第四章 数据的集中趋势和离散程度 小结与思考导学案2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学导学案以“数据的统计分析”为核心，围绕描述数据集中趋势（平均数、中位数、众数）和离散程度（方差、四分位数）的统计量展开，整体目标是让学生掌握统计量的概念、计算及应用。通过知识梳理填空、归纳总结、典例分析（从基础计算到综合应用）、当堂反馈的递进式设计，构建了“回顾-理解-应用-巩固”的完整学习路径。 亮点在于结合现实情境的主题探究任务设计，如“多彩非遗演讲比赛成绩计算”“航天知识测试分析”等实例，引导学生用数学眼光观察数据特征，用数学思维进行统计推理，培养数据意识和应用意识。知识结构图和分层练习支持学生系统梳理知识，为教师实施单元复习提供了针对性强的教学指导。

第四章 小结与思考 【知识梳理】 1．本章所学习的描述数据集中趋势的统计量有______、______和______；描述数据离散程度的统计量有______和______． 2．最大值、最小值及三个四分位数构成的统计图叫做______，它能直观反映数据的______和______． 3．若一组数据中存在极端大值，平均数会______（填“变大”或“变小”），此时用______代表数据的平均水平更合适．方差越大，说明数据越______（填“稳定”或“不稳定”）． 归纳：样本数据的数字特征也称为统计量，是定量分析数据的工具， 其中平均数反映的是数据的“ ”,是最常用的描述数据集中趋势的统计量，但容易受极端数据的影响；中位数和四分位数用于将数据按 分组，由四分位数、最大值、最小值构成的箱线图可以大致描述数据的 ；众数是数据中 的数据；方差刻画了一组数据的 程度，当方差与平均数配合使用时，可以同时反映数据的集中趋势与离散程度. 4.根据本章知识，完成本章知识结构图. 【典例分析】 例1 某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．进入决赛的两名选手需要确定名次，评委从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计算，他们的成绩如下（单位：分）． 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 甲 90 80 85 乙 75 85 95 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩． (2)如果把演讲内容、演讲能力、演讲效果按5:3:2计算最终成绩，请你通过计算确定两人的名次． 例2 年月日，神舟二十三号载人飞船成功发射，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试，现从七、八年级各随机抽取了名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 【数据收集】 七年级：，，72，，，82，83，，，，，，，，； 八年级：，，，，79，82，，，，，，，，，. 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)________，________； (2)请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)测试成绩在分的学生可以获得奖励，若该校八年级有名学生，估计八年级可以获得奖励的学生人数为多少？ 例3 为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞赛，共有20道题．竞赛结束后，学校随机抽取了20名同学的答卷，他们答对的题数（单位：道）统计如下：2，4，6，7，8，9，10，10，10，11，12，13，13，14，15，15，16，17，18，20． (1)这20名同学答对题数的众数为_________道，中位数为_________道； (2)这20名同学中答对题数最少的5名同学打算一起分组学习航天知识，若按照答对的题数将他们分为2人组和3人组，现有以下两种分组方式，根据组内离差平方和最小的原则，应该采用哪种分组方式？ 分组方式 分组情况 组内离差平方和 方式一 甲组2人，乙组3人 m 方式二 Ⅰ组3人，Ⅱ组2人 例4 某校要从甲、乙两名选手中挑选一人参加第十四届创新应用科普活动，在最近的10次选拔赛中，他们的测试成绩（单位：分）如下： 甲：89，70，96，100，68，78，96，60，91，92； 乙：88，65，90，80，93，65，93，90，96，80． (1)小明利用平均数、方差进行分析：通过计算平均数：， ； 方差：，，可以看出， （填甲或乙）的测试更稳定； (2)写出甲数据的四分位数： ； ； ； (3)观察图中乙的箱线图，绘制甲的箱线图，并根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对甲乙两人成绩的看法． 【当堂反馈】 1．某中学七年级10名同学在学校举行的“请党放心，强国有我”主题演讲比赛中，他们的比赛成绩统计如图所示，对于这10名学生的比赛成绩，下列说法正确的是（ ） A．众数是90 B．中位数是85 C．平均数是88 D．方差是65 2．为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某校组织知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为55，64，51，50，61，55，则这组数据的是（ ） A．51 B．55 C．58 D．64 3．某排球队6名队员的身高（单位：cm）是：．现增加一名身高为的队员，与增加之前相比，增加后队员身高（ ） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数不变，方差变小 D．平均数不变，方差变大 4．某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的第三四分位数和第一四分位数分别为______、 ． 5．某中学举行的五四青年节文艺比赛中，5名参赛选手的成绩分别是：8，7，8，7，10，这5名选手的方差是______． 6．某小组8名学生的科普知识竞赛成绩（单位：分）分别为88，98，87，92，92，90，91，96，老师将这些成绩分为两组分析成绩分布：第一组，第二组，则组内离差平方和为________． 7．为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取12名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图． 七年级积分：55，65，65，75，78，85，88，90，92，95，98，100； 八年级积分：68，75，77，82，86，88，90，91，91，93，94，96． 整理得到如下积分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.5 m 65 八年级 85.2 n p (1)求统计表中m,n,p的值； (2)补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图，并通过对比两个年级的箱线图，初步判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 知识梳理归纳参考答案： 平均水平、百分数、分布情况、频数最多、离散. 例题参考答案： 例 1 【答案】(1) 甲85分，乙85分； (2) 甲 86 分，乙 82 分，甲第一名，乙第二名 【知识点】算术平均数、加权平均数 【分析】(1) 三项成绩直接求和除以 3;(2) 按权重 5:3:2 计算加权平均数，总分高者名次靠前. 【详解】解: (1) 甲的平均成绩:=85 (分). 乙的平均成绩:=85 (分). (2) 权重之和为 5+3+2=10. 甲最终成绩:=86 (分). 乙最终成绩:=82 (分). ∵86>82,∴甲第一名，乙第二名. 例2 【答案】(1) a=84,b=88; (2) 八年级成绩较好，理由见详解； (3) 220 人 【知识点】中位数、众数、用样本估计总体 【分析】(1) 15 个数据的中位数是排序后第 8 个数据；众数是出现次数最多的数据.(2) 平均数相同时，比较中位数.(3) 用样本中获奖比例乘八年级总人数. 【详解】解: (1) 七年级数据已排序：65,70,72,73,78,82,83,84,85,85,89,92,93,96,98, 共 15 个，第 8 个数据为 84, 故 a=84. 八年级数据：56,69,73,77,79,82,85,88,88,88,90,90,93,93,94, 其中 88 出现 3 次，次数最多，故 b=88. (2) 八年级测试成绩较好。理由：七、八年级平均数均为 83, 八年级中位数 88 高于七年级中位数 84, 说明八年级一半以上学生成绩不低于 88 分. (3) 抽取的 15 名八年级学生中，成绩在 90≤x≤100 的有 90,90,93,93,94, 共 5 人. =220 (人). ∴估计八年级可以获得奖励的学生人数为 220 人. 例3 【答案】(1) 众数 10 道，中位数 11.5 道； (2) m=4, 采用方式一 【知识点】众数、中位数、组内离差平方和最小原则 【分析】(1) 20 个数据，众数为出现次数最多的数，中位数为第 10、11 个数的平均数.(2) 分别计算方式一两组的组内离差平方和，求和得 m, 再与方式二比较，选总和更小的. 【详解】解: (1) 数据：2,4,6,7,8,9,10,10,10,11,12,13,13,14,15,15,16,17,18,20. 其中 10 出现 3 次，出现次数最多，故众数为 10 道. 第 10 个数为 11, 第 11 个数为 12, 中位数 ==11.5 道. (2) 答对题数最少的 5 名同学：2,4,6,7,8. 方式一：甲组 {2,4}, ==3, 组内离差平方和 ==1+1=2. 乙组 {6,7,8}, ==7, 组内离差平方和==1+0+1=2. ∴m=2+2=4. 方式二的组内离差平方和为 8.5. ∵4<8.5, 按照组内离差平方和最小的原则，应采用方式一. 例4 【答案】(1) = 84, 乙； (2) m25=70,m50=90,m75=96; (3) 见详解 【知识点】平均数、方差、四分位数、箱线图 【分析】(1) 用平均数公式计算乙的平均数，方差越小成绩越稳定.(2) 先将甲数据从小到大排序，按苏科版百分位数规则求四分位数.(3) 根据五数概括绘制箱线图并对比分析. 【详解】解: (1) 乙数据：88,65,90,80,93,65,93,90,96,80. =84 (分). ∵, ∴乙的测试更稳定. (2) 甲数据从小到大排序：60,68,70,78,89,91,92,96,96,100, 共 10 个. =2.5, 非整数，向上取整为第 3 项，m25=70. , 整数，取第 5、6 项的平均数，m50==90. , 非整数，向上取整为第 8 项，m75=96. (3) 甲的五数概括：最小值 60,Q1=70, 中位数 90,Q3=96, 最大值 100. 看法：甲乙两人平均数相同 (均为 84 分), 但乙方差更小，成绩更稳定；甲的最高分更高 (100 分), 说明上限高，但最低分仅 60 分，成绩波动大，发挥不够稳定. 当堂检测参考答案 1.【答案】B 【知识点】折线统计图、众数、中位数、平均数、方差 【分析】先从折线图读出各分数对应的人数，列出全部数据，再依次计算众数、中位数、平均数、方差，逐一判断选项. 【详解】解：由图可知，75分1人，80分2人，85分5人，90分2人，共10人. 数据为：75,80,80,85,85,85,85,85,90,90. 众数为 85, 故 A 错误. 10 个数据，中位数为第5、6个数的平均数，第5、6个数均为85, 中位数为85, 故 B 正确. 平均数= =84, 故C错误. 方差= =19, 故D错误. 综上，选 B. 2.【答案】A 【知识点】百分位数 【分析】先将数据从小到大排序，再按苏科版百分位数规则计算 m25. 【详解】解：数据排序：50,51,55,55,61,64, 共 6 个. =1.5, 非整数，向上取整为第 2 项，故 m25=51. 选 A. 3.【答案】C 【知识点】平均数、方差 【分析】分别计算增加队员前后的平均数和方差，再比较变化. 【详解】解：原 6 名队员身高：180,184,188,190,192,194. 原平均数==188. 增加一名身高 188cm 的队员后，共 7 人， 新平均数==188, 平均数不变. 原方差=. 新方差=. ∵,∴方差变小. 综上，平均数不变，方差变小，选 C. 4.【答案】295,250 【知识点】四分位数 【分析】先将数据从小到大排序，共8个数据，按苏科版规则分别计算第一、第三四分位数. 【详解】解：数据排序：188,240,260,284,288,290,300,360, 共 8 个. 第三四分位数:=6, 整数，取第 6、7 项的平均数， 第一四分位数: 整数，取第 2、3 项的平均数， ∴第三四分位数为 295, 第一四分位数为 250. 5.【答案】1.2 【知识点】方差 【分析】先求平均数，再代入方差公式计算. 【详解】解：数据：8,7,8,7,10. 平均数= 方差= 6.【答案】24 【知识点】组内离差平方和 【分析】分别计算两组的平均数和组内离差平方和，再求和. 【详解】解：第一组 {87,88,90,91,92,92},平均数 第一组离差平方和 = 第二组 {96,98}, 平均数 = 第二组离差平方和 = 组内离差平方和 = 22+2=24. 7.【答案】(1) m=86.5,n=89,p=91; (2) 补全箱线图见详解，八年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定 【知识点】中位数、众数、箱线图、四分位数 【分析】(1) 12 个数据的中位数为排序后第 6、7 个数的平均数；众数为出现次数最多的数据.(2) 先求七年级五数概括补全箱线图，再通过对比箱体长度和极差判断集中与稳定程度. 【详解】解: (1) 七年级数据排序：55,65,65,75,78,85,88,90,92,95,98,100, 共 12 个. 中位数为第6、7个数的平均数，m==86.5. 八年级数据排序：68,75,77,82,86,88,90,91,91,93,94,96, 共 12 个. 中位数为第6、7个数的平均数，n==89. 八年级中 91 出现 2 次，出现次数最多，故众数 p=91. (2) 七年级五数概括: 最小值= 55. 第一四分位数:=3, 整数，取第 3、4 项平均，Q1==70. 中位数 = 86.5. 第三四分位数:=9, 整数，取第 9、10 项平均，Q3==93.5. 最大值 = 100. 对比两个年级箱线图: 七年级箱体长度 = 93.5-70=23.5, 极差 = 100-55=45. 八年级箱体长度 = 92-79.5=12.5, 极差 = 96-68=28. ∵八年级箱体更短、极差更小， ∴八年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定. 学科网（北京）股份有限公司 $