2.6.2 双曲线的几何性质-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学双曲线的几何性质，前承椭圆几何性质的类比学习，通过问题引导、表格对比等支架，系统梳理范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等核心知识点，及等轴双曲线的特殊性质。 以核心素养为导向，类比椭圆培养直观想象，题型分类（已知方程求性质、由性质求方程等）结合方法技巧提升逻辑推理，例题与测评强化数学运算。课中辅助分层教学，课后助学生查漏补缺，配套示意图增强理解。

2．6.2　双曲线的几何性质 [学习目标] 知识层面 1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)．　2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程．　3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题. 素养层面 通过对双曲线几何性质的学习，培养直观想象素养；借助几何性质的应用，提升逻辑推理、数学运算素养. 问题1.类比对椭圆几何性质的研究，分析一下双曲线－＝1(a>0，b>0)的范围、对称性、顶点、离心率等？ 提示：(1)范围：利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1， 于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，即x2≥a2，y∈R，所以x≥a或x≤－a，y∈R. (2)对称性：－＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称．x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心． (3)顶点：双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点．顶点是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有两个． (4)离心率：①定义：e＝.②e的范围：e＞1.③e的含义：因为c＞a＞0，所以可以看出e＞1，另外，注意到＝＝＝，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄． 问题2.如图，线段A1A2的长为2a，线段B1B2的长为2b.据此，你能发现双曲线的范围与矩形对角线y＝±x有什么关系？ 提示：双曲线在第一象限内部分的方程为y＝·，它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方．它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近．其他象限同理． 知识点一　双曲线的几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a y≤－a或y≥a 对称性 关于坐标轴、原点对称 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴长 实轴长2a，虚轴长2b 离心率 e＝>1 渐近线 y＝±x y＝±x 知识点二　等轴双曲线 实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，它有以下性质： (1)方程形式为x2－y2＝λ(λ≠0)； (2)渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直； (3)离心率e＝． 双曲线的离心率e对双曲线开口大小的影响 双曲线的离心率e＝反映了双曲线开口的大小，e越大，双曲线的开口就越大，这可以从离心率对渐近线斜率的影响上得以理解．(以双曲线－＝1(a>0，b>0)为例，因为＝＝(e>1)，所以e越大，渐近线y＝±x斜率的绝对值越大，即越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔． 由此可见，双曲线的离心率越大，它的开口就越大)． 学生用书↓第97页 1．(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　) A．实轴长为8 B．虚轴长为4 C．焦距为6 D．离心率为 答案：ABD 解析：将双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.故选ABD. 2．双曲线方程为－y2＝1，则渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝x 答案：A 解析：因为双曲线方程为－y2＝1，则渐近线方程为－y2＝0，即y＝±x.故选A. 3．已知双曲线过点(－2，2)，且渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的标准方程为(　　) A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．－x2＋＝1 D．－＋y2＝1 答案：B 解析：因为所求双曲线的渐近线方程为y＝±2x，所以可设所求双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)，因为双曲线过点(－2，2)，所以(－2)2－＝λ，解得λ＝1，所以所求双曲线的标准方程为x2－＝1.故选B. 4．已知点(2，3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________． 答案：2 解析：由题意知－＝1，c2＝a2＋b2＝4，得a＝1，b＝，所以e＝＝2. 题型一　已知双曲线方程求其几何性质 (链教材P153例1)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． [思路点拨]　双曲线方程双曲线的标准方程―→a，b，c的值―→结果 解：将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1， 即－＝1， 所以a＝3，b＝2，c＝. 因此顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)， 焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝＝， 渐近线方程为y＝±x＝±x. 方法技巧 1．由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质，首先要将双曲线方程化为标准形式－＝1或－＝1，确定a，b的值，进而求出c，再根据双曲线的几何性质得到相应的答案． 2．注意区分双曲线两种标准方程的渐近线．双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，双曲线－＝1的渐近线为y＝±x. 3．如果要求画出双曲线，首先画出两条渐近线和顶点，然后根据双曲线的变化趋势，便可画出双曲线的近似图形．　　 对点练1．(1)双曲线－y2＝1的顶点坐标是(　　) A．(4，0)，(0，1)　　　　　　 B．(－4，0)，(4，0) C．(0，1)，(0，－1) D．(－4，0)，(0，－1) (2)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________． 答案：(1)B　(2)2 解析：(1)双曲线的焦点在x轴上，令y＝0，得x＝±4，所以双曲线的顶点坐标为(－4，0)，(4，0)． (2)由题意知a＝1，c＝，所以e＝＝＝，解得m＝2. 题型二　由双曲线的几何性质求标准方程 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)实轴长为8，离心率为； (2)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－)； 学生用书↓第98页 (3)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)． [思路点拨]　(1)(2)可用待定系数法求出a，b，c后求方程； (3)可以利用渐近线的方程直接设双曲线的一般形式，或者讨论焦点所在的坐标轴，再根据已知条件求相应的标准方程． 解：(1)设双曲线的标准方程为－＝1或 －＝1(a＞0，b＞0)， 由题意知2a＝8，＝，则a＝4，c＝5. 所以b2＝c2－a2＝9. 所以标准方程为－＝1或－＝1. (2)由2a＝2b得a＝b， 所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点P(4，－)， 所以16－10＝λ，即λ＝6. 所以双曲线方程为x2－y2＝6. 所以双曲线的标准方程为－＝1. (3)方法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x， 若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.　① 因为A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1.　② 由①②联立，无解． 若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.　③ 因为A(2，－3)在双曲线上， 所以－＝1.　④ 由③④联立，解得a2＝8，b2＝32. 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 方法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，因为A(2，－3)在双曲线上， 所以－(－3)2＝λ，解得λ＝－8. 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 方法技巧 1．由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0)． 2．常见双曲线方程的设法 (1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)． (2)与双曲线－＝1或－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线－＝1(a>0，b>0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ>0)或－＝λ(λ>0)，这是因为离心率不能确定焦点位置． (4)与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2<λ<a2)．　　 对点练2．(1)已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 (2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线的标准方程为________． 答案：(1)D　(2)－＝1 解析：(1)由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1.故选D. (2)方法一：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 由题意，易求c＝2.又双曲线过点(3，2)，所以－＝1.又因为a2＋b2＝(2)2，所以a2＝12，b2＝8.故所求双曲线方程为－＝1. 方法二：设双曲线方程为－＝1，(－4<k<16)，将点(3，2)代入得k＝4，故所求双曲线方程为－＝1. 题型三　求双曲线的离心率 (1)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为(　　 ) A． B． C．4 D． (2)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是______________． [思路点拨]　对于(1)，根据双曲线的定义得到a，b，c的关系式，再求离心率；对于(2)，欲求离心率的取值范围，关键是构造关于e的不等式，可利用|PF1|或|PF2|的范围求解． 答案：(1)D　(2)1＜e≤3 解析：(1)根据已知条件，知||PF1|－|PF2||＝2a， 所以4a2＝b2－3ab，所以b＝4a， 所以双曲线的离心率e＝＝ ＝.故选D. (2)因为P为双曲线上一点，|PF1|＝2|PF2|，又因为|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a.又因为|PF2|≥c－a，即2a≥c－a，所以e＝≤3.又e＞1，所以1＜e≤3. 方法技巧 1．求解双曲线的离心率一般有两种方法 (1)由条件寻找a，c所满足的等式，常用的公式变形为e＝＝ ＝，其中a>0，b>0. 学生用书↓第99页 (2)依据条件列出含a，c的齐次方程，利用e＝转化为含e或e2的方程，解方程即可，注意依据e>1对所得解进行取舍． 2．求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2＝a2＋b2和＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a. 　　 对点练3．(1)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则其离心率为________． (2)在平面直角坐标系xOy中 ，若双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为 c，求其离心率的值． 答案：(1) 或 解析：(1)当焦点在x轴上时， ＝2，这时离心率e＝ ＝ ＝ .当焦点在y轴上时， ＝2，即 ＝ ，这时离心率e＝ ＝ ＝ . (2)因为双曲线的右焦点F(c，0)到渐近线y＝± x，即bx±ay＝0的距离为 ＝ ＝b，所以b＝ c，因此a2＝c2－b2＝c2－ c2＝ c2，a＝ c，所以离心率e＝ ＝2. 易错点　忽略焦点位置致错 双曲线的渐近线方程为y＝±x，则离心率为(　　) A． B． C．或 D．或 [正解]　当焦点在x轴上时，＝， 所以e＝＝ ＝； 当焦点在y轴上时，＝，所以e＝＝ ＝. 答案：C [错解]　本题易出现以下错误： 由双曲线的渐近线方程为y＝±x，得＝， 所以e＝＝ ＝，故选A. 易误认为焦点在x轴上，而漏掉焦点在y轴上的情况． [易错探因]　解题时易误认为焦点在x轴上，而漏掉焦点在y轴上的情况． [误区警示]　当题目条件没有明确双曲线的焦点所在轴时，应分两种情况进行讨论．同时注意两种情况下，渐近线方程是有区别的：焦点在x轴上时，渐近线方程为y＝±x；焦点在y轴上时，渐近线方程为y＝±x. 课时测评25　双曲线的几何性质 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．双曲线C：－x2＝－1的离心率是(　　) A．3 B． C．2 D． 答案：D 解析：易知双曲线C的标准方程是x2－＝1，其离心率是e＝＝.故选D. 2．若实数k满足0<k<9，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　) A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 答案：D 解析：c＝25＋(9－k)＝34－k，c＝(25－k)＋9＝34－k，所以c＝c，c1＝c2，所以焦距相等． 3．(多选)若双曲线C的一个焦点F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是(　　) A．C的方程为－＝1 B．C的离心率为 C．焦点到渐近线的距离为3 D．|PF|的最小值为2 答案：AD 解析： 双曲线C的一个焦点F(5，0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以＝，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确；离心率为e＝，B不正确；焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确；|PF|的最小值为c－a＝2，D正确．故选AD. 4．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 答案：D 解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为－＝1.故选D. 5．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P是双曲线C上异于顶点的一点，且·＝0，则下列结论正确的是(　　) A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C．点F1到双曲线的一条渐近线的距离为1 D．△PF1F2的面积为1 答案：ACD 解析：对于A，由双曲线C：x2－y2＝1，可知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故A正确；对于B，由题意得F1(－，0)，F2(，0)，则以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；对于C，F1(－，0)到渐近线y＝－x的距离为1，故C正确；对于D，设P(x0，y0)，则·＝x＋y－2＝0，又x－y＝1，解得x0＝±，y0＝±，所以△PF1F2的面积为×|F1F2|×|y0|＝××2＝1，故D正确．故选ACD. 6．已知某双曲线的渐近线方程为y＝±x，且该双曲线过点，则该双曲线的标准方程为______________． 答案：x2－y2＝1 解析：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以该双曲线的方程可设为x2－y2＝λ，将点代入双曲线方程，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－y2＝1. 7．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________． 答案：－＝1 解析：椭圆4x2＋y2＝64可变形为＋＝1，a2＝64，c2＝64－16＝48，所以焦点为(0，4)，(0，－4)，离心率e＝，则双曲线的焦点在y轴上，c′＝4，e′＝＝，从而a′＝6，b′2＝12，故所求双曲线的方程为－＝1. 8．(2024·山东东营高二质量监测)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作圆x2＋y2＝a2的切线，交双曲线的右支于点M，若∠F1MF2＝45°，则该双曲线的离心率为________． 答案： 解析：如图，作OA⊥F1M于点A，F2B⊥F1M于点B.因为F1M与圆x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，所以＝a，＝＝2a，则＝2a，＝2＝2b.又点M在双曲线上，所以－＝2a＋2b－2a＝2a，整理得b＝a，即b2＝2a2＝c2－a2，得e2＝3，由e>1解得e＝，所以双曲线的离心率为. 9．(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点(3，－)，离心率e＝； (2)顶点间的距离为6，渐近线方程为y＝±x. 解：(1)若双曲线的焦点在x轴上， 设其标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 因为双曲线过点(3，－)，则－＝1.　① 又e＝＝ ＝，故a2＝4b2.　② 由①②得a2＝1，b2＝， 故所求双曲线的标准方程为x2－＝1. 若双曲线的焦点在y轴上， 设其标准方程为－＝1(a>0，b>0)．同理可求得b2＝－，不符合题意． 综上知，所求双曲线的标准方程为x2－＝1. (2)方法一：当焦点在x轴上时， 设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 由题意得解得 所以双曲线的标准方程为－＝1； 同理可得，当焦点在y轴上时， 双曲线的标准方程为－＝1. 因此，所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 方法二：渐近线方程为y＝±x，变形得±＝0. 由渐近线方程的推导过程， 可设双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)． 当λ>0时，由2＝6，解得λ＝. 此时，所求双曲线的标准方程为－＝1； 当λ<0时，由2＝6，解得λ＝－1. 此时，所求双曲线的标准方程为－＝1. 综上，所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 10．(10分)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率． 解：设F1(c，0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±. 由题意知|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，则△PF2Q为等腰直角三角形． 所以|PF1|＝|F1F2|， 所以＝2c，所以b2＝2ac. 所以c2－2ac－a2＝0，所以－2×－1＝0. 即e2－2e－1＝0.所以e＝1＋或e＝1－(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋. 11．(5分)设双曲线C： － ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则实数a＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案：A 解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a，①又PF1⊥PF2，故|PF1|2＋|PF2|2＝4c2.②由①平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2，③由②③得|PF1||PF2|＝2c2－2a2，所以S△PF1F2＝ |PF1||PF2|＝c2－a2＝4.又 ＝ ，可得a＝1.故选A. 12．(5分)(一题两空)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2. (1)若F2到渐近线的距离是3，则b为________． (2)若P为双曲线C右支上一点，∠F1PF2＝60°且∠F1PF2的角平分线与x轴的交点为Q，满足＝2，则双曲线C的离心率为________． 答案：(1)3　(2) 解析：(1)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为bx±ay＝0，且F2(c，0)．所以F2到渐近线的距离d＝＝＝b＝3.即b的值为3. (2)由＝2，得|F1Q|＝2|QF2|，故S△PF1Q＝2S△PF2Q.因为S△PF1Q＝|PF1|·|PQ|·sin∠F1PQ，S△PF2Q＝|PF2|·|PQ|·sin∠F2PQ，∠F1PQ＝∠F2PQ，所以|PF1|＝2|PF2|.由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，则|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.在△PF1F2中，由余弦定理知|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝2|PF1|·|PF2|cos ∠F1PF2，即4c2＝16a2＋4a2－8a2＝12a2.故e2＝3，即e＝. 13．(10分)已知双曲线C：－＝1，焦点到渐近线的距离为，且离心率为. (1)求双曲线C的方程； (2)直线l：y＝kx＋3与双曲线交于M，N两点，若＝16，求k的值． 解：(1)由双曲线方程知：渐近线方程为y＝±x，设焦点坐标为， 所以焦点到渐近线的距离d＝＝b＝， 又离心率e＝＝，所以b2＝c2－a2＝a2＝3，解得a2＝4， 所以双曲线C的方程为－＝1. (2)由得x2－24kx－48＝0， 则解得k2<3，且k2≠， 设M，N，则x1＋x2＝，x1x2＝－， 所以＝·＝·＝16， 即＝42， 解得k2＝，或k2＝1，均满足k2<3且k2≠， 所以k＝±或k＝±1. 14．(5分)(新情境)双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cos∠BAC＝－，·＝0，则E的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：由题意知延长CA，DB，则必过点F1，如图所示：由双曲线的定义知又因为cos∠BAC＝－，所以cos∠F1AB＝，因为·＝0，所以AB⊥BD，设＝13m，m>0，则＝5m，＝12m，因此从而由＋＝得13m－2a＋12m－2a＝5m，所以a＝5m，则＝a，＝a，＝2c，又因为2＋2＝2，所以2＋2＝2，即37a2＝25c2，即e＝.故选B. 15．(15分)设A，B分别为双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标． 解：(1)由题意知a＝2. 所以一条渐近线为y＝x，即bx－2y＝0. 所以＝. 又c2＝a2＋b2＝12＋b2， 所以＝3，即＝3，所以b2＝3. 所以双曲线的方程为－＝1. (2)设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)， 由得x2－16x＋84＝0， 所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12， 因为＋＝t，所以(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x0，y0)， 所以又点D(x0，y0)在双曲线上，所以－＝1，解得t2＝16，且点D在双曲线的右支上，所以t>0，即t＝4，此时点D(4，3)． 学生用书↓第100页 学科网（北京）股份有限公司 $