3.4 圆周角 知识梳理+同步练习 2026-2027学年苏科版九年级上册数学

该初中数学导学案聚焦“圆周角”核心内容，通过联系圆心角知识导入，系统梳理圆周角定义、定理、推论及圆内接四边形性质，构建从概念辨析到定理应用的学习支架。 资料以知识梳理与同步练习结合为特色，题型涵盖选择、填空、解答题，详解过程引导学生推理分析，培养几何直观与推理能力，助力学生用数学思维解决问题，提升学习效率与应用意识。

3.4圆周角（知识梳理+同步练习) 一、圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 判定条件（缺一不可）：顶点在圆上、角的两边与圆相交。 区别：圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上。 二、圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半。 公式：园周角=园心角 三、圆周角定理推论 1.同弧或等弧所对的圆周角相等。 2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角(90)。 3.90°的圆周角所对的弦是直径。 4.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 四、圆周角与弧的度数关系 一条弧的度数等于它所对圆心角的度数。 圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 五、圆内接四边形性质 四个顶点都在圆上的四边形为圆内接四边形。 性质1：圆内接四边形的对角互补。 性质2：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 圆周角定理： 1、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等：相等的圆周角所对的弧也相等： 如图所示，若∠ACD=∠BDC,则：G=C :AG=AG∴∠ADB=∠ACB 2、在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半： B B 如图所示，∠AOB=2∠C 3、半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 D 如图所示，①"'AB为⊙0的直径，∴.∠C90 ②∠D=90°，.AB为⊙0的直径。 B O 4、圆的内接四边形对角互补 如图所示，四边形ABCD是圆的内接四边形 则∠A+∠BCD=180° 推论：①∠A=∠BCE ②∠BCD+÷∠B0D=180 同步练习 一、单选题 1.如图，在⊙0中，∠ADC=120°，则∠ABC的度数是（) A.30° B.55° C.45° D.60 2.如图在O0中，若B=BC.∠A0B=42,则∠BDC的度数是() 0 0 A.18° B.21° C.24° D.48° 3.如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC,若∠ACB=40°，则∠BAC的度数为 A.40° B.20° C.30° D.10 4,如图，以点O为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的 斜边AB重合，如果点D在量角器上对应的刻度为11O°，连接CD.那么∠BCD=() A.110° B.55o C.65° D.70° 5.如图，将一把含30°的直角三角板如图放置，点A在半圆O上，斜边与半圆相交于点B,长直角 边与半圆相交于点C,则∠BOC的度数是() 90 A.70 B.60° C.45° D.30° 6.如图，点A、B、C、D在⊙0上，若∠I+∠2=110°，则∠B的度数为() B A.55 B.60° C.65 D.70° 7.如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABC=33°，则∠CDB的度数为（) B A.33° B.57° C.66° D.67° 8.如图，△ACB和△ACD均为⊙O的内接三角形，且AB为直径，若∠D=68°，则∠CAB的度数是 () A.18° B.20° C.22° D.25° 9.如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，CEI‖AD交AB于点E,BE=BC,∠BCD=122°，则LADC 的度数为() E 0 D C A.106° B.112° C.116° D.126° 10.如图，四边形ADBC内接于OO,AB为直径，CD平分∠ACB,要想求出四边形ADBC的面积， 只要知道() D A.AC的长 B.AB的长 C.CD的长 D.tan∠ABC的值 二、填空题 11.如图，4、B、C、D是O0上的点若CD的度数为50°.则∠B+∠E=° A Q 12.