专题09 等边三角形的性质与判定问题的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建系统化训练体系，聚焦等边三角形性质判定及关联定理，通过典例变式实现方法迁移与思维进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|性质用三边等/三角60°/四心合一，判定用三边等/三角等/含60°等腰，作高构30°直角三角形|明确核心概念与方法，奠定基础| |题型归纳|7类（每类含典例+3变式）|求角用内角60°+外角定理，求边用30°直角三角形边比，多解题分类讨论位置，多结论题逐一推理|从单一性质应用到综合判定，逐步提升复杂度| |压轴挑战|选择+填空+解答（16题）|动态探究中结合旋转全等，综合题用性质判定互推|对接中考高频考点，强化复杂情境下的推理与模型应用|

专题09 等边三角形的性质与判定问题的七类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据等边三角形的性质求角 题型二、根据等边三角形的性质求边 题型三、与等边三角形有关的多解题 题型四、与等边三角形性质与判定的多结论题 题型五、等边三角形的性质和判定综合题 题型六、含30°角的直角三角形 题型七、斜边的中线等于斜边的一半 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及等边三角形边角计算、三线合一，常与旋转或全等结合考查动态探究。 - 解题方法：性质用三边相等、三角均为60°及四心合一；判定用三边相等、三角相等或含60°的等腰三角形；常作高线构造含30°的直角三角形。 - 易错提醒：混淆等边与等腰的判定条件；忽视“有一个角是60°的等腰三角形”这一关键判定；30°直角三角形中边比记错（短直角边是斜边一半）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据等边三角形的性质求角 典例1（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，是等边三角形，则___________度． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质可得，根据三角形的外角性质得到，，结合，推出，在中，根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型模版 1.特征：已知等边三角形，求角度或证明角相等，每个内角均为60°。 2.方法：直接利用等边三角形三内角为60°，结合外角定理或全等三角形推导其他角度。 变式1-1（25-26七年级上·山东济南·期末）如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 变式1-2（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，在等边三角形中，，分别是，上的动点（不在端点），且，交于点，则的大小为_____． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边三角形的性质得出相等的边和角，然后证明，得出，最后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1-3（25-26八年级下·全国·周测）如图，和都是等边三角形，连接，相交于点，则的度数是__________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键； 通过证明三角形全等得到角的关系，再利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：如图，设与相交于点． 和都是等边三角形， ，，， ， 即． 在和中 ， ． 又， ． 故答案为：． 题型二、根据等边三角形的性质求边 典例2（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则_____． 【答案】3 【分析】由等边三角形的性质得出，，即可得出，最后根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵为等边三角形，为的高， ∴，， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：已知等边三角形边长或高，求面积、周长或中线长，三边相等且高为√3/2倍边长。 2.方法：利用三边相等，作高线得30°-60°-90°直角三角形，边比为1:√3:2，列式求解。 变式2-1（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，的长为________． 【答案】5 【分析】利用等边三角形内角均为的性质，结合垂直条件，推导图中三个小直角三角形的非直角内角均为和，证明为等边三角形，得到，进而证明三个小直角三角形全等，设的长度为，根据直角三角形的边长关系，将、等线段用含的表达式表示，结合的条件，列关于的方程求解． 【详解】∵是等边三角形， ∴， 又∵，，， ∴， 可得三个小直角三角形中， ∴， 同理可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴，， 设， 则，， 在中，角对的直角边是斜边的一半， ∴， ∴ ， 解得， ∴． 变式2-2（25-26七年级下·海南海口·期末）如图，在等边中，点是边上的一点，关于成轴对称，则的度数是________°；点是边上任意一点，点是边上任意一点，若，则的最小值是________． 【答案】 90 4 【分析】①利用轴对称的性质即可求解；②先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵关于成轴对称， ∴． 如图，过点作于点，交于点， 连接， ∵关于成轴对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点与点重合，点与点重合时，的长为的最小值， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是4． 变式2-3（25-26七年级下·山西太原·期末）请运用“特殊化”策略完成本题：如图，点是等边三角形内任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别是，，，若，则的值为________． 【答案】9 【分析】根据点是等边三角形内任意一点，且最终结果为确定值，求出当点为等边三角形的三条高线的交点时，的值即可. 【详解】解：由题意，当点为等边三角形的三条高线的交点时， 由三线合一可知：为等边三角形三边的中点， ∴， ∴的值为9. 题型三、与等边三角形有关的多解题 典例3（25-26七年级下·四川成都·期末）在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为2，，则线段的长为________． 【答案】或 【分析】点在直线上，需分两种情况讨论，分别是点在线段的延长线和点在线段的延长线，过点作的垂线，利用等腰三角形三线合一，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质计算的长度． 【详解】解：当在线段的延长线上，在线段的延长线上时， 过作，垂足为点，则， ， 为的中点，即， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 则； 当在线段的延长线上，在线段的延长线上时， 过作，垂足为点，则， ， 为的中点，即， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 则， 综上，的值为或． 题型模版 1.特征：等边三角形在旋转或翻折中，点的位置变化导致多解，如点在内侧或外侧。 2.方法：分类讨论（如点在三角形内部、外部），结合等边三角形性质与全等，分别列方程求解。 变式3-1（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，等边边长为为上一点，．动点由出发以的速度沿边向点运动，同时动点由点出发以的速度沿边向点运动．若存在某一时刻使得与全等，则_____． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 设运动时间为，用含有t的式子将表示出来，再根据题意，分为和两种情况，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设运动时间为，则，，， 如图当时， 可得，， ，， ； 当时， 可得，， ， ， ； 综上所述，为或． 故答案为：或． 变式3-2（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等边，点D为射线上一点，连接，作，交直线于点E．若，则的长为_______． 【答案】4或8/8或4 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，角直角三角形的性质． 过点作于点，然后分两种情况讨论，点在线段上时或点在线段延长线上时，根据角直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，过点作于点， ∵等边， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在线段延长线上时，过点作于点， ∵等边， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：4或8． 变式3-3（25-26七年级下·江西九江·期末）在等边中，点是的中线上一点，，点是边上一点，若，则的度数为________． 【答案】 或或 【分析】根据等边三角形三线合一的性质，得到垂直平分，结合三角形内角和定理求出相关角的度数，分点在、、三种情况讨论，利用等腰三角形的性质计算的度数. 【详解】解：是等边三角形，是中线，点是上一点， ，平分，，， ， 在中，， ， ， ∴， 分三种情况讨论： ①当点在边上时， ， ， ； 当点在边上时，此时点和点重合， ∵， ； 当点在边上时， ，， ， ， ， 又， ； 综上：的度数为或或. 题型四、与等边三角形性质与判定的多结论题 典例4（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在直线AB的同一侧作和，和都是等边三角形，连接、交于点H，下列选项正确的序号是______． ①；②；③；④连接，则平分； 【答案】①②④ 【分析】根据和都是等边三角形，得出，可判断①②，根据和边上的高相等，可判断④． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ，故①正确； ， ， 又， ， 即，故②正确； 没有理由能证明，故③错误； ， 和边上的高相等，即点B到和边的距离相等， 平分，故④正确； 综上可知，正确的结论是①②④． 题型模版 1.特征：题干给出多个结论，需判断正误，综合等边三角形的性质与判定进行推理。 2.方法：利用三边相等、三内角60°及判定定理（如三边相等或三角相等）逐一推理论证或排除。 变式4-1（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）分别以的两边、向形外作等边和等边，、分别交、于点H、G，、相交于点F，连接并延长交于M点，则下列结论中正确的是______．（填序号） ①；②；③；④平分；⑤平分． 【答案】①②③⑤ 【分析】由等边三角形的性质可得，，，从而可得，再利用“”证明，即可判断①正确；由全等三角形的性质可得，即可判断②正确；由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理并结合对顶角相等即可判断③正确；作于，于，则，证明，再结合角平分线的定义即可判断⑤正确；由全等三角形的性质可得，再结合三角形外角的定义及性质即可判断④错误． 【详解】解：①和都为等边三角形， ∴，，， ，即， 在和中， ， ∴，①正确； ②， ，②正确； ③， ， 又，，， ，③正确； ⑤作于，于，如图所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， 平分，⑤正确； ， ， ，，只有时，，而不一定等于， 不一定等于，④不正确； 综上所述，正确的有①②③⑤． 变式4-2（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，已知等边三角形，点在上，点在的延长线上，于点于点交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是____．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，可以证，进而得出，据此可判断①，证明，，可知，可得，据此可判断②④；根据现有条件无法证明，则可判断③． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， , ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴． ∵ ∴，即．故④正确． 根据现有条件无法证明，故③错误； 故答案为：①②④． 变式4-3（25-26八年级上·河南开封·期中）如图，在等边中，于，是线段上一点，是边上一点，且满足，是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的结论是________．（填序号） 【答案】①②③④⑤ 【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质，有一角为的直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键．连接，如图，根据等边三角形的性质可得①符合题意；证明，可得，结合，进一步可得②符合题意；证明，可得， 可得③符合题意；证明，进一步可得④符合题意；求解，进一步可得⑤符合题意． 【详解】解：连接，如图    ∵是等边三角形， ∴， ， ∵， ∴，，故①符合题意； ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故②符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③符合题意； ∵，是的中点， ， 故④符合题意； ， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴，故⑤符合题意． 故答案为：①②③④⑤． 题型五、等边三角形的性质和判定综合题 典例5（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． (1)求证：是等边三角形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形； (2) 【分析】（1）可证得是等边三角形，由，得到，，即可证得是等边三角形； （2）由等边三角形、线段垂直平分线、等腰三角形的性质可求得，由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：综合运用等边三角形性质（三边相等、三内角60°）与判定（三边等或三角等）解题。 2.方法：先由边或角条件判定等边，再利用其性质求角度、边长或面积，结合全等、勾股定理综合推导。 变式5-1（25-26八年级下·内蒙古·期末）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2) (3)证明： ， ， 在和中， ，   ， ， 由（1）得，即 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由三线合一得到，由得，则． （2）先求得，由平移得，则，即可等量代换，则． （3）由，求得，可根据“”证明，得，而，所以，即可根据“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形”证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是的中点， ， ，垂足为， ， ， 的度数是． （2）解：，， ， ∵是由沿方向平移得到的， ∴ ∵， ， ， ， ∴的长是． （3）略 变式5-2（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，点为线段上一点．，是等边三角形，线段，交于点，线段，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：为等边三角形； (3)将绕点按逆时针方向旋转，其他条件不变，如图．试判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）． 【答案】(1)证明：，是等边三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ． (2)证明：， ， 又， ． 在和中， ， ， ， 为等腰三角形． 又， 为等边三角形． (3)结论（1）成立，结论（2）不成立 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）先证明，得出，再根据有一个角为的等腰三角形为等边三角形，即可证明结论； （3）证明，得出，即可证明结论（1）成立；根据旋转得出，从而得出，说明不可能是等边三角形，证明结论（2）不成立． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：结论（1）成立，结论（2）不成立； ，是等边三角形， ，，， ，即 在和中， ， ， ． 如图，交的延长线于点，交的延长线于点， 将绕点按逆时针方向旋转， ， 此时， 不可能为等边三角形． 变式5-3（25-26八年级上·辽宁大连·期末）在中，，是高，E是上一点． (1)如图1，若平分， ①求的度数；（用含的式子表示） ②求证：． (2)如图2，当，时，若点F在射线上，且，求的值． 【答案】(1)①； ②证明：如图1，在上取点，使得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)或． 【分析】（1）①求出，，根据即可求出答案；②在上取点，使得，证明，，即可得到； （2）画出图形，分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵是高， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②略 （2）如图，当时，过点C作垂足分别为， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴, ∴， 综上可知，的值为或． 题型六、含30°角的直角三角形 典例6（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 【答案】3 【分析】过P作于点D，则，从而得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的“三线合一”求出，从而根据线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过P作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵，，， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：直角三角形中含30°角，则30°所对直角边等于斜边一半，三边比1:√3:2。 2.方法：利用特殊角边比关系，已知任一边可求其余两边；或通过此关系证明线段倍数。 变式6-1（25-26八年级上·河北·期末）如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，，，，则的长度为______m． 【答案】8 【分析】利用等边对等角得出，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：，， ， ， 在中，， ， ． 变式6-2（2026·四川攀枝花·中考真题）在中，是边上的中线，，则的面积为_______． 【答案】 【分析】先根据中线定义求出长度，再过作构造含角的直角三角形，利用直角三角形性质求高，最后用三角形面积公式计算面积。 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， 过点作于， ∴， ∵，， ∴， ∴ 变式6-3（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】在上取一点，使得，连接，证明，将转化为，根据垂线段最短可知当、、三点共线且时，取得最小值，即点到的距离． 【详解】解：在上取一点，使得，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当点、、在同一条直线上且时，有最小值， 即的最小值为点到的距离， 过点作于点，则即为所求最小值， 在中，，， ， 在中，，，， ， 的最小值为． 题型七、斜边的中线等于斜边的一半 典例7（26-27八年级上·江苏无锡·开学考试）如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为2，8，则的长为_____ 【答案】 【分析】根据题意可得的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∵，点D为边的中点， ∴． 题型模版 1.特征：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，常用于求线段长或证明等腰三角形。 2.方法：取斜边中点，连接中点与直角顶点，利用斜边中线定理得相等线段，再结合角度关系求解。 变式7-1（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点和顶点分别在轴正半轴及轴正半轴上运动，若，，则在运动过程中，线段的最大值是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．取的中点E，连接，当O，E及C三点共线时，最大，此时，由勾股定理求出，，即可得出结论． 【详解】解：取的中点E，连接， 则， 当O，E及C共线时，最大， ，， ， ， ， 故答案为：． 变式7-2（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，中，，，，，线段的两个端点，分别在边，上滑动，且，若点M，N分别是，的中点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质．连接、 ，则当C，M，N三点在同一条直线上时，取最小值，根据直角三角形斜边中线的性质求得 ，，即可求得的最小值． 【详解】解：如图，连接、 ，则当C，M，N三点在同一条直线上时，取最小值， ∵，，，点M、N分别是，的中点， ∴ ，， ∴的最小值为． 故答案为：. 变式7-3（25-26八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则________． 【答案】6 【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定及性质，掌握相关的知识是解题的关键． 连接，，，由垂直平分线的性质得到，，从而由的周长是得到，根据，结合，，可得，证明，，得到，再由等腰三角形的“三线合一”与直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长是，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴点H是的中点， ∴． 故答案为：6． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，直线，等边三角形的顶点，分别在直线，上，直线与的夹角为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线交于点，首先根据等边三角形的性质可得，结合平行线的性质确定，进而可得，然后由“两直线平行，内错角相等”即可获得答案． 【详解】解：如下图，设直线交于点， ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图（1）是一把折叠椅实物图，如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），支架与交于点O，．椅面与地面水平线l平行，，，，则支架的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明为等边三角形，可得，，，从而得到为等边三角形，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·辽宁丹东·期末）如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质，结合，可以证出，从而得到．利用等量代换和外角的性质，求得．根据直角三角形的性质，得到，代入的值，求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在和中，，，，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点B到的距离不相等 【答案】D 【分析】先说明是等边三角形，可得即可解答A；再根据“边角边”证明，解答B，D；然后根据全等三角形的对应角相等得，再说明是等边三角形，可得，然后求出说明C即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴，则A正确； ∵ ∴， ∴点B到的距离相等， 则B正确，D不正确； ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，则C正确． 5．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）如图，和均是等边三角形，A，C，B三点共线，与相交于点P，与分别与，交于点M，N．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】利用等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵和均是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴，故①正确，符合题意； ②∵和均是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③由①得， ∴， 由②得， 又， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ④由③得， ∴，故④正确，符合题意； ⑤由③得，由②得， ∴为等边三角形， ∴，故⑤正确，符合题意； 故①②③④⑤五个结论全部正确． 二、填空题 6．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，点为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，交于点，若，则的度数为________． 【答案】/88度 【分析】先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 7．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，连接、相交于点，点在边上，连接交于点，．若，则的长为________． 【答案】2 【分析】首先根据、，可证是等边三角形，再证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知． 【详解】解：∵、， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 8．（25-26七年级下·海南海口·期末）如图，在等边中，点是边上的一点，关于成轴对称，则的度数是________°；点是边上任意一点，点是边上任意一点，若，则的最小值是________． 【答案】 90 4 【分析】①利用轴对称的性质即可求解；②先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵关于成轴对称， ∴． 如图，过点作于点，交于点， 连接， ∵关于成轴对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点与点重合，点与点重合时，的长为的最小值， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是4． 9．（25-26七年级下·山东东营·期末）如图，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推，若，则_____________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的判定定理得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ，， ，， ，， ，， 以此类推：． 10．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，已知，，点是射线上一动点（P与不重合），当以、、三点中某两点与点构成的三角形是等腰三角形时，的度数为______． 【答案】或或 【分析】分三种情况讨论（1）是等腰三角形（2）是等腰三角形（3）是等腰三角形，在此基础上再分别讨论三角形三条边中哪两条边相等，留下符合题意的情况． 【详解】解：（1）是等腰三角形： （i）， 由外角性质可求得， ， 又点在射线上， 点与点重合，与题意不符故舍去； （ii），如图所示， ∴， 则； （iii），如图所示， ∴， 则； （2）是等腰三角形： 三点共线， 不可能构成三角形，故舍去； （3）是等腰三角形： ， 有角的等腰是等边三角形， ， ， 示意图如下： 综上所述，或或． 三、解答题 11．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，是的高，点是的中点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，点是的中点， ， ， ， ， ， 是等边三角形； (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得垂直平分，得出，再求出，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，再由直角三角形的性质得出，再由点是的中点得到的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得是等边三角形， ，， ， ， ， ， ∵点是的中点， ． 12．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，，于点， ， ， 是等边三角形， (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知，又因为，则题目可证； （2）由已知可证，则即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，， ，       由（1）可知：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ，       ， 即的长为． 13．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在等边中，，与交于点P，，垂足为Q． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）先根据等边三角形的性质证明，可得，再证明，然后根据三角形外角的性质求出； （2）先根据直角三角形的性质求出，进而得出，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴； （2）解：在中，，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 14．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图①，已知是等边三角形，点E在线段上，点D在直线上，且，以为边作等边三角形，连接． (1)求证：； (2)写出，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图②，若点E在线段的延长线上，其它条件不变，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ； (2)；理由如下： 为等边三角形， ，， ， 即， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； (3) 【分析】（1）由和均为等边三角形，可得，，，两边同时减去公共角，推得，根据判定定理即可证明； （2）先借助第一问的全等结论得，再结合推导角相等，结合等边三角形的角度性质证得、，利用证明，得到，由等量代换得； （3）先同理由证，得；再结合推导对应角相等，用证，得．此时点在延长线上，，代入变形后可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ， 是等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ； ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即． 15．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）等边三角形中，为边上的高，点，分别为线段，上一点（点不与点，重合，点不与点，重合），所在直线交于点，将图形沿翻折，得到点的对应点； (1)如图1，若点落在上，则的度数为______；如图2，若点落在上，则的度数为_____； (2)如图3，若，求的度数； (3)若点落在延长线上时，请直接写出，和之间的等量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，根据等边三角形的三线合一定理可知；由折叠的性质可知，根据三角形内角和定理可知，由折叠的性质可知； （2）根据等边三角形的性质和折叠的性质可知，，根据折叠的性质可知，根据三角形外角的性质可得：； （3）延长交于点，根据等边三角形的性质和折叠的性质可得，根据三角形外角的性质可得． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 当点落在上时， 由折叠可知，， ， ； 是等边三角形， ， ， ， 由折叠可知，，， ， ； （2）解：是等边三角形， ， ， ，， ， ， 由折叠可知， ； （3）解：如下图所示，延长交于点， 是等边三角形， ， ， ， 由折叠可知， 是的外角， ， ， ， 是的外角， ． 16．（25-26七年级下·河南郑州·期中）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形． 【模型初现】 (1)如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ． A．    B．    C．    D． 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 (2)如图2，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边，、交于点，证明：，并求出的度数； 【模型深化】 (3)如图3，、是等腰直角三角形，，，，连接、，探究、的数量关系与位置关系，并给出证明； 【拓展延伸】 (4)如图4，是等腰直角三角形，其中，，，连接，请直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)C (2) 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∵，， ∴ ， ∵， ∴ ； (3) ，且， 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，设交于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴； (4) 【分析】（1）通过角的和差运算得到两边的夹角相等，结合已知的两组等边，可用判定三角形全等； （2）先利用等边三角形的边、角性质证得 ，再通过角的等量代换结合三角形内角和求出； （3）由角的和差得夹角相等证得 ，再通过角的转化证明两线夹角为，得出 ； （4）利用“同角的余角相等”推出，再代入的内角和定理得到三个角的数量关系． 【详解】（1）解：，，，符合“两边及其夹角对应相等”的全等判定定理； （2）略 （3）略 （4）解：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题9等边三角形的性质与判定问题的七类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据等边三角形的性质求角 题型二、根据等边三角形的性质求边 题型三、与等边三角形有关的多解题 题型四、与等边三角形性质与判定的多结论题 题型五、等边三角形的性质和判定综合题 题型六、含30°角的直角三角形 题型七、斜边的中线等于斜边的一半 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆ 同解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：涉及等边三角形边角计算、三线合一，常与旋转或全等结合考查动态探究。 解题方法：性质用三边相等、三角均为60°及四心合一；判定用三边相等、三角相等或含60°的等腰三角 形；常作高线构造含30°的直角三角形。 -易错提醒：混淆等边与等腰的判定条件，忽视“有一个角是60°的等腰三角形”这一关键判定：30°直角 三角形中边比记错（短直角边是斜边一半）。 夙题型归纳一精讲夹型惠法，夯尖解题根基 题型一、根据等边三角形的性质求角 典例1(25-26七年级下·上海·阶段检测)如图，在△ABC中，∠BAD=∠C，△ADE是等边三角形，则 ∠BAC= 度 1/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 题型模版 1.特征：已知等边三角形，求角度或证明角相等，每个内角均为60°。 2方法：直接利用等边三角形三内角为60°，结合外角定理或全等三角形推导其他角度。 变式1-1(25-26七年级上山东济南期末)如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC,BF=BD,则∠BDF 的度数是 变式1-2(25-26八年级上·湖北孝感·期末)如图，在等边三角形ABC中，D,E分别是AC,BC上的动 点（不在端点），且AD=CE,AE交BD于点F,则∠AFB的大小为一 D 变式1-3(25-26八年级下·全国·周测)如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD,CE相交于点F, 则LBFC的度数是 2/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、根据等边三角形的性质求边 典例2(25-26八年级下·四川达州·阶段检测)已知△ABC为等边三角形，BD为△ABC的高，延长BC至 E,使CE=CD=l,连接DE,则BE= B 题型模版 1.特征：己知等边三角形边长或高，求面积、周长或中线长，三边相等且高为√3/2倍边长。 2方法：利用三边相等，作高线得30°-60°-90°直角三角形，边比为1：√3：2，列式求解。 变式2-1(25-26八年级下河南平顶山期末)如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且 MP⊥AB,PMN⊥BC_MPN⊥AC,NAB=I5cmCM 的长为 cm 于点 于点， 于点，若 P M 变式2-2(25-26七年级下·海南海口·期末)如图，在等边△ABC中，点D是边BC上的一点，△ABC关于 AD成轴对称，则∠ADC的度数是 °；点E是边AD上任意一点，点F是边AB上任意一点，若 AD=4,则BE+EF的最小值是 D 变式2-3(25-26七年级下山西太原·期末)请运用“特殊化”策略完成本题：如图，点P是等边三角形 ABC内任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别是D,E,F,若AB=6,则AE+BF+CD的值为 3/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、与等边三角形有关的多解题 典例3(25-26七年级下四川成都期末)在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上， 且ED=EC.若△ABC的边长为2，AE=4,则线段CD的长为 题型模版 1特征：等边三角形在旋转或翻折中，点的位置变化导致多解，如点在内侧或外侧。 2方法：分类讨论（如点在三角形内部、外部），结合等边三角形性质与全等，分别列方程求解。 变式3-1(25-26八年级上河北秦皇岛期末)如图，等边△ABC边长为10cm,D为AB上一点，AD=8. 动点P由B出发以lcm/s的速度沿BC边向点C运动，同时动点Q由点C出发以acm/s的速度沿CA边向点A 运动.若存在某一时刻使得△DBP与aPC9全等，则a=一cms. 变式3-2(25-26八年级上黑龙江哈尔滨期中)已知等边△ABC,点D为射线BA上一点，连接DC,作 DE=DC BC AC=6,BE=2 交直线于点E.若 BD ,则的长为 变式3-3(25-26七年级下江西九江·期末)在等边△ABC中，点E是△ABC的中线AD上一点， ∠AEB=I0S°，点P是△ABC边上一点，若BE=EP,则∠BEP的度数为 4/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四、与等边三角形性质与判定的多结论题 典例4(25-26八年级下·广东梅州·期中)如图，在直线AB的同一侧作△ABD和△BCE,△ABD和△BCE都 是等边三角形，连接AE、CD交于点H,下列选项正确的序号是 ①AE=DC:②∠DHA=60°；③DH=HC:④连接HB,则HB平分∠AHC: B 题型模版 1.特征：题干给出多个结论，需判断正误，综合等边三角形的性质与判定进行推理。 2方法：利用三边相等、三内角60°及判定定理（如三边相等或三角相等)逐一推理论证或排除。 变式4-1(25-26七年级下·四川达州阶段检测)分别以△ABC的两边AB、AC向形外作等边△ABD和等边 △ACE,BE、CD分别交AC、AB于点H、G,BE、CD相交于点F,连接AF并延长交BC于M点，则 下列结论中正确的是 一.（填序号） ①△ADC≌△ABE;②BE=CD;③LDFB=6O°；④AM平分∠BAC:⑤FM平分∠BFC. 变式42(25-26八年级上河南南阳阶段检测)如图，已知等边三角形ABC,AB=2,点D在AB上，点 F在AC的延长线上，BD=CF,DE⊥BC于点E,FG⊥BC于点G,DF交BC于点P,则下列结论：① BE=CG:②△EDP≌aGFP:③∠EDP=60°；④EP=l.其中一定正确的是一·（填序号） 5/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D CG 变式43(25-26八年级上河南开封期中)如图，在等边△ABC中，AD1BC于D,E是线段AD上一点， F是边AB上一点，且满足CE=EF,G是BF的中点，连接EG,则下列四个结论：①BD=DC;② ∠CEF=120°，③ACE=∠BFE:④AE=2GE;⑤当∠AEF=15°时，∠BEC=150°.其中正确的结论 是 (填序号) 题型五、等边三角形的性质和判定综合题 典例5(25-26八年级下·陕西渭南期末)如图，在△ABC中，BA=BC,∠ABC=60°，点D是△ABC外一 点，连接AD、CD,DA=DC,过点D作DE∥BC分别交AB、AC于点E、F. B (I)求证：△AEF是等边三角形： (2)连接BD交AC于点G,若AB=15,DE=10,求AE的长. 题型模版 1.特征：综合运用等边三角形性质（三边相等、三内角60°）与判定（三边等或三角等）解题。 6/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2方法：先由边或角条件判定等边，再利用其性质求角度、边长或面积，结合全等、勾股定理综合推导。 变式5-1(25-26八年级下内蒙古期末)如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE1BC,垂足 为C,EF是由CD沿CE方向平移得到的，连接DF,已知EF过点A,BE交CD于点G. (I)求∠DCE的度数： (2)若EC=2,求AE的长度： (3)求证：△CEG是等边三角形 变式5-2(25-26八年级下江西吉安·阶段检测)如图1，点C为线段AB上一点.△ACM,△CBN是等边 三角形，线段AW,MC交于点E,线段BM,CN交于点F,连接EF. M 图1 图2 (I)求证：AN=BM: (2)求证：aCEF为等边三角形： (3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，如图2.试判断第(1)、(2)两小题的结论 是否仍然成立（不要求证明）· 变式5-3(25-26八年级上辽宁大连期末)在△ABC中，∠ABC=2∠ACB=2a,AD是高，E是BC上一点. 图1 图2 (I)如图1，若AE平分∠BAC, 7/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①求∠DAE的度数：（用含a的式子表示） ②求证：AC=CE+2DE」 BE (②)如图2，当a=15°，∠CAE=45o时，若点F在射线BA上，且CF=CE,求AB+AE的值. 题型六、含30°角的直角三角形 典例6(26-27八年级上·全国开学考试)如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=8,点M,N在 边OB上，PM=PN.若MN=2,则OM的长是一. A 0460 MNB 题型模版 1.特征：直角三角形中含30°角，则30°所对直角边等于斜边一半，三边比1：√3：2 2方法：利用特殊角边比关系，已知任一边可求其余两边；或通过此关系证明线段倍数。 变式6-1(25-26八年级上河北期末)如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AD,AB=BD, ∠ABD=120°，BC=4m,则AB的长度为 m B 变式6-2(2026四川攀枝花中考真题)在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=2,BC=6,∠B=30°， 则△ABD的面积为 30° D 变式6-3(25-26八年级下·辽宁铁岭期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10,∠ABC=60°， ∠BAC的平分线AD交BC于点D,E、F分别是AD和AC上的动点，则CE+EF的最小值是 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型七、斜边的中线等于斜边的一半 典例7(26-27八年级上江苏无锡开学考试)如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm)测量某三角形部 件的尺寸.已知∠ACB=90°，点D为边AB的中点，点A,B对应的刻度分别为2,8，则CD的长为 B 中可 0123456789 题型模版 1特征：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，常用于求线段长或证明等腰三角形。 2方法：取斜边中点，连接中点与直角顶点，利用斜边中线定理得相等线段，再结合角度关系求解。 变式7-1(25-26八年级上江苏苏州阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点A和顶 点B分别在y轴正半轴及x轴正半轴上运动，若AB=8,AC=6,则在运动过程中，线段OC的最大值是 B 变式7-2(25-26八年级上江苏泰州：阶段检测)如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=8,BC=6, 线段DE的两个端点D,E分别在边AC,BC上滑动，且DE=5,若点M,N分别是DE,AB的中点， 则MN的最小值为一 9/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D /M ◇ C E B 变式7-3(25-26八年级上四川绵阳阶段检测)如图，△ABC中，∠BAC=135°，AB,AC的垂直平分线 相交于点P,分别交BC于点E,F,与AB,AC分别交于点D,G.PH⊥BC,若△AEF的周长是I2Cm 则PH=」 cm 同压轴挑战一攻克满难压热，突破思维上限 一、单选题 1.(25-26七年级下重庆南岸·期未)如图，直线I∥m∥n,等边三角形ABC的顶点B,C分别在直线m, 1上，直线I与BC的夹角为35°，则∠I的度数为() n B 心 357 C A.15° B.20° C.25° D.35 2.(25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测)如图(1)是一把折叠椅实物图，如图(2)是椅子打开时的侧 面示意图（忽略材料的厚度），支架AB与CD交于点O,OD=OB.椅面MN与地面水平线1平行 (4CIDB)BD=2AC,∠CA0=60°，BD=20cm,则支架4B的长度为() 10/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MA CN 凳面水平线 地面水平线1 D B (1) (2) A.25cm B.20cm C.15cm D.30cm 3.(25-26八年级下辽宁丹东期末)如图，等边△ABC,BG=CF,AG与BF交于点D,AE⊥BF于点 E,若AD=9,则DE的长为() D E B G 9 B.2 1 A.4 C.3 D. 4.(25-26七年级下·陕西咸阳期末)如图，在△ABC和△BPE中，AB=BC,BP=BE, ∠ABC=∠EBP=60 ，点P在BC的延长线上，BC的延长线交MP于点M连接BM,则下列结论错误的 是() A.∠ACP=120° B.△ABP≌△CBE C.∠PME=60° D.点B到AP,CE的距离不相等 5.(25-26七年级下·辽宁丹东期末)如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A,C,B三点共线，AE与 BD相交于点P,AE与BD分别与CD,CE交于点M,N.有下列结论：①△ACE≌ADCB;②DC∥EB, 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③CM=CN:④EM=BN;⑤∠CMN=60°.其中正确结论的个数是() B.2 C.3 D.5 二、填空题 6.(25-26八年级下山东烟台期末)如图，在△ABC中，AB=AC,点D为BC上的一点，∠BAD=32° 在AD的右侧作△ADE,使得AE=AD,∠DAE=∠BAC,连接CE,DE交AC于点O,若CEI‖AB,则 ∠DOC的度数为 D 7.(25-26八年级下陕西咸阳·阶段检测)如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6,BC=DC, ∠BAD=60°，连接AC、BD相交于点G,点E在边AD上，连接CE交BD于点F,CE‖AB,若CE=4, 则EF的长为 8.(25-26七年级下海南海口期末)如图，在等边△ABC中，点D是边BC上的一点，△ABC关于AD成 轴对称，则∠ADC的度数是_°；点E是边AD上任意一点，点F是边AB上任意一点，若AD=4, 则BE+EF的最小值是 12/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(25-26七年级下山东东营期末)如图， ∠M0N=30,点4、么、4在射线ON上，点8、B B 在射线OM上.△M公4、△4品4、△4B,4“均为等边二角形，从左起第1个等边三角形的边长 记为，第2个等边三角形的边长记为”以此类推，若 041=102026= ,则 B3 M B2 B AA A3 A4 10.(25-26七年级下江西吉安期末)如图，己知∠A0B=30°，∠4BM=60°，点P是射线OM上一动点 (P与B不重合)，当以A、O、B三点中某两点与P点构成的三角形是等腰三角形时，∠OAP的度数为 M 三、解答题 11.(25-26七年级下山东烟台期中)如图，BD是△ABC的高，点D是AC的中点，过点D作AB的垂线 交AB于点E,交BC的延长线于点F,∠F=30°. E 13/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△ABC是等边三角形： (2)若AE=1,求AB的长 12.(25-26七年级下山东济南期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD1BC于点G, 且AD=AB,E,F分别是边AB,AC上的点，且∠BDE=∠ADF. D (1)求证：△ABD是等边三角形： (2)若AB=AC=11,CF=8,求BE的长. 13.(25-26八年级上~四川南充期中)如图，在等边△ABC中，BD=CE,AD与BE交于点P,A0⊥BE ,垂足为Q. B D (L)求∠APO的度数： (2②)若PD=1,P2=3,求BE的长. 14.(25-26八年级上广东江门阶段检测)如图①，已知△4BC是等边三角形，点E在线段AB上，点D 在直线BC上，且ED=EC，,以EC为边作等边三角形ECF,连接AF. A E D D B B ① ② 14/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△BCE≌△ACF: (2)写出AB,DB,AF之间的数量关系，并说明理由 (3)如图②，若点E在线段AB的延长线上，其它条件不变，直接写出AB,DB,AF之间的数量关系. 15.(25-26七年级下·辽宁沈阳·期末)等边三角形ABC中，CN为AB边上的高，点D,E分别为线段 CN,CB上一点（点D不与点C,N重合，点E不与点B,C重合），DE所在直线交AC于点F,将图 形沿EF翻折，得到点C的对应点C”； B E 图1 图2 图3 备用图 (1I)如图1，若点C'落在AC上，则∠FEC的度数为. 一；如图2，若点C落在CN上，则∠FEC的度数 为一 (②)如图3，若DC‖AB,求∠FEC的度数： (3)若点C'落在NB延长线上时，请直接写出∠NDC',∠BEC'和∠NCB之间的等量关系， 16.(25-26七年级下·河南郑州：期中)在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同 的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形。 B B 图1 图2 图3 图4 【模型初现】 (I)如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,则 ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即LBAD=LCAE,所以△ABD≌△ACE,以上判定全等的依据是_： A SSS B.ASA C SAS D AAS 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 15/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【模型运用】 (2)如图2，已知A、B、C三点共线，分别以AB、BC为边向外作等边△ABD和等边△BCE,AE、CD交 于点2，证明：AE=CD,并求出∠EC的度数： 【模型深化】 (3)如图3，△ABC、△ADE是等腰直角三角形，∠CAB=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,连接BD、 CE,探究BD、CE的数量关系与位置关系，并给出证明； 【拓展延伸】 (4)如图4，△ABC是等腰直角三角形，其中∠BAC=90°，AB=AC,BD⊥AD,连接CD,请直接写出 ∠ABD、∠ADC、∠ACD之间的数量关系. 16/16