第1章 1.1.3 第2课时 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦空间直角坐标系及空间向量坐标的应用，从平面向量坐标运算类比迁移，结合斜二测画法建立空间坐标系，通过正方体、直三棱柱等实例学习点坐标确定与对称，延伸至向量坐标表示及距离、夹角计算，构建完整知识支架。 资料以问题驱动培养数学思维（推理意识），类比迁移发展数学眼光（空间观念），实例丰富强化数学语言（模型观念）。课中例题与跟踪训练助教师高效授课，课后课时对点练供学生巩固，有效查漏补缺。

第2课时　空间直角坐标系及空间向量坐标的应用 学习目标　1.了解空间直角坐标系.2.会求空间中的点的坐标，两点间的距离以及两点的中点坐标.3.掌握空间向量坐标的简单应用. 导语 在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？下面我们就来研究这个问题. 一、空间直角坐标系 问题1　我们画空间几何图形用的什么方法？ 提示　斜二测画法，它是空间几何直观图的画法基础.它的口诀是：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮为虚，空间观感好体现. 知识梳理 1.空间直角坐标系的建立 在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy.然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样建立的空间直角坐标系，记作Oxyz. (1)x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，都称为坐标轴. (2)通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面，yOz平面，zOx平面. (3)在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直.如图(1)(2)所示. 2.在空间直角坐标系中，点M的坐标为(x，y，z)，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标). 3.卦限及各卦限内的符号：在空间直角坐标系中，三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，各卦限的点(x，y，z)的坐标符号为：第Ⅰ卦限(＋，＋，＋)，第Ⅱ卦限(－，＋，＋)，第Ⅲ卦限(－，－，＋)，第Ⅳ卦限(＋，－，＋)，第Ⅴ卦限(＋，＋，－)，第Ⅵ卦限(－，＋，－)，第Ⅶ卦限(－，－，－)，第Ⅷ卦限(＋，－，－). 注意点：(1)基向量：|e1|＝|e2|＝|e3|＝1，e1·e2＝e1·e3＝e2·e3＝0. (2)建系的条件：特殊图形以及有垂直关系的条件可考虑建系. (3)建系的要求：使尽可能多的点落在坐标轴或坐标平面上，充分利用几何图形的对称性. (4)坐标原点选择的不同，会导致点的坐标不同，但不会影响结果. 例1　(课本例5)已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是CC1的中点，F是A1B1的中点.以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求以下各点的坐标：A，B，B1，E，F. 解　注意到正方体的棱长为1，因此A(1，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1). 又因为E，F分别是CC1，A1B1的中点，所以E，F. 例1　如图所示，AF，DE分别是圆O，圆O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8，BC是圆O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标. 解　因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD， 所以OE⊥平面ABC. 又AF⊂平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以OE⊥AF，OE⊥BC， 又BC是圆O的直径，所以OB＝OC， 又AB＝AC＝6， 所以OA⊥BC，BC＝6， 所以OA＝OB＝OC＝OF＝3. 如图所示，以O为坐标原点，以OB，OF，OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，所以A(0，－3，0)，B(3，0，0)，C(－3，0，0)，D(0，－3，8)，E(0，0，8)， F(0，3，0).(答案不唯一) 反思感悟　(1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上. ②充分利用几何图形的对称性. (2)求某点P的坐标的方法 一般先找到点P在xOy平面上的射影M，过点M向x轴作垂线，确定垂足N，其中||，||，||即为点P的横坐标、纵坐标、竖坐标的绝对值，再由，，的方向确定相应坐标的符号(与坐标轴同向为正，反向为负)，即可得到点P的坐标. 跟踪训练1　如图所示，V－ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点.已知AB＝2，VO＝3，建立如图所示的空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标. 解　∵点V在z轴上，且OV＝3， ∴点V的坐标为(0，0，3). 同理得A(－1，－1，0)，B(1，－1，0)， C(1，1，0)，D(－1，1，0). 二、空间点的对称问题 例2　在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4). (1)求点P关于x轴对称的点P1的坐标； (2)求点P关于xOy平面对称的点P2的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点P3的坐标. 解　(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴上的分量不变，在y轴、z轴上的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为P1(－2，－1，－4). (2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴上的分量不变，在z轴上的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为P2(－2，1，－4). (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3的坐标为(6，－3，－12). 反思感悟　空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论. 跟踪训练2　已知点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为　　　　.  答案　(2，－3，1) 解析　点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1). 三、空间向量的坐标 问题2　在平面直角坐标系下，O为坐标原点，的坐标和P点的坐标是否相同？ 提示　相同；若O(0，0)，P(x，y)，则＝(x，y)，也就是说有向线段的向量坐标表示为终点坐标减去起点坐标. 知识梳理 1.空间直角坐标系下向量坐标 在空间直角坐标系下，如果指定单位向量e1，e2，e3的始点都在原点O，且它们的方向分别与x轴、y轴、z轴的正方向相同，则{e1，e2，e3}为单位正交基底，且向量的坐标与P点的坐标相同.即＝xe1＋ye2＋ze3＝(x，y，z)⇔P(x，y，z). 2.空间向量坐标的计算及应用 在空间直角坐标系中，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则(1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1). (2)||＝. (3)线段AB中点M的坐标为. 注意点：在空间直角坐标系中，有向线段表示的向量坐标为终点坐标减去起点坐标.特别地，当始点为坐标原点时，其坐标与终点坐标相同. 例3　如图，在棱长为1的正方体ABCD－A'B'C'D'中，E，F，G分别为棱DD'，D'C'，BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标. (1)，，； (2)，，. 解　方法一　(1) ＝， ， ＝. (2)－， ＝， ＝. 方法二　(1)以A为原点，以AB为x轴，AD为y轴，AA'为z轴建立空间直角坐标系Axyz， ∴A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A'(0，0，1)，B'(1，0，1)，C'(1，1，1)，D'(0，1，1)， 由中点坐标公式得E， F，G. ∴，，， (2)， ， . 延伸探究　本例中，若以{，，}为基底，试写出，，的坐标. 解　以点D为原点，DA，DC，DD'分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)， ∵A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A'(1，0，1)，B'(1，1，1)，C'(0，1，1)，D'(0，0，1)， ∴E，F，G， ∴，， . 反思感悟　用坐标表示空间向量的步骤 四、空间向量坐标的应用 例4　(课本例7)如图所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝C1C＝2，AC⊥CB，且D，E分别是棱AB，B1C1的中点.建立适当的空间直角坐标系，求A1B与DE的长. 解　以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意可知 C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(2，0，2)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2). 因此A1B＝＝2. 又因为D是AB的中点，所以D的坐标为＝(1，1，0)， 即D(1，1，0).同理可得E(0，1，2).从而DE＝. 例4　棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点. (1)求证：⊥； (2)求与夹角的余弦值； (3)求CE的长. (1)证明　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F， G. 所以，， ＝，. 因为·×××0＝0，所以⊥. (2)解　因为· ＝×1＋×0＋×， ||＝， ||＝， 所以cos〈，〉＝. (3)解　CE＝||＝ . 反思感悟　通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题. 跟踪训练3　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值. 解　如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)， 由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)， 因为3， 所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)， 所以3a－3＝－a， 解得a＝， 所以点P的坐标为. 由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)， 因为·＝0， 所以·＝0， 即－＝0， 解得b＝， 所以点Q的坐标为. 因为＝λ， 所以(－1，－1，0)＝λ， 所以＝－1，故λ＝－4. 1.知识清单： (1)空间直角坐标系. (2)空间点的对称问题与空间向量的坐标. (3)空间向量坐标的应用. 2.方法归纳：数形结合、类比. 3.常见误区：x，y，z轴的选择不是随意的，应符合正确的建系要求. 1.在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(－1，2，1)，B(1，3，4)，则(　　) A.＝(－1，2，1) B.＝(1，3，4) C.＝(2，1，3) D.＝(－2，－1，－3) 答案　C 解析　＝(2，1，3). 2.在空间直角坐标系中，点P(1，3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是(　　) A.(－1，3，－5) B.(1，3，5) C.(1，－3，5) D.(－1，－3，5) 答案　B 3.已知A(3，－2，4)，B(0，5，－1)，若，则C的坐标是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵＝(－3，7，－5)， ∴(－3，7，－5)＝， ∴C. 4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为　　　　. 答案　 解析　以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(1，1，)，F， 所以|| ＝. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，－2，4)关于y轴对称的点为(　　) A.(－1，－2，－4) B.(－1，－2，4) C.(1，2，－4) D.(1，2，4) 答案　A 解析　关于y 轴对称，则y值不变，x和z的值变为原来的相反数，故所求的点的坐标为(－1，－2，－4). 2.已知A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)，且＝2a，则点B的坐标为(　　) A.(－7，10，24) B.(7，－10，－24) C.(－6，8，24) D.(－5，6，24) 答案　D 解析　∵a＝(－3，4，12)，＝2a， ∴＝(－6，8，24). 设B(x，y，z)，则＝(x－1，y＋2，z)， ∴解得 即点B的坐标为(－5，6，24). 3.已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则与的夹角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案　C 解析　设与的夹角为θ. 由题意，得＝(－1，1，0)，＝(0，3，3)， ∴cos θ＝， 又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. 4.如图，在空间直角坐标系中有四棱锥P－ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，E为PD的中点，则||等于(　　) A.2 B. C. D.2 答案　C 解析　由B(2，0，0)，E(0，1，1)，则＝(－2，1，1)，∴||＝. 5.(多选)已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则下列说法正确的是(　　) A.A，B，C三点共线 B.AB＝ C.与夹角的余弦值是 D.△ABC是直角三角形 答案　BD 解析　由＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)， ＝(－3，1，1)， 则与不共线， ∴A，B，C三点不共线，AB＝||＝. ∵·＝0，∴AB⊥AC， 即△ABC为直角三角形， 而cos〈，〉＝＝－. 6.(多选)在△ABC中，点A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(2，－3，1)，若△ABC为直角三角形，则k的值为(　　) A. B. C.－1 D.－ 答案　BD 解析　＝(－3，－1，3k)，＝(1，－5，1＋3k)， ＝(4，－4，1). 若A＝90°，则·＝0， 则－3＋5＋3k(1＋3k)＝0， 即9k2＋3k＋2＝0，方程无解； 若B＝90°，则·＝0， 则－12＋4＋3k＝0，解得k＝； 若C＝90°，则·＝0， 则4＋20＋1＋3k＝0，解得k＝－. 7.(5分)若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m＋n＝　　　　.  答案　0 解析　因为＝(m－1，1，m－2n－3)， ＝(2，－2，6)， 由题意得∥，所以， 所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0. 8.(5分)如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是　　　　.  答案　 解析　由题意知A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c). 由重心坐标公式得点G的坐标为. 9.(10分)已知点A(0，1，2)，B(1，－1，3)，C(1，5，－1). (1)若D为线段BC的中点，求线段AD的长；(5分) (2)若＝(2，a，1)，且·＝1，求a的值，并求此时向量与夹角的余弦值.(5分) 解　(1)由题意得，D(1，2，1)，∴＝(1，1，－1)，||＝，即线段AD的长为. (2)易知＝(1，－2，1)， ∴·＝2－2a＋1＝1，解得a＝1， ∴＝(2，1，1). ∴cos〈，〉＝， 即向量与夹角的余弦值为. 10.(10分)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出点D，N，M的坐标；(5分) (2)求线段MD，MN的长度.(5分) 解　(1)∵D是原点，则D(0，0，0). 由AB＝BC＝2，D1D＝3， 得A(2，0，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，3)，C1(0，2，3). ∵N是AB的中点，∴N(2，1，0). 同理可得M(1，2，3). (2)由两点间距离公式得， MD＝， MN＝. 11.已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，若＋λ与(O为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为(　　) A. B.－ C.± D.± 答案　B 解析　＋λ＝(1，－λ，λ)，＝(0，－1，1)， cos 120°＝＝－， 可得λ<0，解得λ＝－. 12.(多选)已知点A(－1，2，0)，B(－3，4，2)，点P在直线AB上，且||＝||，则点P的坐标为(　　) A.(－2，3，1) B.(2，－3，－1) C.(0，－1，1) D.(0，1，－1) 答案　AD 解析　设P(x，y，z)， ∵＝(x＋1，y－2，z)，＝(－2，2，2)， ∵||＝||， ∴或＝－. 当时，(x＋1，y－2，z)＝(－2，2，2)， ∴解得 ∴点P(－2，3，1)；当＝－时， (x＋1，y－2，z)＝－(－2，2，2)， ∴解得 ∴点P(0，1，－1). 13.如图，在边长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝3，点P在底面正方形ABCD上移动(包含边界)，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为(　　) A. B. C.3 D. 答案　B 解析　依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系， 则D1(0，0，3)，E(1，3，0)，B1(3，3，3)， 设P(x，y，0)(x，y∈[0，3])，所以＝(x－3，y－3，－3)，＝(1，3，－3)，即·＝x＋3y－3＝0⇒x＝3－3y， 所以0≤3－3y≤3⇒y∈[0，1]， 而||＝ ＝， 由二次函数的单调性可知 t＝10y2－6y＋18＝10＋18－， 当y＝1时，tmax＝22，则||max＝. 14.(5分)已知点O(0，0，0)，A(1，2，2)，B(2，1，1)，P(1，0，2)，点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，点Q的坐标是　　　　　　　.  答案　 解析　由题设，＝(1，0，2)，则＝λ＝(λ，0，2λ)，λ∈R， 令Q(x，y，z)，则＝(x，y，z)，所以x＝λ，y＝0，z＝2λ，则Q(λ，0，2λ)， 故＝(1－λ，2，2－2λ)，＝(2－λ，1，1－2λ)， 所以·＝(1－λ)(2－λ)＋2＋2(1－λ)(1－2λ)＝λ2－3λ＋2＋2＋2(2λ2－3λ＋1) ＝5λ2－9λ＋6＝5， 故当λ＝时，·取得最小值，此时点Q的坐标为. 15.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC上的动点，且AE＝BF，AC与EF交于G，EF在AB与CD之间滑动，但与AB和CD均不重合.现将四边形EFCD沿直线EF折起，使平面EFCD⊥平面ABFE，在EF从AB滑动到CD的过程中，∠AGC的大小(　　) A.先变小后变大 B.先变大后变小 C.不发生变化 D.由小变大 答案　C 解析　设正方形ABCD的边长为1，AE＝a，以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(a，0，0)，C(0，1，1－a)，G(0，a，0)，F(0，1，0)，B(a，1，0)， ＝(a，－a，0)，＝(0，1－a，1－a)， cos∠AGC＝， 由题意知0<a<1，则cos∠AGC＝－， 可知∠AGC＝120°，即角度不会发生变化，所以C正确. 16.(12分)已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求三棱柱的侧棱长；(4分) (2)若M为BC1的中点，试用基底{，，}表示向量；(3分) (3)求与夹角的余弦值.(5分) 解　(1)设侧棱长为b，则A(0，－1，0)，B1(，0，b)， B(，0，0)，C1(0，1，b)， 所以＝(，1，b)，＝(－，1，b). 因为AB1⊥BC1， 所以·＝(，1，b)·(－，1，b) ＝－()2＋12＋b2＝0，解得b＝. (2)因为M为BC1的中点， 所以)＝). (3)由(1)知＝(，1，)，＝(－，1，0)， 因为||＝， ||＝＝2， ·＝(，1，)·(－，1，0) ＝－()2＋1×1＝－2， 所以cos〈，〉＝＝－. 所以与夹角的余弦值为－. 学科网（北京）股份有限公司 $