2026-2027学年北师大版九年级上学期期中数学调研自测试题（第1-3章）

**基本信息** 2026-2027学年北师大版九年级上学期期中数学调研自测试题，分A、B卷（100+50分），覆盖四边形、一元二次方程、相似三角形等核心知识，通过销售利润（A卷17题）、动态几何（B卷26题）等情境，考查抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|菱形判定、一元二次方程定义|如第4题结合正方形性质，考查推理能力| |填空题|10题40分|矩形对角线、相似比计算|如第13题以菱形面积为背景，体现几何直观| |解答题|8题80分|方程求解、四边形证明、动态问题|如B卷26题探究重叠等腰三角形，培养空间观念与创新意识|

2026-2027学年北师大版九年级上学期期中数学调研自测试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列说法中，正确的是（　　） A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．四条边都相等的四边形是菱形 2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A．3（x+1）2＝2（x+1） B．2＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x﹣x2﹣1＝0 3．下列四条线段不成比例的是（　　） A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a，b＝8，c＝5，d＝15 C．a，b＝2，c＝3，d D．a＝1，b，c，d 4．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF＝CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（　　） A．BE＝AF B．∠DAF＝∠BEC C．∠AFB+∠BEC＝90° D．AG⊥BE 5．方程x2﹣1＝0的解是（　　） A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x＝±1 D．无实数根 6．如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，于是得出树的高度为（　　） A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m 7．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞4 B．k≤4 C．k＜4且k≠0 D．k≤4且k≠0 8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB、AD的中点DE、BF相交于点G，连接BD、CG．有下列结论：①∠FGE＝120° ②BG+DG＝CG ③△BDF≌△CGB ④S四边形AEGF＝S△BDG，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．一元二次方程3x（x﹣2）＝7（x+1）+2的二次项系数、一次项系数及常数项之和为　　 ． 10．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，则矩形的对角线长为　 ． 1．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠1＝∠B，AE＝EC＝4，BC＝10，AB＝12，则△ADE和△ACB的周长之比为 　　 ． 12．等腰三角形的底和腰是方程（x﹣3）（x﹣6）＝0的两根，则这个等腰三角形的周长是　　 ． 13．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE＝AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为，则正方形边长为　　 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）解方程：（1）3x2﹣9＝0； （2）3x2﹣7x+4＝0． 15．（8分）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F． （1）求证：四边形AEDF是菱形； （2）当△ABC满足条件 　　 时，四边形AEDF是正方形． 16．（10分）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD． （1）求证：△ABC∽△DEC； （2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长． 17．（10分）某种新产品进价是120元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格/元 130 135 140 … 日销售量/件 70 65 60 … （1）请你观察上面表格中数据的变化规律，回答：当每件产品每涨价1元时，日销售量是怎样变化的？ （2）在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件产品定价为多少元时，每日盈利可达到1600元． 18．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别在直线AB，AD上，且∠ECF＝45°，连接EF． （1）当E，F分别在边AB，AD上时，如图1．请探究线段EF，BE，DF之间的数量关系，并写出证明过程； （2）当E，F分别在BA，AD的延长线上时，如图2．试探究线段EF，BE，DF之间的数量关系，并证明． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0的一个根是2，则另一个根是 　　 ． 20．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为30cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE是 　　 cm． 21．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝4，BC＝3，则四边形CODE的周长是 　　 ． 22．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝5，BF＝8，则EF的长为　　 ． 23．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为　　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，且DECD． （1）求证：△ABF∽△CEB． （2）若△DEF的面积为1，求▱ABCD的面积． 25．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长． 26．（12分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点． （1）求证：△ABE∽△ECM； （2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由； （3）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？ 参考答案 2026-2027学年北师大版九年级上学期期中数学调研自测试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列说法中，正确的是（　　） A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．四条边都相等的四边形是菱形 【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意； B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，不符合题意； C、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，可能是等腰梯形，不符合题意； D、四条边都相等的四边形是菱形，符合题意． 故选：D． 2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A．3（x+1）2＝2（x+1） B．2＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x﹣x2﹣1＝0 【解答】解：A．是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意； B．不是整式方程，故本选项不符合题意； C．当a＝0时，不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意； D．整理后得2x﹣1＝0，是一元一次方程，故本选项符合题意； 故选：A． 3．下列四条线段不成比例的是（　　） A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a，b＝8，c＝5，d＝15 C．a，b＝2，c＝3，d D．a＝1，b，c，d 【解答】解：A、从小到大排列，由于2×6＝3×4，所以成比例，不符合题意； B、从小到大排列，由于15＝5×8，所以成比例，不符合题意； C、从小到大排列，由于32，所以不成比例，符合题意； D、从小到大排列，由于1，所以成比例，不符合题意． 故选：C． 4．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF＝CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（　　） A．BE＝AF B．∠DAF＝∠BEC C．∠AFB+∠BEC＝90° D．AG⊥BE 【解答】解：∵ABCD是正方形 ∴∠ABF＝∠C＝90°，AB＝BC ∵BF＝CE ∴△ABF≌△BCE ∴AF＝BE（第一个正确） ∠BAF＝∠CBE，∠BFA＝∠BEC（第三个错误） ∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠BAF+∠BFA＝90° ∴∠DAF＝∠BEC（第二个正确） ∵∠BAF＝∠CBE，∠BAF+∠AFB＝90° ∴∠CBE+∠AFB＝90° ∴AG⊥BE（第四个正确） 所以不正确的是C，故选C． 5．方程x2﹣1＝0的解是（　　） A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x＝±1 D．无实数根 【解答】解：x2﹣1＝0， x2＝1， ∴x1＝1，x2＝﹣1， 故选：C． 6．如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，于是得出树的高度为（　　） A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m 【解答】解：如图，∵BC＝3.2m，CA＝0.8m， ∴AB＝AC+BC＝0.8+3.2＝4cm， ∵小玲与大树都与地面垂直， ∴△ACE∽△ABD， ∴， 即， 解得BD＝8． 故选：A． 7．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞4 B．k≤4 C．k＜4且k≠0 D．k≤4且k≠0 【解答】解：∵方程有两个实数根， ∴根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k≥0， 即k≤4，且k≠0． 故选：D． 8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB、AD的中点DE、BF相交于点G，连接BD、CG．有下列结论：①∠FGE＝120° ②BG+DG＝CG ③△BDF≌△CGB ④S四边形AEGF＝S△BDG，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD．∠A＝∠BCD． ∵∠A＝60°， ∴∠BCD＝60°，△ABD是等边三角形， ∴△BDC是等边三角形．∠ADB＝∠ABD＝60°， ∴∠CDB＝∠CBD＝60°． ∵E，F分别是AB，AD的中点， ∴∠BFD＝∠DEB＝90°， ∴∠GDB＝∠GBD＝30°， ∴∠GDC＝∠GBC＝90°，DG＝BG， ∴∠FGE＝∠BGD＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，故①正确； 在△CDG和△CBG中，， ∴△CDG≌△CBG（SSS）， ∴∠DGC＝∠BGC＝60°． ∴∠GCD＝30°， ∴CG＝2GD＝GD+GD， ∴CG＝DG+BG．故②正确． ∵△GBC为直角三角形， ∴CG＞BC， ∴CG≠BD， ∴△BDF与△CGB不全等．故③错误； ∵△ABC是等边三角形，E、F分别是AB、AD的中点， ∴△ADE的面积＝△BDE的面积＝△ABF的面积， ∴△DFG的面积＝△BEG的面积， ∴S四边形AEGF＝S△BDG，故④正确； ∴正确的有：①②④共3个． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．一元二次方程3x（x﹣2）＝7（x+1）+2的二次项系数、一次项系数及常数项之和为　﹣19　 ． 【解答】解：3x（x﹣2）＝7（x+1）+2， 3x2﹣6x＝7x+7+2， 3x2﹣13x﹣9＝0， 3+（﹣13）+（﹣9）＝﹣19， 故答案为：﹣19． 10．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，则矩形的对角线长为　8cm ． 【解答】解：∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO＝CO， ∴△AOB是等边三角形， ∴AO＝AB＝4cm， ∴AC＝AO+CO＝4+4＝8cm． 故答案为：8cm． 1．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠1＝∠B，AE＝EC＝4，BC＝10，AB＝12，则△ADE和△ACB的周长之比为 　1：3　 ． 【解答】解：∵∠1＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∵AE＝4，AB＝12， ∴△ADE和△ACB的周长之比为1：3， 故答案为：1：3． 12．等腰三角形的底和腰是方程（x﹣3）（x﹣6）＝0的两根，则这个等腰三角形的周长是　15　 ． 【解答】解：（x﹣3）（x﹣6）＝0， x﹣3＝0，x﹣6＝0， 解得x1＝3，x2＝6， 当3为腰长时，三角形的三边分别为3，3，6， ∵3+3＝6， ∴不能组成三角形， 当3是底边时，三角形的三边分别为3，6，6， 能够组成三角形， 周长＝3+6+6＝15， 综上所述，这个等腰三角形的周长是15． 故答案为：15． 13．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE＝AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为，则正方形边长为　3　 ． 【解答】解：设正方形的边长为x， AC＝AEx， CB＝x是菱形的高， x•x＝9， x＝3． 故答案为：3． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）解方程：（1）3x2﹣9＝0； （2）3x2﹣7x+4＝0． 【解答】解：（1）3x2﹣9＝0， x2＝3， ∴x1，x2； （2）∵a＝3，b＝﹣7，c＝4， ∴Δ＝（﹣7）2﹣4×3×4＝1， ∴x， ∴x1，x2＝1． 15．（8分）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F． （1）求证：四边形AEDF是菱形； （2）当△ABC满足条件 　∠BAC＝90°　 时，四边形AEDF是正方形． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠FAD， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴EA＝ED， ∴平行四边形AEDF为菱形； （2）在△ABC中，当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形， ∵∠BAC＝90°， ∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． 故答案为：∠BAC＝90°． 16．（10分）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD． （1）求证：△ABC∽△DEC； （2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长． 【解答】证明：（1）∵∠BCE＝∠ACD． ∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE， ∴∠DCE＝∠ACB， 又∵∠A＝∠D， ∴△ABC∽△DEC； （2）∵△ABC∽△DEC； ∴（）2， 又∵BC＝6， ∴CE＝9． 17．（10分）某种新产品进价是120元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格/元 130 135 140 … 日销售量/件 70 65 60 … （1）请你观察上面表格中数据的变化规律，回答：当每件产品每涨价1元时，日销售量是怎样变化的？ （2）在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件产品定价为多少元时，每日盈利可达到1600元． 【解答】解：（1）∵130+70＝200，135+65＝200，140+60＝200， ∴每件的售价与产品的日销量之和为200， ∴当每件产品每涨价1元时，日销售量减少1件． （2）设每件产品定价为x元（x＞120），则产品的日销量为（200﹣x）元， 依题意得：（x﹣120）（200﹣x）＝1600， 整理得：x2﹣320x+25600＝0， 解得：x1＝x2＝160． 答：每件产品定价为160元时，每日盈利可达到1600元． 18．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别在直线AB，AD上，且∠ECF＝45°，连接EF． （1）当E，F分别在边AB，AD上时，如图1．请探究线段EF，BE，DF之间的数量关系，并写出证明过程； （2）当E，F分别在BA，AD的延长线上时，如图2．试探究线段EF，BE，DF之间的数量关系，并证明． 【解答】解：（1）EF＝BE+DF， 证明：如图，延长AB使得BG＝DF，连接CG， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°＝∠D＝∠CBG．CD＝CB， ∴△CDF≌△CBG（SAS）， ∴∠DCF＝∠BCG，CF＝CG， ∵∠ECF＝45°， ∴∠BCE+∠DCF＝45°． ∴∠ECG＝∠BCG+∠BCE＝45°＝∠ECF， ∵CF＝CG，CE＝CE， ∴△CFE≌△CGE（SAS）． ∴GE＝EF． ∵GE＝GB+BE＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； （2）EF＝BE﹣DF． 证明：如图，把△CDF绕点C逆时针旋转90°后，得到△CBG． 由旋转可得BG＝DF，CF＝CG，∠BCG＝∠DCF，点A，G，B在同一直线上． ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°． ∵∠ECF＝45°， ∴∠DCE+∠DCF＝45°． ∴∠DCE+∠BCG＝45°． ∴∠ECG＝∠BCD﹣（∠DCE+∠BCG）＝90°﹣45°＝45°． ∴∠ECF＝∠ECG． ∵CF＝CG，CE＝CE， ∴△CEF≌△CEG（SAS）． ∴EF＝EG． ∵EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF， ∴EF＝BE﹣DF． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0的一个根是2，则另一个根是 　﹣4　 ． 【解答】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得， m+2＝﹣2， ∴m＝﹣4， 故答案为：﹣4， 20．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为30cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE是 　20　 cm． 【解答】解：∵DE∥AB， ∴CD：AC＝DE：AB， ∴40：60＝DE：30， ∴DE＝20cm， 故答案为：20． 21．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝4，BC＝3，则四边形CODE的周长是 　10　 ． 【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3， ∴AC＝BD5，OA＝OC，OB＝OD， ∴OD＝OCAC， ∴四边形CODE是菱形， ∴四边形CODE的周长为＝4OC＝410． 故答案为：10． 22．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝5，BF＝8，则EF的长为　13　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝90°，AB＝AD， ∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E， ∴∠DEA＝∠BFA＝∠BAD＝90°， ∴∠BAF+∠DAE＝90°，∠BAF+∠ABF＝90°， ∴∠DAE＝∠ABF，且AB＝AD，∠DEA＝∠BFA， ∴△ABF≌△DAE（SAS） ∴DE＝AF＝5，BF＝AE＝8， ∴EF＝AF+AE＝13， 故答案为：13． 23．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为　8.4或2或12　 ． 【解答】解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x， ∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D， ∴∠B＝∠D＝90°， 当时，△ABP∽△CDP， 即， 解得：x， ∴BP＝148.4， 当时，△ABP∽△PDC，即； 整理得x2﹣14x+24＝0， 解得x1＝2，x2＝12， BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2， ∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似． 故答案为：8.4或2或12． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，且DECD． （1）求证：△ABF∽△CEB． （2）若△DEF的面积为1，求▱ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB，∠A＝∠C， ∴∠ABF＝∠CEB， ∴△ABF∽△CEB； （2）解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD＝AB， ∵DECD， ∴，， ∵CD∥AB， ∴△DFE∽△AFB， ∴（）2， ∵S△DEF＝1， ∴S△ABF＝9， ∵△ABF∽△CEB， ∴（）2， ∴S△CEB＝16， ∴S平行四边形ABCD＝S△ABF+S△CEB﹣S△DEF＝9+16﹣1＝24． 25．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长． 【解答】（1）证明：∵AE∥DC，EC∥AD， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点， ∴AD＝BD＝CD， ∴平行四边形ADCE是菱形； （2）解：∵∠B＝60°，AD＝BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝6， ∵AD∥CE， ∴∠DCE＝60°， ∵CD＝AD＝6， ∴CFCD＝3， ∵四边形ADCE是菱形， ∴CE＝CD＝6， ∴EF＝3． 26．（12分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点． （1）求证：△ABE∽△ECM； （2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由； （3）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？ 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠AEF＝∠B， 又∵∠AEF+∠CEM＝∠AEC＝∠B+∠BAE， ∴∠CEM＝∠BAE， ∴△ABE∽△ECM； （2）能． ∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C， ∴∠AME＞∠AEF ∴AE≠AM； 当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM， ∴CE＝AB＝5， ∴BE＝BC﹣EC＝6﹣5＝1， 当AM＝EM时，则∠MAE＝∠MEA， ∴∠MAE+∠BAE＝∠MEA+∠CEM， 即∠CAB＝∠CEA， ∵∠C＝∠C， ∴△CAE∽△CBA， ∴， ∴CE， ∴BE＝6； ∴BE＝1或． （3）设BE＝x， 又∵△ABE∽△ECM， ∴， 即：， ∴CMx（x﹣3）2， ∴AM＝5﹣CM（x﹣3）2， ∴当x＝3时，AM最短为． 学科网（北京）股份有限公司 $