专项巩固训练卷(七) 与相似有关的动态变换问题-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学全程时习测试卷（北师大版·新教材）

由(1)得△ABE∽△ECD, 器器音-品0 3 (3)解：线段AD,AB,CD之间的数量关系为AD=AB+CD 理由：如答图，过点E作EF⊥AD于点F. .·△AED∽△ECD,∴.∠ADE=∠EDC. ,DC⊥BC,∴.EF=EC .'DE=DE,∴.Rt△DFE≌Rt△DCE, .DF =DC. 由(1)得△ABE∽△ECD. 7题答图 又.△AED∽△ECD,∴.△ABE∽△AED, 同理可得△ABE≌△AFE,.AF=AB, ∴.AD=AF+DF=AB+CD 8.(1)证明：.·CD⊥AB,.∠ADC=90 .∠ACB=90°，∴.∠ADC=∠ACB. ∠A=∠A,.△ACD△ABC. (2)解：∠ACB=90°，AC=3,BC=4, .AB=√AC2+BC=5. Sae=74CBC=24BCD, AC·BC=AB·CDCD=AC.BC=12 AB 5 :D1AB,m=Bc-⑦=√4-（皆-9 9.证明AB·AE=AD·AC,ADA正 、ABAC .·∠EAC=∠DAB, ∴.∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE,即∠BAC=∠DAE, ∴.△ABC∽△ADE. 10.（1)证明：如题图①， D为边AB的中点，E为边BC的中点， .BD=BE BD_BA BA=BC·BE=BC 如题图②，根据旋转的性质，可知品-2依然成立，且 ∠DBE=∠ABC, ∴.∠DBA=∠EBC,∴.△BDA∽△BEC (2)解：∠AGC的大小不发生变化. 由(1)易得△BDA△BEC,∴.∠DAB=∠ECB. :∠DAB+∠AOG+∠AGC=180°， ∠ECB+∠COB+∠ABC=180°，∠AOG=∠COB, ∴.∠AGC=∠ABC=30° 11.解：(1)CM=√2BP (2)CM与BP的数量关系不变.理由如下： 当n=2时，AB=2BC,由勾股定理可得AC=√BC+AB2 -V3+8-, .AC-5 ·AB21 由题意知∠ABC=∠APM=90°，∠MAP=∠CAB, ·△APM∽△ABC,-AM=AC' 、APAB 参考答案及解析 由旋转，得∠PAB=∠MAC, A4Ba4C0-8-9CM=即 (3)AB=4,AP=2, .BC=2,PM=1,由勾股定理可得AC=25,AM=√5. :△APM绕点A顺时针旋转至B,P,M三点共线， .∠APM=90°，PM=1,∠APB=180°-90°=90°， .BP=√AB2-AP=√42-2=25. 当△APM旋转至直线AB上方时，如答图①， 则BM=BP+PM=2√3+1； 当△APM旋转至直线AB下方时，如答图②， 则BM=BP-PM=23-1. 综上所述，线段BM的长为2√5+1或2√3-1. C M 11题答图① 11题答图② 专项巩固训练卷（七） 与相似有关的动态变换问题 1.（1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠B=∠C=90° 根据折叠性质知LA=∠DFE=90°， ∴.∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠DFC=90°， ∴∠BEF=∠DFC,.△EFB△FDC. (2)解：由折叠性质知AD=DF=10,AE=EF CD=6,.CF=√DF2-CD=√102-6=8. .·四边形ABCD是矩形，.AD=BC=10,AB=CD=6, ∴.BF=BC-CF=10-8=2. 设BE=x,则EF=AE=AB-BE=6-x. EF2=BE2+BF2,.(6-x)2=x2+22, 解得=号E=号 8 2.（1)证明：由平移，得AB∥CD,AB=CD, .四边形ABCD是平行四边形， .∠B=∠ADC. (2)①獬：AB∥CD,.∠B=∠DCF=. ,·∠DFE是△DCF的一个外角， ∴.∠DFE=∠DCF+∠CDF. .·∠DFE=∠EDF, ∴.∠CDE=∠CDF+∠EDF=∠CDF+∠DFE=∠CDF+ ∠DCF+∠CDF=2∠CDF+∠DCF 点C与点C关于直线DG对称， ∠cG=LCDG=2LC0E=(2Lc0F+∠DcN) LCDFLDCF. A∠cDG-LCDF=2LDcP, ·15· 全程时习测试卷·九年级数学·北师版·上册 ∠Fmc=7∠DcF=2, LFDG的度数为2a ②证明：如答图，过点G作GH∥CD,交DE于点H,连 接GC'. 2题答图 GH∥CD,.∠DCG=∠HGE,∠CDH=∠GHE, +△cDE△GE,呢-9器 .点C与点C关于直线DG对称， .易得△CDG≌△C'DG, .∴.CG=C'G,∠DCG=∠DC'G,.∠DC'G=∠HGE 又，∠GHE=∠GHC',.△HCG△HGE, 品-器…器-品 3.解：(1)如答图①，延长DF交BE于点G 在正方形ABCD和等腰直角△AEF中， AD=AB,AF=AE,∠BAD=∠EAF=90°， ∴.∠FAD=∠EAB, .△FAD≌△EAB ∠APD=LAB,F=E,即28器=1 3题答图① .·∠AFD+∠AFG=180°，∴.∠AEG+∠AFG=180°. ∠EAF=90°，∴.∠EGF=360°-180°-90°=90°， .DG⊥BE,B=90° (2)如答图②，延长DF交EB于点H. A0=2M8,AP-28-能=2 .·∠BAD=∠EAF=90°，∴.∠FAD=∠EAB AFD△EMB,器-装-2，∠AD=∠AB, 脹=分 ∠AFD+∠AFH=180°，.∠AEH+∠AFH=180°. ∠EAF=90°，∴.∠EHF=360°-180°-90°=90°， .DH⊥BE,B=90 3题答图② 3题答图③ (3)如答图③，延长DF交EB的延长线于点H. @AD=M0,4F=Mc≠0,0-5=k :∠BAD=∠EAF=a,∠FAD=LEAB, ∴△0△Ba…E-能-器-名 ②+B=180°. ·16 4.解：如答图所示，过点P作PM⊥BC于点M. 设AQ,CP交于点N. :∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm, .∴.AB=10cm. 由题意，得BP=3tcm,CQ=2tcm A .·易得△PBM∽△ABC, 4题答图 殿器兴酷兴袋 PW=号m,aM-号em, Mc=Bc-M=(8-2号判m AQ⊥CP,∴.∠ANC=90°，∴.∠NAC+∠NCA=90°. .·∠PCM+∠NCA=90°，∴.∠NAC=∠PCM. 又：∠ACQ=∠PMC=90°，.△ACQ∽△CMP, 002,号解得0（合去）政2 放：的值为号 5.证明：(1)AB=AC,.∠B=∠C. .·∠BED=180°-∠B-∠BDE,∠CDF=180°-∠EDF- ∠BDE,∠EDF=∠B, .∴.∠BED=∠CDF,∴.△BDE∽△CFD. (2)如答图，连接EF △BDE△CFD,:BD=DE CE ED CD_DE D是BC的中点，….BD=CD,CF=FD .·∠C=∠EDF,∴.△DEF∽△CDF, 5题答图 .∠DFE=∠CFD,∴.FD平分LEFC, ∴.点E关于直线DF的对称点在直线AC上 6.解：(1)36 2 ·[解析]如答图①，过点D作DF∥AB交BC于点F B 6题答图① DF∥AB,PQ∥AB,∴.PQ∥DF. AD∥BC,.四边形ABFD是平行四边形. .AD=BF=6,..CF BC-BF=6. 设当PQ∥AB时，点P离开点D的时间为t秒. .∴.DP=t,CQ=2t,PC=5-t,易知△DFC∽△PQC, -甲克会解保4= 15 (3)过点D作DE⊥BC于点E,则CE=3.当以P,Q,C为顶 点的三角形是直角三角形时，分两种情况： ①当PQ⊥BC时，如答图②，设点P离开点D的时间为x, 秒，则DP=x1,CP=5-x1,QC=2x1 .·∠PQC=∠DEC=90°，∠C=∠C,∴.△QCP∽△ECD, …需瓷解得 故当P0LBC时，点P离开点D的时间为吕秒： Q 6题答图② 6题答图③ ②当QP⊥CD时，如答图③，设点P离开点D的时间为x 秒，则DP=x,PC=5-x,QC=2x. ∠QPC=∠DEC=90°，∠C=∠C,∴.△QPC∽△DEC, 小瓷%即行解得点 25 放当QP1CD时，点P离开点D的时间为空砂 综上所述，当以P,Q,C为顶点的三角形是直角三角形时， 点P离开点D的时间为秒或票秒 7.（1)证明：.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC, .∠B=∠C=45. .·∠B+∠BPE+∠BEP=180°， .∴.∠BPE+∠BEP=135° .·∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°， .∠BPE+∠CPF=135°，∴.∠BEP=∠CPF. 又，∠B=∠C,.△BPE△CFP. (2)解：△BPE与△CFP相似.理由： 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,.∠B=∠C=45°. ∠B+∠BPE+∠BEP=180°， .∠BPE+∠BEP=135°. .·∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°， .∠BPE+∠CPF=135°，∴∠BEP=∠CPF. 又.∠B=∠C,∴.△BPE∽△CFP (3)解：不相似.动点P运动到BC中点位置时，△BPE与 △PFE相似. 理由：同(2)可证△BPE∽△CFP,则CP:BE=PF:EP. .·CP=BP,∴.PB:BE=PF:PE. 又，∠EBP=∠EPF,∴.△BPE∽△PFE 8.(1)解：45 (2)证明：BA=BC,∠B=120°，∴.∠A=∠C=30° .PG=PC,∴.∠C=∠CGP=30°， ∴.∠APG=60°，∠A=∠PGF=30° ∠EPF=60°， ∴.∠EPF-∠EPG=∠APG-∠EPG ∴.∠APE=∠GPF,∴△AEP∽△GFP. (3)解：如答图，过点P作PG⊥BC,垂足为G,过点P作PH ⊥AB,垂足为H. .·∠D=∠BAD=∠B=90° G .四边形ABCD是矩形 .·AD=CD,∴.矩形ABCD是正方形， ∴.∠PAH=∠PCG=45. 8题答图 .·PG⊥BC,PH⊥AB, .∴.∠PHA=∠PHB=∠PGB=∠PGC=∠B=90°， .LHPG=90°，△APH△CPG,.5=p2 参考答案及解析 ,·∠EPF=90°，∴.∠EPH=∠FPG, PH PE.PE PA △EPI∽△FPG,.PG-PE PF-CP ~04C=A+Pc贤号 .1203 :PF=120m,心PE=7’ .PE=280m, 1 Sa8=2×120×280=16800(m2). 期中综合测试卷 1.B2.C3.C4.B5.C6.C7.A8.C9.C 10.C[解析]如答图，延长A, D AE交BC的延长线于点 G..·四边形ABCD为正方 形，.AD∥BC,∴.∠DAE B =∠G.:E是CD的中 G 点，.DE=CE.在△ADE 10题答图 ,∠DAE=∠G, 和△CCE中，∠AED=∠GEC,.△ADE≌△CCE(AAS), DE =CE, .AD=GC,AE=GE..·AE平分∠DAF,∴.∠DAE= ∠FAE,∴.∠FAE=∠G,∴.AF=FG=GC+CF=AD+CF, 故①正确；设CF=x,.AF=FG=2+x,BF=2-x.在 Rt△ABF中，由勾股定理，得AB+BF2=AF2=FG,即 2+(2-)2=(2+刻，解得x=分AP=2+=3,故 ②正确；.AE=EG,AF=FG,.FE⊥AG,∴.△AEF是直角 三角形，故③正确；，点B关于对角线AC对称的，点是点D, 连接DP,DF,.BP=DP,BP+PF=DP+PF≥DF,.当 点D,P,F共线时，PB+PF的值最小，最小值为DF的长 在R△CDF中，由勾殿定星，得DF=CP+CD-子，即 DF=PB+PF的最小值为④特说龄上 所述，正确的结论有3个. 11.-112.AE=AF(答案不唯一)13.6√7或2414.3 15.2或1[解析]E是BC的中点，AB=BC,.AB=2BE. 又：△ABE与以M,N,D为顶点的三角形相似，.分两种 情况：①DM与AB是对应边时，DM=2DN,.∴.DM+DW2 =MN=5,即Dr+DM-5,解得DM=-2;②DN与AB 是对应边时，DM=之DN,DM+DN=MN=5,即 DM+4DM=5,解得DM=1.综上所述，当DM为2或 1时，△ABE与以M,N,D为顶，点的三角形相似. 16.獬：(1)3x2-4x-1=0,a=3,b=-4,c=-1, 4=b2-4ac=(-4)2-4×3×(-1)=28, ÷x=-6±√8-4ac_4±282±万 2a 2×3 3； =2+万=2-万 3= 3 ·17.专项巩固训练卷（七） 与相似有关的动态变换问题 ◆类型一相似三角形中的平移、翻折、旋转 1.(安徽六安期末)如图，将矩形纸片ABCD(AD>DC)沿着过点D的 直线折叠，使点A落在BC边上，落点为F,折痕交AB边于点E. (1)求证：△EFB∽△FDC; (2)若AD=10,CD=6,求BE的长 1题图 2.如图，将线段AB平移得到CD,点A与点D对应，点B与点C对 应，连接AD,BC. (1)求证：∠B=∠ADC; (2)点G在BC的延长线上，点C与点C'关于直线DG对称，直线 DC交BC的延长线于点E.点F在线段CE上，且∠DFE =∠EDF ①设∠B=,求∠FDG的度数（用含a的代数式表示）； CG CD ②求证：GE-DE 2题图 3.(山东济南期末) (1)如图①，正方形ABCD与等腰直角△AEF有公共顶点A,∠EAF =90°，连接BE,DF,将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直 线BE,DF相交所成的角为B,则 DE ,B= (2)如图②，矩形ABCD与Rt△AEF有公共顶点A,∠EAF=90°，且 AD=2AB,AF=2AE,连接BE,DF,将Rt△AEF绕点A旋转，在 旋转过程中，直线BE,DF相交所成的角为B,请求出二的值及 角B的度数； (3)如图③，若平行四边形ABCD与△AEF有公共顶点A,且∠BAD =∠EAF=x(0°<<180)，AD=kAB,AF=kAE(k≠0)，连接 BE,DF,将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE,DF相 交所成的角为B,则： 0器 ； ②请直接写出α和B之间的关系. 3题图① 3题图② 3题图③ 九年级数学 北师版 上册第23页 见此图标目园即刻扫码 分层训练助力学习进阶「 类型二相似中的动点问题 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,动点P从 点B出发，在BA边上以3cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点 Q从点C出发，在CB边上以2cm/s的速度向点B匀速运动，运动 时间为ts(0<t<2),连接PQ,AQ,CP.当AQ⊥CP时，求t的值. 4题图 5.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在边BC上移动（点D不与点B, C重合)，满足∠EDF=∠B,且点E,F分别在边AB,AC上 (1)求证：△BDE∽△CFD; (2)当点D移动到BC的中点时，求证：点E关于直线DF的对称 点在直线AC上 B 5题图 见此图标目民即刻扫码 分层训练助力学习进阶 6.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC=5,AD=6,BC= 12,动点P从点D出发沿DC以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，动点Q从点C出发沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，两点同时出发，当点P到达点C时，点Q随之停止运动. (1)梯形ABCD的面积等于 (2)当PQ∥AB时，点P离开点D的时间为 秒； (3)当以P,Q,C为顶点的三角形是直角三角形时，点P离开点D 多长时间？ ★☆ 6题图 7.(山东烟台期末)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，P为BC上的 动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P,三 角板可绕点P旋转. (1)如图①，当三角板的两边分别交AB,AC于点E,F时，求证： △BPEM△CFP; (2)将三角板绕点P旋转到图②情形，三角板的两边分别交BA的 延长线，边AC于点E,F,此时△BPE与△CFP还相似吗（只需 写出结论)？ (3)在(2)的条件下，连接EF,△BPE与△PFE是否相似？若相 似，请说明理由；若不相似，则动点P运动到什么位置时， △BPE与△PFE相似？ 7题图① 7题图② 九年级数学 北师版上册 第24页 ·类型三图形变化引起的探究 8.(陕西咸阳期末)【问题提出】 (1)如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O,则∠OAB的度数 是 ; 【问题探究】 (2)如图②，在△ABC中，BA=BC,∠B=120°，P为边AC上的点， 点E,F分别在边AB,BC上，连接PE,PF,∠EPF=60°，G为 BC上一点，且PG=PC,求证：△AEP∽△GFP; 【问题解决】 (3)如图③，某地拟建造一个形如四边形ABCD的露营基础，其中 AD=CD,∠D=∠BAD=∠B=90°，为考虑露营客人娱乐休闲 的需求，在四边形ABCD区域中，计划沿线段AC修建隔离防护 栏，将三角形ACD区域打造成花卉观赏区，三角形PEF区域 打造成烧烤区，根据设计要求，点P在线段AC上，点E,F分别 在线段A,BC上，且∠Pr=90,其中G=0PF=120m 求烧烤区三角形PEF的面积， 8题图① 8题图② 8题图③