2.6.1 双曲线的标准方程（分层作业练题型）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练通过A、B、C三层设计，实现从双曲线定义及标准方程的基础巩固到跨知识点综合应用的进阶，培养数学抽象能力、推理意识与模型观念，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|双曲线定义、标准方程求解及直接应用|以选择、填空题为主，聚焦定义辨析与基本运算，如已知双曲线上点到焦点距离求参数，夯实基础考点| |B组能力进阶|参数范围确定、圆锥曲线统一定义、几何性质综合|结合数学史（帕普斯定义）与光学性质情境，如利用双曲线反射特性求路程，提升知识迁移能力| |C组思维拔高|双曲线与圆/椭圆交汇、焦点三角形面积、多曲线综合|设置多选题与复杂情境题，如椭圆与双曲线公共焦点问题，培养逻辑推理与数学表达能力|

分层作业 2.6.1　双曲线的标准方程 目 录 A组 巩固过关 题型01双曲线的定义 题型02 求双曲线的标准方程 题型03 双曲线的定义及标准方程的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 双曲线的定义题型01 1．（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线C：， 可知，即， 所以由双曲线定义可知， 解得或， 故选：C 2．（25-26高二上·广东·期末）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可知，，再代入求解即可． 【详解】点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， ， ， 则． 故选：B． 3．（25-26高二上·宁夏·期末）已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义及双曲线上的点到焦点的距离的范围求解. 【详解】因为双曲线方程为，所以， 所以，所以， 由双曲线的定义可得，即， 可得或， 又当点在双曲线左支上时，， 当点在双曲线右支上时，， 所以或. 故选：C 求双曲线的标准方程题型02 4．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为8，M是该双曲线上一点，且，则（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】A 【分析】由双曲线的定义结合双曲线的方程，即可解得的值. 【详解】设双曲线的半焦距为.因为，所以， 所以，解得. 由双曲线的定义可得， 所以，解得或，且有， 当时，，不符合题意，故舍去， 当时，，满足题意.综上，. 故选：A. 5．（25-26高二下·上海·期末）已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 【答案】 【详解】由题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，其方程形如 其中，则， 故点的轨迹方程为. 6．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为____________. 【答案】 【分析】由已知条件知，点的运动轨迹是以为焦点的双曲线，从而可求得轨迹的方程. 【详解】， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 且，.， 双曲线的方程为. 故答案为：. 双曲线的定义及标准方程的应用题型03 7．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 【答案】D 【详解】双曲线的标准方程为其中 设双曲线的焦距参数为 ，则 已知一个焦点坐标为 ，所以 因此 8．（25-26高二上·安徽六安·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，那么点到另一个焦点的距离为（    ） A．1或9 B．9 C．2或6 D．6 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义和性质可求答案. 【详解】由方程可得， 由定义可得，因为，所以或， 双曲线上的点到同侧焦点的最小距离为， 所以. 故选：B 9．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知双曲线：，则双曲线的虚轴长与实轴长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得双曲线的标准方程，通过标准方程即可求得实轴长和虚轴长，进而可求虚轴长与实轴长之比. 【详解】由题意得双曲线的标准方程为， 则虚轴长为，实轴长为， 所以其虚轴长与实轴长之比为， 故选：A. 1．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知为实数，若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据双曲线方程的性质，列式计算，即可得答案. 【详解】由表示双曲线，得，解得或 故选：D 2．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线.这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义.若平面内一动点到定点和到定直线x=1的距离之比是，则点P的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】根据题意及两点间距离公式，化简整理，即可得答案. 【详解】由题意得，则， 整理得，则点P的轨迹为双曲线. 故选：C 3．（25-26高一上·河北邯郸·期末）若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得，再解不等式即可． 【详解】由题知，解得，或， 则实数k的取值范围是． 故选：D． 4．（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知曲线的方程为.若曲线表示的是双曲线，则的取值范围（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由双曲线方程的结构得到，求解即可. 【详解】由方程表示双曲线， 可得， 解得或， 故选：D 5．（2026高三·全国·专题练习）双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，且、、成等差数列，则等于（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据题意得，再结合双曲线的定义得，代入整理即可得答案. 【详解】由题知， 因为、、成等差数列，所以， 由双曲线的定义得：①，②， 得， 又因为， 所以 故选：B 6．（25-26高二上·广东惠州·期末）圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆：和双曲线：在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为，，，……若与重合，则光线从到所经过的路程为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【分析】应用双曲线及椭圆的定义结合已知计算求解. 【详解】椭圆，，； 双曲线，，，则双曲线和椭圆的焦点重合. 根据双曲线的定义有，， 所以，， 根据椭圆的定义有， 所以路程 . 故选：A. 7．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若的角平分线为，与直线交于点，的内切圆圆心为，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设三角形的内切圆切AB于E，切于N，切于M，由双曲线的定义以及内切圆的性质可得E与重合，则于，求出的坐标，即可求出的方程，再与求交点. 【详解】设三角形的内切圆切AB于E，切于N，切于M，      由，得， 根据圆的切线长性质有，，， 所以，即， 所以E与重合，则于， 又直线过点，令，可得，所以， 所以直线的方程为， 由，解得，所以. 故选：A 8．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线第一象限内的一点，的角平分线为，过原点作的平行线，分别与和交于两点，若，则的周长为（  ） A．48 B．50 C．52 D．56 【答案】C 【分析】为的中点，过原点作的平行线，分别与和交于两点，利用三角形中位线定理得到，由求出，设直线交于点，由的角平分线为，得到，由是的角平分线得到，，结合求出和的值，从而求出的周长. 【详解】   ，，， ，， 为的中点，过原点作的平行线，分别与和交于两点， ， ，， 设直线交于点， 点为双曲线第一象限内的一点，， 的角平分线为， ，，，， ，， ，， ，，， 是的角平分线， ，， 点为双曲线第一象限内的一点，， ，，， ，的周长为. 故选：C. 1．（25-26高二上·山西太原·期末）已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对点的位置进行分类讨论，推导出，可知点的轨迹为双曲线，求出、的值，即可得出点的轨迹方程. 【详解】如下图所示：    当点在轴右侧时，连接，延长交直线于点， 因为，，故为线段的中点， 所以为等腰三角形，所以， 又因为为的中点，所以， 此时； 当点在轴左侧时，同理可得， 所以， 故点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线， 由题意可得，则，，所以， 因此点的轨迹方程为. 故选：A. 2．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆与双曲线的交点和焦点都在同一个圆上，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】分别求出椭圆与双曲线的焦点坐标，可得圆的方程为，，联立圆的方程与双曲线方程得到交点坐标，代入椭圆方程求解即可. 【详解】由椭圆，可得,所以椭圆的焦点在轴，且焦点坐标为; 由双曲线，可得,所以双曲线的焦点在轴，且焦点坐标为， 因为椭圆与双曲线的交点和焦点都在同一个圆上， 所以该圆的圆心为原点，半径为，圆的方程为， 所以，解得; 双曲线方程为：， 联立，解得， 将代入椭圆方程可得：， 解得(负值舍去) 故选：B 3．（25-26高三上·湖北武汉·期末）设双曲线上一点到其两焦点的距离之和为，到轴的距离为．若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由点到轴的距离结合双曲线定义，得到，利用焦半径公式及可求解. 【详解】因为点到轴的距离， 所以点到两焦点的距离之和， 由焦半径公式，所以， 所以，得，又由焦点坐标可知， 所以，解得， 故选：C. 4．（25-26高二上·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】法1，由双曲线焦点三角形的面积公式求解；法2，在焦点三角形中利用定义和余弦定理求解. 【详解】法1：由双曲线焦点三角形的面积公式可知，解得，即. 法2：由双曲线定义， 在焦点三角形中，由余弦定理得 , 即，所以， 又，所以， 整理得，解得. 故选：A. 5．（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，是与的一个公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆和双曲线的定义和标准方程，结合余弦定理即可求解. 【详解】椭圆中，所以共同焦点，, 由椭圆的定义，得, 双曲线中，由双曲线的定义得， 不妨设，得， 在中，由余弦定理得. 故选：D. 6．（25-26高二上·内蒙古包头·期末）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线的方程为，将点代入方程，求得的值，即可求解. 【详解】设等轴双曲线的方程为，将点代入方程， 则，求解可得， 所以双曲线的标准方程为，即. 故选：C. 7．（25-26高二上·广西南宁·期末）方程表示双曲线时，实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】方程表示双曲线，则，解得：, 即实数的取值范围为 故选：C 8．（25-26高二上·新疆喀什·期末）设和是双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：先利用双曲线定义得，再结合勾股定理，通过两式运算求出，进而得面积； 方法二：直接用双曲线焦点三角形面积公式，代入即得结果. 【详解】方法一：①，② 得． 的面积. 方法二：双曲线焦点三角形的面积公式：， 又， 所以． 故选：C. 9．（25-26高二上·河北张家口·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义和余弦定理结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】由题意知，. 又，所以， 则，所以， 可得，则的面积为. 故选：B. 10．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知方程：，则下列结论不正确的是（   ） A．若方程表示椭圆，则 B．若，则方程表示焦点在轴上的双曲线 C．存在，使方程表示直线 D．不存在，使方程表示圆 【答案】ABD 【分析】对实数的取值进行分类讨论，并化简方程，分析方程所表示的图形，即可得出合适的选项. 【详解】当时，曲线的方程为，即， 当时，曲线的方程为，即，故存在，使方程表示直线，C对； 当且时，曲线的方程可化为， 若方程表示椭圆，则，解得且，A错； 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得， 当时，，，方程表示焦点在轴上的双曲线，B错； 当时，曲线的方程为，方程表示圆，D错. 11．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知方程所表示的曲线为，则下列说法中正确的有（   ） A．曲线可以是圆 B．当时，曲线可以是焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线可以是焦点在轴上的双曲线 D．当曲线是椭圆或双曲线时，其焦距均为5 【答案】BC 【分析】根据的值，结合圆与圆锥曲线的方程的特征即可判断各选项． 【详解】对于A，当方程表示圆时，，无解，故A错误； 对于B，当时，，则表示焦点在轴上的椭圆，故B正确； 对于C，当时，，则表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对于D，当，即，此时方程表示焦点在轴上的双曲线， 故，所以，焦距为6； 当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆， 故，所以，焦距为6．故D错误． 故选：BC． 12．（25-26高二上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，设．对于实数，定义点集．则下列结论正确的是（   ） A．是椭圆 B．点集不可能为空集 C．中任意一点都满足 D．中存在点使得为直角 【答案】ACD 【分析】对于A，由椭圆的定义即可判断；对于B，取，由即可判断；对于C，根据，代入，可得，解绝对值不等式即可判断；对于D,假设存在点使得为直角，可得，将代入计算即可求解. 【详解】对于A,,则， 根据椭圆的定义可得：是以为焦点，长轴长为的椭圆，故A正确； 对于B，取，则，则， 这与矛盾，则此时点集为空集，故B不正确； 对于C,，则，所以， 由于，则， 即，即，解得，故C正确； 对于D,,则，所以， 假设存在点使得为直角，则， 即，解得或， 当时，，此时重合，不能构成三角形， 当时，，此时，满足条件， 综上，中存在点使得为直角，故D正确； 故选：ACD 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.6.1　双曲线的标准方程 目 录 A组 巩固过关 题型01双曲线的定义 题型02 求双曲线的标准方程 题型03 双曲线的定义及标准方程的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 双曲线的定义题型01 1．（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 2．（25-26高二上·广东·期末）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 3．（25-26高二上·宁夏·期末）已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 求双曲线的标准方程题型02 4．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为8，M是该双曲线上一点，且，则（    ） 5．（25-26高二下·上海·期末）已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 6．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为____________. 双曲线的定义及标准方程的应用题型03 7．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 8．（25-26高二上·安徽六安·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，那么点到另一个焦点的距离为（    ） A．1或9 B．9 C．2或6 D．6 9．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知双曲线：，则双曲线的虚轴长与实轴长之比为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知为实数，若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线.这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义.若平面内一动点到定点和到定直线x=1的距离之比是，则点P的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 3．（25-26高一上·河北邯郸·期末）若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知曲线的方程为.若曲线表示的是双曲线，则的取值范围（    ） A． B． C． D．或 5．（2026高三·全国·专题练习）双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，且、、成等差数列，则等于（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 6．（25-26高二上·广东惠州·期末）圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆：和双曲线：在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为，，，……若与重合，则光线从到所经过的路程为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 7．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若的角平分线为，与直线交于点，的内切圆圆心为，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线第一象限内的一点，的角平分线为，过原点作的平行线，分别与和交于两点，若，则的周长为（  ） A．48 B．50 C．52 D．56 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 1．（25-26高二上·山西太原·期末）已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆与双曲线的交点和焦点都在同一个圆上，则（    ） A． B． C．2 D．3 3．（25-26高三上·湖北武汉·期末）设双曲线上一点到其两焦点的距离之和为，到轴的距离为．若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 4．（25-26高二上·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 5．（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，是与的一个公共点，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·内蒙古包头·期末）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广西南宁·期末）方程表示双曲线时，实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·新疆喀什·期末）设和是双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足，则的面积为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·河北张家口·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知方程：，则下列结论不正确的是（   ） A．若方程表示椭圆，则 B．若，则方程表示焦点在轴上的双曲线 C．存在，使方程表示直线 D．不存在，使方程表示圆 11．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知方程所表示的曲线为，则下列说法中正确的有（   ） A．曲线可以是圆 B．当时，曲线可以是焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线可以是焦点在轴上的双曲线 D．当曲线是椭圆或双曲线时，其焦距均为5 12．（25-26高二上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，设．对于实数，定义点集．则下列结论正确的是（   ） A．是椭圆 B．点集不可能为空集 C．中任意一点都满足 D．中存在点使得为直角 试卷第1页（共3页） 试卷第6页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.6.1双曲线的标准方程 A组 巩固过关 题型01 双曲线的定义 【答案】C : 【答案】B 3. 【答案】C 颗型02 求双曲线的标准方程 【答案】A 5. 【答案】2 3=160y2≥) 6. x2 y2 【答案】 9i61(x≥3) 颗型03 双曲线的定义及标准方程的应用 【答案】D 8. 【答案】B 9. 1/2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A B组 能力进阶 题号 1 2 4 5 6 8 答案 D D D B A A C 0 C组 思维拔高 题号 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 答案 C A D C B ABD 题号 11 12 答案 BC ACD 212