以AB为直径的半圆O上，点C,D的位置如图所示，若∠CAB=20°，则∠D=。. D 13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接CE,若∠BAD=104°， ∠DCE= A 0 B 14.如图，△ABC内接于⊙0，CD1AB于点D,连接0C,若∠A=45,∠B=60°，则∠OCD的大小 为 C D 15如图，正方形MCD内接于O0,点P在B上，则∠P的度数为 A D B C 16.在半径为1的o0中，弦41B=5半径0C与弦48相交所成的锐角为75”，连接4C,则 ∠BAC 的度数为 17.如图，AB是⊙0的直径若AC=4,∠D=60°，则BC的长等于一· C 0 I8.如图，⊙O的两条直径AB,CD互相垂直，点E在半径OD上，连接BE并延长交⊙O于点F,若 FD=FE ∠CBF= 则 19.已知线段AB=12,C为平面内一动点，连接CA,CB,∠ACB=60°，则△ABC的面积的最大值为 20.如图，C是半圆上一点，AB是直径，将弓形沿BC翻折交AB于点D,若AD=4,DB=5,则 BC 的长为 D B 三、解答题 21.如图，△ABC内接于O0,点O在AB上，AD平分∠BAC交O0于点D,连接BD,延长AC BD相交于点E,求证：AB=AE. E B 22.已知点A、B、C、D在⊙O上，BC是直径，AD∥BC,∠ADC=120°，⊙O的半径为2. B (1)求证：AC是∠BCD的平分线；， (2)求圆内接四边形ABCD的周长. 23.如图是由边长为1的小正方形组成的6×7的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，格点 A、B、C在同一个圆上，只用无刻度的直尺分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹. B 图① 图② (1)在图①中，画出圆心0； 2)在图2中，在0上画点D,使4C=AD 24.如图，在钝角△ABC中，∠C=45°，AE⊥BC,垂足为点E,且AB与AC的长度为方程 X-9x+18=0的两个根1B>1C),O0是△ABC的外接圆. B E (1)求⊙0的半径； (2)计算BE的长. 25.如图1，在△ABC中，AC=BC,AB是OO的直径，AC交⊙O于点D,连接OC交⊙O于点E, B B 图① 图② (1)求∠CDE的度数； (2)如图2，当点D是AC的中点，⊙0的半径为2时，求AD的长. 26.【感知】(1)如图①，点A、B、C、D均在⊙0上，点E在⊙0外，点A、B、E三点共线， ∠ADC=60° ,∠EBC 则 为度 【理解】(2)如图②，⊙O是四边形ABCD的外接圆，连接AC、DB,点O在AC上，AB=BC 若延长DA到点E,使AE=CD,连接BE,请探究线段AD,BD,CD之间的数量关系； 【应用】(3)如图③，AB是OO的直径，点C、D在⊙O上，点C是弧AB的中点，点D为圆周上 一动点，若AB=13,AD=12,求CD的长度. A B A 0. E. 0 C B 图① 图② 图③ 答案 题号 1 2 6 7 8 9 10 答案 D B B B B D B C C 1.D 【详解】解：如图，四边形ABCD内接于⊙O,且∠ADC=120° .∠ABC=180°-∠ADC=180°-120°=60° 即∠ABC的度数是60° 故选：D. 2.B 【详解)解：AB=BC∠4OB=420 .∠BDC= ∠A0B=21°。 2 3.B 【详解】解：∠ACB=40° .∠AOB=2∠ACB=80° :∠AOB=2∠BOC=80° ∴.∠BOC=40° ÷∠BAC=1∠B0C=20 2 故选：B 4.B 【详解】解：如图，连接OD,则∠BOD=110° A B D ~量角器的直径与直角三角板的斜边重合，∠ACB=90°， ∴点D在该量角器所在的圆上， :∠BCD=∠B0D=55° 故选：B· 5.B 【详解】解：·∠A和∠BOC 分别是 BC 所对的圆周角和圆心角， ∠A=30° .∠B0C=2∠A=2×30°=60° 6.D 【详解】解：在四边形AOCD中，∠1+∠2+∠D+∠AOC=360° .∠1+∠2=110° .∠D+∠AOC=250° 由图可得，∠AOC=2∠B,且∠D+∠B=180°， 「∠D+2∠B=250° .∠D+∠B=180°， [∠D=110° 解得∠B=70°. 7.B 【详解】解：AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90° ·.∠A=90°-∠ABC=90°-33°=57°， .∠CDB=∠A=57° 故选：B· 8.C 【详解)解：AB为⊙O的直径， .∠ACB=90° ∠D=68° .∠ABC=68° .∠CAB=90°-68°=22° 故选：C 9.C 【详解】解：⊙O是四边形ABCD的外接圆，∠BCD=122°， .∠A=180°-∠BCD=180°-122°=58° .CEll AD .∠BAD=∠BEC=58° BE=BC ∴.∠ABC=180°-2∠BEC=180°-2×58°=64° .∠ADC=180°-∠ABC=180°-64°=116°. 故选：C 10.C 【详解】解：，AB为直径 .∠ACB=∠ADB=90° B 过点D分别作DN⊥CA的延长线，DM⊥CB,连接MN, .CD平分∠ACB, .DN=DM .CD平分∠ACB 片∠4CD=∠BCD=5x90=45°， 2 .AD=DB .AD=DB, ,四边形ADBC内接于⊙O .∠CAD+∠CBD=180° .∠CAD+∠NAD=180° .∠NAD=∠CBD :DN⊥CA的延长线，DM⊥CB, .∠AND=∠BMD=90° :△MND≌aBMD(AAS) .S.AND=S.BMD .SAD+S边形ACMD=SBMD+S四边形ACMD 即达EOD=SA边毛DC .∠ACB=∠CMD=∠CND=90° ∴.四边形NCMD是矩形 DN=DM .四边形NCMD是正方形， '.CD=MN,CD⊥MNW ÷四边形NCMD的面积=2×CDxMN 1 限即S边指c-2CD 故选：C· 11.155 【详解】解：连接OC,OD,DE,如图所示： A D B :∠C0D=50° ∠CED=)∠COD=250 2 四边形ABDE是OO的内接四边形 ∴.∠B+∠AED=180°，即LB+∠AEC+∠CED=180° .∠B+∠AEC=155°； 故答案为155. 12.110 【详解】解：连接BC 0 0 AB为圆O的直径 .∠ACB=90° .∠CAB=20° .∠ABC=90°-∠CAB=70° ,四边形ABCD为圆O的内接四边形 .∠ADC=180°-∠ABC=110° 13.14 【详解】解：·四边形ABCD是OO的内接四边形 .∠BAD+∠BCD=180° 又∠BAD=104° .∠BCD=76°， ,BE是⊙O的直径， .∠BCE=90° .∠DCE=∠BCE-∠BCD=14° 14.15° 【详解】解：如图，延长CO交⊙O于点E,连接AE, D E CE是直径 AC=AC .∠CAE=90°，∠E=∠B=60° ∴.∠ACE=90°-60°=30° ∠A=45,∠B=60° .∠ACB=180°-45°-60°=75° ·CD⊥AB,∠B=60° .∠BCD=90°-60°=30° .∠0CD=75°-30°-30°=15° 15.45°/45度 【详解】解：如图，连接AC, 0 B :正方形ABCD内接于OO .∠BAC=45° ·∠P和∠B1C是BC所对的圆周角。 .∠P=∠BAC=45°. 16.30°或15°/15°或30° 【详解】解：连接OA、OB,设OC与AB相交于点D, D八 B 图1 图2 0A=OB=1 AB=2 ∴.OA+OB2=AB2△OAB 为等腰直角三角形 ,∠OAB=∠OBA=45°∠AOB=90° ①当△ODB=75°时，如图1， ∠AOD=∠ODB-∠OAB=75°-45°=30° ∠0aC=180°-，400_180,30=75° 2 2 .∠BAC=∠OAC-∠OAB=75°-45°=30°， ②当aODA=75°时，如图2， ∠BOC=∠ODA-∠OBA=75°-45°=30° ∠B1C=B0C=×30=15°同弧上的同周角等于心角的一半)。 故答案为：30°或15°. 17.45 【详解】解：AB是⊙O的直径， .∴∠ACB=90° :∠D=60° .∠A=∠D=60° .∠ABC=90°-∠A=30° ∴.AB=2AC=2×4=8 .BC=VAB2-AC2=V82-42=4V5 4V5 故答案为： 。 18.67.5 【详解】解：连接CF, 的两条直径 互相垂直， B ⊙0 AB,CD ∴.OB=OC∠BOC=90° ∴.∠OBC=∠OCB=45° .FD=FE ,∠FED=∠FDE 又CF=C示 ∴.∠CBF=∠FDC 又∠FED=LCEB ·∠CBF=∠CEB=180°-45° =67.5° 2 19.36V5 【详解】解：作△ABC的外接圆，圆心为点O,连接OA、OB、OC,则OA=OB=OC B :AB=12∠ACB=60° .∠AOB=2∠ACB=120° 2048=∠084=×080-1209）=30。 作CF1AB于点ROE⊥HB于点点则∠HE0:90.ME=BE=AB=6 ∴.OA=20E :AE=VOA2-0E2=V(20E)2-OE2=V30E=6 :0E=2√3 .0C=0A=20E=4V3 .0C+0E=4V5+23=6V5 .CF≤OC+OE .CF≤65 5.wCFB.CFsx12x SMBc≤36V5 ,△ABC 的面积的最大值为365， 【详解】解：如图，连接AC,CD,过点C作CE⊥AD交AD于点E,如下图所示： B 折叠的性质， .弧AC=弧CD E-ED-4D-2 .BE =BD+DE =7 令BC=x, 在RtAABC中，由勾股定理得AC2=AB2-BC2=81-x2 在RtABCE中，由勾股定理得CE2=BC2-BE2=x2-49 又AC2-CE2=AE2 得81-r产-(r2-49)=22 解得=35或x=-3 万（舍去） 故答案为：3W7 21 证明：，AB是直径 .∠ADB=90°，即AD⊥BE .∠BAD+∠ABD=90°，∠EAD+∠E=90° :AD平分∠BAC .∴.∠BAD=∠EAD ∴.∠ABD=∠E .AB=AE, 22.(1) 证明：四边形ABCD是圆内接四边形，∠ADC=120° ∠B=60°， ,BC是直径 .∠BAC=90° .∠ACB=30° AD∥BC,∠ADC=120° .∠BCD=60° '.∠ACD=∠DCB-∠ACB=30° .∠DCA=∠ACB .AC是LBCD的平分线； (2)解：连接OA,如图 B .∠B=60°，OB=OA .△OAB为等边三角形， .∠AOB=60°=∠BCD,OA=OB=AB=2 .OA∥CD .AD∥BC, .四边形OADC为平行四边形 ..OA=OC 四边形OADC为菱形 .AD DC=OC=2 ∴.四边形ABCD的周长AD+AB+BC+CD=2+2+4+2=10. 23.(1)如图①，点0即为所求 E 图① (2)如图2，点D即为所求 图② 24.(1)32 V 【详解】(1)解：连接OB B E 解方程-9x+18=0.得5=3与=6 ..AC=3 AB=6 ∠AOB=2∠C=90° ∴.△AOB 为等腰直角三角形 ∴.OB2+OA2=AB2 即 0B2=62 .0B=3N2 .即00的半径为3W5 (2)解：∠C=45°，AE⊥BC ∴.△AEC 为等腰直角三角形， ·由勾股定理得 AF=3 2 BE=√AB2-AE=)函 25.(1)45° (2)2 【详解】(1)解：如图，连接BD, 图① :AB是⊙O的直径 .∠ADB=90° AC=BC A0=BO ∴.C0⊥AB,则∠BOC=90° 、BE=BE A∠BDE=)∠B0C=45. .∠ADE=∠ADB+∠BDE=90°+45°=135° .∠CDE=180°-∠ADE=45°； (2)解：如图，连接BD ○ B 图② AB是OO的直径， .∠ADB=90° :点D是AC的中点 ∴.BD垂直平分AC .AB=BC 又AC=BC .AB=BC=AC .△ABC是等边三角形 .∠BAD=60° .∠ADB=90° .∠ABD=30 1 AD-74B-A0-2. 26.（1)60;2)AD+CD=V2BD3)cD=727VW2 2或2 【详解】解：(1)点A、B、C、D均在⊙0上，∠ADC=60° .∠ADC+∠ABC=180° ∴.∠ABC=180°-∠ADC=120° 点A、B、E三点共线 ∴.∠EBC=180°-∠ABC=60° 故答案为：60； (2)⊙0是四边形ABCD的外接圆， .∠BAD+∠BCD=180° ∠BAD+∠BAE=180° .∠BCD=∠BAE AB=BC AE=CD 在△BCD和△BAE中 BC=AB ∠BCD=∠BAE CD=AE .△BCD≌△BAE(SAS) ∴.BD=BE∠CBD=∠ABE “点在1C上 ∴.∠ABC=90° ∠ABD+∠CBD=90° 即1 ∴.∠ABD+∠ABE=90° ∠DBE=90° 即 .BE2+BD2=DE2 BD=BE DE=AD+AEAE=CD :2BD=(AD+CD) 线段4D,BD,CD之间的数量关系为MD+CD=V5BD, (3)当点D与点C分别在直径AB的异侧时，如图，连接AC,BC,BD,AD,过点 C作CE1CD文D E 的延长线于点 D 是 的直径， E AB ⊙0 .∠BCA=∠ADB=90° 点C是弧AB的中点， :AC=BC ∴.AC=BC .△ABC是等腰直角三角形 4C=BC=2B-135 2 2,∠BAC=∠ABC=45° .BC=BC .∠BDC=∠BAC=45° .△CDE是等腰直角三角形 CD-CE-DE 2 在RtABD中，BD=VAB-AD=V132-12=5 ·'∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD=90° .∠ACD=∠BCE 在△CAD和△CBE中 (CA=CB ∠ACD=∠BCE CD=CE ∴.△CAD≌△CBE .BE=AD=12, .DE=BD+BE=5+12=17 D-2E-15 2 2； 当点D与点C分别在直径AB的同侧时，如图，连接AC,BC,BD,过点C作 CE⊥CDDB E 交的延长线于点， 0 B 是 的直径， D AB⊙O .∠BCA=∠ADB=90° 点C是弧AB的中点 :AC=BC .AC=BC .△ABC是等腰直角三角形 。、3=1公=2 2,∠BAC=∠ABC=45°， .AC-Ac .∠ADC=∠ABC=45° .∠ADE=180°-∠ADB=90° .∠CDE=∠ADE-∠ADC=90°-45°=45° .△CDE是等腰直角三角形 ，·D=CE=,D 2 在RtAABD中， BD=VAB2-AD2=V132-122=5 .'∠ACD+∠BCD=∠DCE+∠BCD .∠ACD=LBCE 在ACAD和△CBE中 CA=CB ∠ACD=∠BCE CD=CE .△CAD≌△CBE .BE=AD=12, .DE=BE-BD=12-5=7 ·0-E=5 2 2 综上所述： CD=1727V2 2或2.