2.6.2 双曲线的几何性质（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦双曲线的几何性质这一核心知识点，在双曲线标准方程基础上，系统梳理焦点在x轴与y轴上的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等性质，通过对比表格构建知识联系，形成从概念理解到应用的学习支架。 资料以对比分析和逻辑推导为特色，通过表格直观呈现不同焦点位置的性质差异培养数学眼光，结合离心率与渐近线关系的推理过程发展数学思维。随学随练与分层题型设计，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

第二章 平面解析几何 2.6.2　双曲线的几何性质 课标要点 了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)． 学习重难点 重点： 用坐标法解决一些与双曲线的几何性质有关的问题． 难点： 解决与渐近线及离心率有关的一些问题． 知识点一 双曲线的几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 (±c，0) (0，±c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 (±a，0) (0，±a) 轴长 实轴长为2a，虚轴长为2b 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝(e>1) 随学随练 1．（2026·上海·二模）双曲线的渐近线是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建厦门·期中）双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 知识点二 对双曲线的几何性质的五点认识 (1)双曲线的焦点决定双曲线的位置． (2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程－＝1(a>0，b>0)，得＝1＋≥1，所以x2≥a2，所以|x|≥a，即x≤－a或x≥a. (3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，对于双曲线－＝1，因为c>a>0，所以e>1，则＝＝＝，这说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄． (4)对称性：由双曲线的方程－＝1(a>0，b>0)，若P(x，y)是双曲线上任意一点，则P1(－x，y)，P2(x，－y)，P3(－x，－y)均在双曲线上，P与P1，P2，P3分别关于y轴、x轴、原点对称，因此双曲线分别关于y轴、x轴、原点对称．双曲线的顶点有两个，而椭圆有四个． (5)双曲线上的所有点中，到给定焦点距离最小的点，是离该焦点最近的实轴的端点． 随学随练 3．（2026·吉林延边·三模）若双曲线的离心率为2，则实数（    ） A． B． C．3 D． 4．（25-26高二下·山西临汾·期中）双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型双曲线的几何性质 ▌例1（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的方程为_____ ▌对点练1-1．（25-26高二下·上海·期中）双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为______. 题型由双曲线的几何性质求标准方程 ▌例1（25-26高二下·北京平谷·期中）已知双曲线的一条渐近线斜率为3，则______． ▌对点练1-1（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线，则它的焦距为_______． 题型双曲线的离心率问题 ▌例1（25-26高二下·福建福州·期中）中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为___________ ▌对点练1-1（2026·江西·三模）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D． 基础通关 1．（25-26高三下·甘肃武威·期中）已知双曲线：的一条渐近线与直线平行，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·江西赣州·期中）已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·浙江·期中）已知直线是双曲线：的一条渐近线，则的离心率为（   ） A． B． C．3 D． 4．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（   ） A． B．2 C． D． 5．（25-26高二下·广东珠海·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 6．（25-26高二下·浙江·期中）已知双曲线的方程为，若过点的直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 7．（25-26高二下·湖北·期中）设为坐标原点，，是（）的左､右焦点，若在双曲线上存在点，满足的面积为，，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·福建厦门·期中）已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线交于，两点，其中在第一象限，，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·河南商丘·模拟预测）若双曲线：（，）的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·浙江·期中）若双曲线，离心率为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 素养提升 11．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·四川泸州·期中）设双曲线的左､右焦点分别为，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，且双曲线的离心率，则（    ） A．2 B． C． D． 13．（25-26高二下·广东广州·期中）过双曲线：（）的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若点关于点的对称点恰好落在双曲线上，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 14．（2026·江西·三模）设双曲线的左焦点为，过作的一条渐近线的垂线，交轴于点，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 15．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线右支上一点，且轴，若直线与以为圆心，为半径的圆相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 16．（2026·河北保定·二模）已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·河北衡水·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线右支上任意一点处的切线为，过作切线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 18．