4.4数据的离散程度 知识梳理+同步练习 2026-2027学年苏科版九年级上册数学

该初中数学导学案聚焦“数据的离散程度”，核心知识点包括极差、方差、标准差的定义、性质及统计量选用原则，通过对比集中趋势统计量，构建知识支架，帮助学生理解离散程度反映数据波动的作用。 资料特色在于知识梳理系统且同步练习丰富，习题结合科技竞赛、体育锻炼等真实情境，培养数据观念与推理意识，引导学生用数学思维分析数据稳定性，提升用数学语言表达现实问题的能力，适合课堂教学与自主学习。

4.4数据的离散程度（知识梳理+同步练习） 知识梳理 一、集中趋势与离散程度区别 平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，反映数据整体水平。 极差、方差、标准差描述数据的离散程度，反映数据波动、稳定情况。 二、极差 1. 定义 一组数据中最大值与最小值的差。 2. 公式 3. 性质 极差越大，数据波动范围越大，数据越不稳定；极差越小，数据越集中稳定。 极差计算简单，只反映两端数据差距，无法体现中间数据波动，误差较大。 三、方差 1. 定义 方差是一组数据中各数据与平均数差的平方的平均值，用来精准刻画数据波动大小。 2. 公式 3. 方差意义 方差越小：数据波动越小，数据越稳定、整齐。 方差越大：数据波动越大，数据起伏大、不稳定。 方差恒，方差为0时，所有数据完全相同。 四、标准差 1. 定义 方差的算术平方根叫做标准差。 2. 公式 3. 特点 标准差意义与方差一致，单位和原数据一致，更贴合实际应用。 五、数据变换对方差的影响 1. 数据全部加、减同一个常数：平均数改变，方差、标准差不变。 2. 数据全部乘常数：平均数变为原来倍，方差变为原来倍，标准差变为原来倍。 六、统计量选用原则 1. 比较平均水平：选用平均数、中位数、众数。 2. 比较稳定性、波动大小：优先选用方差、标准差。 3. 粗略判断波动范围：选用极差。 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级下·云南德宏·期末）为庆祝人工智能领域的重大突破，某科技公司“创新者”研发团队开展技术知识竞赛活动，经过筛选，决定从小李、小王、小孙、小赵四名员工中选择一名员工代表该团队参加比赛，经过统计，四名员工成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示： 小李 小王 小孙 小赵 平均数 88 88 92 92 方差 1.5 1.0 0.6 0.8 如果要选一名成绩好且状态稳定的员工参赛，那么应该选择（     ） A．小李 B．小王 C．小孙 D．小赵 2．（25-26八年级下·吉林·期末）在一次数学测试中，5名同学的数学成绩分别为：78，82，85，90，95．则这组数据的平均数和方差分别为（     ） A．86，35.6 B．86，30.8 C．85，34 D．85，30.8 3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）对5名女生“一分钟仰卧起坐”个数（每名女生的个数均不相同）进行登记时，误将最高成绩45个写成了48个，则下列统计量中不受影响的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 4．（25-26八年级下·福建厦门·期末）一个数据分组方案，如果其组内离差平方和很大，说明（     ） A．分组非常成功 B．组间差异很明显 C．同一组内的数据差异很大 D．分组数目太多了 5．（25-26八年级下·天津和平·期末）甲、乙两名运动员的8次射击成绩(单位：环)如图所示：甲、乙射击成绩的方差分别为，，则与的关系为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·云南红河·期末）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加朗诵比赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是92.6分，方差分别是，，，，你认为派谁去参赛更合适（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．（2022·河北石家庄·模拟预测）某企业1－6月份利润的变化情况如图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是（     ） A．1－6月份利润的众数是130万元 B．1－6月份利润的中位数是120万元 C．1－6月份利润的平均数是130万元 D．1－6月份利润的最大值与最小值的差是40万元 8．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 9．（25-26八年级下·天津·阶段检测）现有一组数据2，8，5，12，若将其分为两组，根据组内离差平方和最小的原则，正确的分组方式是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．（25-26八年级下·福建厦门·期末）为了考察甲、乙两地小麦的长势情况（小麦高度），小江同学在数据分析时分别列出求方差的两个式子：，，则下列表述不一定正确的是（    ） A．甲、乙两地都随机抽取了株小麦并测量其高度 B．若，则甲地小麦长得比较整齐 C．甲、乙两地小麦高度的众数相等 D．甲、乙两地小麦高度的平均值相等 二、填空题 11．（25-26八年级下·云南临沧·期末）一组数据3，4，5，6，7的方差为__________． 12．（25-26八年级下·甘肃陇南·期末）已知一组数据的方差为2，则其离差平方和是_____． 13．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）现有甲、乙、丙、丁四个队参加某种比赛，各队人数相同，平均身高也相同，他们身高的方差分别为，，，，则这四个队中，你认为选取________队参加决赛比较合适． 14．（25-26八年级下·陕西西安·期末）小亮根据组内离差平方和最小原则，将一组数据分成了和两组，则这两组数据的组内离差平方和为_____________． 15．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图所示是甲、乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图，从中可以发现这个月的日平均气温方差较小的是__________（选填“甲地”或“乙地”） 16．（25-26八年级下·浙江台州·期末）某校游泳队有5名同学准备参加50米自由泳比赛，为了让队员更有效地进行赛前训练，教练计划将他们按50米自由泳最好成绩（单位：秒）的高低分成两组，下表给出了4种分组情况及组内离差平方和，则这5名同学的最合理的分组序号是___________． 序号 第1组 第2组 组内离差平方和 ① 32.5 33.2，34.0，36.5，36.8 9.67 ② 32.5，33.2 34.0，36.5，36.8 4.97 ③ 32.5，33.2，34.0 36.5，36.8 1.17 ④ 32.5，33.2，34.0，36.5 36.8 9.13 17．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）有甲、乙、丙三组数据，每组数据中有6个正整数，各组中数的排列分布折线图如上图所示，乙组中6个数的平均数为_________，各组数据方差从小到大依次为_________．（填写“甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”中的一个） 18．（25-26八年级下·河北承德·期末）某同学对数据进行统计分析，发现第5个两位数的个位数字被墨水涂污，则与被涂污数字无关的是这组数据的________（填平均数、中位数、方差或众数）． 19．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）已知某体能训练小组成员每周锻炼身体的时长（单位：）分别为3，5，8，10，老师按照锻炼身体的时长将该训练小组的成员分成和两组，则这样分组的组内离差平方和为________． 20．（25-26八年级下·河北唐山·期末）学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是__________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 40 ② 第一组2个，第二组2个 88 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 三、解答题 21．（25-26八年级下·云南红河·期末）地震发生时，逃生时间通常仅有几分钟，采取有效的自救与逃生措施能够显著降低人员伤亡．某中学针对八年级学生进行了逃生技能掌握情况的调查，随机抽取了班和班各名学生进行问卷调查，分数越高表明学生掌握的逃生技能越好．根据调查结果绘制了如下所示不完整的统计图表． 数据统计结果表 班级 平均数 中位数 众数 方差 班 班 请根据以上信息，解答下列问题． (1)________、________，并补全条形统计图； (2)小颖的得分是90分，其分数高于她所在班级半数同学的个人得分，则小颖在________班（填“1”或“2”）．在逃生技能的掌握方面，你认为________班（填“1”或“2”）的学生离散程度更小． 22．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6． 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． (1)根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 6 2.6 乙组 7 在以上成绩统计表中，__________，__________，__________． (2)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 23．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）人工智能（）作为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着社会生产生活方式．为了加深学生对知识的了解，某校开展了专题培训，并在培训后进行了测试，从七、八年级各随机抽取10名学生，将他们的测试成绩（满分10分，不低于8分为优秀）整理后绘制成如下两幅统计图． 七年级测试成绩扇形统计图 八年级测试成绩条形统计图 根据图中信息，解答下列问题： (1)八年级测试成绩的众数为________分，平均数为________分； (2)已知七年级测试成绩的方差为1.09，八年级测试成绩的方差为1.69，则________年级的测试成绩更稳定；（填“七”或“八”） (3)若该校七年级共有200名学生参加测试，请你估计七年级测试成绩达到优秀的学生人数． 24．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）甲、乙两人在“定位投篮”选拔赛测试中（共10轮，每轮投10个球）成绩如下： (1)填表： 平均数 中位数 众数 方差 甲 7 7.5 8 2.2 乙 7 1.2 (2)如果你是教练，你会选择谁参加“定位投篮”比赛？请说明理由． 25．（25-26八年级下·北京密云·期末）秉持“健康第一”的教育理念，中小学生每日需完成不少于小时中等及以上强度的体育锻炼．某地区为了解本地各中小学日常体育锻炼的实际情况，现对甲、乙两所学校学生一个星期内每日进行中等及以上强度体育锻炼的平均时长进行调查，并对所得数据进行整理、描述与分析．下面给出部分信息． ．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图如下： ．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数如下： 学校 平均数 中位数 众数 甲 乙 根据以上信息，完成下列问题： (1)表中__________，__________； (2)__________（填“”“”或“”）； (3)甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差分别为、，则__________（填“”“”或“”）； (4)由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为分钟，实际为分钟，将数据改正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的统计量不发生变化的是__________（写出所有符合题意的序号）． ①平均数  ②中位数  ③众数  ④方差 26．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）某市射击队为了从A，B两名运动员中选拔一人参加青少年射击比赛．现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名运动员每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图，A，B两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图．并绘制了A、B两名运动员的箱线图 【数据分析】 (1)计算平均数， （环）， （环）：通过散点图比较：  （“”“ ”或“”）： (2)根据下表计算四分位数．①②③代表的数据分别是 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 10 B 8 9 ③ 10 【作出决策】 (3)请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由．（请结合数据的平均数、方差、四分位数和箱线图等作全面分析） 试卷第2页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C C B D C A C 1．C 【详解】解：∵小孙、小赵的平均成绩为，小李、小王的平均成绩为，， ∴小孙、小赵成绩更好， ∵小孙的方差为，小赵的方差为，， ∴小孙成绩好且状态稳定． 2．A 【详解】解：平均数． 方差． 3．B 【详解】解：将个不同成绩按从小到大排列，中位数为第个数据， ∵最高成绩为最大数据，将其从改为后仍为最大数据，排序后第个数据不变， ∴中位数不受影响． 4．C 【详解】解：组内离差平方和越大，说明同一组内的数据差异越大． 5．C 【详解】解：观察图象可知，甲的成绩波动较小，乙的成绩波动较大， ∵方差是衡量一组数据波动大小的量，波动越小方差越小， ∴． 6．B 【详解】解：∵四人平均成绩均为92.6分，，，，． ∴． ∴乙的成绩最稳定，适合参赛． 7．D 【详解】选项A：众数是一组数据中出现次数最多的数，这里120万元出现2次，次数最多，因此众数是120万元，A错误，不符合题意； 选项B：将数据从小到大排列后，6个数据的中位数为第3、4个数的平均数：万元，B错误，不符合题意； 选项C：平均数为万元，不是130万元，C错误，不符合题意； 选项D：利润最大值是150万元，最小值是110万元，差为万元，D正确． 8．C 【详解】解：设原数据的平均数为，方差为，新数据的平均数为，方差为， 由题意得，． 新数据的平均数为 ， ∵， ∴， 同理，……，， ∴新数据的方差为 ． 9．A 【详解】解：A.的平均数为，离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为； B.的平均数为，离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为； C.的平均数为，离差平方和为；的离差平方和为，总离差平方和为； D.的离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为， ∵， ∴选项A的总离差平方和最小. 10．C 【详解】解：∵，， ∴甲、乙两组样本容量均为10，平均数均为25， ∴A、D选项表述正确； ∵方差越小，数据波动越小，小麦长势越整齐， ∴若，则甲地小麦长得比较整齐，B选项表述正确； ∵两组数据平均数相等，不能推出众数一定相等，存在平均数相同但众数不同的情况， ∴C选项表述不一定正确． 11．2 【详解】解：计算这组数据的平均数： ， 代入方差公式计算得：， 即这组数据的方差为2． 12．16 【详解】解：设该组数据的离差平方和为，数据个数，方差， 根据方差的定义可得 ， 变形得 ． 13．甲 【详解】解：∵，且四个队人数、平均身高都相同， ∴甲队的方差最小，身高最整齐，选取甲队参加决赛更合适． 14．2 【详解】解：第一组数据的均值为， 离差平方和为； 第二组数据的均值为， 离差平方和为； ∴这两组数据的组内离差平方和为． 15．乙地 【详解】解：观察甲、乙两地的箱线图可知，甲地日平均气温的最高值与最低值差距较大，箱体较长，数据分布较分散，波动较大； 乙地日平均气温的最高值与最低值差距较小，箱体较短，数据分布较集中，波动较小， ∴乙地的日平均气温方差较小． 16．③ 【详解】解：首先将5名同学的成绩从小到大排序得：， 对比四个分组的组内离差平方和可得：， 分组③的组内离差平方和最小，组内成绩最接近，因此最合理的分组是③． 17． 6 乙丙甲 【详解】解：∵每组数据中有6个正整数， ∴结合折线图可知，甲组数据为：，，，，，； 乙组数据为：，，，，，； 丙组数据为：，，，，，； ∴甲组数据的平均数为：； 乙组数据的平均数为：； 丙组数据的平均数为：； ∴甲组数据的方差为：； 乙组数据的方差为：； 丙组数据的方差为：； ∵， ∴各组数据方差从小到大依次为乙丙甲． 18．中位数 【详解】解：设被涂污的个位数字为，其中，为整数，则被涂污的数为， 这组数据共个，根据中位数的定义，中位数为排序后第个和第个数据的平均数. 无论还是，从小到大排序后，第个数据为，第个数据为，因此中位数为，与无关； 平均数计算需要用到所有数据的和，总和含，因此平均数与有关； 方差计算需要用到平均数和每个数据，因此方差与有关； 若，则被涂污的数为，此时众数为和；若，则众数为，因此众数与有关， 综上，与被涂污数字无关的是中位数． 19．4 【详解】解：的组内平均数为，组内离差平方和为； 的组内平均数为，组内离差平方和为； 所以这种分组情况的组内离差平方和为． 20．③ 【详解】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组，， 序号③的组内离差平方和最小，即盆植物的最优分组序号是③． 21．(1)，，补全条形图如下， (2)， 【详解】（1）解：观察班学生得分的条形图可知得分的人数人， 班学生得分的中位数为第五位学生得分分和第六位学生得分分的平均数，即中位数为，表示中位数，即． 根据班学生得分的扇形图可知班得分人数人，得分人数人，得分人数人，得分人数人，得分人数人， 班学生得分平均数． 补全条形统计图略； （2）解：班的中位数是分，班的中位数是分， ∵小颖的得分是分，其分数高于她所在班级半数同学的个人得分， ∴小颖在班， ∵班的方差，班的方差，班的方差大于班的方差 ∴班学生得分离散程度更小． 22． 【详解】（1）解：甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10， 中间两个数的平均数是，则中位数； 重新排列乙组数据为：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10， ， 数据7出现了四次，次数最多，故众数． （2）选乙组参加决赛．理由如下： ， 甲、乙两组学生平均数相同，而甲组的方差大于乙组的方差， 乙组的成绩比较稳定， 故选乙组参加决赛． 23．(1)9，8.1 (2)七 (3)160名 【详解】（1）解：∵八年级测试成绩为9分的有4人，人数最多， ∴众数是9； 平均分为； （2）解：∵， ∴七年级的测试成绩更稳定； （3）解：（名）． 答：估计七年级测试成绩达到优秀的学生人数为160名． 24． 【详解】（1）解：根据题意，乙10轮的成绩分别为：9、6、6、8、7、6、6、8、8、6， 乙10轮的成绩从小到大第五位为，第六位为， 乙成绩的中位数为， 乙10轮的成绩出现次数最多的为， ∴乙成绩的众数为； （2）选乙：因为甲每场比赛的平均得分虽然与乙相同，但乙的方差小于甲的方差，所以乙的比赛状态较甲稳定； 选甲：因为甲的平均得分虽然与乙相同，但甲得分的众数比乙的大，说明甲在大多数情况下得分比乙要好．（言之有理即可） 25．(1)； (2) (3) (4)②③ 【详解】（1）解：把甲校学生每天的平均运动时长按照从低到高排列为分钟， ∴甲校学生数据的中位数为个数据中的第个数据，即分钟， ∴， ∵甲校学生数据中数据出现的次数最多， ∴甲校学生每天的平均运动时长的众数为分钟，即； 故答案为：；； （2）解：∵甲校学生每天的平均运动时长按照从低到高排列为分钟， 乙校学生每天的平均运动时长按照从低到高排列为分钟， ∴分钟， 分钟， ∴； 故答案为：； （3）解：由折线统计图可知，甲校学生数据的波动程度比乙校学生数据的波动程度大， ∴； 故答案为：； （4）解：把甲校学生星期五的数据分钟换成分钟后， 甲校学生新的数据按照从低到高排列为分钟， 中位数仍是第个数据，即分钟，众数还是分钟， ∵数据的总和变大， ∴平均数会变大，进而方差也会发生变化， ∴统计量不发生变化的是②③． 故答案为：②③． 26． 【详解】（1）解：运动员B的平均数为：环， 根据散点图得：运动员A的成绩的波动比运动员B大， ∴ ； （2）解：方法一：选手A的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10， ∴中位数为，即②代表的数据是； ∵前半部分的4个数据为6，7，8，9， ∴下四分位数为，即①代表的数据是； 选手B的数据从小到大排列为8，8，9，9，9，9，10，10，后半部分的4个数据为9，9，10，10， ∴上四分位数为，即③代表的数据是； 方法二：选手A的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10，共8个， 中位数为，即②代表的数据是； ∵， ∴取第2位和第3位的平均数，故下四分位数为，即①代表的数据是； 选手B的数据从小到大排列为8，8，9，9，9，9，10，10， ∵， ∴取第6位和第7位的平均数，故上四分位数为，即③代表的数据是； （3）选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： 根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛， 因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强，所以选择B选手参加青少年射击比赛． $