第9讲 幂的运算 培优讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“幂的运算”核心知识点，系统梳理幂的混合运算（含运算法则、符号处理）、逆用幂的公式求值（开方、对数运算）、利用幂的乘方比较大小（转化底数/指数、中间值过渡）及新定义型问题，构建从基础运算到综合应用的学习支架。 资料通过分层题型设计（例题+变式），培养学生抽象能力（符号意识）、运算能力与推理意识，如逆用公式求值和新定义问题训练逻辑思维。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识，查漏补缺，提升数学核心素养。

第9讲 幂的运算 典 型 例 题 题型 幂的混合运算 1 1.运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。同底数幂相乘，底数不变指数相加；相除则指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘。 2.符号处理：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。混合运算中先确定符号，再算绝对值，避免符号错误。 1 例 计算：． 1-1 变式变式 计算： (1)； (2)． 1-2 变式变式 计算： (1)； (2)． 1-3 变式变式 化简或化简求值 (1)． (2)，其中，． 题型 逆用幂的相关公式求值 2 1.开方运算：是乘方的逆运算。若an = b（n为正整数），则a是b的n次方根。正数偶次方根有两个（互为相反数），奇次方根唯一；负数奇次方根为负，偶次方根无意义；0的方根是0。 2.对数运算：是指数运算的逆。若ab = N（a>0,a≠1,N>0），则b = loga N。遵循基本性质：loga1=0，logaa=1，及运算公式。 3.应用要点：逆运算需注意底数、指数限制（如对数底数和真数范围），结合乘方、指数法则逆向推导，解决方程求解等问题。 2 例 解决下列有关幂的问题： (1)若，求值； (2)若n为正整数，且，求的值． 2-1 变式变式 （1）已知，，求的值． （2）已知，，，求的值． 2-2 变式变式 ①若，求的值． ②已知，，求的值． 2-3 变式变式 （1）已知，．求的值； （2）已知，．用a，b表示的值； （3）已知为正整数，且．求的值． 题型 利用幂的乘方比较大小 3 1. 转化底数法：当底数不同但可化为同底数时，用幂的乘方将幂转化为同底数幂，再比较指数大小（底数>1时，指数大则幂大；0<底数<1时相反）。 2. 转化指数法：底数难统一时，将指数化为相同，通过幂的乘方变形成同指数幂，比较底数大小（指数为正，底数大则幂大）。 3. 中间值过渡：若底数、指数均难统一，借助中间值（如1、10等），分别比较两数与中间值的大小，间接判断关系，需注意符号对大小的影响。 3 例 在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 3-1 变式变式 比较大小： （填“”、“”或“”）． 3-2 变式变式 阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较的大小； (2)比较的大小； (3)已知，比较的大小（均为大于1的数）． 题型 与幂的运算有关的新定义型问题 4 1.理解新定义：紧扣题目给出的新运算规则（如自定义幂的运算符号、新公式），明确底数、指数的变化逻辑，对比常规幂运算找异同，避免混淆。 2.转化应用：将新定义转化为熟悉的幂运算形式，运用同底数幂、幂的乘方等法则推导，结合新规则中的限制条件（如底数范围、指数特殊规定）逐步计算。 3.验证与拓展：通过简单例子验证对新定义的理解，再解决复杂问题；注意新定义下公式的逆向运用，灵活处理含字母的化简或求值。 4 例 对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 4-1 变式变式 定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)，求的值； (3)若运算的结果为，则t的值是多少？ 4-2 变式变式 我们给出以下两个定义： ①三角形  ；②3×3的方格图   请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：  =__________ (2)填空：  =____________ (3)若  ，求   4-3 变式变式 在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 课 后 练 习 1 练 计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2 练 下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3 练 已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4 练 已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（    ） A． B．2 C．1 D．7 5 练 我们定义：，若，则的值为（   ） A．4 B．16 C．64 D．256 6 练 化简：（1） ．（2） ． 7 练 计算： ． 8 练 定义新运算：，则 ． 9 练 若，则的值为 ． 100 练 【新情境】如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球8个、20个、8个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于 ． 11 练 计算： (1)； (2)； 12 练 若（且，m、n是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 13 练 计算： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 14 练 定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解答下列问题： (1)求的值． (2)，，，求的值． (3)若运算的结果为，则的值是多少？ 15 练 如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)（理解）根据上述规定，填空：________，________； (2)（说理）记，，，试说明：； (3)（应用）若（且），求的值． 16 练 阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． (3)若，请求出n的值． 17 练 若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y（结果需要化简）． 18 练 我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用，对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，为正整数）.请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)①已知，则_____． ②计算：_____． (2)已知，，，请比较，，的大小，并用“”连接起来． (3)若规定：，，，求的值． 第9讲 幂的运算 典 型 例 题 题型 幂的混合运算 1 1.运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。同底数幂相乘，底数不变指数相加；相除则指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘。 2.符号处理：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。混合运算中先确定符号，再算绝对值，避免符号错误。 1 例 计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 1-1 变式变式 计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：； （2）解：． 1-2 变式变式 计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1）解：． （2）解：． 1-3 变式变式 化简或化简求值 (1)． (2)，其中，． 【答案】(1)(2)，2 【详解】（1）解：原． （2）原， 当，时，原式 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 题型 逆用幂的相关公式求值 2 1.开方运算：是乘方的逆运算。若an = b（n为正整数），则a是b的n次方根。正数偶次方根有两个（互为相反数），奇次方根唯一；负数奇次方根为负，偶次方根无意义；0的方根是0。 2.对数运算：是指数运算的逆。若ab = N（a>0,a≠1,N>0），则b = loga N。遵循基本性质：loga1=0，logaa=1，及运算公式。 3.应用要点：逆运算需注意底数、指数限制（如对数底数和真数范围），结合乘方、指数法则逆向推导，解决方程求解等问题。 2 例 解决下列有关幂的问题： (1)若，求值； (2)若n为正整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，∴，，∴，， ∴，∴； （2）解：∵，∴． 2-1 变式变式 （1）已知，，求的值． （2）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）∵，，∴原式； （2）∵，，，原式． 2-2 变式变式 ①若，求的值． ②已知，，求的值． 【答案】①14；②1． 【详解】解：①=， 当时，原式=； ②===， 当，时，原式=，∵为偶数，∴原式=1． 2-3 变式变式 （1）已知，．求的值； （2）已知，．用a，b表示的值； （3）已知为正整数，且．求的值． 【答案】（1）5184；（2）；（3）2450 【详解】解：（1）∵，，∴； （2）∵，，∴； （3）∵，∴． 题型 利用幂的乘方比较大小 3 1. 转化底数法：当底数不同但可化为同底数时，用幂的乘方将幂转化为同底数幂，再比较指数大小（底数>1时，指数大则幂大；0<底数<1时相反）。 2. 转化指数法：底数难统一时，将指数化为相同，通过幂的乘方变形成同指数幂，比较底数大小（指数为正，底数大则幂大）。 3. 中间值过渡：若底数、指数均难统一，借助中间值（如1、10等），分别比较两数与中间值的大小，间接判断关系，需注意符号对大小的影响。 3 例 在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【答案】(1)C (2) (3) (4) 【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则，故答案为：C； （2）解：∵，，，且，∴； （3）解：∵，，且，∴． （4）解：∵，，，， ∴，∴，∴，∴． 3-1 变式变式 比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【详解】解：，，∵，， ∴，∵，∴，即．故答案为：． 3-2 变式变式 阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较的大小； (2)比较的大小； (3)已知，比较的大小（均为大于1的数）． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵，，∴． （2）解：∵，，∴． （3）解：∵，∴．∵，∴． 题型 与幂的运算有关的新定义型问题 4 1.理解新定义：紧扣题目给出的新运算规则（如自定义幂的运算符号、新公式），明确底数、指数的变化逻辑，对比常规幂运算找异同，避免混淆。 2.转化应用：将新定义转化为熟悉的幂运算形式，运用同底数幂、幂的乘方等法则推导，结合新规则中的限制条件（如底数范围、指数特殊规定）逐步计算。 3.验证与拓展：通过简单例子验证对新定义的理解，再解决复杂问题；注意新定义下公式的逆向运用，灵活处理含字母的化简或求值。 4 例 对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2)81 【详解】（1）解：，故答案为：3； （2），，，， 整理得：，，解得：，． 4-1 变式变式 定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)，求的值； (3)若运算的结果为，则t的值是多少？ 【答案】(1)96 (2)96 (3)2 【详解】（1）解：依题意， （2）∵， ∴． （3）因为，即，即，所以． 4-2 变式变式 我们给出以下两个定义： ①三角形  ；②3×3的方格图   请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：  =__________ (2)填空：  =____________ (3)若  ，求   【答案】(1)16 (2)48 (3)18 【详解】（1）解：由题意得：   ；故答案为16； （2）解：由题意得：   ；故答案为48； （3）解：由题意得：，∴，∴． 4-3 变式变式 在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 【答案】(1)①4 ；②0 ；③2 (2) (3) 【详解】（1）解： ①； ②； ③，；故答案为：4，0，2； （2）解：； 故答案为：； （3）解：设，，则，，（且，、均为正数） ， ，，则， ，故答案为：． 课 后 练 习 1 练 计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，故选：A． 2 练 下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项错误，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意．故选：D． 3 练 已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：；，， ∵，∴，∴．故选：A． 4 练 已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（    ） A． B．2 C．1 D．7 【答案】C 【详解】解：原式可化为：，， ，，， 当时，，，当时，，， 当时，，，时，为负数，不符合自然数条件， 可能的结果为，，，而不在其中，故的取值不可能是1． 故选：C． 5 练 我们定义：，若，则的值为（   ） A．4 B．16 C．64 D．256 【答案】C 【详解】 解：因为，所以，所以， 因为，所以故选：C． 6 练 化简：（1） ．（2） ． 【答案】 【详解】解：（1）故答案为： 。 （2）故答案为： 。 7 练 计算： ． 【答案】 【详解】解：原式 ． 8 练 定义新运算：，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，故答案为： ． 9 练 若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：因为，，所以， 解得，所以．故答案为： 100 练 【新情境】如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球8个、20个、8个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知，调整后三只袋中的球数： 甲袋：个，乙袋：（个），丙袋：（个）， 一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同， 调整后每只袋中球数为：（个），，，，， ，∴故答案为：． 11 练 计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）． 12 练 若（且，m、n是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ，，，解得：； （2），，，． 13 练 计算： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)81 (2)36 【详解】（1）解：∵，∴，； （2）解：∵，∴． 14 练 定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解答下列问题： (1)求的值． (2)，，，求的值． (3)若运算的结果为，则的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）当，，时，； （3）∵，∴，∴， ∴，∴，∴，∴，∴的值是． 15 练 如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)（理解）根据上述规定，填空：________，________； (2)（说理）记，，，试说明：； (3)（应用）若（且），求的值． 【答案】(1)3，4 (2)见解析 (3)80 【详解】（1）解∶∵，∴，∵，∴，故答案为：3，4； （2）解：∵，，，∴，，， ∴，∴，∴； （3）解∶设，，，且， ∴，，，∴，∵， ∴，∴，∴． 16 练 阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． (3)若，请求出n的值． 【答案】(1)， (2)①，  ② (3) 【详解】（1）解：，，故答案为：，； （2）解：①；；故答案为：，； ② ； （3）解：，∴，解得． 17 练 若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y（结果需要化简）． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴，解得：； （2）∵，∴，∴， ∴，∴，∴，∴； （3）∵，，∴，，∴， ∴，∴，即． 18 练 我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用，对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，为正整数）.请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)①已知，则_____． ②计算：_____． (2)已知，，，请比较，，的大小，并用“”连接起来． (3)若规定：，，，求的值． 【答案】(1)①12， ② (2) (3) 【详解】（1）解：①，故答案为：； ②，故答案为：； （2），，，，∴； （3）由题意可知：，∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $