期中模拟检测（二）基础卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 九年级数学期中基础卷，聚焦二次函数、反比例函数等核心知识，通过拱桥问题、销售利润等实际情境与《九章算术》文化素材，考查运算能力、推理意识及模型应用，层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|反比例函数图像、一元二次方程根的判别式|基础巩固，几何直观与抽象能力结合| |填空题|5/15|根与系数关系、《九章算术》门高问题|文化传承，数据意识与符号运算| |解答题|8/75|函数综合应用（拱桥）、销售利润模型、几何与函数结合|能力提升，模型意识与推理能力，梯度设计|

九年级数学新教材第一学期期中模拟检测（二） 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十五章二十六二十七章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 参考答案与评分标准 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B A B B A A B 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11． 12. 13． 10 14． 15． 或 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分 （1）解： ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）解： 或 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 17.本小题分)（1）解：∵反比例函数的图象的一支位于第一象限 ∴反比例函数的另一支在第三象限， 在每个象限内，随的增大而减小， ∴，在图象上，且， 故答案为：．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）设点的坐标为，其中，， ∵点在该反比例函数位于第一象限的图象上，点与点关于轴对称，点与点关于原点对称， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴，， ∵的面积为， ∴， ∴，解得：， ∵点在反比例函数位于第一象限的图象上， ∴，解得：．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 18.本小题8分 解：（1）设抛物线的解析式为：， 则：，解得：， ∴；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）如图与对称轴交于点，设 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，解得：或， ∵点在第一象限， ∴， ∴┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 19.本小题8分) 解：（1）设该长方体盒子的高为， 由题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该长方体盒子的高为；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）解：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子售价为元， 由题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：每个有盖盒子应降价4元． ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 20本小题10分解：（1）点在直线上，将代入直线解析式得：， 解得， 点B的坐标为， 点在反比例函数的图象上，将点B坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， 反比例函数的解析式为；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）联立直线与反比例函数的解析式，得方程组， 解得或，当时，， 点A的坐标为；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （3）结合函数图象可知：当或时，直线在反比例函数下方， 不等式的解集为或．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 21.本小题10分）解：（1）由题意得，， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分 （2）船行驶到桥下的时间为：小时， 水位上升的高度为：． ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为， ∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分 22.本小题12分解：（1）联立，解得：或， ∴点的坐标为，点的坐标为；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）作点的关于轴的对称点，连接， 设直线的解析式为，将点，代入， 得：，解得：，， ∴直线的解析式为，使直线与轴的交点为， ∴当点的坐标为时，有最小值，此时的周长最小．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （3）设点坐标为， ①如图2，当点在点左侧时，过点作轴垂线，垂足为点， 过点作轴的垂线，与相交于点，则：，点的横坐标为3， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点坐标为；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ②如图3，当点在点右侧时，过点，作轴的平行线与过点作轴的垂线交于点，； 同理可证：，可得：， 即：，解得：． ∴点坐标为； 综上所述：点坐标为和．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 23本小题12分 解：（1）将A、B代入， ∴， 解得；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）由（1）可得， 在上截取，连接， ∵， ∴， 在中，， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线BP的解析式为， 当时，解得或， ∴；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （3）①∵，轴， ∴的中点纵坐标与N点纵坐标相同， 直线BC的解析式为， ∵， ∴， ∴的中点坐标为， ∴， ∴；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ②存在三个符合条件的点P，其中两个点的横坐标之差为1，理由如下： 设其中两个点的横坐标分别为s，t，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 九年级数学新教材第一学期期中模拟检测（二） 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十五章二十六二十七章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 2．若关于x的一元二次方程 的左边可以写成一个完全平方式，则常数m的值为（  ） A．7 B．7或 C．6 D．6或 3.二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 4．关于x的一元二次方程的实数根情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 5．若双曲线经过第二、四象限，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6.如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 7.正比例函数与反比例函数（k为常数，）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 8.利用图形的分、和、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是（　　） A．42 B． C． D．21 9.如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C．6 D．12 第8题 第9题 第10题 10．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④点，在抛物线上，且，当时，；⑤函数的最大值大于．其中正确结论的个数为（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则 ． 12.如图，函数与的图象交于A，B两点，过点A作垂直于x轴，垂足为点M，则的面积为 ． 13.《九章算术》中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．”译文：今有门，不知其高、宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽出4尺；竖放，竿比门高出2尺；斜放，竿与门的对角线长恰好相等，则门的对角线长为 尺． 第12题 第14题 14．如图，点，分别在函数与函数的图象上，线段的中点在轴上，的面积为，则 15.规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 ． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分解方程： (1)； (2)． 17.本小题分）如图，反比例函数的图象的一支位于第一象限． (1)若，在图象上，且，则 ； (2)点在反比例函数的图象上，点关于轴的对称点为点，点关于原点的对称点为点，若的面积为，求k的值． 18.本小题8分如图，已知抛物线过点，，其对称轴为． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求点的坐标； 19.本小题8分现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计） (1)每个矩形硬纸板的四个角分别去掉2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形后，可以折叠成一个有盖的长方体盒子（如图），已知该长方体盒子的底面积是，求出该盒子的高； (2)工厂将这些硬纸板全部做成有盖盒子出售．已知每块矩形纸板的成本为12元，若有盖盒子的售价为24元/个，则每天可售出18个．在销售过程中发现，有盖盒子价格每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利208元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 20本小题10分如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 21.本小题10分有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 22本小题12分如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 23本小题12分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是x轴下方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m． (1)请直接写出b，c的值； (2)如图，当时，求m的值； (3)过点P作y轴的平行线交于点M，点N在上，且，的长记为l． ①求l关于m的函数解析式； ②当l取某一个值时，是否存在三个符合条件的点P，其中两个点的横坐标之差为1？若存在，求出此时l的值；若不存在，请说明理由． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $※※请※※※不※※※要※※※在※※※装※※※订※※※线※※※内※※※答※※※题※※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 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9.如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C．6 D．12 第8题 第9题 第10题 10．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④点，在抛物线上，且，当时，；⑤函数的最大值大于．其中正确结论的个数为（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则 ． 12.如图，函数与的图象交于A，B两点，过点A作垂直于x轴，垂足为点M，则的面积为 ． 13.《九章算术》中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．”译文：今有门，不知其高、宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽出4尺；竖放，竿比门高出2尺；斜放，竿与门的对角线长恰好相等，则门的对角线长为 尺． 第12题 第14题 14．如图，点，分别在函数与函数的图象上，线段的中点在轴上，的面积为，则 15.规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 ． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分解方程： (1)； (2)． 17.本小题分）如图，反比例函数的图象的一支位于第一象限． (1)若，在图象上，且，则 ； (2)点在反比例函数的图象上，点关于轴的对称点为点，点关于原点的对称点为点，若的面积为，求k的值． 18.本小题8分如图，已知抛物线过点，，其对称轴为． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求点的坐标； 19.本小题8分现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计） (1)每个矩形硬纸板的四个角分别去掉2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形后，可以折叠成一个有盖的长方体盒子（如图），已知该长方体盒子的底面积是，求出该盒子的高； (2)工厂将这些硬纸板全部做成有盖盒子出售．已知每块矩形纸板的成本为12元，若有盖盒子的售价为24元/个，则每天可售出18个．在销售过程中发现，有盖盒子价格每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利208元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 20本小题10分如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 21.本小题10分有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 22本小题12分如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 23本小题12分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是x轴下方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m． (1)请直接写出b，c的值； (2)如图，当时，求m的值； (3)过点P作y轴的平行线交于点M，点N在上，且，的长记为l． ①求l关于m的函数解析式； ②当l取某一个值时，是否存在三个符合条件的点P，其中两个点的横坐标之差为1？若存在，求出此时l的值；若不存在，请说明理由． —　2　— —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 九年级数学新教材第一学期期中模拟检测（二） 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十五章二十六二十七章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解：A、由可知该点在反比例函数图象上，故符合题意； B、由可知该点不在反比例函数图象上，故不符合题意； C、由可知该点不在反比例函数图象上，故不符合题意； D、由可知该点不在反比例函数图象上，故不符合题意； 故选A． 2．若关于x的一元二次方程 的左边可以写成一个完全平方式，则常数m的值为（  ） A．7 B．7或 C．6 D．6或 【答案】B 解：∵， ∴， 解得或， 即的值为或， 故选：B． 3.二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意； B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意； C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意； D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意． 故选：C． 4．关于x的一元二次方程的实数根情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 【答案】B 解：对于方程，，，， ∴ ， 由于，因此， 即对所有实数恒成立． 因此，方程总有两个不相等的实数根， 故选：B． 5．若双曲线经过第二、四象限，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解：双曲线经过第二、四象限， ， ， 故选A． 6.如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 解：如图所示， ∵中，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即：． 故选：B． 7.正比例函数与反比例函数（k为常数，）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 解：当时， ∴反比例函数的图象在一、三象限， ， ∴正比例函数的图象经过二、四象限，故A，C选项错误； 当，则， ∴反比例函数在二四象限，正比例函数经过一、三象限，故B选项正确，D选项错误， 故选：B． 8.利用图形的分、和、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是（　　） A．42 B． C． D．21 【答案】A 解：设小正方形的边长为，则矩形的长为，宽为， 由图1可得：， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：A． 9.如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 解：设点A的坐标为，则，，， ∵是的中位线， ∴，， ∵的面积为3，， ∴，即， ∴， 故选：A． 10．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④点，在抛物线上，且，当时，；⑤函数的最大值大于．其中正确结论的个数为（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 解：抛物线的对称轴为直线， ， ，即，故①正确； 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点的横坐标在2和3之间， 抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线图象与轴交点的纵坐标是2， ， ， ， 令，得， 或， ， ， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； 抛物线的开口向下， 抛物线上的点距离对称轴越远y值越小，距离对称轴越近y值越大， ， ， ， ， ， 点到对称轴的距离是，点到对称轴的距离是， ，故④正确； 如图，当时，， ， ， ， 当时，， 函数的最大值大于，故⑤正确， 综上所述，正确的结论有：①③④⑤，共4个， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则 ． 【答案】 解：∵一元二次方程有两个不同实数根， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 12.如图，函数与的图象交于A，B两点，过点A作垂直于x轴，垂足为点M，则的面积为 ． 【答案】 解：由题意得：，则， 设， ∴， 将代入反比例函数得：，即， 又∵，即为直角三角形， ∴． 故答案为：． 13.《九章算术》中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．”译文：今有门，不知其高、宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽出4尺；竖放，竿比门高出2尺；斜放，竿与门的对角线长恰好相等，则门的对角线长为 尺． 【答案】10 解：设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺， 依题意得：， 化简得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去； 当时，． ∴门高为8尺，门宽为6尺， ∴门的对角线长为（尺）． 故答案为：10． 14．如图，点，分别在函数与函数的图象上，线段的中点在轴上，的面积为，则 ． 【答案】 解：如图所示，过点作轴交于，过点作轴交于 ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∵点，分别在函数与函数的图象上， ∴， ∴ ∵的面积为，则 故答案为：． 15.规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 ． 【答案】或 解：函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点， 函数（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点， 当k=0时，函数解析为，它的“Y函数”解析式为，它们的图象与x轴只有一个交点， 当时，此函数是二次函数， 它们的图象与x轴都只有一个交点， 它们的顶点分别在x轴上， ，得， 故k+1=0，解得k=-1， 故原函数的解析式为， 故它的“Y函数”解析式为， 故答案为：或． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分解方程： (1)； (2)． （1）解： （2）解： 或 17.本小题分）如图，反比例函数的图象的一支位于第一象限． (1)若，在图象上，且，则 ； (2)点在反比例函数的图象上，点关于轴的对称点为点，点关于原点的对称点为点，若的面积为，求k的值． （1）解：∵反比例函数的图象的一支位于第一象限 ∴反比例函数的另一支在第三象限， 在每个象限内，随的增大而减小， ∴，在图象上，且， 故答案为：． （2）设点的坐标为，其中，， ∵点在该反比例函数位于第一象限的图象上，点与点关于轴对称，点与点关于原点对称， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴，， ∵的面积为， ∴， ∴，解得：， ∵点在反比例函数位于第一象限的图象上， ∴，解得：． 18.本小题8分如图，已知抛物线过点，，其对称轴为． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求点的坐标； 解：（1）设抛物线的解析式为：， 则：，解得：， ∴； （2）如图与对称轴交于点，设 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，解得：或， ∵点在第一象限， ∴， ∴ 19.本小题8分现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计） (1)每个矩形硬纸板的四个角分别去掉2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形后，可以折叠成一个有盖的长方体盒子（如图），已知该长方体盒子的底面积是，求出该盒子的高； (2)工厂将这些硬纸板全部做成有盖盒子出售．已知每块矩形纸板的成本为12元，若有盖盒子的售价为24元/个，则每天可售出18个．在销售过程中发现，有盖盒子价格每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利208元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 解：（1）设该长方体盒子的高为， 由题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该长方体盒子的高为； （2）解：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子售价为元， 由题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：每个有盖盒子应降价4元． 20本小题10分如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 解：（1）点在直线上，将代入直线解析式得：， 解得， 点B的坐标为， 点在反比例函数的图象上，将点B坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）联立直线与反比例函数的解析式，得方程组， 解得或，当时，， 点A的坐标为； （3）结合函数图象可知：当或时，直线在反比例函数下方， 不等式的解集为或． 21.本小题10分有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 解：（1）由题意得，， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）船行驶到桥下的时间为：小时， 水位上升的高度为：． ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为， ∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥． 22本小题12分如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 解：（1）联立，解得：或， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）作点的关于轴的对称点，连接， 设直线的解析式为，将点，代入， 得：，解得：，， ∴直线的解析式为，使直线与轴的交点为， ∴当点的坐标为时，有最小值，此时的周长最小． （3）设点坐标为， ①如图2，当点在点左侧时，过点作轴垂线，垂足为点， 过点作轴的垂线，与相交于点，则：，点的横坐标为3， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点坐标为； ②如图3，当点在点右侧时，过点，作轴的平行线与过点作轴的垂线交于点，； 同理可证：，可得：， 即：，解得：． ∴点坐标为； 综上所述：点坐标为和． 23本小题12分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是x轴下方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m． (1)请直接写出b，c的值； (2)如图，当时，求m的值； (3)过点P作y轴的平行线交于点M，点N在上，且，的长记为l． ①求l关于m的函数解析式； ②当l取某一个值时，是否存在三个符合条件的点P，其中两个点的横坐标之差为1？若存在，求出此时l的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）将A、B代入， ∴， 解得； （2）由（1）可得， 在上截取，连接， ∵， ∴， 在中，， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线BP的解析式为， 当时，解得或， ∴； （3）①∵，轴， ∴的中点纵坐标与N点纵坐标相同， 直线BC的解析式为， ∵， ∴， ∴的中点坐标为， ∴， ∴； ②存在三个符合条件的点P，其中两个点的横坐标之差为1，理由如下： 设其中两个点的横坐标分别为s，t，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $