第三章 图形的相似 基础测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 第三章图形的相似单元测试卷，通过选择、填空、解答题（10/6/6题，40/24/56分）覆盖相似图形、比例线段等核心知识，融合文化、历史与实际应用情境，适配单元复习，发展抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|相似图形识别、成比例线段、位似图形|以四分仪测量井深（题8）考查相似应用，融入科技史| |填空题|6/24|比例尺计算、网格相似三角形、矩形相似面积|《墨经》小孔成像（题15）体现文化传承，发展空间观念| |解答题|6/56|相似证明、河宽测量、一线三等角模型|矩形零件加工（题21）结合实际，模型探究（题22）培养创新意识|

第三章图形的相似基础测试卷 一、选择题(每小题4分，共40分) 1.下面几对图形中，相似的是 ( ) 2.下列长度的各组线段是成比例线段的是( ) A.3cm,6cm,7cm,9cm B.2cm,8cm,6cm,5cm C.3cm,9 cm,18 cm,6cm D.1cm,2cm,3cm,4cm 3.若 则 的值是 ( ) A. B. C. D. 4.如图所示的是某商店售卖的花架简图,其中AD∥BE∥CF,若DE=12 cm,EF=20cm,BC=25cm,则AB 的长为 ( ) A. B.cm C.15 cm D.20cm 5.黄金分割是汉字结构基本的规律.借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观.已知点 C为习字格边框AB的黄金分割点(AC>BC)，则下列结论正确的是 ( ) A. 6.如图,已知∠1=∠2,添加下列条件后,仍无法判定△ABC∽△ADE 的是 ( ) A. B.∠B=∠D C.∠C=∠AED D. 7.如图,已知△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：5，下列说法错误的是( ) A. AC∥A'C' B. C.△BCO≌△B'O'O D.0B=BB =5=3 8.四分仪是一种十分古老的测量仪器.其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》.图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井的上边沿，通过窥衡杆测望井底点 F，窥衡杆与四分仪的一边BC交于点 H.图2中，四分仪为正方形ABCD，方井为矩形BEFG.若测量员从四分仪中读得AB为2，BH为1，实地测得BE为5,则井深BG为 ( ) A.7 B.8 C.9 D.10 9.在研究相似问题时，甲、乙、丙三位同学的说法如下： 甲：将长和宽分别为8和5的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似. 乙：将边长为5，12，13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似. 丙：将边长为5的正方形按图③的方式向外扩张，得到新的正方形，它们的对应边间距均为1，则新正方形与原正方形相似.上述三人的说法中正确的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 10.如图，在△ABC中,点D是AB边的中点,点E在BC边上，且 CD与AE 交于点 F,则 的值为 A. B. C. D. 二、填空题(每小题4分，共24分) 11.在比例尺为1:5000的地图上,量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地的实际距离是 m. 12.如图,在正方形网格图中有△ABC,△CDB,△DEB,△BCE 四个斜三角形.其中与△ABC 相似的是 .(△ABC除外) 13.如图,在矩形ABCD中,点E 是AD边上一点,且AE=2DE,BD与CE相交于点F,若△DEF 的面积是2,则△BCF的面积是 . 14.如图，小莹用自制直角三角形纸板测量“观光塔”的高度，她调整自己的位置，设法使斜边AB 保持水平，边AC与点E在同一直线上.已知直角三角形纸板中AC=24cm,BC=18cm,测得点A离地面的高度为1.5m,小莹与“观光塔”的水平距离AH为178 m，则“观光塔”的高度EF是 m. 15.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，使物体AB在幕布上形成倒立的实像CD(点A，B的对应点分别是点 C，D).若物体AB的高度为9cm，实像CD的高度为3cm，则小孔O的高度OE为 cm. 16.如图,在矩形ABCD中,点E是AD的中点,点 F 是 CD 上一点,连接BE,BF,EF,若∠BEF=90°, 则 的值为 . 三、解答题(共56分) 17. (8分)已知 (1)求 的值. (2)若a+b+c=72,求2a-b+c的值. 18.(8分)如图，在平面直角坐标系中给出了格点△ABC(顶点均在正方形网格的格点上)，已知点A的坐标为(2，3). (1)画出与△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁. (2)以点 O 为位似中心，在给定的网格中画出△A₂B₂C₂，使 与△A₁B₁C₁位似,并且点A₂的坐标为(4,-6). (3)△A₁B₁C₁与 的相似比是 . 19.(9分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,B,C,E在同一条直线上,且∠D=∠CAE. (1)求证:△ABD∽△ECA. (2)若AC=6,CE=4,求BD的长度. 20.(9分)小宛想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度.如图，河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一个目标作为点A，再在这一侧的河岸边选出点 B 和点C,分别在AB,AC的延长线上取点D,E,连接DE,使得DE∥BC.经测量,BC=80米,DE=200米,且点 E 到河岸BC的距离为360米过点A作AF⊥BC，垂足为点E(AF的长即为河流的宽度)，请你根据提供的数据计算河流的宽度. 21.(10分)如图,△ABC是一块锐角三角形余料，边.BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成矩形零件PNMQ，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB,AC上,PQ交AD于H点. (1)当点 P 恰好为AB 中点时,PQ= mm. (2)若矩形PNMQ 的周长为220 mm,求PN的长. 22.(12分)体验: (1)如图①,在四边形ABCD 中, 点M 在 BC边上,当 时，可知 (不要求证明).模型 一线三等角 探究： (2)如图②,在四边形ABCD 中,点 M 在 BC 上,当 时，求证： 拓展： (3)如图③,在 中,点M 是边 BC的中点,点 D,E分别在边 AB,AC 上.若 求DE的长. 1. D根据形状相同的两个图形叫作相似图形可知，只有D选项中的两个图形相似，故选 D. 2. C ∵3×9=27,6×7=42,27≠42,∴A选项的4条线段不是成比例线段;∵2×8=16,5×6=30,16≠30,∴B选项的4条线段不是成比例线段;∵3×18=54,6×9=54,54=54,∴C选项的4条线段是成比例线段;∵1×4=4,2×3=6,4≠6,∴D选项的4条线段不是成比例线段.故选C. 3. A设a=3k,b=4k(k≠0), 故选A. 4. C ∵AD∥BE∥CF,. 即 ∴AB=15 cm.故选C. 5. A ∵点 C 为习字格边框AB 的黄金分割点(AC>BC), 故A符合题意.故选 A. 6. D ∵∠1=∠2,∴ ∠BAC=∠DAE. A.∵ ∠BAC=∠DAE, ∴△ABC∽△ADE,故A 不符合题意; B.∵∠BAC=∠DAE,∠B=∠D,∴△ABC∽△ADE,故 B 不符合题意； C.∵∠C=∠AED,∠BAC=∠DAE,∴△ABC∽△ADE,故 C不符合题意； 但无法确定∠B与∠D是否相等，∴无法判定△ABC与△ADE相似,故D 符合题意. 故选D. 7. D ∵△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形,∴AC∥A'C',BC∥B'C',△A'B'C'∽△ABC,故A 说法正确;∵△A'B'C'与△ABC的相似比为3:5,∴S△ABC:S△ABC=9:25,故 B 说法正确;∵ BC∥B'C',∴ ∠OBC=∠OB'C',∠OCB=∠OC'B',∴ △BCO∽△B'C'O,故 C 说法正确;∵△A'B'C'与△ABC是位似图形,且相似比为3:5,∴OB':OB=3:5, ∴OB':BB'=3:2,故D说法错误.故选 D. 8. B ∵四边形 BEFG 是矩形,∴ BE=FG=5,BE∥FG,∴∠ABH=∠G,∠AHB=∠AFG,∴△ABH∽△AGF, ∴BG=8.故选B. 9. C 由题意得,新矩形的长为8+1+1=10,宽为5+1+1=7, 新矩形与原矩形不相似，故甲的说法不正确；∴∵新三角形与原三角形对应边的距离均为1，∴新三角形的三边与原三角形的三边分别平行，∴新三角形的三个内角与原三角形的相等，∴新三角形与原三角形相似，故乙的说法正确；两个正方形一定相似，故丙的说法正确.综上，正确说法的个数为2.故选 C. 10. B 如图,过点D作DH∥BC交AE于点H,∵点D是AB边的中点,∴点H是AE的中点,∴DH是△ABE的中位线, 设BE=3x,则CE=2x, ∵DH∥BC, ∴△DHF∽△CEF, 故选 B. 11.答案 1 250 解析 设甲、乙两地的实际距离为 xcm，由题意得 ∴x=125 000,125000 cm=1250m.故答案为1250. 12.答案 △DEB 解析 易知△ABC中,AB:AC:BC=1: : ,△CDB中， △DEB 中,DE: BD : △BCE中,BC:CE:BE= :3:2 ,∴△DEB与△ABC 相似. 13.答案 18 解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC,∴ △DEF∽△BCF,∵AE=2DE,AD=BC,∴DE : BC=1 ∵△DEF 的面积是2, 故答案为18. 14.答案135 15.答案 解析 ∵AB⊥BC,DC⊥BC,∴ AB∥CD,∴△COD∽△AOB, ∵OE⊥BC,∴ OE∥AB,∴△ABC∽△OEC, 故答案为 16.答案 解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°,AD=BC,AB=CD,∵∠BEF=90°,∴∠AEB=90°-∠DEF=∠DFE,∴△DEF∽△ABE, :点 E 是AD的中点,∴ 设AE=DE=2k(k≠0),则 ∴AB=3k, ∴ FC=DC-DF=AB- 故答案为 17.解析设a=4k,b=3k,c=5k(k≠0). (2)∵a+b+c=72,∴4k+3k+5k=72,解得k=6, ∴a=24,b=18,c=30, ∴2a-b+c=2×24-18+30=60. 18.解析 (1)如图,△A₁B₁C₁即为所求. (2)如图,△A₂B₂C₂即为所求. (3)1:2.详解:∵△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂,C₁B₁=3,C₂B₂=6,∴△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的相似比 19.解析 (1)证明:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABD=∠ACE, 又∵ ∠D=∠CAE,∴△ABD∽△ECA. (2)∵△ABD∽△ECA, ∵AB=AC,AC=6,CE=4, ∴BD=9. 20.解析 如图,过点E作EH⊥FB,垂足为点H, ∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE, ∵EH⊥BF,AF⊥BC, ∴ ∠EHC=∠AFC=90°. 又∵∠ECH=∠ACF, ∴△ECH∽△ACF, 即 ∴AF=240米. 答：河流的宽度为240米. 21.解析 (1)60.详解:∵四边形PNMQ 为矩形,∴ PQ∥BC,又∵点P为AB中点， ∴PQ为△ABC的中位线,∴ 故答案为60. (2)∵四边形PNMQ 为矩形, ∴PQ∥BC,∠NPQ=∠PNM=90°, ∵AD⊥BC,∴PQ⊥AD, ∴四边形 PNDH 为矩形,∴ PN=DH, ∴AH=AD-DH=80-PN, ∵矩形 PNMQ 的周长为220 mm, ∴PQ=110-PN, ∵PQ∥BC,∴△APQ∽△ABC, ∴PN=20mm. 22.解析 (1)∽.详解:∵∠AMD=90°,∴∠AMB+∠DMC=90°,∵ ∠B=90°,∴ ∠AMB+∠BAM=90°,∴ ∠BAM=∠DMC,∵AB∥CD,∠B=90°,∴ ∠C=180°-∠B=90°,∴∠B=∠C,∴△ABM∽△MCD,故答案为∽. (2)证明:∵∠AMC =∠BAM+∠B = ∠AMD+∠CMD,∠B=∠AMD, ∴∠BAM=∠CMD, 又∵∠B=∠C,∴△ABM∽△MCD. (3)同(2)可得△BDM∽△CME, ∵点M是边BC的中点，∴ ∵CE=8 ∵∠B=∠C=45°, ∴∠A=180°-∠B-∠C=90°,AB=AC, ∴AD=AB-BD=10- =，AE=AC-CE=10-8=2,在 Rt△ADE 中, 学科网（北京）股份有限公司 $