1.3.1用反比例函数解决问题（1）同步练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 跨学科情境驱动的三级分层设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|反比例函数概念、图像与解析式|结合压缩袋密度、台灯电流等生活/物理情境，通过单选、填空考查单一知识点应用| |提升层|函数解析式求解与简单实际问题|以气球压力、小孔成像为情境，解答题训练“概念→计算→应用”基础建模能力| |综合层|跨学科复杂问题解决|融合杠杆原理、汽车功率等多领域情境，考查变量关系分析与取值范围推理，发展应用意识|

2.3.1用反比例函数解决问题（1） 反比例函数在跨学科情境中的应用 一、单选题 1．为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 2．小秦在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔（jié）槔（gāo）的古代汲水工具（如图1）．若图中人物竖直向下施加的拉力为（单位：N），当改变点与点之间的距离（单位：m）时，横杆始终处于水平状态，小秦发现与之间满足反比例函数关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示．当竖直向下施加的拉力为75N时，要使横杆仍处于水平状态，则点与点之间的距离为（   ）． A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m 3．在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（    ） A．大于 B．小于 C．大于 D．小于 4．已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从增加到时，电阻R（    ） A．减小了 B．减小了 C．增大了 D．增大了 5．某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 6．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 二、填空题 7．如图，在功（单位：）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例函数关系．当时，的值是______． 8．如图，密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系．当时，则二氧化碳的密度为________． 9．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． 10．无人驾驶拖拉机匀速行驶时，发动机的输出功率保持恒定，牵引力（单位：）与速度（单位：）满足反比例函数关系．已知某无人驾驶拖拉机进行耕地作业，当匀速行驶速度为，牵引力．为保证耕地的效果，牵引力不能低于，则拖拉机速度（单位：）的最大值为_______． 11．某物体对地面的压强与物体和地面的接触面积成反比例函数关系，其图象如图，当压强小于等于时，的取值范围是________． 12．有一定质量的气体，其密度（单位：）与其体积（单位：）成反比例函数关系，其函数图象如图所示．若该气体体积，则密度的取值范围为____． 三、解答题 13．某气球内充满了一定的质量的气体，当温度不变时，气球内的压力P（千帕）是气球的体积V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示（注：千帕是一种压强单位）． (1)求这个函数的解析式； (2)当气球的体积为0.8立方米时，气球内的压力是多少千帕？ 14．根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）都不变时，火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，． (1)求与之间的函数关系式． (2)若火焰的像高为，求此时的物距． 15．已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求出这个反比例函数的解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应不低于多少？ 16．康康暑假在工地实习，将自己所学的数学和物理知识运用于实践，获益良多．如图，某天康康需要搬动一块的大石头，尝试后发现自己使尽力气都无法使石头挪动分毫．思考一会儿后，他想到可以结合杠杆原理，用撬棍撬动大石头，已知大石头带来的阻力为，阻力臂长（大石头与棍下垫石的距离）为．设康康摁下撬棍所用动力为，动力臂长（康康施力点与垫石之间的距离）为．（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身重力忽略不计） (1)求y关于x的函数关系式． (2)康康能使出的最大动力为，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 17．我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．小明利用一个最大电阻为欧姆的滑动变阻器及一个电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为欧姆时，电流为安培． (1)求电流（安培）与电阻（欧姆）的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若，求电流的变化范围． 18．汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示． (1)这辆汽车的功率是多少？请写出v关于F的函数表达式． (2)当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米/时？ (3)如果限定汽车的速度不超过30米/秒，那么F在什么范围内？ 第1页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴， 当时，， ∴当压缩后密度是时，其体积是． 2．B 【详解】解：由题意，设反比例函数解析式为．从图2中可得，当m时，N，将代入解析式： ， 解得，因此函数解析式为： ， 当拉力N时，代入解析式： ， 解方程： ， 即点与点之间的距离为4m． 3．C 【详解】解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∵振动频率低于， ∴， ∵为弦长，， ∴， 即． 4．A 【详解】解：设， 由图象可知，函数图象经过点， 把，代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， ， 当电流从增加到时，电阻减小了． 5．B 【详解】解：由图象得，当时，，故A错误； 设反比例函数解析式为， 将代入得，， 解得， ∴， ∴当时，，故C错误； 当时，， ∵当时，h随的增大而减小， ∴当时，，故B正确； 由图象得，当时，，故D错误． 6．C 【详解】解：A、设与的函数关系式是， ∵图象经过点， ∴，解得， ∴与的函数关系式是，故A正确，不符合题意； B、当时，，解得，故B正确，不符合题意； C、 ∵反比例函数图象在第一象限，随的增大而减小， ∴当时，，故C错误，符合题意； D、当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是，故D正确，不符合题意． 7． 【详解】解：设， 将点代入得， 解得：， ， 当时，． 8． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，． 9．4 【详解】解：阻力和阻力臂的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴阻力和阻力臂的函数关系式为， ∴， ∵， ∴当时，， ∴小明想使动力不超过，则动力臂需满足， ∴动力臂至少需要． 10． 【详解】∵牵引力和速度是反比例函数关系， ∴设， 将，代入解析式，得， ∴函数关系式为， 当时，代入得， ∵， 解得， ∴拖拉机速度的最大值为． 11． 【详解】解：设P与S的反比例函数解析式为：， 把点代入得：， ∴， 即反比例函数解析式为：， 当时，则， 解得：． 12． 【详解】解：根据图象可知反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数关系式为． 当时，， ∵反比例函数的图象函数值随着的增大而减小， ∴越大越小． 当时，． 13．(1) (2)120千帕 【详解】（1）解：设反比例函数为， 将代入得， 解得：， 即； （2）解：把立方米代入中，得千帕． 14．(1) (2)此时的物距为 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式． 把，代入，得， 关于的函数关系式为． （2）解：把代入，得． 答：此时的物距为． 15．(1) (2)以上的范围内． 【详解】（1）解：电流I与电阻R是反比例函数，设， ∵图象经过， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即用电器可变电阻应控制在以上的范围内． 16．(1) (2)能，理由见解析 【详解】（1）解：根据题意，可得， 化简得， ∴y关于x的函数关系式为． （2）解：由（1）可知y关于x的函数关系式为， 当时，， 即在动力臂最大为的条件下，需要的动力使杠杆维持平衡， ， 在动力臂最大为的条件下，他能撬动这块石头． 17．(1) (2) 【详解】（1）解：设电流（安培）与电阻（欧姆）的函数表达式为, 当电阻为欧姆时，电流为安培， ， 电流（安培）与电阻（欧姆）的函数表达式为； （2）当时，，当时，， 当时，电流的变化范围． 18．(1)， (2)当它所受的牵引力为1200牛时，汽车的速度为180千米/时 (3)若限定汽车的速度不超过30米/秒，则F应不小于2000牛 【详解】（1）解：由题意知，反比例函数表达式为， 把代入，得， （瓦）， ∴． （2）解：当牛时， （米/秒）（千米/时）， 即当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为180千米/时． （3）解：由，得． 所以，若限定汽车的速度不超过30米/秒，则F应不小于2000牛． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $