3.2.1 双曲线及其标准方程（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第一册

3.2.1 双曲线及其标准方程 题型一：双曲线相关概念辨析 1．已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可求得结果. 【详解】因为，，所以， 则，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支. 故选：B. 2．已知圆，，P是圆C上的动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义结合垂直平分线的性质判定即可. 【详解】由题意可得圆心，半径. 因为M是线段的垂直平分线，所以， 则. 因为，所以点M的轨迹是以A，C为焦点的双曲线. 故选：C 3．平面内动点到两定点的距离之差为，若动点的轨迹是双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义求解． 【详解】由双曲线的定义可得，，且，解得. 故选：D. 4．平面内到两定点、的距离之差等于10的点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．以上选项都不对 【答案】D 【分析】根据动点满足的几何性质判断即可. 【详解】因为、，所以， 而平面内到两定点、的距离之差等于的点的轨迹为一条射线. 故选：D 5．相距的两地，听到炮弹爆炸的时间相差．若声速为每秒，则炮弹爆炸点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．双曲线 C．椭圆 D．直线 【答案】B 【分析】由已知可得，根据双曲线的定义可判断出答案． 【详解】由已知条件可得． 根据双曲线的定义可知，点在以为焦点，实轴长为的双曲线上. 故选：B． 题型二：根据双曲线标准方程求a，b，c 1．若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（    ） A．25 B．16 C．5 D．4 【答案】C 【分析】通过双曲线求出焦点，根据椭圆中的关系，得到的值. 【详解】双曲线焦点为，所以， 所以， 故选：C. 2．若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出椭圆的半焦距，利用双曲线与该椭圆半焦距相等，以及之间的关系，即可求出结果. 【详解】由题知，椭圆的半焦距为， 所以，解得. 故选：D 3．双曲线的右焦点是，则实数（    ） A．8 B．4 C．10 D．2 【答案】A 【分析】借助双曲线中，计算即可得. 【详解】由，右焦点为，故有，解得. 故选：A. 4．与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得双曲线的焦点坐标以及焦点所在坐标轴，然后求得椭圆的，从而求得椭圆方程. 【详解】双曲线的焦点在轴上，且焦点为， 所以椭圆的焦点在轴上，且， 依题意，椭圆短半轴，则， 所以椭圆的方程为. 故选：B 5．已知双曲线的两焦点分别为，，P为双曲线上一点，若，则（    ）． A．16 B．18 C．4或16 D．2或18 【答案】D 【分析】利用双曲线方程求出，再根据双曲线的定义即可得结果. 【详解】在双曲线中，，，， 因为，且， 所以2或18 故选：D. 题型三：利用定义标准方程 1．已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义即可得出答案. 【详解】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 故选：D. 2．设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件知，点的运动轨迹是以为焦点的双曲线，从而可求得轨迹的方程. 【详解】， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线，且， ，双曲线的方程为. 故选：B. 3．方程可化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】移项平方化简可得答案. 【详解】由得， 两边平方得，且得， 两边再平方得， 可化简为. 故选：D. 4．已知圆外一点，点P是圆上任意一点，线段NP的垂直平分线l和直线MP交于点Q，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 由于线段的垂直平分线交直线于， 所以， 所以， 所以点的轨迹是双曲线，且， 所以点的轨迹方程为. 故选：A 5．已知动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据动圆与圆与圆的位置关系，确定，所以为定值，故判断动点满足双曲线一支的定义，确定双曲线方程. 【详解】设动圆的半径为，又圆与圆的半径均为， 则由已知得， 所以. 又点， 则，所以， 根据双曲线的定义可知，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支. 因为， 所以， 于是点的轨迹方程为. 故选：B. 题型四：利用定义求点到焦点的距离 1．若双曲线上一点到其右焦点的距离是8,则点到其左焦点的距离是（    ） A．4 B．10 C．2或10 D．4或12 【答案】D 【分析】通过对点的位置进行分类讨论,再结合双曲线的定义进行运算即可. 【详解】由双曲线的方程可得,所以,可得. 设右焦点为,左焦点为, 当点在左支上时,则,所以； 当点在右支上时,． 故选:D. 2．双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点的距离等于（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义即可判断选项. 【详解】由得， 所以，即， 设点与另一个焦点的距离为， 因为与它的一个焦点的距离等于1， 所以由双曲线定义知：， 解得（舍）， 所以点与另一个焦点的距离为.所以A正确. 故选：A. 3．若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（　　） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【分析】先由双曲线方程求出，再根据双曲线定义结合已知条件解方程组可得结果. 【详解】双曲线中，得，则， 由双曲线的定义可得， 因为，所以，解得， 故选：B 4．已知双曲线的右焦点为为的左支上一点，为线段的中点，为坐标原点，若，则（    ） A．10 B．9 C．7 D．6 【答案】A 【分析】利用双曲线的定义及中位线的性质求解即可. 【详解】设的左焦点为，连接，因为为的中点， 为坐标原点，所以， 由双曲线的定义可知，， 所以. 故选：A.    5．双曲线上的点到点的距离为，则点到点的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义分析即可求解. 【详解】由双曲线，可得，所以， 所以与是双曲线的焦点， 因为双曲线上的点到点的距离为，且， 所以或，又，所以. 故选：A. 题型一：根据方程表示双曲线求参数的范围 1．设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得 解得， 故选：B． 2．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质，根据题意建立不等式进行求解即可． 【详解】因为方程表示双曲线 ，所以即 故选：A． 3．“”是方程“”表示双曲线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据方程表示双曲线，求得或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若方程表示双曲线，则满足，解得或， 所以“”是方程“”表示双曲线的充分不必要条件. 故选：A. 4．“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由标准方程表示双曲线得出不等式可判断出结论. 【详解】若“方程表示焦点在轴上双曲线”可得，解得； 当时，方程表示焦点在轴上双曲线， 因此“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的充分必要条件. 故选：C. 5．关于 的方程 ，给出以下说法错误的为（     ） A．方程可以表示双曲线 B．方程可以表示椭圆 C．方程可以表示圆 D．当方程表示双曲线时， 焦距为定值 【答案】C 【分析】根据的值，结合圆与圆锥曲线的方程特征即可判断各选项. 【详解】对于A，若方程表示双曲线，则，即，所以方程可以表示双曲线，故A正确； 对于B，若方程表示椭圆，则，即，所以方程可以表示椭圆，故B正确； 对于C，若方程表示圆，则，方程无解，所以方程不可以表示圆，故C错误； 对于D，由A可知当方程表示双曲线时，，所以焦距为，故D正确. 故选：C. 题型二：双曲线标准方程的实际应用 1．如图，点的坐标分别是，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程． 【答案】 【分析】首先设的坐标为，由已知点的坐标代入求得直线的斜率，由乘积为即可得到点坐标的关系式，将其整理化简可得到的轨迹方程，最后去除多余点. 【详解】设，则直线的斜率 ， 直线的斜率 , 由题意得，， 化简，整理得， 所以点的轨迹方程为： . 2．四个森林防火观察站的坐标依次为，他们都发现某一地区有火讯．若观察到的距离相差为6，且离近，观察到的距离相差也为6，且离近．试求火讯点的坐标． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义，通过解方程组求解出火讯点的坐标即可. 【详解】设火讯点的坐标为，由于观察到的距离相差为6，且， 所以点在双曲线上．则焦距为，半实轴长为，所以半虚轴长为， 由于离近，所以点在双曲线上； 由于离近，所以点也在双曲线上． 联立两双曲线的方程可得即火讯点的坐标为． 3．双曲线型自然冷却通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所成的曲面，如图所示．已知它的最小半径为12米，上口半径为13米，下口半径为25米，高为55米，选择适当的平面直角坐标系，求此双曲线的方程．（精确到0.1米） 【答案】 【分析】建立坐标系，根据双曲线的标准方程的定义求解. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，并设双曲线的标准方程为， 点、的坐标分别为、，其中，． 又因为塔高为55米，所以．由是双曲线的实轴，得． 因为、在双曲线上，所以，． 解得，． 代入，得．解得． 因此所求双曲线的方程为． 4．江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是，瓶口和底面的直径都是，瓶高是，则该双曲线的标准方程是 . 【答案】 【分析】设双曲线的标准方程为，分析可知，该双曲线的焦点在轴，且其实轴长为，点上该双曲线上，由此可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由此可得出双曲线的标准方程. 【详解】以双曲线最小口径所在直线为轴，轴与该双曲线两交点连线线段的中点为原点建立如下图所示的平面直角坐标系， 由题意可知，该双曲线的焦点在轴，且其实轴长为，点上该双曲线上， 设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，因此，该双曲线的标准方程为. 故答案为：. 5．如图一直角三角形的“勾”“股”分别为6，8，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则以，为焦点，且过点的双曲线方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义和性质计算即可. 【详解】 设双曲线的方程为， 由题意得，则， ，则，， 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 1．已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的上支， 且，， 所以其轨迹方程为， 故选:C． 2．已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则C是圆 B．若，则C是双曲线 C．若，则C的离心率为 D．若，，则C上的点到焦点的最短距离为 【答案】ABD 【分析】A选项，C是圆心为原点，半径为的圆；B选项，根据双曲线方程的特征进行判断；C选项，为焦点在轴上的椭圆，并求出离心率；D选项，C上的点到焦点的最短距离为. 【详解】A选项，时，，故C是圆心为原点，半径为的圆，A正确； B选项，若，当时，为焦点在轴上的双曲线， 当时，为焦点在轴上的双曲线，故B正确； C选项，若，则为焦点在轴上的椭圆， C的离心率为，C错误； D选项，若，，则为焦点在轴上的椭圆， 且焦点为，C上的点到焦点的最短距离为，D正确. 故选：ABD. 3．已知是双曲线的两个焦点，是上一点，且，则点到轴的距离为 ． 【答案】/ 【分析】根据余弦定理和双曲线定义可求得，采用面积法可构造方程求得结果. 【详解】由双曲线方程知：实轴长，虚轴长，焦距； 设，，由双曲线定义可知：， 在中，由余弦定理得， ，则，又， ，解得：， 点到轴的距离为. 故答案为：. 4．如图A､B､C是三个雷达观察哨，A在B的正东，两地相距6km，C在A的北偏东30°，两地相距4km，在某时刻，B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为1km/s，4s后A､C两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的点P的坐标 . 【答案】 【分析】由条件分析可得点在线段的垂直平分线上，再结合双曲线的定义可得点在以､为焦点的双曲线的左支上，联立方程即可得解. 【详解】由题意，点，，即， 则线段的中点为，直线的斜率， 则线段的中垂线的斜率，故其方程为，即， 因为B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为，4s后A､C两个观察哨同时发现该信号， 所以，. 设，由可得点在线段的垂直平分线上， 又，则点在以､为焦点的双曲线的左支上， 故该双曲线的方程为，即， 由，解得. 所以点的坐标为. 故答案为： 5．已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【答案】B 【分析】求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得． 【详解】由，得，，， 所以上焦点，则下焦点为，又， 由双曲线的定义得， 由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9． 故选：B． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 双曲线及其标准方程 题型一：双曲线相关概念辨析 1．已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线 2．已知圆，，P是圆C上的动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 3．平面内动点到两定点的距离之差为，若动点的轨迹是双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．平面内到两定点、的距离之差等于10的点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．以上选项都不对 5．相距的两地，听到炮弹爆炸的时间相差．若声速为每秒，则炮弹爆炸点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．双曲线 C．椭圆 D．直线 题型二：根据双曲线标准方程求a，b，c 1．若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（    ） A．25 B．16 C．5 D．4 2．若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．双曲线的右焦点是，则实数（    ） A．8 B．4 C．10 D．2 4．与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的两焦点分别为，，P为双曲线上一点，若，则（    ）． A．16 B．18 C．4或16 D．2或18 题型三：利用定义标准方程 1．已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 2．设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．方程可化简为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆外一点，点P是圆上任意一点，线段NP的垂直平分线l和直线MP交于点Q，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型四：利用定义求点到焦点的距离 1．若双曲线上一点到其右焦点的距离是8,则点到其左焦点的距离是（    ） A．4 B．10 C．2或10 D．4或12 2．双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点的距离等于（    ） A． B． C．3 D．5 3．若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（　　） A．2 B．4 C．8 D．12 4．已知双曲线的右焦点为为的左支上一点，为线段的中点，为坐标原点，若，则（    ） A．10 B．9 C．7 D．6 5．双曲线上的点到点的距离为，则点到点的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 题型一：根据方程表示双曲线求参数的范围 1．设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 3．“”是方程“”表示双曲线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．关于 的方程 ，给出以下说法错误的为（     ） A．方程可以表示双曲线 B．方程可以表示椭圆 C．方程可以表示圆 D．当方程表示双曲线时， 焦距为定值 题型二：双曲线标准方程的实际应用 1．如图，点的坐标分别是，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程． 2．四个森林防火观察站的坐标依次为，他们都发现某一地区有火讯．若观察到的距离相差为6，且离近，观察到的距离相差也为6，且离近．试求火讯点的坐标． 3．双曲线型自然冷却通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所成的曲面，如图所示．已知它的最小半径为12米，上口半径为13米，下口半径为25米，高为55米，选择适当的平面直角坐标系，求此双曲线的方程．（精确到0.1米） 4．江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是，瓶口和底面的直径都是，瓶高是，则该双曲线的标准方程是 . 5．如图一直角三角形的“勾”“股”分别为6，8，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则以，为焦点，且过点的双曲线方程为 ． 1．已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则C是圆 B．若，则C是双曲线 C．若，则C的离心率为 D．若，，则C上的点到焦点的最短距离为 3．已知是双曲线的两个焦点，是上一点，且，则点到轴的距离为 ． 4．如图A､B､C是三个雷达观察哨，A在B的正东，两地相距6km，C在A的北偏东30°，两地相距4km，在某时刻，B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为1km/s，4s后A､C两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的点P的坐标 . 5．已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $