分交于点F．请你判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若平分，请你判断与的数量关系，并说明理由． 强化训练 一、单选题 1．下列各组线段能组成一个三角形的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 2．若一个三角形的两边长分别是7，14，则它的第三边长不可能是（    ） A．8 B．12 C．15 D．21 3．如图，在中，D是延长线上一点，，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，已知点，，分别是边，的中点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 5．平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A．B． C．D． 6．如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，，分别是，上的点，与交于点，下列是的外角的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，为了让自行车更稳固，生产厂家把核心支架做成三角形的形状，其运用的数学知识是（    ） A．三角形的任意两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形三个内角的和等于 9．如图，是的中线，，则的面积是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 10．如图，三角形的面积为，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 二、填空题 11．如图，在等腰中，底边，若的周长为，请写出一个符合条件的的整数值：___________． 12．如图，为的外角，，，则度数为________． 13．如图，中，于点D，平分，交于点E，，，则_____． 14．如图，是的中线，，分别是的中线，若阴影部分的面积为，则的面积为__________． 15．如图，直线，的直角顶点落在直线上，若，则________． 16．当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_____． 三、解答题 17．在中，已知，，求的度数． 18．将下列推理过程补充完整，并在括号里填写这一步的根据，如图，，，求的大小． 解：（已知） ______ ______（等式的性质） 又______ ______（等式的性质） 19．如图，在中，，于点D，平分，交于点E． (1)当，时，求的度数； (2)求证：． 20．（1）如图甲，从经到 是一条柏油马路，是一条小路，人们从到，为什么不走柏油路，而喜欢走小路请你用学过的知识解释一下原因； （2）如图乙，从经到是一条柏油马路，由 经到是一条小路，人们从 步行到，为什么不走柏油路，而喜欢走小路请你用学过的知识解释一下原因． 21．如图1，在中，若，则称，分别为的“三分线”，其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． (1)如图2，在中，，．若的邻三分线交于点D，则 °； (2)如图3，在中，是的邻三分线，是的邻三分线．若，求的度数； (3)如图4，在中，是的外角，的三分线与的邻三分线交于点P．若，，求的度数．(用含的代数式表示) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 典例精讲解析 1．(1)等边三角形 (2)11或12或13 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形的三边关系结合c是整数即可求解； （3）根据三角形的三边关系得出，，，然后化简绝对值，再去括号合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴，即， ∵c为整数， ∴， ∴当时，的周长， 当时，的周长， 当时，的周长， ∴的周长是11或12或13． （3）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴，，， ∴原式 ． 2．证明：，，，， ， ∴． 【分析】根据三角形内角和定理并结合题意得出，再结合平行线的判定定理即可得证． 【详解】略． 3．(1) (2)解：，理由如下： 由（1）知，， ∵平分， ∴， 即， ， ． 平分， ． ∴在中，， ∴， ． (3)解：．理由如下： 由（1）知，， ∵平分， ∴, ， ∴． ∵， ∴， 平分， ． ∵， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【分析】（1）过点P作平行线平行于，因为，所以所作平行线也平行于，利用平行线的内错角相等性质，结合已知，即可得到的表达式． （2）由角平分线定义可得与的关系，由，利用平行线的同旁内角互补性质，得到与的数量关系；结合平分，以及（1）中得到的的数值，推导中两个角的和，进而判断与的位置关系． （3）由平行线性质和，可得，根据平行线性质和角平分线定义可得，根据三角形内角和定理得，由直角三角形两锐角关系得，即可求出的度数表达式，和的度数表达式 比较，即可得与的关系． 【详解】（1）解：如图①，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）略 强化训练解析 1．D 【分析】本题根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断时只需比较较短两条边的和与最长边的大小，即可得出结论． 【详解】解：A.∵，不满足三边关系， ∴ 不能组成三角形，不符合题意； B.∵，不满足三边关系， ∴ 不能组成三角形，不符合题意； C.∵，不满足三边关系， ∴ 不能组成三角形，不符合题意； D.∵，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，符合题意． 2．D 【分析】先根据定理求出第三边长的取值范围，再判断哪个选项不符合范围即可． 【详解】解：设三角形的第三边长为x， ∵两边长分别为7和14， ∴， 即， ∴第三边长不可能是21． 3．A 【分析】根据三角形的外角的性质，即可求． 【详解】根据三角形外角的性质可得． 4．C 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分面积，推出，即可． 【详解】解：∵点D，E分别为边，上的中点， ∴分别为的中线， ∴，， ∴； 故选：C． 5．B 【分析】本题考查重心． 根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由作图可知，为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线上，不符合题意； B．为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线上，符合题意； C．组合图形关于直线对称，重心一定在直线上，不符合题意； D．点为正方形的重心，点为长方形的重心，重心一定在直线上，不符合题意． 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义；根据三角形内角和定理求得的度数，根据角平分线的定义求出的度数，然后在中，利用三角形内角和定理求得的度数，根据即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 是的平分线， ， ∵是边上的高， ∴， ∴， ． 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了三角形外角的定义，掌握三角形的外角是解题的关键； 由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角，可知是的外角，即可解决． 【详解】解：∵三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角， ∴是的外角， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查了三角形的性质在实际生活中的应用，需要根据各个选项所涉及的三角形性质，结合车架的结构特点进行判断． 【详解】解：为了让自行车更稳固，生产厂家把核心支架做成三角形的形状，其运用的数学知识是三角形具有稳定性 故选：B． 9．B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线定理． 根据三角形的中线得出相等的边，然后根据等底同高得出三角形面积的关系． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∴的面积是， 故选：B． 10．C 【分析】本题考查了三角形的面积计算，将的面积看作是两个小三角形的面积之和是解答本题的关键． 连接，根据三角形的面积公式列出方程，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 11．17（答案不唯一，写出13~17中任何一个整数即可） 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，由，设腰长，可知，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边：，可得的取值范围，进而可得周长的取值范围，即可求解． 【详解】解：已知等腰，，且，设腰长， 可得：， 根据三角形三边关系，两边之和大于第三边：，即，得， ∴， 则，周长，可得， 即，因此，周长的整数值可以是 13、14、15、16、17 中的任意一个， 故答案为：17（答案不唯一，写出13~17中任何一个整数即可）． 12．/100度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，据此求解即可． 【详解】解：∵为的外角， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 13．/20度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，由角平分线的定义可得，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．6 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵，分别是的中线， ∴，， ∵是的中线， ∴，， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， 故答案为：6． 15．42 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据题意得到，，，等量代换即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 如图所示， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：42 ． 16．/40度 【分析】本题考查了三角形的新定义，三角形内角和定理，根据新定义求出的度数，再根据三角形内角和定理求出第三个角的度数，比较即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：∵特征角， ∴， ∴第三个内角度数为， ∴三个内角分别为， ∴最小内角为， 故答案为：． 17． 【分析】根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：在中，，， 又， 所以 解得． 18．；；； 【分析】根据平行线的性质以及三角形内角和定理进行求解． 【详解】解：（已知）， ， （等式的性质）， 又， （等式的性质）． 19．(1) (2) 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质． （1）先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 20．（1）三角形两边之和大于第三边； （2）如图，延长交于， 由三角形的三边关系得，， ， 所以，， 所以，， 所以，人们不走柏油路，而喜欢走小路． 【分析】本题考查了三角形的三边关系， （1）根据三角形的三边关系（或两点之间线段最短）即可求解； （2）延长交于，根据三角形的任意两边之和大于第三边可得，，然后相加即可得解． 【详解】（1）或两点之间线段最短 （2） 略 21．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角性质、角三分线的定义，同时涉及分类讨论思想与代数推导能力． （1）先根据“邻三分线”的定义求出，再利用三角形外角性质()计算； （2）先由三角形内角和得的度数，再根据三分线定义得到的比例关系，最后用内角和求出； （3）先由外角性质得，再分“为邻三分线”“为邻三分线”两种情况，结合外角性质分别推导的表达式． 【详解】（1）解：∵，是邻三分线， ∴． ∵是的外角，， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，∴． ∵是的邻三分线，是的邻三分线， ∴，． ∴． 在中，； （3）解：∵是的外角，∴． ∵是的邻三分线， ∴，． 情况1：如图，为的邻三分线 ∵是的邻三分线， ∴，． ∵是的外角，∴， 代入得，化简得． 情况2：如图，为的邻三分线 ∵是的邻三分线，∴． ∵是的外角，∴． 代入得，化简得． 故答案为：或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $