第15讲 分式方程与参数、规律、新定义型问题 培优讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第15讲 分式方程与参数、规律、新定义型问题

1.去分母，化为整式方程：首先找到所有分母的最简公分母。然后方程两边同时乘以这个最简公分母。这样可以消去所有分母，把方程变成一个整式方程。 2.解这个整式方程：用学过的方法解这个整式方程，求出未知数的值。 3.检验根的有效性：这是最关键的一步。把求出的未知数的值代入最简公分母。如果结果不等于0，这个解就是原分式方程的解。如果等于0，这个解就是增根，原方程无解。

 

解分式方程：

(1)；                     (2)．

 

 

 

 

 

 

解方程：

(1)；                (2)．

 

 

 

 

解方程．

(1)；                (2)．

 

 

 

 

解方程：

(1)；                       (2)．

 

 

 

 

1.定位错误，反推条件：仔细阅读题目，找出"小明"或"小红"是在哪一步出错的。 通常是去分母时漏乘了不含分母的项，或忘记检验导致保留了增根。 顺着他的错误步骤和得到的结果，反向推算出题目中隐藏的关键信息。 2.使用正确条件，重新求解：拿到正确的条件后，把它当作一道全新的解分式方程问题。 完全忘掉之前的错误解法，按照**"去分母、解整式方程、检验"**的正确步骤重新解一遍。 3.得出正确答案：最后，根据正确的解题过程，得出原分式方程的正确解。

 

对于分式方程的求解过程，小叶同学的解答如下．

解：方程两边同乘，得，        第一步

，         第二步

．        第三步

检验，当时，，

所以，是分式方程的解．          第四步

小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答：

(1)小叶的解法从第_______步开始出现错误；

(2)请写出正确的解答过程．

 

 

 

 

 

 

 

 

下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务．

解：去分母得，，第一步，

去括号得，，第二步，

解得，．第三步，

检验：当时，，第四步，

∴是原方程的根，第五步．

任务：

(1)小亮同学的求解过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ；

(2)请你改正并写出完整的解方程过程；

(3)解分式方程产生增根的原因是 ．

 

 

 

 

 

 

佳佳计算分式方程的过程如下：

(1)佳佳在计算过程中，第一次出现错误的步骤是_______（填序号）：

(2)请你写出正确的解答过程．

 

 

 

 

 

 

 

 

解分式方程：．

下面是解题过程，请认真阅读并完成任务．

解：

………………………第一步

…………………………第二步

……………………第三步

解得：……………………第四步

任务一：填空

（1）第______步是去分母，去分母的依据是______．

（2）第______步出现错误，错误的原因是______．

任务二：填空

（3）直接写出该分式方程的正确结果______．

（4）解完分式方程，最后还少了一步，请补充完整．

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 确定增根的可能值：让原分式方程的每个分母都等于0，解出的x值就是增根的"候选"。 这一步是解题的关键前提。 2. 代入整式方程求参数：把第一步找到的增根x值，代入去分母后得到的整式方程中。 这样就可以解出题目中要求的参数值。 3. 结果验证：把求出的参数值代入原分式方程。 检查它是否真的会导致方程产生增根，而不是让方程无解。 这一步能确保你的答案万无一失。

 

关于x的分式方程有增根，则m的值为      ；

若关于x的方程有增根，则a的值是      ．

 

当             时，方程会产生增根．

 

若分式方程有增根，则它的增根是      ．

 

1.整式方程本身无解：把分式方程去分母后，会得到一个整式方程。 如果这个整式方程是  0x = 非零数  的形式，那么它本身就没有解。 这种情况下，原分式方程自然也无解。 2.整式方程的解是增根：整式方程有解，但这个解会让原分式方程的分母为零。 这个解就是增根。因此，原分式方程无解。 这种情况的解法和上一轮"已知增根求参数"是一样的。

 

关于的分式方程无解，则的值为        ．

 

如果关于的方程无解，则的值为      ．

 

已知关于x的分式方程无解，则k的值为         ．

 

已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为      ．

1.方程有解：先把分式方程化为整式方程。 再将解代入，确保分母不为零。 这是最基础的"先解方程，后代入"思路。 2.方程无解：这种情况要分两种子情况讨论： - 情况一：转化后的整式方程本身无解。 - 情况二：整式方程有解，但这个解是原方程的增根。 3.方程解为正/负数：先求出整式方程的解。 然后根据要求列出不等式，如解 > 0 或解 < 0。 最后，一定要加上一个重要条件：解不能让原方程的分母为零。

 

若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是      ．

 

关于x的方程的解是个正数，那么m的取值范围是        ．

 

若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为      ．

 

已知分式方程．

（1）若分式方程无解，则b的值为        ．

（2）若分式方程的解是非负数，则b的取值范围为        ．

 

1. 解前几个方程，找规律：题目通常会给你 n=1, n=2, n=3... 时的分式方程。 你先把这几个方程的解都求出来，然后把解和序号 n 放在一起观察。 2. 猜想并写出通项公式：看看解的分子、分母和序号 n 之间有什么联系。 试着用含 n 的式子把这个规律表示出来，这就是通项公式。 3. 验证规律的正确性：找到规律后，最好再用 n=4 或 n=5 来验证一下。 把 n 值代入你总结的通项公式，看得到的解是否能满足对应的分式方程。

已知关于的分式方程的解为，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．-1 D．-2

 

若关于的分式方程有增根，则增根是（   ）

A． B． C． D．

 

若关于的分式方程无解，则的值为（　　）

A． B．2 C． D．

 

对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是（    ）

A． B． C． D．

 

观察规律：，，……若（n为正整数），则n的值为（    ）

A．2023 B．2024 C．2025 D．2026

 

已知关于x的分式方程无解，则a的值为         ．

请阅读下列材料并回答问题：

在解分式方程时，小明的解法如下：

解：方程两边同乘以，得，①

去括号，得，②

解得，

检验：当时，，③

所以是原分式方程的解．④

(1)你认为小明在哪里出现了错误 （只填序号）；

(2)针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出两条解分式方程时的注意事项；

(3)写出上述分式方程的正确解法．

 

 

 

 

 

若关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围．

 

 

 

 

定义．根据定义，解答下列问题：

(1)________；

(2)计算；

(3)求方程的解．

 

 

 

 

移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得：

∵关于x的分式方程的解为负数，∴且．

∴且．故答案为：且．

 

关于x的方程的解是个正数，那么m的取值范围是        ．

【答案】且

【详解】解：由原方程去分母，得，解得，

关于x的方程的解是正数，，解得，又，

，，，故m的取值范围为且，

故答案为：且．

 

若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为      ．

【答案】3，4，0

【详解】解：方程两边乘以，得：，整理得：；

由于方程有解，则，即，∴；

由于方程有整数解，则，解得：或或或，

当时，，此时方程无解；综上，整数m的值为3，4，0．

 

已知分式方程．

（1）若分式方程无解，则b的值为        ．

（2）若分式方程的解是非负数，则b的取值范围为        ．

【答案】          且

【详解】（1），方程两边同乘得：．∴．

方程无解，，．∴．∴．故答案为：．

（2）由（1）知：．∴．方程的解是非负数．∴．

∴．，∴．∴．∴且，故答案为：且．