2.2 简谐运动的回复力及能量（重难点专练）物理教科版选择性必修第一册

**基本信息** 以回复力、能量、物理量变化为核心模块，通过定义-公式-判断方法体系化梳理，结合典例与变式实现概念理解到问题解决的迁移，培养运动与相互作用观念及科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回复力|1例+3变式|F=-kx判断法（找平衡位置→回复力→F=kx→方向关系）|从回复力定义推导简谐运动条件| |能量问题|1例+3变式|机械能守恒分析（振幅决定能量，动能势能周期性转化）|能量观念在振动过程中的应用| |物理量变化|1例+3变式|过程量变化规律（表格归纳x、F、a、v、E_k、E_p关系）|物理量动态变化与运动过程的关联|

2.2简谐运动的回复力及能量（题型突破） 题型01 简谐运动的回复力 题型02 简谐运动能量问题 题型03 简谐运动过程中各物理量的变化问题 ▌题型01 简谐运动的回复力 1、回复力定义：使振子回到平衡位置的力。 （1）回复力是根据力的效果命名的，回复力可以是弹力,也可以是其它力(包括摩擦力);可以是某一个力，或几个力的合力,或者某个力的分力，它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。 （2）回复力方向总是指向平衡位置。 2、回复力公式：F＝－kx。 （1）k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关。 （2）“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。 3、简谐运动的定义的另一种表述：如果质点所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置,质点的运动就是简谐运动。即回复力满足 F= -kx的运动就是简谐运动。 4、判断物体是否做简谐运动的两种方法 （1）x-t图像为正弦曲线 （2）F-x满足 F=-kx的形式 （3）常用步骤：①找平衡位置；②找回复力；③找F=kx；④找方向关系 【例1】关于简谐运动的回复力的含义，下列说法正确的是（　　） A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度 B．k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移 C．根据，可以认为k与F成正比 D．表达式中的“”号表示F始终阻碍物体的运动 【答案】B 【详解】A B．回复力是所有简谐运动都必须满足的关系式，其中F是回复力，k是回复力跟位移的比值（即公式中的比例关系），x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移，A错误，B正确； C．k是回复力跟位移的比值（即公式中的比例关系），与F无关，C错误； D．“”号表示F始终与物体位移方向相反，有时使物体加速，有时阻碍物体的运动，D错误。 故选B。 【变式训练1】在光滑水平面上自由振动的弹簧振子，振子受力情况叙述正确的是（　　） A．振子受到的回复力是恒力 B．振子受重力、支持力、弹簧弹力和回复力 C．振子受到的回复力的大小与物体离开平衡位置的位移大小成正比 D．振子受到的回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同 【答案】C 【详解】AB．回复力是效果力，振子不受回复力，振子只受重力、支持力、弹簧弹力，故AB错误； CD．根据 可知，振子受到的回复力的大小与物体离开平衡位置的位移大小成正比，方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相反，故C正确，D错误。 故选C。 【变式训练2】如图所示，质量为m的物体放在弹簧上，与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的最大压力是物重的1.5倍，则下列说法正确的是（　　） A．物体完成一个周期的简谐运动，重力的冲量为0 B．物体向下运动过程中，回复力一直增大 C．物体对弹簧的最小压力为mg D．要使物体在振动中不离开弹簧，振幅不能超过2A 【答案】D 【详解】A．根据I=mgT可知，物体完成一个周期的简谐运动，重力的冲量不为0，选项A错误； B．物体从最高点向最低点运动时，回复力先减小后增大，选项B错误； C．在最低点物体对弹簧的弹力最大，由牛顿第二定律得FN1-mg=ma；在最高点物体对弹簧的弹力最小，由简谐运动的对称性可知mg-FN2=ma；联立解得FN2=0.5mg；物体对弹簧的最小压力为0.5mg，选项C错误； D．物体在平衡位置下方处于超重状态，不可能离开弹簧，只有在平衡位置上方可能离开弹簧；要使物体在振动过程中恰好不离开弹簧，物体在最高点的加速度a=g；此时弹簧的弹力为零，若振幅再大，物体便会脱离弹簧；物体在最高点刚好不离开弹簧时，FN=0，此时木块运动到最高点mg=kA'；而FN1-mg=ma=kA 解得A'=2A；要使物体在振动中不离开弹簧，振幅不能超过2A，选项D正确。 故选D。 【变式训练3】如图所示， 两物体组成弹簧振子，在振动过程中， 始终保持相对静止。图中能正确反映振动过程中 所受摩擦力 与振子的位移 关系的图像应为( ) A. B.C.D. 【答案】 【详解】 整体在水平方向只受到弹簧的弹力作用，因此，应做简谐运动，故 也应做简谐运动，即 的回复力也应满足 ，即选 。当然本题也可从整体法与隔离法的思想求出 受到的静摩擦力的表达式。在振动过程中 始终保持相对静止，可以把 看成整体。设 的质量为 ，弹簧的劲度系数为 ，则有 ，得 ， 受到的摩擦力 。 ▌题型02 简谐运动的能量问题 简谐运动的能量 （1）简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。 （2）在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去。 （3）在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化．物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。 （4）能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 【例2】如图所示，把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，弹簧与细杆间无接触，小球沿杆在水平方向做简谐运动，小球在A、B间振动，O为平衡位置，如图所示，下列说法正确的是（　　） A．小球在O位置时，动能最大，加速度最大 B．小球在A、B位置时，动能为零，加速度也为零 C．小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功 D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加 【答案】C 【详解】AB．振子经过平衡位置时，速度最大，位移为零，所以经过平衡位置动能最大，回复力为零，加速度为零；在A、B位置时，速度为零，动能最小，位移最大，回复力最大，加速度最大，故AB错误； CD．由于回复力指向平衡位置，所以振子从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功，振子的动能和弹簧的势能相互转化，且总量保持不变，即振动的能量保持不变，故C正确，D错误。 故选C。 【变式训练1】（多选）关于水平的弹簧振子做简谐运动时的能量，下列说法正确的有（　　） A．等于在平衡位置时振子的动能 B．等于在最大位移时弹簧的弹性势能 C．等于任意时刻振子动能与弹簧弹性势能之和 D．位移越大振动能量也越大 【答案】ABC 【详解】A．由于平衡位置的弹性势能为零，所以总能量就等于平衡位置的动能。故A正确； B．在最大位移处，动能全部转化成弹性势能。故B正确； CD．简谐运动过程中机械能守恒，振子动能与弹簧弹性势能之和。故C正确；D错误。 故选ABC。 【变式训练2】如图甲所示，劲度系数为k的轻弹簧下端挂一质量为的物体， 物体在竖直方向上做简谐运动，弹簧对物体的拉力F随时间变化如图乙所示，重力加速度为g。由此可以判定运动过程中（ ） A．弹簧的弹性势能和物体动能总和不变 B．物体的最大动能等于 C．物体的最大加速度为2倍的重力加速度 D．振幅为 【答案】B 【详解】A．由于弹簧与物体组成的系统机械能守恒，所以弹簧的弹性势能和物体的机械能（动能和重力势能之和）总和不变，故A错误； B．由题图乙可知，当弹簧处于原长时，物体位于最高点；当物体位于平衡位置时，动能达到最大值Ekm，此时弹簧的伸长量为 ① 由于弹力F与伸长量x的图像与x轴所围的面积表示弹力的功，所以物体从最高点运动到平衡位置的过程中，弹力对物体做的功为 ② 根据动能定理可得 ③；联立①②③解得 ；故B正确； C．当物体位于最低点时，所受合外力大小均达到最大，此时物体的加速度大小最大，为 故C错误； D．振幅为；故D错误。；故选B。 【变式训练3】如图所示，一质量为M的木质框架放在水平桌面上，框架上悬挂一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧下端拴接两个质量均为m的铁球（铁球离框架下端足够远，两球间用轻杆相连）系统处于静止状态。用手向下拉一小段距离后释放铁球，两铁球便上下做简谐运动，框架保持静止，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．铁球在振动的过程中，速度相同时，弹簧的弹性势能也相同 B．若两铁球在最低点时，AB之间断开，则A球继续做简谐振动，振幅不变 C．铁球从最低点向平衡位置运动的过程中，回复力的功率一直增大 D．在框架不会离开桌面的前提下，则两铁球的振幅最大是 【答案】D 【详解】A．在关于平衡位置对称的两侧，振子的速度相同时，弹簧的弹性势能不同，故A错误； B．若两铁球在最低点时，AB之间断开，则A球继续做简谐振动，由于在最低点时弹簧的弹性势能一定，则总能量不变，则小球的振幅要改变，选项B错误； C．铁球从最低点向平衡位置运动的过程中，回复力减小直到为零，速度从零开始增加，由；可得回复力的功率先增加后减小，故C错误； D．若要保证木质框架不会离开桌面，则框架对桌面的最小压力恰好等于0，以框架为研究对象，弹簧对框架向上的作用力等于框架重力Mg，则轻弹簧处于压缩状态，弹簧的弹力；压缩量为 小铁球处于平衡位置时，弹簧处于伸长状态，伸长量为；所以铁球的振幅为；故D正确。 故选D。 ▌题型03 简谐运动过程中各物理量的变化问题 简谐运动中各个物理量的变化规律 Q Q→O O O→P P X 向左最大 向左减小 0 向右增大 向右最大 F、a 向右最大 向右减小 0 向左增大 向左最大 v 0 向右增大 向右最大 向右减小 0 动能 0 增大 最大 减小 0 势能 最大 减小 0 增大 最大 机械能 不变 【例3】如图所示为一水平弹簧振子，、是关于对称的两点，某次弹簧振子从经过运动到，则下列说法正确的是（　　） A．振子在、两点时的回复力相同 B．振子在、两点时的加速度相同 C．振子先做匀加速运动，后做匀减速运动 D．振子从点运动到点和从点运动到点的时间相等 【答案】D 【详解】AB．回复力和加速度均是矢量，振子在、两点时的回复力和加速度大小相等，方向相反，故AB错误； C．从点到点回复力先变小后变大，振子做变加速运动，故C错误； D．根据简谐运动的对称性，振子从点运动到点和从点运动到点的时间相等，故D正确。 故选D。 ．【变式训练1】如左图所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，右图为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（　　） A．在时，弹簧振子的加速度为正向最大 B．在与两个时刻，弹簧振子的速度相同 C．从到时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动 D．在时，弹簧振子有最小的位移 【答案】C 【详解】A．在时，弹簧振子的位移为正向最大，根据可知，加速度为负向最大。故A错误； B．因为图像中，某点的切线斜率表示该时刻振子的速度，所以在与两个时刻，弹簧振子的速度大小相等，方向相反。故B错误； C．根据前面选项的分析，同理可知，从到时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动。故C正确； D．在时，弹簧振子有负方向的最大位移。故D错误。 故选C。 【变式训练2】（多选）如图所示，把一个小球套在光滑细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向A、B之间做简谐运动，平衡位置为O，下列结论正确的是（　　） A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小 B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大 C．小球从A经O到B的过程中，弹簧的弹力先做正功，后做负功 D．小球从A经O到B的过程中，小球的动能先减小后增加 【答案】AC 【详解】A．小球在平衡位置O时，速度最大，动能最大，位移为零，加速度为零，故A正确； B．小球在A、B位置时，速度为零，动能为零，位移最大，加速度最大，故B错误； C．小球从A经O到B的过程中，弹簧的弹力先做正功，后做负功，故C正确； D．小球从A经O到B的过程中，小球的动能一直增加，故D错误。 故选AC。 【变式训练3】弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中（　　） A．振子的位移逐渐增大 B．振子所受的弹力逐渐减小 C．振子的动能转化为弹性势能 D．振子的加速度逐渐增大 【答案】B 【详解】A．振子的位移是由平衡位置指向振子所在位置的有向线段，因而振子向平衡位置运动时位移逐渐减小，A项错误； B．而弹力与位移成正比，故弹簧的弹力减小，B项正确； C．振子向着平衡位置运动时，弹力与速度方向一致，故振子的速度逐渐增大，弹性势能转化为动能，C项错误； D．由胡克定律和牛顿第二定律知，振子的加速度也减小，D项错误； 故选B。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2简谐运动的回复力及能量（题型突破） 题型01 简谐运动的回复力 题型02 简谐运动能量问题 题型03 简谐运动过程中各物理量的变化问题 ▌题型01 简谐运动的回复力 1、回复力定义：使振子回到平衡位置的力。 （1）回复力是根据力的效果命名的，回复力可以是弹力,也可以是其它力(包括摩擦力);可以是某一个力，或几个力的合力,或者某个力的分力，它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。 （2）回复力方向总是指向平衡位置。 2、回复力公式：F＝－kx。 （1）k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关。 （2）“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。 3、简谐运动的定义的另一种表述：如果质点所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置,质点的运动就是简谐运动。即回复力满足 F= -kx的运动就是简谐运动。 4、判断物体是否做简谐运动的两种方法 （1）x-t图像为正弦曲线 （2）F-x满足 F=-kx的形式 （3）常用步骤：①找平衡位置；②找回复力；③找F=kx；④找方向关系 【例1】关于简谐运动的回复力的含义，下列说法正确的是（　　） A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度 B．k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移 C．根据，可以认为k与F成正比 D．表达式中的“”号表示F始终阻碍物体的运动 【变式训练1】在光滑水平面上自由振动的弹簧振子，振子受力情况叙述正确的是（　　） A．振子受到的回复力是恒力 B．振子受重力、支持力、弹簧弹力和回复力 C．振子受到的回复力的大小与物体离开平衡位置的位移大小成正比 D．振子受到的回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同 【变式训练2】如图所示，质量为m的物体放在弹簧上，与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的最大压力是物重的1.5倍，则下列说法正确的是（　　） A．物体完成一个周期的简谐运动，重力的冲量为0 B．物体向下运动过程中，回复力一直增大 C．物体对弹簧的最小压力为mg D．要使物体在振动中不离开弹簧，振幅不能超过2A 【变式训练3】如图所示， 两物体组成弹簧振子，在振动过程中， 始终保持相对静止。图中能正确反映振动过程中 所受摩擦力 与振子的位移 关系的图像应为( ) A. B.C.D. ▌题型02 简谐运动的能量问题 简谐运动的能量 （1）简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。 （2）在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去。 （3）在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化．物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。 （4）能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 【例2】如图所示，把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，弹簧与细杆间无接触，小球沿杆在水平方向做简谐运动，小球在A、B间振动，O为平衡位置，如图所示，下列说法正确的是（　　） A．小球在O位置时，动能最大，加速度最大 B．小球在A、B位置时，动能为零，加速度也为零 C．小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功 D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加 【变式训练1】（多选）关于水平的弹簧振子做简谐运动时的能量，下列说法正确的有（　　） A．等于在平衡位置时振子的动能 B．等于在最大位移时弹簧的弹性势能 C．等于任意时刻振子动能与弹簧弹性势能之和 D．位移越大振动能量也越大 【变式训练2】如图甲所示，劲度系数为k的轻弹簧下端挂一质量为的物体， 物体在竖直方向上做简谐运动，弹簧对物体的拉力F随时间变化如图乙所示，重力加速度为g。由此可以判定运动过程中（ ） A．弹簧的弹性势能和物体动能总和不变 B．物体的最大动能等于 C．物体的最大加速度为2倍的重力加速度 D．振幅为 【变式训练3】如图所示，一质量为M的木质框架放在水平桌面上，框架上悬挂一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧下端拴接两个质量均为m的铁球（铁球离框架下端足够远，两球间用轻杆相连）系统处于静止状态。用手向下拉一小段距离后释放铁球，两铁球便上下做简谐运动，框架保持静止，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．铁球在振动的过程中，速度相同时，弹簧的弹性势能也相同 B．若两铁球在最低点时，AB之间断开，则A球继续做简谐振动，振幅不变 C．铁球从最低点向平衡位置运动的过程中，回复力的功率一直增大 D．在框架不会离开桌面的前提下，则两铁球的振幅最大是 ▌题型03 简谐运动过程中各物理量的变化问题 简谐运动中各个物理量的变化规律 Q Q→O O O→P P X 向左最大 向左减小 0 向右增大 向右最大 F、a 向右最大 向右减小 0 向左增大 向左最大 v 0 向右增大 向右最大 向右减小 0 动能 0 增大 最大 减小 0 势能 最大 减小 0 增大 最大 机械能 不变 【例3】如图所示为一水平弹簧振子，、是关于对称的两点，某次弹簧振子从经过运动到，则下列说法正确的是（　　） A．振子在、两点时的回复力相同 B．振子在、两点时的加速度相同 C．振子先做匀加速运动，后做匀减速运动 D．振子从点运动到点和从点运动到点的时间相等 ．【变式训练1】如左图所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，右图为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（　　） A．在时，弹簧振子的加速度为正向最大 B．在与两个时刻，弹簧振子的速度相同 C．从到时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动 D．在时，弹簧振子有最小的位移 【变式训练2】（多选）如图所示，把一个小球套在光滑细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向A、B之间做简谐运动，平衡位置为O，下列结论正确的是（　　） A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小 B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大 C．小球从A经O到B的过程中，弹簧的弹力先做正功，后做负功 D．小球从A经O到B的过程中，小球的动能先减小后增加 【变式训练3】弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中（　　） A．振子的位移逐渐增大 B．振子所受的弹力逐渐减小 C．振子的动能转化为弹性势能 D．振子的加速度逐渐增大 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $