期中试卷（范围：25.一元二次方程、26.二次函数、27.反比例函数）2026-2027学年人教版九年级数学上学期

**基本信息** 覆盖一元二次方程、二次函数、反比例函数核心内容，通过绿化工程、零件加工等实际情境及三角点阵、函数几何综合题，考查抽象能力、运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|方程根、函数图像性质|如第5题结合三角形三边关系考方程应用| |填空题|4/20|函数最值、反比例实际意义|第12题以气体压强情境考反比例函数| |解答题|9/60|方程求解、函数综合、实际应用|21题零件加工获利问题综合考查数学思维，23题函数与几何旋转体现创新意识|

2026-2027学年度 人教版九年级上学期期中考试试卷（25.一元二次方程、26.二次函数、27.反比例函数）(试卷版) 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1.已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 2．二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． 3．已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 4．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 5.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（     ） A．9 B．11 C．13 D．11或13 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象分别与轴和轴交于点和，与反比例函数（）在第一象限内的图象交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 7．已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 9.二次函数的图象只过三个象限，则a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 10．如图所示的是二次函数（，，为常数，）的部分图象，其顶点坐标为，与轴交于点，与轴正半轴交于点（）．下列结论：①；②；③；④若点，（）都在抛物线上，则；⑤若，则关于的方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．二次函数的最小值为__________． 12.在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 13．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 14．若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于第______象限 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.解下列方程： (1)； (2)． 16.市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)求运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式； (2)若这个运输公司每天可运送土石方，该公司完成全部运输任务需要多长时间？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 18． 某人利用米长的墙为一边，用长米的竹篱笆作为另三边，围成一个面积为平方米的长方形菜园，长方形菜园的长和宽各是多少？ 5、 （本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． (1)求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； (2)求四边形 的面积． 20.如图所示，它是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，…… (1)第一行有1个点，前两行点数和是3，前三行点数和是6，请问前四行的点数和是 ，前行的点数和是 ； (2)探究发现，120是前 行的点数和； (3)三角点阵中前行的点数和能是60吗？如果能请求出；如果不能，试用一元二次方程说明理由． 6、 （本题满分12分） 21.某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，其中A零件为可回收材料制成，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，每名工人只能加工A零件3件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少8件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元，加工B零件总数为8件时，每件获利64元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少1元；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为_____ ； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为_____ ． 7、 （本题满分12分） 22．如图，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点A，与x轴交于点B，反比例函数与直线l交于点C，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出的x的取值范围． 8、 （本题满分14分） 23．如图，二次函数（其中）的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为．将点绕点顺时针旋转得到点． (1)若，求直线的函数表达式，并判断点关于二次函数图象对称轴的对称点是否在直线上； (2)当时，二次函数的最大值为9，求的值； (3)连接，当点不在直线上时，过点作直线交轴于点，请直接写出的最小值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度 人教版九年级上学期期中考试试卷（25.一元二次方程、26.二次函数、27.反比例函数）(解析版) 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1．(2026河南中考)已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得 ， 整理得 ， 移项得 ， 两边同除以，得 . 答案:D 2．二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． 【详解】解：当时，，选项A不符合题意； 当时，，选项B符合题意； 当时，，选项C不符合题意； 当时，，选项D不符合题意． 答案:B 3．（2026广西中考）已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴将点坐标代入解析式得：，， 由变形得， 又∵， ∴， 移项得． 答案:A 4．（2026安徽省中考）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 展开整理得， 即， ∴，得， ∵， 等式两边同除以得． 答案:D 5.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（     ） A．9 B．11 C．13 D．11或13 【详解】解：， 因式分解得， ∴， 解得或． 根据三角形三边关系，可得第三边的取值范围为， 即． ∵不满足，不能构成三角形，舍去， 满足，可以构成三角形． ∴三角形的周长为． 答案:C 6．（2026安徽省中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象分别与轴和轴交于点和，与反比例函数（）在第一象限内的图象交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 【详解】对于一次函数，当时，， ， ， ， ， 过点作轴于， ， ，即， ， ， ， ． 答案C. 7．（2026福建中考）已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 ， ， ∴将 代入解析式得 ， 将 代入解析式得 ， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ 解得 观察选项，只有符合该范围． 答案:C 8．如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 【详解】解：作轴于M， ∴轴， ∵轴于点C，轴于点D， ∴， ∵， ∴，， ∴， 点，在反比例函数图象上， ，， ， ， 解得（负数舍去）． 答案:C 9.二次函数的图象只过三个象限，则a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线图象只过三个象限， 当时，则经过第一、二、三象限， 抛物线与x轴有两个交点，与y轴交点在x轴上或x轴上方， ，即 解得； 当时，则， 抛物线与y轴交点在x轴上方， 此时抛物线经过第一、二、三、四象限，不符合题意． 的取值范围为． 答案:A 10．（2026齐齐哈尔市中考）如图所示的是二次函数（，，为常数，）的部分图象，其顶点坐标为，与轴交于点，与轴正半轴交于点（）．下列结论：①；②；③；④若点，（）都在抛物线上，则；⑤若，则关于的方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【详解】解：由二次函数图象可得： 抛物线开口向下， ； 顶点坐标为，则对称轴为直线， 由对称轴公式， 整理得，结合，得 ； 抛物线与轴交于正半轴， ； 抛物线与轴正半轴交点满足． ， ， 故①错误 根据二次函数轴对称性质：对称轴为，则 将代入解析式： 把代入化简： ，说明直线在交点左侧，此位置抛物线图象在轴上方 ，即 故②错误 ∵顶点坐标为， ∴ 故③正确 抛物线开口向下，点到对称轴越近，函数值越大． 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 平方作差比较距离大小： ， ， 即，得 点离对称轴更近，， 故④正确 由得，由得 ， ，即， 将代入抛物线解析式： ， 设一元二次方程的两根为，由韦达定理： ， 将代入： ， 故⑤正确 综上所述正确结论一共有3个． 答案B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．(2026广西中考）二次函数的最小值为__________． 【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． 答案 12.在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 【详解】解：设p关于V的函数关系式为， 由题意可知，点在反比例函数图象上， 则， 解得：， 则p关于V的函数关系式为， 当时，汽缸内气体的体积． 答案：50 13．（2026.北京市中考）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【详解】解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 答案： 14．若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于第______象限 【详解】解：设一元二次方程的两个正实数根为，，且，， 可得， ∵，， ∴，， ∴，，即， ∵点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴点位于第四象限． 答案：四 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.解下列方程： (1)； (2)． 【详解】（1） 解： 所以，或 所以，； （2） 解： 所以 所以，． 16.市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)求运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式； (2)若这个运输公司每天可运送土石方，该公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：在中，当时，则， 解得， 答：该公司完成全部运输任务需要9天． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 【详解】（1）解：∵点与点B关于直线对称， ∴点B的坐标为， 代入，得：， 解得， ∴二次函数的表达式为 （2）解：由， 解得：， ∵ ∴ 18．某人利用米长的墙为一边，用长米的竹篱笆作为另三边，围成一个面积为平方米的长方形菜园，长方形菜园的长和宽各是多少？ 【详解】解：设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米， ∵墙长为米， ∴， 解得， ∵长方形菜园的面积为20平方米， ∴， 整理得， ∴， ∴（舍去，∵），， 当时，， ∴长方形菜园的长和宽分别是米和米， 答：长方形菜园的长和宽分别是米和米． 5、 （本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．(2026甘肃省武威市中考）如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． (1)求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； (2)求四边形 的面积． 【详解】（1）解：∵点在一次函数 的图象上， ∴ ， ∴ ， ∴一次函数的表达式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴点， ∵ 轴于点 ， ∴ ， ． ∵一次函数与轴交于点 ， 令，解得， ∴点， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 过点 作 轴于点 ，则 ， ∴ ， ∴ ． 20.如图所示，它是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，…… (1)第一行有1个点，前两行点数和是3，前三行点数和是6，请问前四行的点数和是 ，前行的点数和是 ； (2)探究发现，120是前 行的点数和； (3)三角点阵中前行的点数和能是60吗？如果能请求出；如果不能，试用一元二次方程说明理由． 【详解】（1）解：前四行的点数分别是：1,2,3,4； 前四行的点数和是：； 前行的点数分别是：1,2,3,4，，, 前行的点数和是：； （2）解：设， 整理得到：， ， 解得：（舍去）， 所以120是前行的点数和； （3）不能，理由如下： 根据题意可得：，整理得，． ，即方程的两根均为无理数． 三角形点阵中前行的点数和不能是60． 6、 （本题满分12分） 21.某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，其中A零件为可回收材料制成，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，每名工人只能加工A零件3件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少8件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元，加工B零件总数为8件时，每件获利64元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少1元；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为_____ ； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为_____ ． 【详解】解：（1）设安排加工A零件的工人人数为名，因为加工A零件和C零件总数相等，且每名工人只能加工A零件3件或C零件1件，所以加工C零件的工人人数为名， 由题意得，解得， 所以安排加工A零件的工人人数为8名； （2）设加工B零件的工人人数为y名，加工A零件的工人人数为x名，则加工C零件的工人人数为名， 满足：，即且， 即， 解得， 同时x为正整数； 由题意，A零件总利润：， B零件总利润：，代入，得：， C零件总利润：， 总利润W为：， 展开并整理得， 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为直线， 此时，且，符合条件； 所以加工B零件的人数为24名． 7、 （本题满分12分） 22．如图，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点A，与x轴交于点B，反比例函数与直线l交于点C，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出的x的取值范围． 【详解】（1）解：令，解得，则， 将代入，则， ∴， ∴， 取中点D，则，，即， 分别过点C，点D作y轴的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数交于点C， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵，， 当时，反比例函数的图象在直线的图象上方，且反比例函数的图象与直线的图象都在轴上方， ∴的x的取值范围为． 8、 （本题满分14分） 23．（2026河北省中考）如图，二次函数（其中）的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为．将点绕点顺时针旋转得到点． (1)若，求直线的函数表达式，并判断点关于二次函数图象对称轴的对称点是否在直线上； (2)当时，二次函数的最大值为9，求的值； (3)连接，当点不在直线上时，过点作直线交轴于点，请直接写出的最小值． 【详解】（1）解：如图， 对于，当时，则， 解得， ∴，， 若，则， ∴， ∵将点绕点顺时针旋转得到点． ∴ ∴， 设直线， 则 解得 ∴直线； 对于，当时，， ∴ 由可得对称轴为直线， ∴点关于二次函数图象对称轴的对称点为， 当时，， ∴点不在直线上； （2）解：由（1）可得，， ∴对称轴为直线， 当，即时， ∵抛物线中，，则抛物线开口向上， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或（舍去）； 当，即时， 若，即时，此时离对称轴更远， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或，均不在范围内，故舍去； 若时，即，此时离对称轴更远， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或，均不在范围内，故舍去； 当，即时， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或（舍去）； 综上：的值为或； （3）解：∵， 同（1）可求 对于，对称轴为直线， ∴把代入可得，， ∴， 设直线，则，解得， ∵， ∴设直线， 代入，则，解得， ∴直线， 当时，， ∵， ∴当时，取得最小值为； 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $