专题13 锐角三角函数（5年汇编）（陕西专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 陕西中考锐角三角函数专题汇编，含5年真题及1年模拟，聚焦正弦、正切、解直角三角形计算与应用四大核心考点，注重实际测量情境与几何综合能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|约40%|正弦概念（网格题）、正切计算（正方形综合）、解直角三角形（菱形、矩形与圆结合）|基础题侧重概念理解，如2023年网格正弦题；小题融入几何图形转换，如2026年正方形正切题| |解答题|约60%（7-8分/题）|解直角三角形应用（测量渭河宽度、香积寺塔高度等）、与相似/圆综合（2025年圆切线结合三角函数题）|情境真实，如2026年渭河测量方案设计；综合题强调模型构建，如双直角三角形解决仰角俯角问题，符合陕西中考高频命题规律|

专题13 锐角三角函数 5年真题1年模拟 考点分类 陕西考情（2022-2026） 命题规律 考点01正弦 较少单独命题，常融入解直角三角形大题中考查；多结合几何图形求线段长，不单独设置选择填空 ① 侧重概念理解，不单独考单纯定义；② 结合直角三角形、斜三角形作边角转化；③ 常与勾股定理配套使用。 考点02 正切 高频出现，选择、填空、解答均有涉及；是解直角三角形中使用最多的锐角三角函数 ① 优先选用正切处理仰角、俯角类计算；② 经常放在网格、几何综合小题；③ 多考查对边与邻边的识别，易错点是混淆斜边。 考点03 解直角三角形的相关计算 必考内容，多在解答题，分值 68 分；常作小问，部分年份和相似、圆综合考查 ① 已知一边一角或者两边，求解其余边、角；② 斜三角形必须作高转化为直角三角形；③ 计算常涉及特殊角 30°、45°、60° 三角函数值；④ 会结合勾股定理、面积法。 考点04 解直角三角形的应用 高频解答大题，实际应用题，以测量类情景为主，分值 78 分 ① 情景：仰角、俯角、坡度坡比、测物体高度；② 模型多为双直角三角形，需要作辅助线；③ 会要求结果保留根号或近似值；④ 注重从实际背景抽象几何模型。 考点01 正弦 1．（2023·陕西·中考真题）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·陕西·中考真题）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．    (1)求证：； (2)若的半径，，求线段的长． 考点02 正切 3．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 考点03 解直角三角形的相关计算 4．（2026·陕西·中考真题）如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 6．（2025·陕西·中考真题）如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 7．（2024·陕西·中考真题）如图，在菱形中，，，过点A作，与相交于点E，连接，则四边形的面积为______． ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 8．（2023·陕西·中考真题）如图，，点O在上，与相切于点A，与的交点分别为B，C．作，与交于点D，作，垂足为E，连接EO并延长，交CD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 9．（2022·陕西·中考真题）如图，是的高，若，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 考点04 解直角三角形的应用 10．（2026·陕西·中考真题）渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达．某数学兴趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下： 活动主题 测量渭河某段河道的宽度 活动方案 方案一 方案二 测量示意图 测量过程 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，； 2．测量，的度数； 3．测量，两点之间的距离． 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，，分别在，的延长线上选取点，，使得； 2．测量，两点之间的距离，，两点之间的距离，与之间的距离． 测量数据 ，，． ，，． 备注 1．点是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点； 2．图中所有点均在同一平面内； 3．参考数据：，，． 请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点到的距离）． 11．（2025·陕西·中考真题）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（精确到）（参考数据：，，，） 12．（2025·陕西·中考真题）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 13．（2024·陕西·中考真题）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）    14．（2023·陕西·中考真题）小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼与的高度差．如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点处恰好可经过楼的顶端看到楼的底端，即点，，在同一直线上．此时，测得点的俯角，点的仰角，并测得，．已知，，，，点，，在同一水平直线上．求楼与的高度差．（参考数据：，，，，，） 15．（2023·陕西·中考真题）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，    一、单选题 1．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，在中，，点D、E分别是、的中点，连接．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西安康·一模）如图，在中，对角线与相交于点，交的延长线于点．若，，则的长为（    ） A． B．1 C．2 D． 3．（2026·陕西榆林·一模）如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，且．延长到点E，在内作射线，使得，过点B作，垂足为H，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（2026·陕西渭南·一模）如图，在矩形中，对角线交于点O，交于点E．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，为的高，点、分别为、的中点，连接若，则的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 二、填空题 6．（2026·陕西西安·一模）如图，正八边形的边长为4，延长，交于点，则______． 7．（2026·陕西咸阳·一模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形，连接，若该正六边形的半径为2，则的长为________． 8．（2026·陕西渭南·二模）如图，是矩形的对角线，动点在对角线上（不与点重合），点E在上方，连接、、．若，，，则的最小值为________． 9．（2026·陕西安康·一模）如图，矩形的面积为，点在边上，连接，以为边作菱形，当边经过点，且满足时，_____． 10．（2026·陕西咸阳·二模）如图，点为矩形内一点，连接、，，，延长交于点，延长到点，连接，使得，则的长为_________． 11．（2026·陕西榆林·一模）如图，在矩形中，，，是边的中点，是边上的动点（不与端点重合），线段分别与线段、相交于点、．若，则的长为________． 三、解答题 12．（2026·陕西渭南·一模）计算：． 13．（2026·陕西咸阳·一模）计算：． 14．（2026·陕西咸阳·一模）香积寺塔是陕西省风景名胜区的主要景点之一，在历史上曾有“古塔穿云”、“塔影团圆”等雅称．安安利用周末完成了对香积寺塔高度的测量．如图，安安在地面上的点C处测得香积寺塔顶端A的仰角的度数为；随后，安安从点C处沿方向移动18米到达点D处（即米），在点D处测得香积寺塔顶端A的仰角的度数为．已知，点B、C、D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助安安求出香积寺塔的高度．（参考数据：，，，，，） 15．（2026·陕西渭南·二模）计算：． 16．（2026·陕西榆林·二模）计算：． 17．（2026·陕西渭南·二模）计算：． 18．（2026·陕西渭南·二模）韩城文星塔，又称文星阁，是一座六角楼阁式砖砌风水塔．某数学兴趣小组利用学过的数学知识测量文星塔的高度，如图，小组成员甲在处利用测角仪测得塔顶点的仰角，小组成员乙在处利用高为的测角仪（即）测得塔顶的仰角，已知，，，点、、在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内，求文星塔的高度．（参考数据：，，，，，） 19．（2026·陕西西安·一模）法门寺合十舍利塔位于陕西省宝鸡市扶风县法门镇，是国家AAAAA级旅游景区法门寺的一个景点．如图，为测量法门寺合十舍利塔的高度，某数学兴趣小组在附近一建筑物楼顶D处测得舍利塔顶端A处的仰角为，测得该塔底部B处的俯角为，已知建筑物的高为42米，请你计算法门寺合十舍利塔的高度．（参考数据：，，） 20．（2026·陕西榆林·一模）项目主题：测量大雁塔的高度． 项目背景：千年古刹，传奇身世大雁塔，这座西安的标志性建筑，承载着千年的历史与文化．小明所在的数学研究小组为了解大雁塔的高度，开展了项目学习． 测量工具：测角仪、皮尺等． 测量步骤及示意图： 测量示意图 测量步骤 小明在处测出大雁塔顶端处的仰角的度数； 接着他从点处向大雁塔方向前进了一段距离后到达点，他在处测出大雁塔顶端的仰角的度数； 小组成员测出、两点间的距离． 说明：已知点A、B、O在同一水平直线上，且垂直于，图中所有点均在同一竖直平面内，测角仪的高度忽略不计． 测量数据：，，米． 参考数据：，，． 问题解决：请你根据上述信息计算大雁塔的高度． 21．（2026·陕西渭南·一模）背景：某数学小组的成员利用所学知识在周末测量了一棵银杏树的高度． 测量过程：该小组的同学甲在地面上的点C处测量了银杏树顶端A的仰角的度数；该小组的同学乙在地面上的点D处放置一面平面镜（大小忽略不计），随后从点D处沿方向移动至点E处时，恰好从平面镜中看到银杏树顶端A的像． 数据：米，米，米，． 说明：，，点B、C、D、E在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 任务：求银杏树的高度．（参考数据：，，） 22．（2026·陕西渭南·一模）合阳千金塔为密檐式八角形空心砖塔，共十三层，被国务院公布为国家重点文物保护单位．某实践活动小组在老师的指导下，用学过的数学知识测量千金塔的高度，下面是测量活动报告： 活动主题 测量千金塔的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量过程及示意图 如图，小组成员甲在处利用高为的测角仪测得千金塔顶端点的仰角的度数，小组成员乙在处利用测角仪测得千金塔顶端点的仰角的度数，用皮尺测出、两点间的距离 测量数据及图形说明 ，，，，，，点、、在同一直线上，图中所有的点在同一平面内 参考数据 ，，，，， 备注 测量过程中注意安全，做到保护文物 请你根据以上活动报告，求出合阳千金塔的高度． 23．（2026·陕西宝鸡·一模）为了加强红色教育，传承红色基因，某校组织学生前往陕西省铜川市军台岭战斗旧址进行参观，参观期间，组织同学们开展了测量军台岭战斗纪念碑高度的活动，记录如下： 活动主题 测量军台岭战斗纪念碑的高度 测量过程及示意图 如图，在地面上的点处竖立一根标杆，某一时刻纪念碑与标杆在太阳光下的影子顶端重合于地面上的点处，将标杆移至点处后，给标杆顶端处放置一个测角仪（大小忽略不计），测得纪念碑的顶端的仰角的度数． 测量数据 米，米，米， 测量说明 、，，、、在同一条直线上，图中所有的点都在同一平面内 参考数据 请你根据以上测量结果，计算军台岭战斗纪念碑的高度． 24．（2026·陕西宝鸡·一模）西安鼓楼是中国古代遗留下来的众多鼓楼中形制最大、保存最完整的鼓楼之一．某数学小组成员想利用所学知识测量鼓楼的高度（如图）．该小组成员在点C处测得鼓楼的顶端A的仰角，从点C处移动31米到达点E处（米），在点E处竖立一根高为2米的标杆，此时，鼓楼在太阳光下的影子末端与标杆在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点D处．经测量知米，已知，，点C，D，E，B在同一直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该数学小组成员求出西安鼓楼的高度．（参考数据：，，） 25．（2026·陕西汉中·一模）拜将坛遗址位于陕西省汉中市境内，是陕西省首批优秀传统文化传承基地．小伟去汉中市旅游期间、运用所学知识测量了该遗址内韩信雕像的高度、如图，在地面上的点处测得雕像顶端的仰角．在地面上的点处测得雕像顶端的仰角，米，，、、在一条水平直线上，请你根据小伟的测量结果，计算韩信雕像的高度． 【参考数据：，，] 26．（2026·陕西西安·二模）某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为正方形，示意图如图所示，数学兴趣小组的同学利用所学知识测算该雕塑底座的底面积，步骤如下： ①在水池外取一点，使得点、、在同一条直线上； ②过点作，并从点沿方向移动到点，用皮尺测得的长为3米； ③在点处用测角仪测得，． 说明：图中所有点均在同一平面内． 请你根据上述信息帮助该小组计算雕塑底座的底面积（正方形的面积）． 参考数据：，． 27．（2026·陕西商洛·二模）紫云楼是大唐芙蓉园内最为经典的仿古建筑．小云和小强采用如下方法来测量紫云楼（图1）的高度．如图2，小云选取与底端在同一水平地面上的点，放置一个平面镜，然后沿着方向后退，当退到点时，刚好在平面镜内看到紫云楼的顶端的像，已知小云的眼睛到地面的距离为米，米；接着，小强在地面上的点处测得紫云楼的顶端的仰角，米，已知，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请根据以上信息求紫云楼的高度．（平面镜大小厚度均忽略不计，参考数据：，，）． 28．（2026·陕西西安·二模）八云塔，又称瑞光寺塔，为旧时周至县城的标志性建筑（如图）．某数学社团的成员利用所学知识在假期测量了八云塔的高度．如图，社团成员甲在地面上的点处用高度为米的测角仪（即米）测得八云塔顶端的仰角；社团成员乙在地面上的点处测得八云塔顶端的仰角，米．已知，，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你计算八云塔的高度．（结果保留根号） 29．（2026·陕西安康·二模）春节游玩时，小伟利用无人机测量了一古塔的高度．如图，无人机在古塔上方的点C处测得古塔顶部点A处的俯角，底部点B处的俯角，然后沿水平方向由点C飞行到达点D处，在点D处测得点A处的俯角．已知图中各点均在同一竖直平面内，请根据以上数据求古塔的高度．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 设，则， ， ， ， ， ， 解得， ，， ， ， 解得， 答：古塔的高度约为． 30．（2026·陕西安康·二模）如图，是的外接圆，为的直径，与交于点F，D为延长线上一点，连接，，，． (1)求证：为的切线． (2)若，，半径为4，求长． 31．（2026·陕西咸阳·一模）某地城隍庙有“毕土木之功，穷造形之巧”的美誉．城隍庙的山门是进入城隍庙的第一道大门．如图，某数学兴趣小组准备利用所学过的数学知识测量该城隍庙山门的高度． 【测量过程】小组成员甲在处利用测角仪（高度忽略不计）测得山门顶端点的仰角的度数；小组成员乙沿方向移动至点，在处放置一面平面镜（大小忽略不计），沿方向移动至点处，眼睛位于处时，恰好从平面镜中看到山门顶端点的像． 【测量数据】． 【图形说明】，点在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内． 【参考数据】． 请你根据以上信息，求出该城隍庙山门的高度． 32．（2026·陕西榆林·二模）榆溪河被誉为榆林市的母亲河．某“综合与实践”小组开展了利用纸板和倒影测量河畔树高的实践活动，并制定了如下测量方案与报告： 课题 利用纸板和倒影测量树高 成员 组长：××× 组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺，自制矩形纸板，测角仪 测量示意图及说明 说明：如图，组长拿着矩形纸板，站在M处时，观察到矩形纸板的顶点D、G和树顶A恰好在一条直线上；组长站在M处，不移动，他清晰地看到树倒映在平静的河水中，测得树顶A在水中倒影C的俯角为α． 备注 ①组长的眼睛到地面的距离米； ②在矩形纸板中，； ③光线的折射忽略不计，，点A、B、C在一条直线上； ④，图中所有点都在同一平面内； ⑤参考数据： 请根据以上报告，求树的高度． 33．（2026·陕西宝鸡·一模）问题提出 (1)如图①，与的面积相等，且有一条公共边，连接，则线段与线段的位置关系是______．（填“相交”或“平行”） 问题探究 (2)如图②，在矩形中，，，G为边上任意一点，为矩形的边上的一条动线段，且，连接，，求的最小值． 问题解决 (3)如图③，一支长18米的队伍沿着射线方向前进，一名观察员从点O出发，行进至点M处．已知米，．当观察员在点M处观察队伍的行进情况时，假设其有效观测角为（），在队伍行进的过程中，是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． 34．（2026·陕西西安·一模）如图，为的外接圆，延长到点，使得，连接，且满足，连接并延长，与弧交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径长． 35．（2026·陕西延安·一模）缅怀革命先烈，传承红色基因．人民英雄纪念碑是纪念近代革命先烈的标志性建筑（图1）．小辰利用无人机测量纪念碑的高度，具体过程如下： 如图2，是水平面，点A是纪念碑顶部一点，即为纪念碑的高度，且垂直于水平面．无人机在纪念碑上方点C处时，测得纪念碑顶部A处的俯角，底部B处的俯角，无人机沿水平方向由点C向前飞行105米到达点D处，在D处测得A处的俯角，已知图中各点均在同一竖直平面内．请根据以上数据求纪念碑的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，，，，） 36．（2026·陕西渭南·一模）如图，内接于，且是的直径，延长至点，过点作于点，过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)若点是的中点，的半径为，，求的长． 37．（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，以为直径作交边于点D，连接，过点D作的切线，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若的直径为10，，求的长． 38．（2026·陕西咸阳·二模）小明与小华住在同一栋楼，他俩想测算小区门前河对面一幢大楼的高度，他俩在小明家的阳台点处，测得大楼顶部点的仰角为，大楼底部点的俯角为，然后他俩来到小华家，在阳台点处，测得大楼顶部点的仰角为 ．已知小明与小华家所在楼层高度差为10 米，求大楼的高度．（参考数据：，，，） 39．（2026·陕西宝鸡·二模）宝鸡大剧院（如图）作为宝鸡又一个核心地标式建筑，其设计融合了《诗经》“凤凰于飞”意象与宝鸡“闻鸡起舞、开放创新”精神．某科创小组的成员在假期利用自制无人机与测角仪测量了宝鸡大剧院某处点距地面的高度．如图，小组成员甲在地面上的点处用测角仪测得点的仰角；随后，小组成员乙在与点距离米的处放置无人机，并操纵无人机竖直上升米到达点处（即米，米），在点处测得点的仰角．已知，，点、、在一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该科创小组计算宝鸡大剧院某处点到地面的高度．（参考数据：，，，，，） 40．（2026·陕西咸阳·二模）如图，是的外接圆，是的直径，过点B作，，连接交于点F，交于点E，过点F作 ，交于点G． (1)求证：FG是的切线； (2)若，，求AE的长． 41．（2026·陕西榆林·一模）“山水人文，大美陕西”，陕西不仅有着厚重的历史底蕴，更有着丰富的自然景观．张琪一家去波浪谷旅游时看到了连绵起伏的赤色山峦．张琪突发奇想，想要测量波浪谷一段岩壁的高度（），于是在父母的帮助下在山脚点C处测得岩壁顶端A的仰角，张琪沿坡面倾角（）为的坡面CD向上行进到达点D，此时用测角仪测得岩壁顶端A的仰角为，已知，，点C，E，B在同一水平地面上．请你通过测量的数据帮张琪计算出这段岩壁的高度．（结果保留整数；参考数据：，，，） 42．（2026·陕西渭南·二模）2026年5月11日，长征七号遥十一运载火箭在我国文昌航天发射场成功发射，续写中国航天新征程．某校组织学生在一座航天基地进行参观研学期间，小航同学测量了该基地垂直总装测试厂房的高度，如图，小航站在地面上的点处，在经基地允许的情况下控制一架无人机，使其悬停在空中点处，测得厂房顶端的俯角，地面点处的俯角，米，米，已知，于点，、、三点在一条直线上，，图中所有的点都在同一平面内，请你计算该基地垂直总装测试厂房的高度．【参考数据：，，，，，】 43．（2026·陕西榆林·二模）【项目背景】在一次数学项目式学习活动中，老师带领同学们测量了操场上旗杆的高度（如图）． 【实践工具】自制直角三角纸板、皮尺、测角仪等工具． 【实践操作】如图，小乐站在地面上的点处，手持自制直角三角纸板（），使直角边与地面平行（即），旗杆的顶端与斜边在一条直线上；小桦在地面上的点处用测角仪（大小忽略不计）测得旗杆顶端的仰角．经测量知：，米，米．已知，，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 【问题解决】求旗杆的高度．（参考数据：，，） 44．（2026·陕西西安·三模）“中华人民共和国大地原点”位于八百里秦川关中腹地，主体建筑观测塔楼为一圆顶塔楼，外观呈六方体圆状．晓晨想要利用测角仪和卷尺测量这个观测塔楼的高度．他先在平地的点C处放置测角仪，测得观测塔楼顶端A的仰角，然后从点C处沿方向行走至点D处的台阶，沿台阶向上走到点F处，此时测得观测塔楼顶端A的仰角为，台阶的坡度为，点F到水平地面的距离．已知点B，C，D，E均在一条直线上，，．求该观测塔楼的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 45．（2026·陕西榆林·一模）完成下列问题 (1)如图1，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心，半径为作，点是边上的一个动点，点为上的一个动点，求线段的最小值； 问题解决 (2)如图2，兴隆社区有一块四边形空地，其中，，，，，且．现在管理人员计划重新规划这块空地，在空地上找一点，在处建一个灌溉点，要求，然后在区域种植太阳花，在区域种植郁金香，其余部分铺上草坪．其中太阳花的种植成本为元 ，郁金香的种植成本为元 ，求种植太阳花和郁金香的最低成本是多少元？ 46．（2026·陕西宝鸡·一模）数学活动实践课上，小轩所在的小组开展了测量古塔高度（）的活动．测量方法如下：小轩站在古塔前方斜坡的底端的点处，操作无人机飞行到距离地面（）高的点处，在处测得古塔底部的俯角为，测得坡底处的俯角为．组员小雅在斜坡的点处用测角仪测得塔顶的仰角为．已知：点，在同一水平线上，且点与点之间的水平距离是、竖直高度是．求该古塔的高度．（结果保留一位小数；参考数据：，，，，） 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题13锐角三角函数 5年真题1年模拟答案版 五年真题分类园 考点01正弦 1.A 2.(1)证明：如图，连接DC, D 则∠BDC=∠BAC=45°， .BD⊥BC, .∠BCD=90°-∠BDC=45°， .∠BCD=∠BDC. ∴.BD=BC: (2)2V3+V6 考点02正切 3.B 考点03解直角三角形的相关计算 4.C 5.(1) 证明：AB=BC, ∴.∠A=∠ACB 116 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OC=OD. ∴.∠ACB=∠ODC, ∴.∠A=∠ODC, .DF‖AB: 2,8V6 3 6.(1)证明：如图，连接OD, D ,以OC为半径的⊙O与AB相切于点D, .OD⊥AB :∠F=45°， :.∠DOE=2∠F=90°，即EF⊥OD, ..AB EF .∠OEC=∠B OE=OC ∠C=∠OEC, .∠B=∠C, ..AB=AC: 2)DG=122 1 .空 8.(1) 证明：如图，连接BD,OA, 216 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M D .⊙OPN A 与 相切于点， .OA⊥PA, ∴.∠OAP=90°， ,BC是⊙O的直径， ∴.∠BDC=90°， ∴.∠OAP=∠BDC=90 CD‖PN, .∠MPN=∠BCD=30°， B0-c=0A. ∴.△CBD≌△POA AAS, ∴.CD=PA: (2)EF=V21 9.D 考点04解直角三角形的应用 10.这段河道的宽度为80m 11.14.2m 12.信号杆的高AB为16m 13.山顶C点处的海拔高度为1690m. 14.56.00m 15.4.8m 一年模拟练测园 1.C 2.B 316 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.C 4.B 5.D 6. 4 7.23 8.3 9.6 1o9 11. 5 12.V2-3 13.-V2+3 14.AB=44米 15.-1 16.4/2 17.-5 18.MN=28m 19.147米 20.大雁塔的高度PO约为64.5米 21.银杏树的高度AB为22米 22.35米 23.14米 24.36米 25.韩信雕像的高度为16.5米」 26.9平方米 27.紫云楼的高度AB约为39米 28.八云塔的高度AB为45+153， 米 2 29.古塔AB的高度约为29m. 4/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 30.(1)见解析 2)12V10 5 31.15m 32.10.5米 33.1)平行 ②EG+FG的最小值为229 4 B)sin∠AMB的最大值为2 34.(1)证明：，CD=BC, .∠D=∠CBD :∠D=∠A, ,∠CBD=∠A, “BC=BC ∴.∠E=∠A, ∴.∠CBD=∠E, ,连接BO并延长，与弧AC交于点E, .BE为直径， .∠BCE=90°，则∠E+∠BEC=90°， .∠CBD+∠BEC=90°，即∠EBD=90°， 又.OB为半径， .BD是⊙O的切线. 明 35.纪念碑AB的高度约为38米. 36.(1) 证明：如图，连接OC, 5/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E .CF⊙O D 是 的切线， ∴.OC⊥CF,即∠OCF=90°， ∴.∠OCB+∠BCF=90°， .AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， ∴.∠OCB+∠OCA=90°， ∴.∠OCA=∠BCF, .OA=OC, .∠OCA=∠A, .∠A=∠BCF; (2)25 37.1)见解析 号 38.44米 39.32米 40.(1)见解析 (2)2 41.82米 42.93米 43.16.5米 44.27m 45.1)42-2 (2)最低成本为3510003元 46.31.4m 616 专题13 锐角三角函数 5年真题1年模拟 考点分类 陕西考情（2022-2026） 命题规律 考点01正弦 较少单独命题，常融入解直角三角形大题中考查；多结合几何图形求线段长，不单独设置选择填空 ① 侧重概念理解，不单独考单纯定义；② 结合直角三角形、斜三角形作边角转化；③ 常与勾股定理配套使用。 考点02 正切 高频出现，选择、填空、解答均有涉及；是解直角三角形中使用最多的锐角三角函数 ① 优先选用正切处理仰角、俯角类计算；② 经常放在网格、几何综合小题；③ 多考查对边与邻边的识别，易错点是混淆斜边。 考点03 解直角三角形的相关计算 必考内容，多在解答题，分值 68 分；常作小问，部分年份和相似、圆综合考查 ① 已知一边一角或者两边，求解其余边、角；② 斜三角形必须作高转化为直角三角形；③ 计算常涉及特殊角 30°、45°、60° 三角函数值；④ 会结合勾股定理、面积法。 