（25-26高二下·贵州·期中）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，为双曲线上位于第二象限的一点，，的内切圆的圆心为，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 19．（2026·青海西宁·二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为，若渐近线上存在关于原点对称的两点M，N  (M在第一象限)，且，线段的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高二下·上海·期中）如图，造型为“”的曲线称为双纽线，其对称中心为坐标原点，且曲线上的点满足：到点和的距离之积为定值.若点在曲线上，给出下列四个结论： ①；②；③面积的最大值为；④周长的最小值为；其中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面解析几何 2.6.2　双曲线的几何性质 课标要点 了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)． 学习重难点 重点： 用坐标法解决一些与双曲线的几何性质有关的问题． 难点： 解决与渐近线及离心率有关的一些问题． 知识点一 双曲线的几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 (±c，0) (0，±c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 (±a，0) (0，±a) 轴长 实轴长为2a，虚轴长为2b 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝(e>1) 随学随练 1．（2026·上海·二模）双曲线的渐近线是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线的标准形式为， 显然该双曲线焦点在轴上，其中，，即，， 因为焦点在轴上的双曲线的渐近线公式是，且， 所以双曲线的渐近线是． 2．（25-26高二上·福建厦门·期中）双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的渐近线方程的求法得出答案. 【详解】由题意得，，则其渐近线方程为. 故选：C. 知识点二 对双曲线的几何性质的五点认识 (1)双曲线的焦点决定双曲线的位置． (2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程－＝1(a>0，b>0)，得＝1＋≥1，所以x2≥a2，所以|x|≥a，即x≤－a或x≥a. (3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，对于双曲线－＝1，因为c>a>0，所以e>1，则＝＝＝，这说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄． (4)对称性：由双曲线的方程－＝1(a>0，b>0)，若P(x，y)是双曲线上任意一点，则P1(－x，y)，P2(x，－y)，P3(－x，－y)均在双曲线上，P与P1，P2，P3分别关于y轴、x轴、原点对称，因此双曲线分别关于y轴、x轴、原点对称．双曲线的顶点有两个，而椭圆有四个． (5)双曲线上的所有点中，到给定焦点距离最小的点，是离该焦点最近的实轴的端点． 随学随练 3．（2026·吉林延边·三模）若双曲线的离心率为2，则实数（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】由双曲线的离心率为2，得，所以. 4．（25-26高二下·山西临汾·期中）双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出双曲线的标准方程再求出的值即可求离心率的值. 【详解】双曲线，即，实半轴长，半焦距， 故所求离心率． 题型双曲线的几何性质 ▌例1（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的方程为_____ 【答案】 【详解】由双曲线：的一条渐近线方程为，得， 由椭圆得双曲线的焦点为，则， 联立解得，所以双曲线的方程为. ▌对点练1-1．（25-26高二下·上海·期中）双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【详解】易知双曲线的焦点在轴上，且，， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 题型由双曲线的几何性质求标准方程 ▌例1（25-26高二下·北京平谷·期中）已知双曲线的一条渐近线斜率为3，则______． 【答案】 【详解】由题意，. ，， . ▌对点练1-1（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线，则它的焦距为_______． 【答案】 【详解】双曲线方程，化为标准方程得， 则双曲线为焦点位于x轴的双曲线，且， 故双曲线的焦距为. 题型双曲线的离心率问题 ▌例1（25-26高二下·福建福州·期中）中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为___________ 【答案】 【详解】由题意可得焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为， 因为一条渐近线经过点，所以， 故双曲线的离心率为. ▌对点练1-1（2026·江西·三模）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据已知得出渐近线的倾斜角进而得出，再根据即可求解． 【详解】∵双曲线的一条渐近线的倾斜角为， ，， ∴此双曲线的离心率为2． 基础通关 1．（25-26高三下·甘肃武威·期中）已知双曲线：的一条渐近线与直线平行，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知的一条渐近线的斜率为，所以， 所以的离心率. 2．（25-26高三下·江西赣州·期中）已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 由题知，所以的离心率为. 3．（25-26高二下·浙江·期中）已知直线是双曲线：的一条渐近线，则的离心率为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】应用渐近线方程得出，再应用计算求解. 【详解】因为直线是双曲线：的一条渐近线， 则，所以的离心率为. 4．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】因为双曲线的标准方程为， 所以，双曲线的焦点在x轴上， 又因为一条渐近线方程为, 所以，. 5．（25-26高二下·广东珠海·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的焦点以及定义求解即可. 【详解】双曲线的两个焦点为、，焦点在轴上，因此. 设焦点，，已知点在双曲线上， 则，， 因此，得. 所以离心率为. 故选：C. 6．（25-26高二下·浙江·期中）已知双曲线的方程为，若过点的直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先应用斜率公式计算得出，再应用计算求解. 【详解】若过点的直线的倾斜角为，则， 所以双曲线的离心率. 7．（25-26高二下·湖北·期中）设为坐标原点，，是（）的左､右焦点，若在双曲线上存在点，满足的面积为，，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设点，再利用坐标表示条件中的几何量，即可求解. 【详解】设， 则，且，得， 所以，代入双曲线方程得， 整理为，即， 得，即，则双曲线的离心率. 8．（25-26高二下·福建厦门·期中）已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线交于，两点，其中在第一象限，，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图： 设双曲线的左焦点为，根据双曲线的对称性可得：，且. 所以. 结合双曲线的定义，，. 在中，. 由余弦定理，， 整理得：，所以. 9．（2026·河南商丘·模拟预测）若双曲线：（，）的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，则， 即，即，解得， 故所求渐近线方程为． 10．（25-26高二下·浙江·期中）若双曲线，离心率为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由表示双曲线，可得，解得， 当时，双曲线方程为，则，其离心率为，即“”是“”的充分条件； 由上分析知双曲线方程为，则， 当时，由，解得，即“”是“”的必要条件. 故“”是“”的充分必要条件. 素养提升 11．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义，结合已知条件求解三角形的边长，然后求解三角形的面积． 【详解】如图，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，又， 由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理可得：， 即，解得， 所以． 12．（25-26高二下·四川泸州·期中）设双曲线的左､右焦点分别为，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，且双曲线的离心率，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用点到直线的距离公式求出，再可求得，则，而，再结合的面积为，从而可求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线为，由双曲线的对称性，不妨取，即，则 ， 所以， 所以， 因为的面积为，， 所以，得， 所以，令得， 解得或，即或， 或， 因为，所以. 13．（25-26高二下·广东广州·期中）过双曲线：（）的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若点关于点的对称点恰好落在双曲线上，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先将直线和其中一条渐近线方程联立，求出点的坐标，再根据中点坐标公式求出对称点的坐标，最后由于对称点恰好落在双曲线上，将的坐标代入双曲线的方程即可求解. 【详解】 如图所示，已知双曲线，其右焦点为，其中， 不妨设过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，则直线的方程为， 联立方程组，解得，所以点的坐标为，其中为线段的中点， 设点的坐标为，由中点坐标公式得，解得，所以点的坐标为， 又因为点在双曲线上，则，结合，化简得，即， 因此双曲线的渐近线为，故B正确. 14．（2026·江西·三模）设双曲线的左焦点为，过作的一条渐近线的垂线，交轴于点，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设直线的方程为，求得，由，求得 ，进而求得双曲线的离心率. 【详解】由双曲线，可得其渐近线方程为， 不妨设直线的方程为， 令，可得，即， 因为，可得， 可得，解得，所以的离心率为. 15．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线右支上一点，且轴，若直线与以为圆心，为半径的圆相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得出，再轴，代入计算得出，最后应用定义得出齐次式计算离心率. 【详解】因为直线与以为圆心，为半径的圆相切，所以圆的半径， 又，所以，所以， 因为轴，所以当时，有，解得，所以， 因为，所以， 所以，整理得， 因为，所以，解得. 16．（2026·河北保定·二模）已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线定义及余弦定理得，则，从而得到方程，解出离心率即可. 【详解】如图，设，是双曲线左支上的两点， 令，由双曲线的定义可得． 在中，由余弦定理得， 整理得，解得或（舍去）． ，根据双曲线定义可得， ∴，则, ∴为直角三角形，且． 在中，， 即， ∴， ∴．即该双曲线的离心率为． 17．（25-26高二下·河北衡水·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线右支上任意一点处的切线为，过作切线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】求双曲线的离心率即找三者之间的关系，题干中已知右支上一点，根据双曲线定义可知；且根据双曲线的光学性质：从一个焦点发出的光线，经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线必过另一个焦点；即双曲线上一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角；所以，点处的切线为，是的角平分线；因此想到构造对称点和中位线，结合已知条件求出离心率． 【详解】设，则； 双曲线在点处的切线的方程为， 设切线与轴的交点， 双曲线右焦点，其中：； ； ； ，所以，， 则，故或（舍去）， 所以切线与的平分线重合． 如图，延长交于点， 则，故，且为的中点， 则．在中，中位线．又， 则，所以离心率． 18．（25-26高二下·贵州·期中）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，为双曲线上位于第二象限的一点，，的内切圆的圆心为，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据内切圆的性质及双曲线定义可得，再求出，结合直线的斜率得到即可求解． 【详解】由题可知，， ，又， ，则， 当时，，解得， ，为双曲线上位于第二象限的一点， ，又直线的斜率为， ， 解得，. 19．（2026·青海西宁·二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为，若渐近线上存在关于原点对称的两点M，N  (M在第一象限)，且，线段的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据渐近线以及中点坐标公式，再代入双曲线方程，根据离心率求解即可. 【详解】 因为，关于原点对称，且，所以， 所以，因为点在双曲线的渐近线上，且在第一象限，所以， 故线段的中点的坐标为，将其代入，得， 解得. 20．（25-26高二下·上海·期中）如图，造型为“”的曲线称为双纽线，其对称中心为坐标原点，且曲线上的点满足：到点和的距离之积为定值.若点在曲线上，给出下列四个结论： ①；②；③面积的最大值为；④周长的最小值为；其中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出曲线C的方程，结合曲线过原点求出，再结合基本不等式及二次函数逐项求解判断. 【详解】依题意，，即， 由曲线过原点，得，①正确； ， 当且仅当时取等号，解得，即， ，即， 解得，因此，②正确； 令，由，得， 则， 当且仅当时，有最大值，，③正确； ，当且仅当，即时取等号， 因此在中，，所以 ， 所以周长，所以周长的最小值不是，④错误. 试卷第1页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $