1.1.2空间向量基本定理（1知识点+3题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第一册）

1.1.2 空间向量基本定理 课程标准 学习目标 1.类比平面向量基本定理，理解空间向量基本定理及其意义; 2.通过选取适当的基底将空间向量进行分解，从而使用“基底法”解决空间中的线线垂直线线平行及异面直线所成角的问题.从而展现出空间向量基本定理的重要作用; 1.理解空间向量基本定理的概念和原理 2.掌握空间向量基本定理的运用方法 3.培养学生运用空间向量基本定理解决实际问题的能力。 知识点01 空间向量的基本定理 空间向量基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3 基底和基向量 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量. 【即学即练1】（2023高二上·全国·专题练习）已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】（23-24高二上·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 难点：空间向量基本定理与外接球结合问题 示例1：（多选）（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥中，点P在平面ABC内的投影为D，四边形ABCD为正方形，若，记，，，则下列说法正确的是（    ） A．为一组单位正交基底 B． C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积为 【题型1：空间向量的基本定理及辨析】 例1．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（    ） A． B．5 C． D． 变式1．（23-24高二上·贵州安顺·期末） ，，是三个不共面的单位向量， 可为空间的一个基底，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式3．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知空间的一组基，则可以与向量，构成空间的另一组基的向量是（    ） A． B． C． D． 变式4．（23-24高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 变式5．（多选）（23-24高二下·江苏南京·期中）已知向量能构成空间的一组基底，则能与向量构成空间另一组基底的向量是（    ） A． B． C． D． 变式6．（多选）（23-24高二上·四川乐山·期末）下列说法正确的是（   ） A．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【方法技巧与总结】 基底的判断思路 （1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底. （2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断. 【题型2：用基底表示向量】 例2．（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 变式1．（23-24高二上·陕西榆林·期中）如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 变式2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 变式3．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用，，表示，则 ． 变式4．（24-25高二上·上海·课后作业）在正三棱锥中，点O为三角形BCD的中心，，则 ． 变式5．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知平行六面体的所有棱长均为1， ，则= ． 变式6.（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在三棱锥中，点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，若，，，则 ．    变式7．（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 . 【方法技巧与总结】 1.若p=xa+yb+zc，则xa+yb+zc叫做向量a，b，c的线性表达式或线性组合，或者说p可以由a，b，c线性表示. 2.对于基底{a，b，c}，除了应知道a，b，c不共面外，还应明确以下三点： ①基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，选用不同的基底，同一向量的表达式也可能不同； ②由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0； ③空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的，一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关联的不同概念. 【题型3：空间向量基本定理及其应用】 例3．（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（    ）    A． B． C． D．1 变式1．（23-24高二上·广东·期末）如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 变式2．（23-24高二上·贵州安顺·期末）如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，设，则（    ）    A． B． C． D．1 变式3．（22-23高二上·湖南郴州·期末）已知四棱柱的底面是平行四边形，点E在线段DC上，满足，，则（　　） A．- B． C． D． 变式4．（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，在四面体OABC中，点M、N分别为线段OA、BC的中点，若，则 ． 变式5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，在平行六面体中，，，，点M是的中点，点是上的点，且，若，则 . 变式6．（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）是空间的一个基底，向量，是空间的另一个基底，向量，则 ． 变式7．（2019高三·浙江·专题练习）在平行六面体中，设，，，分别是的中点. (1)用向量表示； (2)若，求实数x，y，z的值. 一、单选题 1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，则向量在上的投影为（    ） A．3 B．2 C．-1 D．4 2．（21-22高二下·全国·期末）如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）在四面体ABCD中，点M，N满足，，若，则（    ） A． B． C． D．1 4．（23-24高二上·北京丰台·期中）如图，在平行六面体中，设，，，则与向量相等的是（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山东·阶段练习）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·甘肃天水·期中）已知空间向量，下列命题正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若非零且共面，则它们所在的直线共面 C．若不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一有序实数组，使得 D．若不共线，向量（且），则可以构成空间的一个基底 7．（23-24高二上·全国·课后作业）当，且不共线时，与的关系是（    ） A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定 8．（22-23高二下·安徽池州·阶段练习）已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·浙江·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．两异面直线所成角的取值范围是 B．若直线l与平面相交，则该直线l与平面所成角的取值范围是 C．二面角的平面角的取值范围是 D．若，，是空间向量的一组基底，则存在非零实数x，y，z，使得 10．（22-23高二上·江西·期中）下列说法正确的是（    ） A．若空间中的，，，满足，则，，三点共线 B．空间中三个向量，，，若，则，，共面 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．设是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 11．（19-20高二·全国·课后作业）（多选）已知，，，，是空间五点，且任何三点不共线.若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（    ） A．，，不能构成空间的一个基底 B．，，不能构成空间的一个基底 C．，，不能构成空间的一个基底 D．，，能构成空间的一个基底 三、填空题 12．（23-24高二上·天津西青·期末）如图，在三棱柱中，D，E分别是线段，的中点，设，，.用，，表示 . 13．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设， ．    14．（23-24高二上·贵州·开学考试）是空间的一个基底，向量，是空间的另一个基底，向量，则 . 四、解答题 15．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，给定长方体，点在棱的延长线上，且．设，，，试用、、的线性组合表示下列向量：    (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在三棱锥中，，，，，，，分别是，的中点，点在上，且，记，，．    (1)试用基底表示向量，，； (2)求和的值． 17．（23-24高二上·福建福州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为4，且与的夹角都等于60°，是的中点，设，，. (1)用基底表示向量； (2)求的长. 18．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）如图，三棱锥的棱长都相等，记，，，点在棱上， . (1)若D是棱的三等分点（靠近点），用向量，，表示向量； (2)若D是棱的中点，，求三棱锥的棱长. 19．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.2 空间向量基本定理 课程标准 学习目标 1.类比平面向量基本定理，理解空间向量基本定理及其意义; 2.通过选取适当的基底将空间向量进行分解，从而使用“基底法”解决空间中的线线垂直线线平行及异面直线所成角的问题.从而展现出空间向量基本定理的重要作用; 1.理解空间向量基本定理的概念和原理 2.掌握空间向量基本定理的运用方法 3.培养学生运用空间向量基本定理解决实际问题的能力。 知识点01 空间向量的基本定理 空间向量基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3 基底和基向量 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量. 【即学即练1】（2023高二上·全国·专题练习）已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理，只要判断三个向量是否共面即可，由此逐项判断． 【详解】因为，， 又， 显然A，B，C三个选项中的向量都与共面， 而D选项中多了个，无论如何，是无法用线性表示的． 故选：D． 【即学即练2】（23-24高二上·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】ABC选项，可直接看出是否共面，结合基底的概念判断出答案；D选项，利用表达出三个向量，设，得到方程组，无解，得到不共面，能作为空间中的一组基底. 【详解】A选项，共面，不能作为空间中的一组基底，A正确； B选项，不共面，能作为空间中的一组基底，B错误； C选项，不共面，能作为空间中的一组基底，C错误； D选项，因为，， 设， 即， ，无解， 故不共面，能作为空间中的一组基底，D错误.    故选：A 难点：空间向量基本定理与外接球结合问题 示例1：（多选）（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥中，点P在平面ABC内的投影为D，四边形ABCD为正方形，若，记，，，则下列说法正确的是（    ） A．为一组单位正交基底 B． C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】ACD 【分析】如图，将三棱锥补形为正方体，结合单位正交基底、向量的线性运算、三棱锥的体积公式、球的表面积公式依次求解即可． 【详解】A：将三棱锥补形为正方体，则三棱锥内接于直径为的球， 如图所示，则两两垂直，故A正确； B：，故B错误； C：由题意知平面，又，， 所以，故C正确； D：由选项A知，该正方体的对角线长为，三棱锥外接球即为正方体得外接球， 所以该球的表面积，故D正确. 故选：ACD． 【题型1：空间向量的基本定理及辨析】 例1．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，由向量共面列式求解即得. 【详解】依题意，共面，则存在实数，使得， 于是， 因此，解得. 故选：B 变式1．（23-24高二上·贵州安顺·期末） ，，是三个不共面的单位向量， 可为空间的一个基底，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据基底的定义，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】根据基底的定义，可知，若 ，，是三个不共面的单位向量，则可为空间的一个基底， 反过来，若为空间的一个基底，则，，是三个不共面的向量，不一定是单位向量， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 变式2．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】 由题意可知不共面，由此分别判断各选项中的向量是否共面，即得答案. 【详解】由于构成空间的一个基底，故不共面， 对于A，与共面，不共面，故，，不共面， 否则，若，，共面，则共面，不符题意，A错误； 对于B，假设，，共面，则存在实数，使得， 即，则，方程组无解， 假设不成立，故，，不共面，B错误； 对于C，，与共面，由于不共面， 故，与不共面，C错误； 对于D，，故，，共面， 故选：D 变式3．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知空间的一组基，则可以与向量，构成空间的另一组基的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的共面充要条件与空间基底的性质逐项判断即可. 【详解】不存在实数，，使得，所以，，不共面，可以构成空间的另一组基； 因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基； 因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基； 因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基. 故选：A. 变式4．（23-24高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据向量共面列方程，化简求得的值. 【详解】由于，，所以不共线， 由于不能构成空间的一个基底， 所以存在使得，即 ， 所以，解得. 故选：B 变式5．（多选）（23-24高二下·江苏南京·期中）已知向量能构成空间的一组基底，则能与向量构成空间另一组基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合共面向量的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以三个向量共面， 故不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于选项B：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故B正确； 对于选项C：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故C正确； 对于选项D：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故D正确； 故选：BCD. 变式6．（多选）（23-24高二上·四川乐山·期末）下列说法正确的是（   ） A．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的基底的含义，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】对于A，能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的3个向量， 由于非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 即向量，与任何一个向量均共面，则，必共线，A正确； 对于B，空间的基底不唯一，不共面的3个向量，均可作为空间的一组基底，B错误； 对于C，由于两两垂直的三个非零向量不共面，故可以构成空间的一个基底，C正确； 对于D，由于是空间的一个基底，故不共面， 而与共面，故与不共面，且不共线， 故也是空间的一个基底，D正确， 故选：ACD 【方法技巧与总结】 基底的判断思路 （1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底. （2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断. 【题型2：用基底表示向量】 例2．（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连，，根据空间向量的线性运算分析求解. 【详解】连，，    可得 . 故选：A. 变式1．（23-24高二上·陕西榆林·期中）如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合条件用表示，即可得出结果. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 所以，. 故选：A 变式2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以，，作为一组基底表示出，再根据数量积的运算律求出，即可得解. 【详解】依题意 ， 所以 ， 所以，即. 故选：C 变式3．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用，，表示，则 ． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理结合题意求解即可. 【详解】因为E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点， 所以 . 故答案为： 变式4．（24-25高二上·上海·课后作业）在正三棱锥中，点O为三角形BCD的中心，，则 ． 【答案】 【分析】取中点N，连接，，利用空间向量的线性运算即可得解. 【详解】取中点N，连接， 又 ，. 故答案为：. 变式5．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知平行六面体的所有棱长均为1， ，则= ． 【答案】 【分析】利用空间向量基本定理，选取为基底表示向量，再通过平方的方法求出其模长. 【详解】因为平行六面体的所有棱长均为1， ， 所以 ． 故答案为：. 变式6.（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在三棱锥中，点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，若，，，则 ．    【答案】 【分析】运用空间向量的加减法和题设条件，将所求向量用空间的基向量表示即得. 【详解】连接，因为点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，    所以 ， 所以. 故答案为：. 变式7．（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 . 【答案】 【分析】由是的中点，可得，再由向量的线性运算可得,即可得答案. 【详解】解：连接，如图所示： 因为是的中点，分别是，的中点， 所以 , 又因为， 所以， 所以. 故答案为： 【方法技巧与总结】 1.若p=xa+yb+zc，则xa+yb+zc叫做向量a，b，c的线性表达式或线性组合，或者说p可以由a，b，c线性表示. 2.对于基底{a，b，c}，除了应知道a，b，c不共面外，还应明确以下三点： ①基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，选用不同的基底，同一向量的表达式也可能不同； ②由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0； ③空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的，一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关联的不同概念. 【题型3：空间向量基本定理及其应用】 例3．（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（    ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再借助空间向量基本定理求解即得. 【详解】在四面体中，由分别为线段的中点， 得， 而，由空间向量基本定理得：， 所以. 故选：A 变式1．（23-24高二上·广东·期末）如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理求解即可. 【详解】结合图形可知： 是的中点，,, ， 是的中点，, , 即, ，，. 故选：C. 变式2．（23-24高二上·贵州安顺·期末）如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，设，则（    ）    A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据图形，结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】， ， ， ， 即，，， 所以. 故选：B 变式3．（22-23高二上·湖南郴州·期末）已知四棱柱的底面是平行四边形，点E在线段DC上，满足，，则（　　） A．- B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理以及空间向量线性运算，即可求解． 【详解】因为点在线段上满足， 由向量的运算法则，可得， 因为，所以， 所以. 故选：A. 变式4．（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，在四面体OABC中，点M、N分别为线段OA、BC的中点，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再借助空间向量基本定理求解即得. 【详解】在四面体中，由分别为线段的中点， 得， 而，由空间向量基本定理得：， 所以. 故答案为：. 变式5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，在平行六面体中，，，，点M是的中点，点是上的点，且，若，则 . 【答案】/ 【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以为基底，用基向量表示，再空间向量基本定理待定系数即可. 【详解】在平行六面体中, 因为点M是的中点，点是上的点, 所以 . 又， 由空间向量基本定理得，， 则. 故答案为：. 变式6．（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）是空间的一个基底，向量，是空间的另一个基底，向量，则 ． 【答案】1 【分析】将转化成以为基底的向量，与联立，即可求出的值． 【详解】因为，且， ． 故答案为：1． 变式7．（2019高三·浙江·专题练习）在平行六面体中，设，，，分别是的中点. (1)用向量表示； (2)若，求实数x，y，z的值. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用平行六面体的性质，利用空间向量的线性运算求解即得. （2）用表示，再利用空间向量基本定理求解即得. 【详解】（1）在平行六面体中， ， 由分别是的中点， 得. . （2）， 而，且不共面， 所以. 一、单选题 1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，则向量在上的投影为（    ） A．3 B．2 C．-1 D．4 【答案】B 【分析】由空间向量基本定理即可得出结论. 【详解】由空间向量基本定理可知在上的投影即为的系数2. 故选：B 2．（21-22高二下·全国·期末）如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合正三棱柱的性质和空间向量的运算可得答案. 【详解】取下底面ABC的中心Q，连接，则， ∴． 故选:B． 3．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）在四面体ABCD中，点M，N满足，，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】直接利向量的线性运算求出结果． 【详解】在四面体中，由于点，满足，， 如图所示： 故， 故． 故选：C 4．（23-24高二上·北京丰台·期中）如图，在平行六面体中，设，，，则与向量相等的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的运算，用基向量表示即可. 【详解】因为, 所以. 故选：C. 5．（23-24高二上·山东·阶段练习）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共面定理逐一判断即可. 【详解】因为，所以，，共面， 所以不是空间的另一个基底，A错误． 因为，所以，，共面， 所以不是空间的另一个基底，B错误． 假设存在m，n，使得， 则，显然无解，所以，，不共面， 所以是空间的另一个基底，C正确． 因为，所以，，共面， 所以不是空间的另一个基底，D错误． 故选：C 6．（22-23高二下·甘肃天水·期中）已知空间向量，下列命题正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若非零且共面，则它们所在的直线共面 C．若不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一有序实数组，使得 D．若不共线，向量（且），则可以构成空间的一个基底 【答案】C 【分析】根据共线向量、共面向量、空间向量的基本定理、基底等知识对选项进行分析，由此确定正确答案. 【详解】A选项，若与共线，与共线，当为零向量时， 与不一定共线，所以A选项错误. B选项，若非零且共面，则它们所在的直线不一定共面， 比如正方体上底面的两条对角线，和下底面的一条对角线， 对应的向量共面，但直线不共面，所以B选项错误. C选项，根据空间向量的基本定理可知，C选项正确. D选项，若不共线，向量（且）， 则共面，所以不能构成基底，D选项错误. 故选：C 7．（23-24高二上·全国·课后作业）当，且不共线时，与的关系是（    ） A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定 【答案】A 【分析】 利用平面向量的加减法的法则，结合向量共面的定义进行判断. 【详解】根据平行四边形法则可得，以，为邻边，则可得平行四边形的两条对角线对应的向量分别为， 所以与共面. 故选：A. 8．（22-23高二下·安徽池州·阶段练习）已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解. 【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得， 即， 则， 则x=2，，，解得. 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高二上·浙江·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．两异面直线所成角的取值范围是 B．若直线l与平面相交，则该直线l与平面所成角的取值范围是 C．二面角的平面角的取值范围是 D．若，，是空间向量的一组基底，则存在非零实数x，y，z，使得 【答案】AB 【分析】ABC选项，根据异面直线，线面角和二面角的概念进行判断；D选项，根据空间基底的概念得到，，不共面，故结论不成立. 【详解】A选项，根据异面直线的定义可知，两异面直线所成角的取值范围是，A正确； B选项，直线与平面的夹角范围为，但直线l与平面相交，夹角不为0， 则该直线l与平面所成角的取值范围是，B正确； C选项，二面角的平面角可以是钝角，C错误； D选项，若，，是空间向量的一组基底，则，，不共面， 不存在非零实数x，y，z，使得，，D错误. 故选：AB 10．（22-23高二上·江西·期中）下列说法正确的是（    ） A．若空间中的，，，满足，则，，三点共线 B．空间中三个向量，，，若，则，，共面 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．设是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 【答案】ABC 【分析】根据向量的线性运算可判断A，根据向量的共面定理可判断B、C、D． 【详解】对于A，根据向量的线性运算，若空间中的，，，满足，则，即，则，，三点共线，故A正确； 对于B，因为，则共线，则根据共面向量的定义可得，，，共面，故B正确； 对于C，对空间任意一点和不共线的三点，，，若，又，则，，，四点共面，故C正确； 对于D，若，，共面，则，则共面，与是空间的一组基底矛盾，所以，，不共面，所以能为空间的一组基底，故D错误， 故选：ABC． 11．（19-20高二·全国·课后作业）（多选）已知，，，，是空间五点，且任何三点不共线.若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（    ） A．，，不能构成空间的一个基底 B．，，不能构成空间的一个基底 C．，，不能构成空间的一个基底 D．，，能构成空间的一个基底 【答案】ABC 【分析】由，，与，，均不能构成空间的一个基底，可得空间五点，，，，共面，从而可作判断 【详解】解：因为，，与，，均不能构成空间的一个基底，且，，，，是空间五点，且任何三点不共线 所以空间五点，，，，共面， 所以这五点，，，，中，任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以ABC正确，D错误. 故选：ABC 【点睛】此题考查空间向量基本定理，属于基础题 三、填空题 12．（23-24高二上·天津西青·期末）如图，在三棱柱中，D，E分别是线段，的中点，设，，.用，，表示 . 【答案】 【分析】根据几何图形，应用向量加法、数乘的几何意义用，，表示出即可. 【详解】. 故答案为： 13．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设， ．    【答案】 【分析】由空间向量基本定理得到，从而求出，，，得到答案. 【详解】∵，， ∴ ， 又， ∴，，，故. 故答案为： 14．（23-24高二上·贵州·开学考试）是空间的一个基底，向量，是空间的另一个基底，向量，则 . 【答案】3 【分析】将转化成以为基底的向量，与联立，即可求出的值. 【详解】 ，且 . 故答案为：3 四、解答题 15．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，给定长方体，点在棱的延长线上，且．设，，，试用、、的线性组合表示下列向量：    (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据空间向量加减运算法则，将各向量表示成以为基底即可． 【详解】（1）． （2）． （3）． （4）． 16．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在三棱锥中，，，，，，，分别是，的中点，点在上，且，记，，．    (1)试用基底表示向量，，； (2)求和的值． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】 （1）根据空间向量线性运算法则计算可得； （2）根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】（1）因为，分别是，的中点， 所以， ， ， 又，所以， 则. （2）因为，，，，， 所以， 又， 所以 . 17．（23-24高二上·福建福州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为4，且与的夹角都等于60°，是的中点，设，，. (1)用基底表示向量； (2)求的长. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据空间向量的加减运算以及数乘运算，即可求得答案； （2）结合（1）的结论，利用，结合数量积的运算律，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得 ; （2）由已知，得，， ，, ，, 所以 , 所以的长为. 18．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）如图，三棱锥的棱长都相等，记，，，点在棱上， . (1)若D是棱的三等分点（靠近点），用向量，，表示向量； (2)若D是棱的中点，，求三棱锥的棱长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的基本运算求解即可； （2）根据正三棱锥的性质，结合求解即可. 【详解】（1） . （2）因为三棱锥的棱长都为，所以三棱锥各面都是正三角形， 则，，， ， 所以 ， 又因为，所以 19．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$