课时测评25　双曲线的几何性质-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版）

课时测评25　双曲线的几何性质 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．双曲线C：－x2＝－1的离心率是(　　) A．3 B． C．2 D． 答案：D 解析：易知双曲线C的标准方程是x2－＝1，其离心率是e＝＝.故选D. 2．若实数k满足0<k<9，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　) A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 答案：D 解析：c＝25＋(9－k)＝34－k，c＝(25－k)＋9＝34－k，所以c＝c，c1＝c2，所以焦距相等． 3．(多选)若双曲线C的一个焦点F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是(　　) A．C的方程为－＝1 B．C的离心率为 C．焦点到渐近线的距离为3 D．|PF|的最小值为2 答案：AD 解析： 双曲线C的一个焦点F(5，0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以＝，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确；离心率为e＝，B不正确；焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确；|PF|的最小值为c－a＝2，D正确．故选AD. 4．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 答案：D 解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为－＝1.故选D. 5．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P是双曲线C上异于顶点的一点，且·＝0，则下列结论正确的是(　　) A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C．点F1到双曲线的一条渐近线的距离为1 D．△PF1F2的面积为1 答案：ACD 解析：对于A，由双曲线C：x2－y2＝1，可知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故A正确；对于B，由题意得F1(－，0)，F2(，0)，则以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；对于C，F1(－，0)到渐近线y＝－x的距离为1，故C正确；对于D，设P(x0，y0)，则·＝x＋y－2＝0，又x－y＝1，解得x0＝±，y0＝±，所以△PF1F2的面积为×|F1F2|×|y0|＝××2＝1，故D正确．故选ACD. 6．已知某双曲线的渐近线方程为y＝±x，且该双曲线过点，则该双曲线的标准方程为______________． 答案：x2－y2＝1 解析：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以该双曲线的方程可设为x2－y2＝λ，将点代入双曲线方程，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－y2＝1. 7．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________． 答案：－＝1 解析：椭圆4x2＋y2＝64可变形为＋＝1，a2＝64，c2＝64－16＝48，所以焦点为(0，4)，(0，－4)，离心率e＝，则双曲线的焦点在y轴上，c′＝4，e′＝＝，从而a′＝6，b′2＝12，故所求双曲线的方程为－＝1. 8．(2024·山东东营高二质量监测)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作圆x2＋y2＝a2的切线，交双曲线的右支于点M，若∠F1MF2＝45°，则该双曲线的离心率为________． 答案： 解析：如图，作OA⊥F1M于点A，F2B⊥F1M于点B.因为F1M与圆x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，所以＝a，＝＝2a，则＝2a，＝2＝2b.又点M在双曲线上，所以－＝2a＋2b－2a＝2a，整理得b＝a，即b2＝2a2＝c2－a2，得e2＝3，由e>1解得e＝，所以双曲线的离心率为. 9．(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点(3，－)，离心率e＝； (2)顶点间的距离为6，渐近线方程为y＝±x. 解：(1)若双曲线的焦点在x轴上， 设其标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 因为双曲线过点(3，－)，则－＝1.　① 又e＝＝ ＝，故a2＝4b2.　② 由①②得a2＝1，b2＝， 故所求双曲线的标准方程为x2－＝1. 若双曲线的焦点在y轴上， 设其标准方程为－＝1(a>0，b>0)．同理可求得b2＝－，不符合题意． 综上知，所求双曲线的标准方程为x2－＝1. (2)方法一：当焦点在x轴上时， 设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 由题意得解得 所以双曲线的标准方程为－＝1； 同理可得，当焦点在y轴上时， 双曲线的标准方程为－＝1. 因此，所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 方法二：渐近线方程为y＝±x，变形得±＝0. 由渐近线方程的推导过程， 可设双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)． 当λ>0时，由2＝6，解得λ＝. 此时，所求双曲线的标准方程为－＝1； 当λ<0时，由2＝6，解得λ＝－1. 此时，所求双曲线的标准方程为－＝1. 综上，所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 10．(10分)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率． 解：设F1(c，0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±. 由题意知|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，则△PF2Q为等腰直角三角形． 所以|PF1|＝|F1F2|， 所以＝2c，所以b2＝2ac. 所以c2－2ac－a2＝0，所以－2×－1＝0. 即e2－2e－1＝0.所以e＝1＋或e＝1－(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋. 11．(5分)设双曲线C： － ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则实数a＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案：A 解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a，①又PF1⊥PF2，故|PF1|2＋|PF2|2＝4c2.②由①平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2，③由②③得|PF1||PF2|＝2c2－2a2，所以S△PF1F2＝ |PF1||PF2|＝c2－a2＝4.又 ＝ ，可得a＝1.故选A. 12．(5分)(一题两空)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2. (1)若F2到渐近线的距离是3，则b为________． (2)若P为双曲线C右支上一点，∠F1PF2＝60°且∠F1PF2的角平分线与x轴的交点为Q，满足＝2，则双曲线C的离心率为________． 答案：(1)3　(2) 解析：(1)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为bx±ay＝0，且F2(c，0)．所以F2到渐近线的距离d＝＝＝b＝3.即b的值为3. (2)由＝2，得|F1Q|＝2|QF2|，故S△PF1Q＝2S△PF2Q.因为S△PF1Q＝|PF1|·|PQ|·sin∠F1PQ，S△PF2Q＝|PF2|·|PQ|·sin∠F2PQ，∠F1PQ＝∠F2PQ，所以|PF1|＝2|PF2|.由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，则|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.在△PF1F2中，由余弦定理知|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝2|PF1|·|PF2|cos ∠F1PF2，即4c2＝16a2＋4a2－8a2＝12a2.故e2＝3，即e＝. 13．(10分)已知双曲线C：－＝1，焦点到渐近线的距离为，且离心率为. (1)求双曲线C的方程； (2)直线l：y＝kx＋3与双曲线交于M，N两点，若＝16，求k的值． 解：(1)由双曲线方程知：渐近线方程为y＝±x，设焦点坐标为， 所以焦点到渐近线的距离d＝＝b＝， 又离心率e＝＝，所以b2＝c2－a2＝a2＝3，解得a2＝4， 所以双曲线C的方程为－＝1. (2)由得x2－24kx－48＝0， 则解得k2<3，且k2≠， 设M，N，则x1＋x2＝，x1x2＝－， 所以＝·＝·＝16， 即＝42， 解得k2＝，或k2＝1，均满足k2<3且k2≠， 所以k＝±或k＝±1. 14．(5分)(新情境)双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cos∠BAC＝－，·＝0，则E的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：由题意知延长CA，DB，则必过点F1，如图所示：由双曲线的定义知又因为cos∠BAC＝－，所以cos∠F1AB＝，因为·＝0，所以AB⊥BD，设＝13m，m>0，则＝5m，＝12m，因此从而由＋＝得13m－2a＋12m－2a＝5m，所以a＝5m，则＝a，＝a，＝2c，又因为2＋2＝2，所以2＋2＝2，即37a2＝25c2，即e＝.故选B. 15．(15分)设A，B分别为双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标． 解：(1)由题意知a＝2. 所以一条渐近线为y＝x，即bx－2y＝0. 所以＝. 又c2＝a2＋b2＝12＋b2， 所以＝3，即＝3，所以b2＝3. 所以双曲线的方程为－＝1. (2)设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)， 由得x2－16x＋84＝0， 所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12， 因为＋＝t，所以(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x0，y0)， 所以又点D(x0，y0)在双曲线上，所以－＝1，解得t2＝16，且点D在双曲线的右支上，所以t>0，即t＝4，此时点D(4，3)． 学生用书↓第100页 学科网（北京）股份有限公司 $