考点04 解直角三角形的应用 高频解答大题，实际应用题，以测量类情景为主，分值 78 分 ① 情景：仰角、俯角、坡度坡比、测物体高度；② 模型多为双直角三角形，需要作辅助线；③ 会要求结果保留根号或近似值；④ 注重从实际背景抽象几何模型。 考点01 正弦 1．（2023·陕西·中考真题）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接， 由题意得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， 故选：A． 2．（2023·陕西·中考真题）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．    (1)求证：； (2)若的半径，，求线段的长． 【答案】(1)证明：如图，连接，    则， ， ， ． ； (2) 【分析】（1）如图，连接，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）如图，根据圆周角定理得到为的直径，求得．根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）如图，， 为的直径， ． ， ， ， ， 又， ． ， ，， 连接，则，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 考点02 正切 3．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为，则，利用正方形性质求出、的长及，在中利用正切定义求解． 【详解】解：连接，如图： 设， ∵四边形和是正方形，， ∴，，， ∴，， ∵、分别是正方形、的对角线， ∴，， ∴， ∴在中，． 考点03 解直角三角形的相关计算 4．（2026·陕西·中考真题）如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余得到，则，根据题意可得，，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴，， ∴． 5．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：， ． ， ， ， ； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行； （2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数以及勾股定理求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设的半径为，连接， 切于点， ． 在中，， 解得， ， ， ． 为的直径， ． 在中，， ． ， ． 在中，． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆的切线性质、解直角三角形、勾股定理以及圆内接四边形的相关知识，熟练掌握圆的切线性质和三角函数的应用是解题的关键． 6．（2025·陕西·中考真题）如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵以为半径的⊙与相切于点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）如图，连接，证明，，即，可得，进一步证明，可得； （2）求解，设的半径为，结合，可得，可得：，，求解，证明，可得，进一步可得答案. 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 设的半径为， ∴，，而，， ∴， 解得：， ∴，，， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 7．（2024·陕西·中考真题）如图，在菱形中，，，过点A作，与相交于点E，连接，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，连接交于点，根据菱形的性质以及勾股定理求得，进而根据余弦的定义求得，进而根据四边形的面积为，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 8．（2023·陕西·中考真题）如图，，点O在上，与相切于点A，与的交点分别为B，C．作，与交于点D，作，垂足为E，连接EO并延长，交CD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， 与相切于点， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）连接，根据含30度角的直角三角形的性质得，然后根据证明即可解决问题； （2）过点作于点，先求出，证明求出，求出，从而，证明求出，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）略； （2）解：如上图，过点作于点， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴同上可得：， ， ， ∴， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，以及勾股定理等知识，熟练掌握这些知识点并能熟练应用是解题的关键． 9．（2022·陕西·中考真题）如图，是的高，若，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解直角求出AD，再在直角中应用勾股定理即可求出AB． 【详解】解：∵， ∴， ∵直角中，， ∴， ∴直角中，由勾股定理可得，． 故选D． 【点睛】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键． 考点04 解直角三角形的应用 10．（2026·陕西·中考真题）渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达．某数学兴趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下： 活动主题 测量渭河某段河道的宽度 活动方案 方案一 方案二 测量示意图 测量过程 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，； 2．测量，的度数； 3．测量，两点之间的距离． 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，，分别在，的延长线上选取点，，使得； 2．测量，两点之间的距离，，两点之间的距离，与之间的距离． 测量数据 ，，． ，，． 备注 1．点是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点； 2．图中所有点均在同一平面内； 3．参考数据：，，． 请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点到的距离）． 【答案】这段河道的宽度为 【分析】方案一：过点作于点，解和求解即可；方案二：过点作于点，交于点，可得，根据相似三角形的相似比等于对应边高之比求解即可． 【详解】解：方案一：过点作于点， ∵， ∴在中，， 在中，， ∵，， ∴，解得， ∴这段河道的宽度为； 方案二：过点作于点，交于点， ∵ ∴，， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∴， 答：这段河道的宽度为． 11．（2025·陕西·中考真题）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（精确到）（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点，则，在中，利用的三角函数可求，则可求，进而在中利用三角函数值可求， 则可求． 【详解】解：如解图，延长交于点，则， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， 河宽约为． 12．（2025·陕西·中考真题）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 【答案】信号杆的高为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出，再在中，运用，，代入数值进行计算，得出的值，然后证明四边形是矩形，故，根据，，得，，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：过点E作于点，过点D作于点，如图所示： ∵，均与水平线垂直． ∴ ∴， ∵ ∴ 在中，， 则， 在中，， 则， ∵过点E作于点，过点D作于点， ∴， ∴四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 信号杆的高为． 13．（2024·陕西·中考真题）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）    【答案】山顶C点处的海拔高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点C作交的延长线于点，在和中，利用三角函数的定义列式计算即可求解． 【详解】解：过点C作交的延长线于点，设，    在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴山顶C点处的海拔高度为． 14．（2023·陕西·中考真题）小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼与的高度差．如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点处恰好可经过楼的顶端看到楼的底端，即点，，在同一直线上．此时，测得点的俯角，点的仰角，并测得，．已知，，，，点，，在同一水平直线上．求楼与的高度差．（参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握正切的定义是解题的关键．过点作于，过点作于，根据正切的定义分别求出，，计算即可． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于， ，，， 得矩形，矩形， ，， 在中，，， 则， ， 在中，，， 则， ， ， 在中，，， 则， ， ， 答：楼与的高度差约为． 15．（2023·陕西·中考真题）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，    【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再根据垂直定义可得，从而证明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性质可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，      由题意得：，， 设， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 该景观灯的高约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 一、单选题 1．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，在中，，点D、E分别是、的中点，连接．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解，，再利用正切的定义求解即可. 【详解】解：在中，，点D、E分别是、的中点， ， ， ． 2．（2026·陕西安康·一模）如图，在中，对角线与相交于点，交的延长线于点．若，，则的长为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得，再根据正弦的意义可得． 【详解】解：在中，对角线与相交于点， ∴， 在中，， ∴， ∴． 3．（2026·陕西榆林·一模）如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，且．延长到点E，在内作射线，使得，过点B作，垂足为H，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得到，再利用三角函数得到，证明即可得到答案． 【详解】解：菱形中，， ，点为中点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 4．（2026·陕西渭南·一模）如图，在矩形中，对角线交于点O，交于点E．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，得，，继而得到，求解即可． 【详解】解：矩形中，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 5．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，为的高，点、分别为、的中点，连接若，则的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】由三角形中位线定理得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵点、分别为、的中点， ∴， ∵为的高，， ∴，， ∴． 二、填空题 6．（2026·陕西西安·一模）如图，正八边形的边长为4，延长，交于点，则______． 【答案】 4 【分析】利用正八边形的外角性质求出的两个底角，从而确定三角形的形状，用三角函数求出，再利用三角形面积公式求即可． 【详解】解：正八边形的外角度数为， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 7．（2026·陕西咸阳·一模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形，连接，若该正六边形的半径为2，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，交于点，根据正六边形的性质，求出，进而得到垂直平分，进而求出的长即可. 【详解】解：连接，交于点，则， ∵正六边形， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴. 8．（2026·陕西渭南·二模）如图，是矩形的对角线，动点在对角线上（不与点重合），点E在上方，连接、、．若，，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】首先根据勾股定理求出的长，利用三角形面积公式求出点到的距离，进而得到点到的距离．然后利用锐角三角函数将转化为点到的距离，最后根据垂线段最短求解． 【详解】解：在矩形中，，， ，， ， 过点作于点，延长交于点， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 在 中，， ， 过点作于点， 在 中，， ， 当点、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为的长， 的最小值为3． 9．（2026·陕西安康·一模）如图，矩形的面积为，点在边上，连接，以为边作菱形，当边经过点，且满足时，_____． 【答案】6 【分析】过点作于点，连接，先求出菱形的面积、得出，再设，解直角三角形可得，利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，连接． ∵矩形的面积为， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，，， 设， ∴在中，， 又∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 10．（2026·陕西咸阳·二模）如图，点为矩形内一点，连接、，，，延长交于点，延长到点，连接，使得，则的长为_________． 【答案】 【分析】由题意易得，过点作于点，作的外接圆，连接，则有，点在上，然后可得，，设，则，进而根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 过点作于点， ∴． 作的外接圆，连接，如图，则为的直径．由，可得点在上， ， ，即． 由为等腰三角形， ， ∴， ∴也为等腰三角形， ， 设，则， 在中，，即， 解得， ． 11．（2026·陕西榆林·一模）如图，在矩形中，，，是边的中点，是边上的动点（不与端点重合），线段分别与线段、相交于点、．若，则的长为________． 【答案】 【分析】过点作交于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，即可得到四边形为平行四边形，进而得到，然后根据同角的余角相等得到，利用正切的定义得到，利用勾股定理求出，然后根据得到，利用得到，最后根据求出的长解答即可． 【详解】解：如图，过点作交于点，过点作交的延长线于点，过点作于点， 则，， ∵四边形 是矩形， ∴，，，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 12．（2026·陕西渭南·一模）计算：． 【答案】 【详解】解： 13．（2026·陕西咸阳·一模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 14．（2026·陕西咸阳·一模）香积寺塔是陕西省风景名胜区的主要景点之一，在历史上曾有“古塔穿云”、“塔影团圆”等雅称．安安利用周末完成了对香积寺塔高度的测量．如图，安安在地面上的点C处测得香积寺塔顶端A的仰角的度数为；随后，安安从点C处沿方向移动18米到达点D处（即米），在点D处测得香积寺塔顶端A的仰角的度数为．已知，点B、C、D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助安安求出香积寺塔的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【分析】先理解题意，在中，把数值代入整理得，同理得，然后，最后计算，即可作答． 【详解】解：依题意，得米，，， ∵， ∴在中， 则； ∴在中， 则， ∴， ∴， ∴， 即， ∴米． ∴香积寺塔的高度（米）． 15．（2026·陕西渭南·二模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 16．（2026·陕西榆林·二模）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 17．（2026·陕西渭南·二模）计算：． 【答案】 【分析】分别求出立方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的结果，再合并计算即可． 【详解】解： ． 18．（2026·陕西渭南·二模）韩城文星塔，又称文星阁，是一座六角楼阁式砖砌风水塔．