课时测评24　双曲线的标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版）

课时测评24　双曲线的标准方程 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是(　　) A．－1<m<3 B．m>－1 C．m>3 D．m<－1 答案：B 解析：依题意应有m＋1>0，即m>－1.故选B. 2．焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．y2－＝1 D．－＝1 答案：A 解析：由双曲线定义知，2a＝－＝5－3＝2，所以a＝1.又c＝2，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3.因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.故选A. 3．(2024·江苏苏州高二质量调研)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－y2＝1的左焦点为F，点A在C的右支上，A关于O的对称点为B，则－＝(　　) A．－2 B．2 C．－4 D．4 答案：D 解析：由双曲线的定义知－＝2a＝4.故选D. 4．(多选)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下列说法正确的是(　　) A．若1<t<5，则C为椭圆 B．若t<1，则C为双曲线 C．若C为双曲线，则焦距为4 D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3<t<5 BD　[对于A，若方程＋＝1表示椭圆，则需满足解得1<t<5且t≠3，所以A不正确；对于D，若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则需满足解得3<t<5，所以D正确；对于B，当t<1时，5－t>0，t－1<0，此时C为焦点在x轴上的双曲线，所以B正确；对于C，当t＝0时，方程－y2＝1表示双曲线，此时双曲线的焦距为2，所以C不正确．故选BD. 5．(2024·湖南长沙四校高二期中)已知圆M：(x＋2)2＋y2＝4，M为圆心，P为圆上任意一点，定点A(2，0)，线段PA的垂直平分线l与直线PM相交于点Q，则当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为(　　) A．－＝1(x≤－2) B．－＝1 C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1 答案：D 解析：因为线段PA的垂直平分线l与直线PM相交于点Q，所以有|QA|＝|QP|.由(x＋2)2＋y2＝4，得M(－2，0)，该圆的半径为2，因为点P在圆上运动，所以有||QP|－|QM||＝2，于是有||QA|－|QM||＝2，所以点Q的轨迹是以A，M为焦点的双曲线，所以2c＝4，2a＝2⇒c＝2，a＝1⇒b2＝c2－a2＝3，所以点Q的轨迹方程为x2－＝1.故选D. 6．已知F是双曲线－＝1的左焦点，点A(1，4)，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________． 答案：9 解析：利用数形结合思想，注意到点A在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点的坐标为(4，0)，设双曲线的右焦点为E，则|PF|－|PE|＝4，|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.当A，P，E三点共线时，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，故|PF|＋|PA|的最小值为9. 7．(一题两空)若点P在双曲线－＝1上，且点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点P的纵坐标为________，点P与双曲线的左焦点的距离为________． 答案：±3　11 解析：记双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，设P(xP，yP)．因为点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，所以xP＝＝2，所以－＝1，解得yP＝±3，所以|PF2|＝3.由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝8，所以|PF1|＝8＋|PF2|＝8＋3＝11. 8．如图，在△ABC中，已知|AB|＝4 ，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的平面直角坐标系，则顶点C的轨迹方程为________． 答案： － ＝1(x> ) 解析：以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2 ，0)，B(2 ，0)． 由正弦定理，得sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ (R为△ABC的外接圆半径)． 因为2sin A＋sin C＝2sin B， 所以2|BC|＋|AB|＝2|AC|， 即|AC|－|BC|＝ ＝2 <|AB|. 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)． 由题意，设所求轨迹方程为 － ＝1(x>a)， 因为a＝ ，c＝2 ，所以b2＝c2－a2＝6. 即所求轨迹方程为 － ＝1(x> )． 9．(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上； (2)过点A(3，2)和B(17，12)． 解：(1)因为双曲线的焦点在y轴上， 所以可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 由题设知，a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上， 所以解得a2＝20，b2＝16. 故所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)若焦点在x轴上， 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 由已知条件得解得 则双曲线的标准方程为x2－＝1. 若焦点在y轴上， 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 由已知条件得解得不符合题意，舍去． 综上知，所求双曲线的标准方程为x2－＝1. 10．(10分)如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1， 所以圆心F1(－5，0)，半径r1＝1. 圆F2：(x－5)2＋y2＝42，所以圆心F2(5，0)，半径r2＝4. 设动圆M的半径为R，则有 |MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4， 所以|MF2|－|MF1|＝3<|F1F2|＝10. 所以M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线左支，且a＝，c＝5.所以b2＝c2－a2＝. 所以双曲线方程为－＝1. 11．(5分)(多选)已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有(　　) A．点P到x轴的距离为 B．|PF1|＋|PF2|＝ C．△PF1F2为钝角三角形 D．∠F1PF2＝ 答案：BC 解析：因为双曲线C：－＝1，所以c＝＝5.又因为S△PF1F2＝·2c|yP|＝·10·|yP|＝20，所以|yP|＝4，所以选项A错误；将|yP|＝4代入C：－＝1得－＝1，即|xP|＝.由对称性，不妨取P的坐标为(，4)，可知|PF2|＝＝.由双曲线定义可知|PF1|＝|PF2|＋2a＝＋8＝，所以|PF1|＋|PF2|＝＋＝，所以选项B正确；由对称性，对于点P，在△PF1F2中，|PF1|＝>2c＝10>|PF2|＝.且cos∠PF2F1＝＝－<0，则∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，选项C正确； 由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝≠，∠F1PF2≠，所以选项D错误． 12．(5分)(一题两空)设P是双曲线－＝1上一点，M，N分别是圆(x－5)2＋y2＝4和(x＋5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为_____________________________， 最小值为________． 解析：设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点F1(－5，0)为圆(x＋5)2＋y2＝1的圆心，点F2(5，0)为圆(x－5)2＋y2＝4的圆心． 结合图形(如图所示)，可知当|PM|－|PN|取最大值时，点P在该双曲线的左支上．由双曲线的定义，可得|PF2|－|PF1|＝6.由圆的几何性质，得|PF2|－2≤|PM|≤|PF2|＋2， |PF1|＋1≥|PN|≥|PF1|－1，所以|PF2|－|PF1|－3≤|PM|－|PN|≤|PF2|－|PF1|＋3，即3≤|PM|－|PN|≤9，故|PM|－|PN|的最大值为9，最小值为3. 答案：9　3 13．(10分)如图所示，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)中，c＝2a，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，S△F1PF2＝12，求双曲线的标准方程． 解析：由题意得||PF1|－|PF2||＝2a， 在△F1PF2中，由余弦定理得cos 60°＝ ＝， 所以|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2. 所以S△F1PF2＝|PF1||PF2|·sin 60°＝2b2·＝b2. 所以b2＝12，b2＝12. 由c＝2a，c2＝a2＋b2，得a2＝4. 所以双曲线的标准方程为－＝1. 14．(5分)已知双曲线－＝1，F1，F2是两个焦点，O为原点，P是双曲线右支上一点，cos∠F1PF2＝－，则＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由题意a＝3，b＝4，＝＝＝5，设＝m，＝n，＝x，cos∠POF1＝，cos∠POF2＝，显然cos∠POF1＋cos∠POF2＝0，所以＋＝0，2x2＝m2＋n2－50，又cos∠F1PF2＝＝－，m－n＝2a＝6，＝－，所以mn＝20，m2＋n2＝(m－n)2＋2mn＝36＋40＝76，2x2＝76－50＝26，x＝(负值舍去)．故选D. 15．(15分)已知双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且经过点(4，6)． (1)求双曲线方程； (2)若双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，试问在双曲线上是否存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|.请说明理由． 解：(1)椭圆＋＝1的焦点在x轴上， 且c＝＝4，即焦点为(±4，0)， 于是可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 则有解得a2＝4，b2＝12， 故双曲线方程为－＝1. (2)假设在双曲线上存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|，则点P只能在右支上． 由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝4， 于是得|PF1|＝5，|PF2|＝1. 又当点P在双曲线右支上时，点P到左焦点F1的距离的最小值应为a＋c＝6，故不可能有|PF1|＝5，即在双曲线上不存在点P使得|PF1|＝5|PF2|. 学生用书↓第96页 学科网（北京）股份有限公司 $