2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中综合测试卷

**基本信息** 试卷以一元二次方程、相似三角形、特殊四边形为核心，通过基础题（如选择1-5）、综合题（如23题测量旗杆）、探究题（如24题折叠）的梯度设计，考查抽象能力、推理意识和模型意识，适配期中阶段性评价需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程定义、比例线段、位似变换等|基础巩固，如第5题结合矩形性质考查几何直观| |填空题|6/18|相似比、菱形与正方形转化、矩形折叠等|能力提升，如第13题通过菱形变正方形考查空间观念| |解答题|7/72|方程求解、菱形判定、牧场围栏、旗杆测量、折叠探究等|创新应用，如23题用三种方案测量旗杆体现模型意识，24题折叠探究发展推理能力|

期中综合测试卷 考试内容：第一章至第三章 一、选择题(每小题3分，共30分) 1.下列方程是一元二次方程的是( ) A.2x+1=0 B. C. D. 2.下面长度的四组线段不是成比例线段的是( ) A.3,6,2,4 B.4,6,8,10 C.1, , , D. , ,2,2 3.已知x:y=5:3,则下列等式中,正确的是 ( ) A.5x=3y B. C. D. 4.若关于x的一元二次方程( 1=0有实数根，则实数a的取值范围是 ( ) A. a≤2 B. a<2 C. a≤2且a≠1 D. a<2且a≠1 5.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点 O,∠AOB=60°,则∠ACB的度数为 ( ) A.30° B.35° C.40° D.45° 6.如图，在平面直角坐标系中，已知点E(-4,2),F(-2,-2),将 以原点O为位似中心，各边长缩小到原来的 后得到△E'F'O,点 F 的对应点为 F',则点F'的坐标为 ( ) A.(-2,1) B.(-1,-1) C.(2,-1)或(-2,1) D.(-1,-1)或(1,1) 7.若一元二次方程x(x+2)-3=0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.如图，菱形ABCD沿对角线AC向右平移到菱形A'B'C'D'的位置,点A'恰好是AC的中点.若菱形ABCD的边长为2,∠BCD=60°,则阴影部分的面积为 ( ) A. B. C.1 D. 9.将直角三角形纸片ABC(∠C=90°)按如图所示的方式折叠两次再展开，下列结论错误的是 ( ) A. MN∥DE∥PQ B. BC=2DE=4MN C. D. 10.一个矩形内放入两张边长分别为6cm和8cm 的小正方形纸片，按照如图①所示的方式放置，矩形没有被两张正方形纸片覆盖的部分(阴影部分)的面积为32cm²，按照如图②所示的方式放置，矩形没有被两张正方形纸片覆盖的部分的面积为44cm²，若把两张正方形纸片按照如图③所示的方式放置，则矩形没有被两张正方形纸片覆盖的部分的面积为( ) A.24cm² B.28cm² C.48cm² D.76cm² 二、填空题(每小题3分，共18分) 11.关于x的方程 6=0是一元二次方程，则m= . 12.如图,直线AD,BC交于点O,AB∥EF∥CD.若AO=3,OF=1,FD=2,则 的值为 . 13.小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为如图1所示的菱形，并测得∠B=60°，接着活动学具成为如图2所示的正方形，并测得对角线AC=40，则图1中对角线AC的长为 . 14.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,点F,G在边BC上，且DF∥EG.只需再添加一个条件就可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 .(写出一个即可) 15.如图,已知点A(0,-2),B(1,0),将线段AB平移得到线段DC,若∠ABC=90°,BC=2AB,则点D 的坐标是 . 16.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且 连接AE,将△ABE沿AE 折叠,若点矩形中的折叠B的对应点B'落在矩形ABCD 的边上，则a的值为 . 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题(共72分)(答案含评分细则) 17. (6分)用适当的方法解方程： (2)(x-2)(x+5)=18. 18. (6分)已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论k取何值，原方程总有两个不相等的实数根. (2)若x₁，x₂为该方程的两个根，求 的值(用含k的代数式表示). 19. (8分)如图,在平行四边形ABCD中,点 E是AB的中点,EC与BD 相交于点 F. (1)求证: (2)若DB=6,求BF的长. 20.(8分)图①、图②、图③均为6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.线段AB 的端点网格作图在格点上.要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上. (1)在图①中，画一个以AB为一边，面积是12的四边形，要求所画四边形是中心对称图形但不是轴对称图形. (2)在图②中，画一个以AB为一边，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形. (3)在图③中，画一个以AB为一条对角线的矩形AFBE，且使得 21.(10分) (1)数学课上，为了证明“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，老师画出了图形(如图1)，并写出了“已知”和“求证”，请你写出证明过程. 已知：在▱ABCD中，对角线 垂足为O. 求证： 是菱形. (2)如图2,在 中,对角线AC和 BD 相交于点 O,AD=5,AC=8,BD=6. ①求证:▱ABCD是菱形. ②延长 BC 至点 E,连接OE 交 CD 于点 F,若 求 的值. 22.(10分)某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面(粗线A—B—C表示墙面)建饲养场，已知 3米，BC=15米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场 BDEF，并在每个区域开一个宽2米的门，如图(饲养场中间用篱笆GH隔开)，点F 可能在线段BC上，也可能在线段BC 的延长线上. (1)如图a,当点 F在线段BC上时. ①设EF的长为x米，则 米.(用含x的代数式表示) ②若围成的饲养场BDEF 的面积为132平方米，求饲养场的宽EF. (2)如图b，当点 F 在线段BC的延长线上时，所围成的饲养场BDEF 的面积能达到156平方米吗?如果能，求出EF的长；如果不能，请说明理由. 23.(12分)利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度.某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告. 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案1：利用影子 方案2：利用镜子 方案3：利用标杆 测量 示意图 测量过程 在同一时刻，太阳光线是平行的,即AC∥DF,小组同学测得身高为1.6米的小乐的影长 EF 为2.4米，同时测得旗杆的影长 BC为22.5米 小慧在她脚下放置镜子C，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部A.小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度 DE 为1.5 米,小慧到镜子的距离EC为2.1米，旗杆到镜子的距离BC为21米 小智在他前面立一根标杆 EF，当小智的眼睛C、标杆顶部E、旗杆顶部A 在同一直线上时，小组同学测得标杆 EF 高为2米，小智的眼睛距离地面的高度CD为1.55米,小智与旗杆AB 之间的距 离 DB 为40.35米 计算结果 …… …… …… 活动反思 …… …… …… 根据上面的活动报告，解答问题. (1)利用方案1测得旗杆AB 的高度为 米. (2)请将方案2的测量示意图补充完整，并求出旗杆AB的高度. (3)小智在利用方案3计算旗杆AB的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算出旗杆AB的高度?(不需要写出计算过程) 24.(12分)综合实践课上，同学们以“四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，探究其中的数学规律. (1)操作发现： 如图①，四边形纸片ABCD是平行四边形，点 E 在 BC 边上，将四边形ABCD沿过点 E 的直线折叠，点B 的对应点为B'..根据以上操作，若点E 是BC 的中点，折痕过点A，连接CB',,则CB'与AE 的位置关系是 .CB' (2)迁移探究： 如图②，若四边形ABCD 是菱形， 折痕交AB边于点 F，点 B 的对应点B'落在AC上，且AB'=2,CB'=6,求CE 的长度. (3)拓展应用： 如图③，若四边形ABCD是矩形，AB=6,AD=8,折痕过点A，点B的对应点.B''落在矩形ABCD 的对称轴上，请直接写出BE 的长. 1. B A.2x+1=0是一元一次方程,故不符合题意;B. 1=0是一元二次方程，符合题意；C. x²+y=1含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；D. -1=2不是整式方程，故不是一元二次方程，故不符合题意.故选 B. 2. B ∵2×6=3×4,∴A选项中的线段是成比例线段;∵4×10≠6×8，∴B 选项中的线段不是成比例线段；∵ ，∴C选项中的线段是成比例线段； ∴D选项中的线段是成比例线段.故选 B. 3. D 设x=5k,y=3k(k≠0),由比例的性质得:3x=5y,故 A 不符合题意； 故 B 不符合题意； 故C 不符合题意； 故 D符合题意.故选 D. 4. C ∵关于x的一元二次方程 有实数根， 且a-1≠0,解得a≤2且a≠1.故选 C. 5. A ∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD, ∴ OB = OC,∴ ∠OBC = ∠OCB,∵ ∠AOB = 60°,∴∠OBC+∠ACB=60°,∴∠ACB=30°.故选 A. 6. D由 题意得，点F'的坐标为 或 即(-1,-1)或(1,1).故选D. 7. C x(x+2)-3=0整理得 n= ∴点(m,n)在第三象限.故选 C. 8. B ∵四边形ABCD是菱形,且其边长为2,∠BCD=60°, ∴AC⊥BD,AD=CD=2, ∴A'D=1, ∴菱形ABCD的面积 如图,设CD与A'D'交于点E,BC与A'B'交于点 F, 由平移可得，A'E∥AD,A'C= AC,∴ △A'EC∽△ADC, 同理可得 ∴四边形A'ECF 的面积是▱ABCD 面积的 ,∴阴影部分的面积= 故选B. 9. D 由折叠的性质得,DE⊥AC,PQ⊥AC,MN⊥AC,AM=MD=DP=PC, ∴MN∥DE∥PQ∥BC,故A 选项不符合题意. 易得△ADE∽△ACB∽△AMN, ∴BC=2DE,DE=2MN, ∴BC=2DE=4MN,故B选项不符合题意. ∵MN∥PQ∥BC, 故 C选项不符合题意. ∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ, 故D选项符合题意.故选 D. 10. B 设矩形的长为 xcm,宽为 ycm, 由题意得 ①-②得0=6(x-8)-6(y-8)-12, ∴x=y+2③. 将③代入②得y(y+2)=64+6(y-8)+44, 整理得 解得 (舍去), ∴x=10+2=12, ∴按照题图③所示的方式放置时，矩形没有被两张正方形纸片覆盖的部分的面积为((x-8)(y-6)+(x-6)(y-8)=4× 故选B. 11.答案 -1 解析 由题意得 解得m=-1.故答案为-1.12.答案2/3 解析 由题意得，AF=AO+OF=4,AD=AO+OF+FD=6,∵AB∥EF∥CD, 故答案为- 13.答案 20 解析 在题图2中,∵ 四边形ABCD 是正方形,∴∠B=90°,AB=CB, ∴在题图1中， ∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形，∴ 故答案为20 14.答案 ∠DFG=90°(答案不唯一) 解析 ∵D,E分别是AB,AC的中点, ∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC, 又∵DF∥EG,∴四边形DFGE是平行四边形, 当∠DFG=90°时,四边形DFGE是矩形.(答案不唯一) 15.答案 (4,-4) 解析 如图，过点D作DE⊥y轴于点 E， ∵A(0,-2),B(1,0),∴OA=2,OB=1. ∵线段AB平移得到线段 DC， ∴AB∥CD,AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD 是矩形, ∴∠BAD=90°,BC=AD, ∵BC=2AB,∴AD=2AB, ∵∠BAO+∠DAE=90°,∠BAO+∠ABO=90°, ∴∠ABO=∠DAE. 又∵∠AOB=∠AED=90°, ∴△ABO∽△DAE, ∴OAE=OB=4BD= ∴DE=2OA=4,AE=2OB=2, ∴OE=OA+AE=4,∴D(4,-4). 16.答案 解析 分两种情况： ①如图，当点B'落在AD边上时， ∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠B=90°,由折叠的性质得， ∴∠BEA=180°-∠B-∠BAE=45°,∴∠BAE=∠BEA, ∴AB=BE, ②如图，当点B'落在CD边上时， ∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠B=∠C=∠D=90°,AD=BC=a. 由折叠的性质得,∠B=∠AB'E=90°,AB=AB'=1,EB= EC=BC-BE=a- ∴∠B'AD=∠EB'C,又∵ ∠D=∠C=90°,∴ △ADB'∽△B'CE即 解得(舍去). 综上，a的值为 或 17.解析 (1)移项,得2x²+3x-1=0,∴a=2,b=3,c=-1, (2分) (3分) (2)方程整理，得 (4分) 方程左边因式分解,得(x+7)(x-4)=0, (5分) ∴x+7=0或x-4=0, 解得 (6分) 18.解析 (1)证明: ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2分) ∴无论k取何值，原方程总有两个不相等的实数根.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3分) (2)由题意得， (4分) (6分) 19.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD, (1分) ∴∠BEF=∠DCF,∠EBF=∠CDF, ∴ △BFE∽△DFC (3分) (2)∵点E是AB的中点,∴ (4分) ∵四边形ABCD是平行四边形， (5分) ∵△BFE∽△DFC, ∵BD=6,∴ (8分) 20.解析 (1)如图①,平行四边形ABCD 即为所求⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2分) (2)如图②，正方形ABMN即为所求.(答案不唯一) (5分) (3)如图③,矩形AFBE 即为所求. (8分) 21.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO,AB=DC, (1分) ∵BD⊥AC,∴ ∠AOB=∠COB=90°, 在△AOB 和△COB中 ∴△AOB≌△COB(SAS), (2分) ∴AB=CB,∴□ABCD是菱形 (3分) (2)①证明:∵ 四边形ABCD 是平行四边形, (4分) ∴△AOD 是直角三角形,且∠AOD=90°, (5分) ∴AC⊥BD,∴▱ABCD是菱形. (6分) ②∵四边形ABCD 是菱形,∴∠ACB=∠ACD, ∵∠ACB=∠E+∠COE,∴∠E=∠COE, (8分) 如图,过点O作OG∥CD交BC于点G, (10分) 22.解析 (1)①EF 的长为x米,则DE=38+2+2-(3x-3)=(45-3x)米.故答案为(45-3x) ⋯⋯(1分) ②依题意得x(45-3x)=132, (3分) 整理，得 解得 (4分) 当x=4时,45-3x=45-3x4=33>15,不合题意，舍去； 当x=11时,45-3x=45-3×11=12<15,符合题意. 答：饲养场的宽EF 为11米 (5分) (2)不能 (6分) 理由：设EF 的长为y米，则 米， 依题意得 整理，得 … (8分) ∴该方程没有实数根， (9分) 即当点F在线段BC的延长线上时，所围成的饲养场BDEF的面积不能达到156平方米.⋯⋯⋯⋯⋯⋯(10分) 23.解析 (1)15. (3分) 详解：由题意得，△ABC∽△DEF, 即 ∴AB=15米. (2)补全测量示意图，如图所示，过点 C作CF⊥EB， (6分) ∴∠FCE=∠FCB=90°, 又∵∠DCF=∠ACF,∴∠FCE-∠DCF=∠FCB-∠ACF, ∴∠DCE=∠ACB, ∵AB⊥EB,DE⊥EB,∴∠DEC=∠ABC=90°, ∴△DEC∽△ABC, 则 ∴AB=15米,即旗杆AB的高度为15米. (9分) (3)如图,过点C作CH⊥AB 于点H,交EF 于点 G,易得△CGE∽△CHA, ∵EG=2-1.55=0.45(米),CH=BD=40.35米, ∴还需要测出线段 DF(或线段 FB)的长度. (12分) 24.解析 (1)CB'∥AE (3分) 详解:由折叠的性质得BE=B'E,∠AEB=∠AEB',∵点E是BC的中点,∴BE=CE,∴CE=B'E,∴∠ECB'=∠EB'C, ∠CEB'=180°,∴ ∠AEB=∠ECB',∴CB'∥AE.故答案为CB'∥AE. (2)∵AB'=2,CB'=6,∴AC=2+6=8, ∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°, ∴AB=BC, ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°,BC=AC=8, (5分) 如图,过点E作EG⊥AC于点G, ∴∠EGC=90°,∴∠CEG=30°,∴CE=2CG,设CG=a,则CE=2a,EG= a,B'G=6-a, ∴BE=B'E=8-2a, 在Rt△B'GE中，由勾股定理得 (8分) (3)BE的长为2 (12分) 详解：由折叠的性质可得AB'=AB=6,BE=B'E,设BE=x,则B'E=x. 分两种情况： a.如图,点 B'落在矩形ABCD的对称轴MN上,过点 B'作PQ⊥BC于点 P,交AD于点 Q, ∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴PQ⊥AD, ∴∠AQB'=∠EPB'=90°,∵ MN是矩形ABCD的对称轴, 在Rt△AB'Q中， ∴EP=3 -x,∵在 Rt△B'EP中,B'E²=B'P²+EP²,∴x²= b.如图，点B'落在矩形ABCD的对称轴PQ上， 在Rt△AB'Q中,AB'=6, ∵BE=x,BP=4, ∴EP=4-x,在 Rt△B'EP中,由勾股定理得 综上，BE 的长为2或 $