某数学兴趣小组利用学过的数学知识测量文星塔的高度，如图，小组成员甲在处利用测角仪测得塔顶点的仰角，小组成员乙在处利用高为的测角仪（即）测得塔顶的仰角，已知，，，点、、在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内，求文星塔的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】延长交于点E，解直角三角形表示出，，然后根据列方程求解． 【详解】解：如图，延长交于点E ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 19．（2026·陕西西安·一模）法门寺合十舍利塔位于陕西省宝鸡市扶风县法门镇，是国家AAAAA级旅游景区法门寺的一个景点．如图，为测量法门寺合十舍利塔的高度，某数学兴趣小组在附近一建筑物楼顶D处测得舍利塔顶端A处的仰角为，测得该塔底部B处的俯角为，已知建筑物的高为42米，请你计算法门寺合十舍利塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】147米 【分析】过点D作于点E，构造出两个直角三角形和矩形，根据矩形的性质可得，然后在和中，利用锐角三角函数的定义分别求出、的长，最后进行计算可得的值． 【详解】解：如图：过点D作于点E， 由题意得四边形是矩形， ∴米， 在中， ∵， ∴ （米）， 在中， ∵， ∴（米）， ∴（米）． 答：法门寺合十舍利塔的高的值约为147米． 20．（2026·陕西榆林·一模）项目主题：测量大雁塔的高度． 项目背景：千年古刹，传奇身世大雁塔，这座西安的标志性建筑，承载着千年的历史与文化．小明所在的数学研究小组为了解大雁塔的高度，开展了项目学习． 测量工具：测角仪、皮尺等． 测量步骤及示意图： 测量示意图 测量步骤 小明在处测出大雁塔顶端处的仰角的度数； 接着他从点处向大雁塔方向前进了一段距离后到达点，他在处测出大雁塔顶端的仰角的度数； 小组成员测出、两点间的距离． 说明：已知点A、B、O在同一水平直线上，且垂直于，图中所有点均在同一竖直平面内，测角仪的高度忽略不计． 测量数据：，，米． 参考数据：，，． 问题解决：请你根据上述信息计算大雁塔的高度． 【答案】大雁塔的高度约为米 【分析】在中，利用锐角三角函数表示出长，在中，得到，再根据，列式计算即可． 【详解】解：在中，，， ． 在中，， ． ，米， ，解得， 即大雁塔的高度约为米． 21．（2026·陕西渭南·一模）背景：某数学小组的成员利用所学知识在周末测量了一棵银杏树的高度． 测量过程：该小组的同学甲在地面上的点C处测量了银杏树顶端A的仰角的度数；该小组的同学乙在地面上的点D处放置一面平面镜（大小忽略不计），随后从点D处沿方向移动至点E处时，恰好从平面镜中看到银杏树顶端A的像． 数据：米，米，米，． 说明：，，点B、C、D、E在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 任务：求银杏树的高度．（参考数据：，，） 【答案】银杏树的高度为米 【分析】先由，可设，再解即可． 【详解】解：由题意得， ∴ ∴， ∴， ∴ 设， 则， 在中，， ∴ 解得 ∴（米） 答：银杏树的高度为米． 22．（2026·陕西渭南·一模）合阳千金塔为密檐式八角形空心砖塔，共十三层，被国务院公布为国家重点文物保护单位．某实践活动小组在老师的指导下，用学过的数学知识测量千金塔的高度，下面是测量活动报告： 活动主题 测量千金塔的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量过程及示意图 如图，小组成员甲在处利用高为的测角仪测得千金塔顶端点的仰角的度数，小组成员乙在处利用测角仪测得千金塔顶端点的仰角的度数，用皮尺测出、两点间的距离 测量数据及图形说明 ，，，，，，点、、在同一直线上，图中所有的点在同一平面内 参考数据 ，，，，， 备注 测量过程中注意安全，做到保护文物 请你根据以上活动报告，求出合阳千金塔的高度． 【答案】35米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，解决此类问题的关键是要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形． 首先证明四边形为矩形，设，分别解和，列方程求解即可． 【详解】解：设， ，，， ∴四边形为矩形． ，． ． ， ． ． ． ， ，解得． ． 答：合阳千金塔的高度为35米． 23．（2026·陕西宝鸡·一模）为了加强红色教育，传承红色基因，某校组织学生前往陕西省铜川市军台岭战斗旧址进行参观，参观期间，组织同学们开展了测量军台岭战斗纪念碑高度的活动，记录如下： 活动主题 测量军台岭战斗纪念碑的高度 测量过程及示意图 如图，在地面上的点处竖立一根标杆，某一时刻纪念碑与标杆在太阳光下的影子顶端重合于地面上的点处，将标杆移至点处后，给标杆顶端处放置一个测角仪（大小忽略不计），测得纪念碑的顶端的仰角的度数． 测量数据 米，米，米， 测量说明 、，，、、在同一条直线上，图中所有的点都在同一平面内 参考数据 请你根据以上测量结果，计算军台岭战斗纪念碑的高度． 【答案】14米 【分析】延长交于点，证明，得出相关线段之间的数量关系，设，则，然后利用锐角三角函数进行列方程求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 则（米）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 假设，则， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴（米）， ∴（米）． 24．（2026·陕西宝鸡·一模）西安鼓楼是中国古代遗留下来的众多鼓楼中形制最大、保存最完整的鼓楼之一．某数学小组成员想利用所学知识测量鼓楼的高度（如图）．该小组成员在点C处测得鼓楼的顶端A的仰角，从点C处移动31米到达点E处（米），在点E处竖立一根高为2米的标杆，此时，鼓楼在太阳光下的影子末端与标杆在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点D处．经测量知米，已知，，点C，D，E，B在同一直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该数学小组成员求出西安鼓楼的高度．（参考数据：，，） 【答案】36米 【分析】根据相似三角形的判定得出，可得，确定，再由，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，即 ∴ ∵， ∴，即 ∴，解得， ∴ ∴西安鼓楼的高度约为36米． 25．（2026·陕西汉中·一模）拜将坛遗址位于陕西省汉中市境内，是陕西省首批优秀传统文化传承基地．小伟去汉中市旅游期间、运用所学知识测量了该遗址内韩信雕像的高度、如图，在地面上的点处测得雕像顶端的仰角．在地面上的点处测得雕像顶端的仰角，米，，、、在一条水平直线上，请你根据小伟的测量结果，计算韩信雕像的高度． 【参考数据：，，] 【答案】韩信雕像的高度为米． 【分析】根据题意可得，，，设韩信雕像的高度米，可得，解方程即可． 【详解】解：根据题意可得，，， ∴，， ∴， 设韩信雕像的高度米， ∴， 解得， ∴韩信雕像的高度为米． 26．（2026·陕西西安·二模）某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为正方形，示意图如图所示，数学兴趣小组的同学利用所学知识测算该雕塑底座的底面积，步骤如下： ①在水池外取一点，使得点、、在同一条直线上； ②过点作，并从点沿方向移动到点，用皮尺测得的长为3米； ③在点处用测角仪测得，． 说明：图中所有点均在同一平面内． 请你根据上述信息帮助该小组计算雕塑底座的底面积（正方形的面积）． 参考数据：，． 【答案】9平方米 【分析】先利用求出，再利用求出，进而求解． 【详解】解：在中，，， ， ，     ， 在中，， ，即， ， ， 答：雕塑底座的底面积为9平方米． 27．（2026·陕西商洛·二模）紫云楼是大唐芙蓉园内最为经典的仿古建筑．小云和小强采用如下方法来测量紫云楼（图1）的高度．如图2，小云选取与底端在同一水平地面上的点，放置一个平面镜，然后沿着方向后退，当退到点时，刚好在平面镜内看到紫云楼的顶端的像，已知小云的眼睛到地面的距离为米，米；接着，小强在地面上的点处测得紫云楼的顶端的仰角，米，已知，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请根据以上信息求紫云楼的高度．（平面镜大小厚度均忽略不计，参考数据：，，）． 【答案】紫云楼的高度约为39米 【分析】利用三角函数可得，由镜面反射的原理可得，进而可证明，则，代入求解出即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴． ∴，即， 在中，， ∴，即， ∴， ∴，解得． 答：紫云楼的高度约为39米． 28．（2026·陕西西安·二模）八云塔，又称瑞光寺塔，为旧时周至县城的标志性建筑（如图）．某数学社团的成员利用所学知识在假期测量了八云塔的高度．如图，社团成员甲在地面上的点处用高度为米的测角仪（即米）测得八云塔顶端的仰角；社团成员乙在地面上的点处测得八云塔顶端的仰角，米．已知，，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你计算八云塔的高度．（结果保留根号） 【答案】八云塔的高度为米． 【分析】延长交于点，结合题意证明四边形为矩形，推出，，再根据，推出，，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 由题意，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴八云塔的高度为米． 29．（2026·陕西安康·二模）春节游玩时，小伟利用无人机测量了一古塔的高度．如图，无人机在古塔上方的点C处测得古塔顶部点A处的俯角，底部点B处的俯角，然后沿水平方向由点C飞行到达点D处，在点D处测得点A处的俯角．已知图中各点均在同一竖直平面内，请根据以上数据求古塔的高度．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】古塔的高度约为． 【分析】延长交于点，由题意知，设，则，根据得出，利用的正切函数求出，利用的正切函数求出的长即可． 【详解】解：延长交于点，由题意知， 设，则， ， ， ， ， ， 解得， ，， ， ， 解得， 答：古塔的高度约为． 30．（2026·陕西安康·二模）如图，是的外接圆，为的直径，与交于点F，D为延长线上一点，连接，，，． (1)求证：为的切线． (2)若，，半径为4，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角和已知两角的关系，得出，然后根据为的直径，，继而得到即可证明； （2）连接，易证和全等，从而证出为角平分线，再根据等腰三角形三线合一，得出，再根据互余两角三角函数的关系求出的正切，得出和的长，从而求出的长，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， 为的直径， ， ， 为的半径， ∴为的切线； （2）解：连接， ，， ， ， 为的平分线， ，即， ， ， ， ， ，即， 设， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ，， ， ． 31．（2026·陕西咸阳·一模）某地城隍庙有“毕土木之功，穷造形之巧”的美誉．城隍庙的山门是进入城隍庙的第一道大门．如图，某数学兴趣小组准备利用所学过的数学知识测量该城隍庙山门的高度． 【测量过程】小组成员甲在处利用测角仪（高度忽略不计）测得山门顶端点的仰角的度数；小组成员乙沿方向移动至点，在处放置一面平面镜（大小忽略不计），沿方向移动至点处，眼睛位于处时，恰好从平面镜中看到山门顶端点的像． 【测量数据】． 【图形说明】，点在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内． 【参考数据】． 请你根据以上信息，求出该城隍庙山门的高度． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数得出．证明，利用对应边成比例进行求解． 【详解】解：， ，即． 由题意可得． ， ， ， ． ， ， 解得， 该城隍庙山门的高度为． 32．（2026·陕西榆林·二模）榆溪河被誉为榆林市的母亲河．某“综合与实践”小组开展了利用纸板和倒影测量河畔树高的实践活动，并制定了如下测量方案与报告： 课题 利用纸板和倒影测量树高 成员 组长：××× 组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺，自制矩形纸板，测角仪 测量示意图及说明 说明：如图，组长拿着矩形纸板，站在M处时，观察到矩形纸板的顶点D、G和树顶A恰好在一条直线上；组长站在M处，不移动，他清晰地看到树倒映在平静的河水中，测得树顶A在水中倒影C的俯角为α． 备注 ①组长的眼睛到地面的距离米； ②在矩形纸板中，； ③光线的折射忽略不计，，点A、B、C在一条直线上； ④，图中所有点都在同一平面内； ⑤参考数据： 请根据以上报告，求树的高度． 【答案】米 【分析】延长交于点，证明四边形是矩形，则米，，设树高米，则，，，在矩形中，，，三点共线，则​，即，即可得，根据俯角，​，得出​，解方程即可解答． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设树高米， ∵，则， ∴，， 在矩形中，，，三点共线， ∴​，即， 则， ∵俯角，​， ∴​， 则​，交叉相乘整理得：， 解得：． 即树的高度为米． 33．（2026·陕西宝鸡·一模）问题提出 (1)如图①，与的面积相等，且有一条公共边，连接，则线段与线段的位置关系是______．（填“相交”或“平行”） 问题探究 (2)如图②，在矩形中，，，G为边上任意一点，为矩形的边上的一条动线段，且，连接，，求的最小值． 问题解决 (3)如图③，一支长18米的队伍沿着射线方向前进，一名观察员从点O出发，行进至点M处．已知米，．当观察员在点M处观察队伍的行进情况时，假设其有效观测角为（），在队伍行进的过程中，是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)平行 (2)的最小值为 (3)的最大值为 【分析】（1）分别作和底边上的高，可证四边形为长方形即可； （2）作点E关于的对称点，连接，利用对称性结合，再根据勾股定理求边长即可； （3）过点M作的平行线，作的外接圆，圆心为C，则当与相切时，满足最大，则存在最大值，再解三角形得到即可． 【详解】（1）解：分别作和底边上的高， ， 与的面积相等，且有一条公共边， ，则四边形为长方形， ，即， 则线段与线段的位置关系是平行； （2）解：如图1，作点E关于的对称点，连接， 设与交于点，连接，， 根据对称性可知，， ∴， 即当点G与点重合时，满足最小， ∵， ∴， 在中， ∴的最小值为； （3）解：存在．如图2，过点M作的平行线，作的外接圆，圆心为C， 当与相切时，满足最大，则存在最大值， 在上取一点，连接，，设与的交点为点E，连接， 则，故满足度数最大， 与相切时，连接并延长，的延长线与交于点D，连接，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 设的半径为r，则由，可知， ∴， 在中，，即，解得， ∴，即的最大值为． 34．（2026·陕西西安·一模）如图，为的外接圆，延长到点，使得，连接，且满足，连接并延长，与弧交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ∵， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵连接并延长，与弧交于点， ∴为直径， ∴，则， ∴，即， 又∵为半径， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）根据等边对等角，以及同弧所对的圆周角相等，等量代换得出，结合直径所对的圆周角是直角得出，即，即可得证； （2）设交于点，过点作于点，证明，进而得出，勾股定理求得的长，得出，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，设交于点，过点作于点 ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴是的中点， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴ ∴ ∴的半径长为 35．（2026·陕西延安·一模）缅怀革命先烈，传承红色基因．人民英雄纪念碑是纪念近代革命先烈的标志性建筑（图1）．小辰利用无人机测量纪念碑的高度，具体过程如下： 如图2，是水平面，点A是纪念碑顶部一点，即为纪念碑的高度，且垂直于水平面．无人机在纪念碑上方点C处时，测得纪念碑顶部A处的俯角，底部B处的俯角，无人机沿水平方向由点C向前飞行105米到达点D处，在D处测得A处的俯角，已知图中各点均在同一竖直平面内．请根据以上数据求纪念碑的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，，，，） 【答案】纪念碑的高度约为38米． 【分析】延长交于点，由题意知，设米，则米，根据得出，利用的正切函数求出，利用的正切函数求出的长即可． 【详解】解：延长交于点，由题意知， 设米，则米， ， 米， ， ， ， 解得，（米）， （米），（米）， ， ， ， 解得，（米）， 答：纪念碑的高度约为38米． 36．（2026·陕西渭南·一模）如图，内接于，且是的直径，延长至点，过点作于点，过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)若点是的中点，的半径为，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， 是的切线， ，即， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】本题主要考查了圆的性质、勾股定理以及三角函数定义等． （1）连接，根据圆的切线性质得，再利用直径所对的圆周角是直角得，根据等腰三角形的性质，由得，即可得证； （2）先根据三角函数定义，得，求出的长，结合勾股定理求出的长，从而求得，进而得到，最后由勾股定理得：，即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：的半径为， ， 在中，， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 即， 得， ， ， 故的长为． 37．（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，以为直径作交边于点D，连接，过点D作的切线，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若的直径为10，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图：连接，由圆的基本性质以及等边对等角可得，再利用切线的性质、圆周角定理以及同角的余角相等可得，最后利用等量代换即可证明结论； （2）由圆的基本性质可得，利用正弦的定义可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴． （2）解：∵的直径为10， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∴． 38．（2026·陕西咸阳·二模）小明与小华住在同一栋楼，他俩想测算小区门前河对面一幢大楼的高度，他俩在小明家的阳台点处，测得大楼顶部点的仰角为，大楼底部点的俯角为，然后他俩来到小华家，在阳台点处，测得大楼顶部点的仰角为 ．已知小明与小华家所在楼层高度差为10 米，求大楼的高度．（参考数据：，，，） 【答案】米 【分析】设河宽（水平距离）为未知数，分别在两个直角三角形中，利用仰角、俯角的三角函数表示对应高度，再根据楼层高度差建立方程求解，最终求出大楼总高度． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 则四边形为矩形， ，米， 在中，，， 设米， 在中，，， ， ， 在中，，，， ， 由此列方程： ， 解得：， （米）． 39．（2026·陕西宝鸡·二模）宝鸡大剧院（如图）作为宝鸡又一个核心地标式建筑，其设计融合了《诗经》“凤凰于飞”意象与宝鸡“闻鸡起舞、开放创新”精神．某科创小组的成员在假期利用自制无人机与测角仪测量了宝鸡大剧院某处点距地面的高度．如图，小组成员甲在地面上的点处用测角仪测得点的仰角；随后，小组成员乙在与点距离米的处放置无人机，并操纵无人机竖直上升米到达点处（即米，米），在点处测得点的仰角．已知，，点、、在一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该科创小组计算宝鸡大剧院某处点到地面的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【分析】延长交于点，设，由可得米，又由矩形的性质得米，米，即得到米，再由得，即得到，解方程求出的值即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 由题意可得，，， 设， 在中，， ∴ 米， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴ ， 解得， ∴ 米， 答：点到地面的高度为米． 40．（2026·陕西咸阳·二模）如图，是的外接圆，是的直径，过点B作，，连接交于点F，交于点E，过点F作 ，交于点G． (1)求证：FG是的切线； (2)若，，求AE的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，根据题意得出是等腰直角三角形，再由圆周角定理确定，利用平行线的性质即可证明； （2）根据圆周角定理得出，再由相似三角形的判定和性质得出，．然后代入求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， 是等腰直角三角形， ， ． ∵，    ， 即， 是的切线． （2）解：是的直径， ， ∴，     ， ， ，     ． ， ， ． 41．（2026·陕西榆林·一模）“山水人文，大美陕西”，陕西不仅有着厚重的历史底蕴，更有着丰富的自然景观．张琪一家去波浪谷旅游时看到了连绵起伏的赤色山峦．张琪突发奇想，想要测量波浪谷一段岩壁的高度（），于是在父母的帮助下在山脚点C处测得岩壁顶端A的仰角，张琪沿坡面倾角（）为的坡面CD向上行进到达点D，此时用测角仪测得岩壁顶端A的仰角为，已知，，点C，E，B在同一水平地面上．请你通过测量的数据帮张琪计算出这段岩壁的高度．（结果保留整数；参考数据：，，，） 【答案】82米 【分析】过点D作于点H．可得四边形是矩形，设，则，结合，可得，然后在中，列出比例式求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ． 如图，过点D作于点H． ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，． 设，则． ∵，， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， 即，解得． 故这段岩壁的高度约为． 42．（2026·陕西渭南·二模）2026年5月11日，长征七号遥十一运载火箭在我国文昌航天发射场成功发射，续写中国航天新征程．某校组织学生在一座航天基地进行参观研学期间，小航同学测量了该基地垂直总装测试厂房的高度，如图，小航站在地面上的点处，在经基地允许的情况下控制一架无人机，使其悬停在空中点处，测得厂房顶端的俯角，地面点处的俯角，米，米，已知，于点，、、三点在一条直线上，，图中所有的点都在同一平面内，请你计算该基地垂直总装测试厂房的高度．【参考数据：，，，，，】 【答案】米 【分析】过点作于点，证明四边形为矩形，利用解直角三角形的相关计算，结合矩形性质求出，进而即可求出厂房的高度． 【详解】解：过点作于点， 又 ，， ， 四边形为矩形， 米， 米，，， ，， ， ，米， 米， 米， 米． 43．（2026·陕西榆林·二模）【项目背景】在一次数学项目式学习活动中，老师带领同学们测量了操场上旗杆的高度（如图）． 【实践工具】自制直角三角纸板、皮尺、测角仪等工具． 【实践操作】如图，小乐站在地面上的点处，手持自制直角三角纸板（），使直角边与地面平行（即），旗杆的顶端与斜边在一条直线上；小桦在地面上的点处用测角仪（大小忽略不计）测得旗杆顶端的仰角．经测量知：，米，米．已知，，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 【问题解决】求旗杆的高度．（参考数据：，，） 【答案】米 【分析】延长交于点，得出四边形为矩形，证明，得出，假设，则，利用锐角三角函数列出方程求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 假设，则， ∴， ∴， 解得， 经检验，当时，不为，是原分式方程的解， ∴（米）， ∴旗杆的高度为米． 44．（2026·陕西西安·三模）“中华人民共和国大地原点”位于八百里秦川关中腹地，主体建筑观测塔楼为一圆顶塔楼，外观呈六方体圆状．晓晨想要利用测角仪和卷尺测量这个观测塔楼的高度．他先在平地的点C处放置测角仪，测得观测塔楼顶端A的仰角，然后从点C处沿方向行走至点D处的台阶，沿台阶向上走到点F处，此时测得观测塔楼顶端A的仰角为，台阶的坡度为，点F到水平地面的距离．已知点B，C，D，E均在一条直线上，，．求该观测塔楼的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】 【分析】添加辅助线，过点F作于点G，根据，，设，再得到四边形为矩形，再由坡度比可得，可整体表示出的长度，再结合的正切值求解即可． 【详解】解：过点F作于点G，如图， ∵，即，且， ∴为等腰直角三角形， 设， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵．且台阶的坡度为， ∴，可得， ∵，且点B，C，D，E均在一条直线上， ∴， ∴， ∵在点F处测得观测塔楼顶端A的仰角为，即， 在中，， 即，解得， 即， 答：该观测塔楼的高度为． 45．（2026·陕西榆林·一模）完成下列问题 (1)如图1，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心，半径为作，点是边上的一个动点，点为上的一个动点，求线段的最小值； 问题解决 (2)如图2，兴隆社区有一块四边形空地，其中，，，，，且．现在管理人员计划重新规划这块空地，在空地上找一点，在处建一个灌溉点，要求，然后在区域种植太阳花，在区域种植郁金香，其余部分铺上草坪．其中太阳花的种植成本为元 ，郁金香的种植成本为元 ，求种植太阳花和郁金香的最低成本是多少元？ 【答案】(1) (2)最低成本为元 【分析】（1）连接，过点作，垂足为，解直角三角形，求得，根据得出的最小值，即可求解； （2）先求得，在右侧作以为底的等腰直角三角形，连接，得点在以点为圆心，半径为的上运动，根据得出，设种植太阳花和郁金香所需成本为，则，连接，过点作，得出，求得，过点作于点，过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，解直角三角形求得，根据得出的最小值，进而求得，代入即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接，过点作，垂足为． ∵是等腰直角三角形，且， ∴． ∴． ∵． ∴， ∴的最小值为； （2）∵，且， ∴． 如图2，在右侧作以为底的等腰直角三角形，连接， ∴， ∴． ∵， ∴点在以点为圆心，半径为的上运动， ∴． ∵， ∴． 设种植太阳花和郁金香所需成本为， 则． ∵，， ∴． 如图2，连接，过点作 ∵，，， ∴， ∴重合， ∴， ∴． 如图2，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ ． ∴（元）， ∴最低成本为元． 46．（2026·陕西宝鸡·一模）数学活动实践课上，小轩所在的小组开展了测量古塔高度（）的活动．测量方法如下：小轩站在古塔前方斜坡的底端的点处，操作无人机飞行到距离地面（）高的点处，在处测得古塔底部的俯角为，测得坡底处的俯角为．组员小雅在斜坡的点处用测角仪测得塔顶的仰角为．已知：点，在同一水平线上，且点与点之间的水平距离是、竖直高度是．求该古塔的高度．（结果保留一位小数；参考数据：，，，，） 【答案】 【分析】如图：过E作于G，过D作于I，于点，则四边形是矩形，由题意可得：，，易得；再解直角三角形求得、，易得，再解直角三角形求得，最后求古塔的高度即可． 【详解】解：如图：过E作于G，过D作于I，于点，则四边形是矩形， 由题意可得：，， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即， 在中，， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $