第五章 一元一次方程 单元测试 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 北师大版七年级数学上册第五章一元一次方程单元测试卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖方程定义、解法及实际应用，适配单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元一次方程定义、解法|结合生活情境（如第6题服装盈利），考查符号意识| |填空题|8/24|方程概念、规律探究|设计“共生有理数对”（第14题），发展推理意识| |解答题|6/46|解方程、实际应用|融入传统文化（第7题粽子制作）与经济问题（第24题购物优惠），强化模型观念|

第五章 一元一次方程 单元测试卷 2026-2027学年北师大版七年级数学上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A．x+3＝0 B．x+y＝﹣2 C． D．x2﹣1＝0 2．已知x＝y，下列各式不一定成立的是（　　） A．x+a＝y+a B．a﹣x＝a﹣y C．ax＝ay D． 3．若x＝3是方程a﹣2x＝1的解，则a的值是（　　） A．﹣7 B．7 C．﹣6 D．6 4．一元一次方程x+8＝3（x﹣2），则它的解是（　　） A．7 B．6 C．1 D．以上都不是 5．有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位，设学校住宿的学生人数为x，则以下列出的方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．吉祥服装店某天卖出了两件服装，售价均为60元，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（　　） A．不盈不亏 B．盈利10元 C．盈利5元 D．亏损5元 7．粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A．6×24x＝4×16（6﹣x） B．4×24x＝6×16（6﹣x） C．24x＝16（6﹣x） D．16x＝24（6﹣x） 8．一项工程，甲单独做需20天完成，乙单独做需30天完成，两人合作8天后，剩下的部分由乙单独全部完成，设乙单独完成用了x天，则由题意可列方程（　　） A． B． C． D． 9．整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，再增加两人和他们一起做8小时完成这项工作．假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 10．解方程：2，去分母得（　　） A．2﹣2（2x﹣4）＝﹣（x﹣7） B．12﹣2（2x﹣4）＝﹣x﹣7 C．2﹣（2x﹣4）＝﹣（x﹣7） D．12﹣2（2x﹣4）＝﹣（x﹣7） 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．已知关于x方程2x2k﹣1+1＝4是一元一次方程，那么k＝ 　 　 ． 12．若（x+4）2+|y﹣3|＝0，则（x+y）2027＝　 　 ． 13．某班40名同学按学号1，2，3，…，40顺次顺时针方向围坐成一圈做游戏：从某个同学开始，沿顺时针方向，按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下39人，第一轮结束；接着从退出游戏的后一个同学开始继续沿顺时针方向按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下38人，第二轮结束；…，按这种方式，在第五轮中，恰好学号18的同学退出游戏，则第一轮第一位报数同学的学号是 　 　 ． 14．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b）．如数对，都是“共生有理数对”． （1）若（a，3）是“共生有理数对”，则a的值为 　 　 ； （2）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m） 　 　 （填写“是”或“不是”）“共生有理数对”． 15．一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图①是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的3倍，长比高多6cm，则这个正方形纸板的边长为 　 cm． 16．如图，将图1中的大正方形剪成4个相同的小长方形和一个小正方形，并将它们无重叠地放入到图2的大长方形中，若图2中未被覆盖的阴影部分的周长为30，则由此可知图1中小长方形较长的边为　 　 ． 17．某商店把一种商品按标价的8折出售，仍可获利20%，若该商品进价为每件40元，则每件的标价为 　 　 __________元． 18．已知数列，，，，，，，，，，，，，，，，…，记第一个数为a1，第二个数为a2，…，第n个数为an，若an是方程的解，则n＝　 　 ． 三．解答题（共6小题，满分46分） 19．（8分）解方程： （1）4x﹣2＝﹣14﹣2x； （2）； （3）； （4）． 20．（6分）先化简，再求值：，其中a＝﹣2，b＝1． 21．（8分）某学校组织学生社团活动，打算恰好用1000元经费购买围棋和象棋，其中围棋每套40元，象棋每套30元．所购买围棋的套数能否是所购买象棋套数的2倍？若能，请求出所购买的围棋和象棋的套数，若不能，请说明理由． 22．（8分）如图1是2026年4月的日历，用如图2所示的曲尺形框框（有三个方向，从左往右依次记为第一、第二、第三个框），可以框住日历中的三个数，设被框住的三个数中最大的数为x． （1）请用含x的代数式填写以下三个空：第一个框框住的最小的数是_______，第二个框框住的最小的数是_________，第三个框框住的三个数的和是________． （2）先对每个框框中的三个数按从小到大排序，再取中间的数相加，它们的和能是7的倍数吗？如能请求出x的值，如不能请说明理由． 23．（8分）我们知道36＝3×10+6，365＝3×100+6×10+5． （1）一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是x．把1与x对调，原两位数比新两位数大9，x的值是多少？请你用方程解决这个问题． （2）如果一个两位数十位上的数字是a、个位上的数字是b，现把a与b对调，计算原两位数与新两位数的差．并判断这个差能被9整除吗？说明原因． 24．（8分）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为60%；乙种商品每件进价40元，售价60元． （1）甲种商品每件的进价为　 　 元，乙种商品每件的利润率为　 　 ． （2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 参考答案 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A．x+3＝0 B．x+y＝﹣2 C． D．x2﹣1＝0 【解答】解：A、属于一元一次方程，符合一元一次方程的定义，符合题意， B、含有两个未知数，不符合一元一次方程的定义，不符合题意， C、不是整式方程，不符合一元一次方程的定义，不符合题意， D、未知数的次数不是1，不符合一元一次方程的定义，不符合题意， 故选：A． 2．（3分）已知x＝y，下列各式不一定成立的是（　　） A．x+a＝y+a B．a﹣x＝a﹣y C．ax＝ay D． 【解答】解：A、若x＝y，则x+a＝y+a，故此选项不符合题意； B、若x＝y，则﹣x＝﹣y，所以a﹣x＝a﹣y，故此选项不符合题意； C、若x＝y，则ax＝ay，故此选项不符合题意； D、若x＝y，则（a≠0），故此选项符合题意； 故选：D． 3．（3分）若x＝3是方程a﹣2x＝1的解，则a的值是（　　） A．﹣7 B．7 C．﹣6 D．6 【解答】解：把x＝3代入方程a﹣2x＝1中，得a﹣2×3＝1， 解得a＝7， 故选：B． 4．（3分）一元一次方程x+8＝3（x﹣2），则它的解是（　　） A．7 B．6 C．1 D．以上都不是 【解答】解：x+8＝3（x﹣2）， 去括号，得x+8＝3x﹣6， 移项，得x﹣3x＝﹣8﹣6， 合并，得﹣2x＝﹣14， 系数化为1，得x＝7． 故选：A． 5．（3分）有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位，设学校住宿的学生人数为x，则以下列出的方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位，设学校住宿的学生人数为x， ∴， 故选：C． 6．（3分）吉祥服装店某天卖出了两件服装，售价均为60元，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（　　） A．不盈不亏 B．盈利10元 C．盈利5元 D．亏损5元 【解答】解：设盈利的一件进价为x元，亏损的一件进价为y元， 根据题意得x+20%x＝60，y﹣20%y＝60， 解得x＝50，y＝75， ∴60+60﹣（50+75）＝﹣5（元）， ∴该服装店卖出这两件服装亏损5元， 故选：D． 7．（3分）粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A．6×24x＝4×16（6﹣x） B．4×24x＝6×16（6﹣x） C．24x＝16（6﹣x） D．16x＝24（6﹣x） 【解答】解：设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用（6﹣x）千克糯米制作碱水粽， 根据题意得4×24x＝6×16（6﹣x）． 故选：B． 8．（3分）一项工程，甲单独做需20天完成，乙单独做需30天完成，两人合作8天后，剩下的部分由乙单独全部完成，设乙单独完成用了x天，则由题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设乙独做x天，由题意得方程： 1． 故选：B． 9．（3分）整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，再增加两人和他们一起做8小时完成这项工作．假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设应先安排x人工作， 根据题意得：一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，工作量为，再增加2人和他们一起做8小时的工作量为，故可列式， 故选：A． 10．（3分）解方程：2，去分母得（　　） A．2﹣2（2x﹣4）＝﹣（x﹣7） B．12﹣2（2x﹣4）＝﹣x﹣7 C．2﹣（2x﹣4）＝﹣（x﹣7） D．12﹣2（2x﹣4）＝﹣（x﹣7） 【解答】解：去分母得：12﹣2（2x﹣4）＝﹣（x﹣7）， 故选：D． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．（3分）已知关于x方程2x2k﹣1+1＝4是一元一次方程，那么k＝ 　1　 ． 【解答】解：由题意，得2k﹣1＝1， 解得k＝1， 故答案为：1． 12．（3分）若（x+4）2+|y﹣3|＝0，则（x+y）2027＝　﹣1　 ． 【解答】解：∵（x+4）2+|y﹣3|＝0， ∴x+4＝0，y﹣3＝0， ∴x＝﹣4，y＝3， ∴（x+y）2027＝（﹣1）2027＝﹣1． 故答案为：﹣1． 13．（3分）某班40名同学按学号1，2，3，…，40顺次顺时针方向围坐成一圈做游戏：从某个同学开始，沿顺时针方向，按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下39人，第一轮结束；接着从退出游戏的后一个同学开始继续沿顺时针方向按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下38人，第二轮结束；…，按这种方式，在第五轮中，恰好学号18的同学退出游戏，则第一轮第一位报数同学的学号是 　9　 ． 【解答】解：设第一轮第一位报数同学的学号是a， 则第一轮报号40的学号为 a+39﹣40＝a﹣1， 第二轮第一个报号的学号仍为a， 则第二轮报号40的学号为 a+39﹣39＝a， 第三轮第一个报号的学号仍为 a+1， 则第三轮报号40的学号为a+1+39﹣38＝a+2， 第四轮第一个报号的学号仍为a+3， 则第四轮报号40的学号为a+3+39﹣37＝a+5， ∴第五轮第一个报号的学号仍为a+6， 则第五轮报号40的学号为 a+6+39﹣36＝a+9， 在第五轮中，恰好学号18的同学退出游戏， ∴a+9＝18， ∴a＝9， 故答案为：9． 14．（3分）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b）．如数对，都是“共生有理数对”． （1）若（a，3）是“共生有理数对”，则a的值为 　﹣2　 ； （2）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m） 　是　 （填写“是”或“不是”）“共生有理数对”． 【解答】解：（1）由题意，得a﹣3＝3a+1， 解得：a＝﹣2． 故答案为：﹣2； （2）∵m﹣n＝mn+1， ∴﹣n﹣（﹣m）＝﹣n+m＝mn+1＝（﹣n）（﹣m）+1， ∴（﹣n，﹣m）是“共生有理数对”． 故答案为：是． 15．（3分）一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 图①是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的3倍，长比高多6cm，则这个正方形纸板的边长为 　　 cm． 【解答】解：设该长方体的高是xcm，则该长方体的宽是3xcm，长为（x+6）cm， 根据题意得：x+6+2x＝2（3x+x）， 解得：x， ∴x+6+2x6+2（cm）， ∴这个正方形纸板的边长为cm． 故答案为：． 16．（3分）如图，将图1中的大正方形剪成4个相同的小长方形和一个小正方形，并将它们无重叠地放入到图2的大长方形中，若图2中未被覆盖的阴影部分的周长为30，则由此可知图1中小长方形较长的边为　5　 ． 【解答】解：设图1中小长方形较长的边为x，另一边为y， 由题意得2（x+y+x+x﹣y）＝30， 整理得：6x＝30， 解得：x＝5， 即图1中小长方形较长的边为5， 故答案为：5． 17．（3分）某商店把一种商品按标价的8折出售，仍可获利20%，若该商品进价为每件40元，则每件的标价为 　60　 元． 【解答】解：设每件的标价为x元， 根据题意得：0.8x﹣40＝40×20%， 解得x＝60， ∴每件的标价为60元； 故答案为：60． 18．（3分）已知数列，，，，，，，，，，，，，，，，…，记第一个数为a1，第二个数为a2，…，第n个数为an，若an是方程的解，则n＝　15377或15619　 ． 【解答】解：将方程 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化成1得：， ∴， 观察数列可知：以分母相同的为一组，第1组有1个数，第2组有2×2﹣1＝3个数，第3组有2×3﹣1＝5个数，...则第124组有2×124﹣1＝247个数，125组有2×125﹣1＝249个数， 这组数的第7个数为，第247个数前面有：1+3+5+7+9+11+...247＝15376个数， ∴是第15376+7＝153183个数或第125组数的倒数第7个数（1+3+5+...+249）﹣6＝15625﹣6＝15619， ∴n＝15377或15619， 故答案为：15377或15619． 三．解答题（共6小题，满分46分） 19．（8分）解方程： （1）4x﹣2＝﹣14﹣2x； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1）4x﹣2＝﹣14﹣2x， 4x+2x＝﹣14+2， 6x＝﹣12， 解得：x＝﹣2； （2）， 2x+1＝2（2x﹣1）﹣6， 2x+1＝4x﹣2﹣6， 2x﹣4x＝﹣1﹣2﹣6， ﹣2x＝﹣9， 解得：； （3）， 2x﹣1＝3（1﹣x）， 2 x﹣1＝3﹣3 x， 2x+3x＝3+1， 5x＝4， 解得：； （4）， ， ， 3（2y+15）﹣（10y﹣1）＝6， 6y+45﹣10y+1＝6， 6y﹣10y＝6﹣45﹣1， 得﹣4y＝﹣40， 解得：y＝10． 20．（6分）先化简，再求值：，其中a＝﹣2，b＝1． 【解答】解：原式a2b﹣2ab2﹣2a2b+2+2ab2 a2b+2， 当a＝﹣2，b＝1时， 原式（﹣2）2×1+2 ＝﹣6+2 ＝﹣4． 21．（8分）某学校组织学生社团活动，打算恰好用1000元经费购买围棋和象棋，其中围棋每套40元，象棋每套30元．所购买围棋的套数能否是所购买象棋套数的2倍？若能，请求出所购买的围棋和象棋的套数，若不能，请说明理由． 【解答】解：不能恰好用1000元经费购买围棋和象棋，使所购买围棋的套数是所购买象棋套数的2倍，理由如下： 设购买象棋x套，若购买围棋2x套， 根据题意得：40×2x+30x＝1000， 解得x＝9， ∵x是整数， ∴x＝9不符合题意， ∴不能恰好用1000元经费购买围棋和象棋，使所购买围棋的套数是所购买象棋套数的2倍． 22．（8分）如图1是2026年4月的日历，用如图2所示的曲尺形框框（有三个方向，从左往右依次记为第一、第二、第三个框），可以框住日历中的三个数，设被框住的三个数中最大的数为x． （1）请用含x的代数式填写以下三个空：第一个框框住的最小的数是 x﹣7　 ，第二个框框住的最小的数是 x﹣8　 ，第三个框框住的三个数的和是 　3x﹣15　 ． （2）先对每个框框中的三个数按从小到大排序，再取中间的数相加，它们的和能是7的倍数吗？如能请求出x的值，如不能请说明理由． 【解答】解：（1）设被框住的三个数中最大的数为x． 第一个框框住的三个数分别是x，x﹣7，x﹣6，则最小的数是x﹣7； 第二个框框住的三个数分别是x，x﹣1，x﹣8，则第二个框框住的最小的数是x﹣8； 第三个框框住的三个数分别是x，x﹣7，x﹣8，第三个框框住的三个数的和是x+x﹣7+x﹣8＝3x﹣15． 故答案为：x﹣7，x﹣8，3x﹣15． （2）设三个框分别框住的中间的数分别为x﹣6，x﹣1，x﹣7， ∴x﹣6+x﹣1+x﹣7＝3x﹣14， 若3x﹣14是7的倍数，且x为正整数，则x＝7，14，21，28． 其中x＝7舍去， ∴x的值为14，21，28． 23．（8分）我们知道36＝3×10+6，365＝3×100+6×10+5． （1）一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是x．把1与x对调，原两位数比新两位数大9，x的值是多少？请你用方程解决这个问题． （2）如果一个两位数十位上的数字是a、个位上的数字是b，现把a与b对调，计算原两位数与新两位数的差．并判断这个差能被9整除吗？说明原因． 【解答】解：（1）根据题意得，10x+1﹣（10+x）＝9， 解得x＝2， 即x的值是2； （2）差为9（a﹣b），能被9整除，理由如下： 两位数与新两位数的差为：10a+b﹣（10b+a）＝9a﹣9b＝9（a﹣b）， 根据题意可知a、b均为整数， 所以9（a﹣b）能被9整除． 24．（8分）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为60%； 乙种商品每件进价40元，售价60元． （1）甲种商品每件的进价为　50　 元，乙种商品每件的利润率为　50%　 ． （2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【解答】解：（1）（元）， ， 故答案为：50，50%． （2）设购进甲商品x件．由题意得50x+40（50﹣x）＝2100，解得x＝10． 答：购进甲种商品10件． （3）设打折前应付款为y元． 第一天，购买甲商品： 当y＞500时，得y＝540，商品件数为6.75（件）（舍去）． 当y＜500时，得y＝480，商品件数为（件）． 第二天，购买乙商品： 当y＞500时，由0.8y＝378，得y＝472.5（元）（舍去）． 当380＜y＜500时，由0.9y＝378，得y＝420，商品件数为（件）． 当y≤380时，商品件数为6.3（件）（舍去）． 两天一共购买的商品件数为13（件）． 答：小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多13件． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $