1.3.2 用反比例函数解决问题（2）同步练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 本练习聚焦反比例函数实际应用，通过基础巩固、中档提升、综合拓展三层设计，实现从概念理解到建模应用的递进，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|反比例函数表达式建立|单选1（设备购买）、填空7（矩形面积），直接关联“路程=速度×时间”等基本关系，强化概念理解| |中档|图像分析与性质应用|单选3（输入时间）、填空10（气体压强），结合图像解决“提前时间”“体积变化”等问题，发展几何直观| |综合|多情境综合建模|解答16（打车问题）、18（消毒问题），融合函数表达式、最值计算与实际决策，提升应用意识与推理能力|

2.3.2用反比例函数解决问题（2） 反比例函数在实际生活中的应用 一、单选题 1．某工厂为了提高生产效率，采购了一批新的生产设备．其中用5000元购买单价是元/台的机器台，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．某农场灌溉农田时，水泵抽水的总功率为定值，抽水的效率（单位：）与抽水时间（单位：）成反比例函数关系，其函数图象如图所示，根据图象，当抽水时间时，抽水效率的值为（     ） A． B． C． D． 3．一篇文章，佳豪输入完成时间y（分）与每分钟输入字数x之间的关系如图所示，佳豪原来30分钟输入完成，改变输入方法后，佳豪每分钟输入100个字，则改变输入方法后（   ） A．提前了5分钟 B．提前了10分钟 C．提前了15分钟 D．落后了5分钟 4．机器狗学名四足机器人，是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，先进的机器狗的功能已经从单纯的“能跑”拓展到了“能看”、“能思考”和“能干活”．下面图象所示其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，则下列说法错误的是（   ） A． 函数表达式为 B． 已知机器狗无载重时的最快移动速度为，则机器狗的质量为 C．要使机器狗的最快移动速度v不低于，其载重后总质量不能大于 D．机器狗的质量越大，其移动速度越快 5．已知溶液中溶质的质量溶液质量浓度．小明用如图所示坐标系中的四个点分别描述甲、乙、丙、丁四种溶液的质量与其浓度的情况，其中甲、丙在反比例函数图象上，则四种溶液的溶质质量最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 二、填空题 7．如图，矩形中，边长为x，边长为y，矩形的面积为8，则y关于x的函数关系式为__________． 8．小明要把一篇文章录入电脑，所需时间与录入文字的速度（字/）之间的函数关系如图所示．如果小明要在内完成录入任务，那么他录入文字的速度至少为_____字/． 9．某校开放周筹备期间，小杨接到一项任务：将一批纪念徽章分发给志愿者．他们发现，每天分发的数量与分发天数成反比例关系．已知如果每天分发50枚，则恰好按计划天数完成；如果每天分发75枚，则可以提前2天完成．则每天分发数量y（枚）与分发天数x（天）之间的函数关系式为_________ 10．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞减压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示．若压强由减压，则气体体积增大了_______mL． 11．山西农业大学计划修建一块矩形实验田，该实验田的长与宽之间的函数图象如图所示，则当时，的取值范围是_____． 12．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年实验后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间函数关系如图所示，其中4 小时后y是关于x的反比例函数．由图像计算可知血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为_________小时．    三、解答题 13．某垃圾清运公司承担了约的建筑垃圾的运送工作． (1)求每小时运送的垃圾质量关于完成任务所需的时间的函数表达式； (2)该公司调来了若干辆运输车，平均每小时共运送垃圾不超过，至少需要多长时间完成运送工作？ 14．某生物兴趣小组在实验室用一个装有培养液的锥形瓶培养一种单细胞藻类．培养过程中发现，在一定范围内，平均每亿个细胞占有的培养液体积（单位：升）是瓶内藻类细胞总数量（单位：亿个）的反比例函数．兴趣小组成员根据收集的实验数据绘制出如下图象． (1)求与之间的关系式； (2)当瓶内藻类细胞总数量不少于6亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是多少升？ 15．某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个． (1)求与的函数表达式； (2)若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 16．某天 ，小芳在家通过某打车软件打车前往火车站搭乘当天 的动车．记汽车的行驶时间为 （单位： ），行驶的平均速度为 （单位： ）， ．根据经验， ， 的对应值如表： … 20 30 40 50 60 … 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 (1)求平均速度 关于行驶时间 的函数解析式． (2)已知小芳从开始打车到上车用了 ，并且她想在动车出发前半小时到达火车站，若汽车的平均速度为 ，小芳能否在预定的时间内到达火车站？请说明理由． (3)若汽车到达火车站的行驶时间 满足 ，求平均速度 的范围． 17．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 18．为了预防“甲型”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？ (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？ (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 19．如图是某饮水机通电开机后，水温与开机时间（分）之间的关系图象，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例，当水温降至时，饮水机又自动开始加热……，重复上述过程． (1)当时，求水温关于开机时间（分）的一次函数解析式． (2)求的值． (3)上午（水温），饮水机开机通电后到中午，水温共有几次达到? 第1页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【详解】解：由题意可得：， 则， 故选：B． 2．B 【详解】抽水的效率（单位：）与抽水时间（单位：）成反比例函数关系， 设， 将点代入得，，解得， ， 当时，． 3．C 【详解】解：设， 把代入得，， ∴， ∴y与x的函数表达式为， 将代入得，， （分钟）， ∴改变输入方法后提前了15分钟． 故选：C． 4．D 【详解】解：A：设函数表达式为，代入， 解得， ∴函数表达式为，故该选项不合题意； B：当时，， 解得，即机器狗的质量为，故该选项不合题意； C：当时，， 解得，即载重后总质量不能大于，故该选项不合题意； D：由图象可知，机器狗的质量越大，移动速度越小，故该选项符合题意． 故选：D ． 5．B 【详解】解：∵溶质的质量溶液质量浓度，甲、丙在反比例函数图象上， ∴甲、丙两种溶液的溶质的质量相等， ∵乙在函数图象上方，丁在函数图象下方， ∴乙种溶液的溶质的质量>甲、丙两种溶液的溶质的质量，丁种溶液的溶质的质量<甲、丙两种溶液的溶质的质量， ∴四种溶液的溶质质量最大的是乙． 6．D 【详解】解：升温速率，初始温度， 设加热阶段解析式：， 令，，解得， 即加热分钟达到． 设反比例函数，代入： ，， 故降温阶段：． 令，，，即一个完整周期为． 选项A：水温从加热到，需要3min加热段， 令： ，，， 用时3分钟，A正确； 选项B：水温下降过程中，与的函数关系式是，B正确； 选项C：，处于降温阶段，代入： ，水温，正确； 选项D：分两段计算对应的范围： 加热段：， ，，加热段符合条件时长：． 降温段：， ，，降温段符合条件时长：． 总时长：，D错误． 7． 【详解】∵矩形中，边长为x，边长为y，矩形的面积为8， ∴， 变形得， 故答案为：． 8．175 【详解】解：设所需时间与录入文字的速度（字/）之间的函数解析式为， 根据题意，得, 解得， 故， 当时， ． 9． 【详解】解：设总徽章数为枚，计划天数为天． 根据反比例关系，有． 当时，，即； 当时，，即． 由，解得． 则． 因此y与x的函数关系式为 ． 故答案为 10．20 【详解】解：设这个反比例函数的解析式为， 时，， ， ， 当时，， 当时，， ， 气体体积增大了， 故答案为：20． 11． 【详解】根据图象可知，图象经过点， 设， ∴，解得：， ∴， 根据图象可知：当时，， 故答案为：． 12．6 【详解】解：当时，函数为正比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，， ∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时， ∴， 当时，函数为反比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，， ∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时， ∴， ∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升， ∴持续时间为， 故答案为：． 13．(1) (2)至少需要完成运送工作 【详解】（1）解：由题意可得：每小时运送的垃圾质量关于完成任务所需的时间的函数表达式为：； （2）解：令，则， 解得， 根据反比例函数的性质，当时， 随 的增大而减小， 因此平均每小时共运送垃圾不超过时，至少需要完成运送工作. 14．(1) (2)当瓶内藻类细胞总数量不小于6亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是升． 【详解】（1）解：设与之间的关系式为， 将代入， 可得：， ， 与之间的关系式为； （2）解：当时， 可得：， ， 当时，随的增大而减小， 当时，，即的最大值为． 答：当瓶内藻类细胞总数量不小于6亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是升． 15．(1) (2)5000个 【详解】（1）解：根据题意，加工成本与x成反比例，材料成本固定， 因此设函数表达式为： ，其中是单个的加工成本，是固定的材料成本． 将和分别代入得方程组： ， 两式相减消去得：，解得， 再代入得． 因此与的函数表达式为：； （2）解：把代入函数表达式： ， 整理得，解得． 答：应生产个双肩包． 16．(1)； (2)不能， ∵从 到 总时间为 ， ，提前到达需要的半小时为 ， ∴可用于行驶的时间为 ， 当 时，所需行驶时间 ， ， 小芳不能在预定的时间内到达火车站； (3) 【详解】（1）观察表格数据可知 与 的乘积为定值， ∴设，     将 ， 代入得 ， 由题知 ， ∴ ， 解得 ， ∴平均速度 关于行驶时间 的函数解析式为 ； （2）略； （3）， ∴当 时， 随 的增大而减小， ∵ ， ， 即 ． 17．(1)上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是 (2)本节课讲解这道题的用时最多为分钟 【详解】（1）解：设前分钟内与的函数关系式为， 将和代入解析式得， 解得， ∴前分钟内与的函数关系式为， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵当时，， ∴上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是； （2）解：由（1）可得前分钟内的函数解析式为， 当时，， 解得， 设分钟后与的函数关系式为， 将代入解析式得， ∴， ∴分钟后与的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴注意力指数不低于的持续时间为（分钟）， ∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为分钟． 18．(1)药物燃烧时y关于x的函数关系式为；药物燃烧后y关于x的函数关系式为 (2)30分钟 (3)有效，理由如下： 把代入， 解得：， 把代入， 解得：， ∵， ∴这次消毒是有效的． 【详解】（1）解：设药物燃烧时y与x之间的解析式为， 把点代入， 得 解得：， 设药物燃烧后y与x之间的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， 故药物燃烧时y与x的函数关系式为； 药物燃烧后y与x的函数关系式为． （2）解：把，代入，得； ∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室． （3）略 19．(1) (2) (3)水温共有次达到 【详解】（1）解：由图象可知，当时间时，；当时间时，， 当时，设， 将、分别代入， 得， 解得， 所以温度关于开机时间（分）的函数关系式为； （2）解：由图象知当时，在水温下降过程中，水温是关于开机时间（分）的反比例函数， 设， 把点代入，得 解得， ， 当时，， 解得， ∴； （3）解：结合图象，可知每分钟图象重复出现一次，到经历分钟， ， 共经历了个周期余分钟， 所以水温共有次达到． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $