第20讲分式方程（知识点+题型精讲）2026-年教版八年级数学上册暑假预习讲义

第20讲 分式方程 目录 知识点1 分式方程的定义 2 知识点2 分式方程的解法（核心必考） 2 知识点3 分式方程解的分类 2 知识点4 分式方程应用题通用步骤 3 知识点5 常见应用题核心等量关系 3 题型1 分式方程的定义 3 题型2 解分式方程 4 题型3 根据分式方程解的情况求值 4 题型4 分式方程无解问题 5 题型5 列分式方程 5 题型6 分式方程的行程问题 6 题型7 分式方程的工程问题 7 题型8 分式方程的经济问题 8 题型9 分式方程的和差倍分问题 9 题型10 分式方程的其他实际问题 10 1. 知识目标：理解分式方程的定义，掌握分式方程的解法、验根规则；明晰分式方程有解、无解、解为正数/负数的判定依据，掌握各类实际问题的建模思路。 2. 能力目标：能准确判别分式方程，熟练规范解分式方程；可根据方程解的情况求参数，能独立列分式方程解决行程、工程、经济、和差倍分等各类应用题。 3. 素养目标：建立转化化归、方程建模思维，掌握分式方程验根的严谨解题习惯，能结合实际情境取舍方程解，规避解题常见易错点。 知识点1 分式方程的定义 1. 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 判定关键：只看分母是否含未知数，与分子是否含未知数无关；分母不含未知数的方程为整式方程。 3. 核心区分：整式方程分母为常数，分式方程分母含未知字母。 知识点2 分式方程的解法（核心必考） 1. 解题核心思想：化分式方程为整式方程。 2. 标准解题五步： ① 找最简公分母； ② 方程两边同乘最简公分母，去分母化为整式方程； ③ 解整式方程； ④ 必须验根（分式方程独有步骤）； ⑤ 作答，区分有效解与增根。 3. 增根定义：使分式方程分母为0的根，增根不是原分式方程的解，必须舍去。 知识点3 分式方程解的分类 1. 有解：整式方程的根不使最简公分母为0，为原方程有效解。 2. 无解：两种情况，一是整式方程无解；二是整式方程的根全部是增根。 3. 正负解：在方程有解的前提下，结合根的正负取值，限定参数范围，同时剔除增根。 知识点4 分式方程应用题通用步骤 审（审题找等量）→设（设未知数）→列（列分式方程）→解（解方程）→验（验根+验实际意义）→答（规范作答） 核心双验根：既要检验是否为方程增根，又要检验是否符合实际情境。 知识点5 常见应用题核心等量关系 1. 行程问题：时间=路程÷速度、相遇/追及时间差关系； 2. 工程问题：工作时间=工作总量÷工作效率（常设总量为1）； 3. 经济问题：单价、总价、数量三者关系，涨价降价、优惠折扣等量关系； 4. 和差倍分：多、少、倍、分、比、占、相等基础数量关系。 题型1 分式方程的定义 解题技巧（看分母、辨未知、秒判别） 1. 唯一判定标准：方程分母中是否含有未知数； 2. 常数区分：π、固定数字不属于未知数，含此类常数的分母不是分式方程； 3. 化简不影响：不看化简结果，只看原式初始形式； 4. 快速筛选：分母含未知字母→分式方程，否则为整式方程。 【典例1】．下列方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．下列关于x的方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．下列关于x的式子是分式方程的是________．（请填写序号） ①；②；③；④． 【变式3】．下列方程：①；②；③；④，是分式方程的是________．（请填写序号） 题型2 解分式方程 解题技巧（去分母化整式、必验根、去增根） 1. 预处理：分母为多项式先因式分解，找准最简公分母； 2. 去分母：方程每一项全部同乘公分母，整数、常数项绝不漏乘； 3. 括号防护：分子为多项式时，去分母后整体加括号，防止符号错误； 4. 解整式方程：规范移项、合并、系数化1； 5. 强制验根：将解代入最简公分母，为0是增根（无解），不为0是有效解。 【典例2】．解方程：． 【变式1】．解下列分式方程： (1)； (2)． 【变式2】．解分式方程： (1) (2) 【变式3】．解方程：． 题型3 根据分式方程解的情况求值 解题技巧（先解方程、再限定范围、剔除增根） 1. 正常求解：把参数当作常数，解出含参数的方程根； 2. 条件限定：根据解为正数、负数、整数等条件列不等式； 3. 排除增根：额外保证根不使分母为0，剔除参数无效取值； 4. 整合取值：合并范围，得到参数最终取值或整数值。 【典例3】．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【变式1】．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【变式2】．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为_____． 【变式3】．已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是________． 题型4 分式方程无解问题 解题技巧（双情况讨论、全覆盖无解模型） 1. 情况一：转化后的整式方程本身无解（如0x=非0常数）； 2. 情况二：整式方程有解，但所有解都是增根（使分母为0）； 3. 解题步骤：去分母得整式方程→找出所有增根→将增根代入整式方程求参数→合并两种情况； 4. 避坑要点：必须讨论两种无解情况，不能只算增根。 【典例4】．关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．2 D．1 【变式1】．关于x的分式方程有增根，则a的值是（     ） A．4 B．2 C．1 D． 【变式2】．若关于的分式方程有增根，则的值为__________． 【变式3】．若关于x的分式方程无解，则a的值是_________． 题型5 列分式方程 解题技巧（找等量、定除法、列分式） 1. 核心特征：题目出现时间、效率、单价、速度、平均量等除法型等量，优先列分式方程； 2. 设元技巧：优先设“单一量”（速度、效率、单价），方便列式； 3. 找等量：抓住“相等、比…多、比…少、提前、延后”列等式； 4. 列式规范：左右两边均为分式形式，保证是分式方程模型。 【典例5】．习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．数学家斐波那契编写的《算盘书》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同．求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．轮船在静水中速度为，往返于相距的A、B两码头之间，顺水比逆水少用1小时．设水流速度为，可列方程为_________． 【变式3】．甲、乙两人沿着总长度为的道路匀速行走，甲的速度是乙的倍，甲走完全程比乙少用．设乙的速度为，根据题意，可列方程为________． 题型6 分式方程的行程问题 解题技巧（抓时间差、速度差、路程固定） 1. 固定公式：时间=路程÷速度，行程问题绝大多数以时间等量列方程； 2. 常见模型：变速行驶、往返行驶、快慢车时间差、顺水逆水航行； 3. 顺水逆水：顺水速度=静水速度+水速，逆水速度=静水速度-水速； 4. 列式核心：快者时间+时差=慢者时间，根据题意灵活移项构造等式。 【典例6】．为缅怀革命先烈，传承红色精神，合肥经济技术开发区某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的大蜀山烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．小丽和小颖相约周末到影院看电影，她们的家分别距离影院和．两人各自从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度之比是，结果小丽比小颖晚到达影院，则小丽的速度是________． 【变式2】．请认真阅读并解决相应的问题．下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，题目：暑假小卢和小吴相约各自开车到武夷山游玩，小卢家到武夷山的距离为，小吴家到武夷山的距离为，小卢比小吴每小时多行驶，两人从家里同时出发，同时到达，求小卢和小吴的行驶速度． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：小卢速度小吴速度 解法二 设小卢车速度为 等量关系：小卢用时小吴用时 ___________ (1)解法一所列方程中的表示________（填序号）； ①小卢行驶速度为；②小吴行驶速度为；③小卢和小吴行驶时间为； (2)请根据解法二列出方程，并求出小卢和小吴行驶速度． 【变式3】．长治市博物馆位于山西省长治市潞州区太行西街号，占地面积平方米，建筑面积平方米，是一座地方综合性历史博物馆．某班级组织同学们乘坐大巴车前往长治市博物馆开展“研学之旅”．总路程约，大巴车从学校出发，其中一位老师因有事耽误，没有赶上大巴车，因此比大巴车晚从学校自驾小汽车出发，并以大巴车倍的速度走同样的路线赶往长治市博物馆，结果与大巴车同时到达．求大巴车和小汽车的平均速度． 题型7 分式方程的工程问题 解题技巧（总量设1、效率除法、时间等量） 1. 常规设元：工作总量常设为1，工作效率=1÷单独完成天数； 2. 核心等量：合作效率×时间=总工作量，或新旧效率时间差等量； 3. 常见模型：单独做、合作做、提速提前完成、延期完工； 4. 列式关键：以“工作时间、工作总量不变”为核心搭建分式等式。 【典例7】．2026年11月峰会将在深圳举行，筹备组需为志愿者分装3000份服务物资包．现计划每天分装x份，可按期完成；实际采用了流水线分装模式，效率提升了，最终提前2天完成了全部分装任务，由题可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了天，隧道被挖通．记总工程量为．设乙队单独施工挖通隧道需要天，根据题意，列出方程为________． 【变式2】．“扬小骐”是2026年扬州市半程马拉松吉祥物．现甲、乙两组同时加工“扬小骐”，乙组每小时比甲组多加工10件，乙组加工240件所用时间与甲组加工200件所用时间相同．为了知道甲、乙两组每小时分别加工多少件，现列出如下方程： ①；② ． (1)方程①中表示： ；方程②中表示： ； (2)任选一个方程，求出甲、乙两组每小时加工的件数． 【变式3】．砺算科技是国产全自研公司，其生产的显卡分为专业卡和游戏卡两大类．某工厂有12条生产线，用于生产这两种显卡，每条生产线每年可以生产6万片专业卡或者4万片游戏卡．这些生产线全部投入生产，一年下来一共生产了62万片显卡． (1)该工厂生产的专业卡和游戏卡分别是多少万片？ (2)现工厂将这62万片显卡进行包装，工厂先按原来的速度包装了6万片，之后提高了包装效率，每月的包装量比原来增加了，结果比原定时间提前了3个月完成任务．求工厂原来每月能包装多少万片显卡？ 题型8 分式方程的经济问题 解题技巧（单价数量总价、变化前后等量） 1. 核心公式：数量=总价÷单价、单价=总价÷数量； 2. 常见场景：涨价、降价、优惠、多买、少买、批量采购； 3. 建模思路：总价不变看单价数量变化，单价不变看总价数量变化； 4. 等量抓取：变化前后数量差、单价差为主要列式依据。 【典例8】．某校为数学社团在同一商家采购数独九宫格盘，第一次用1400元买了若干套，第二次用1500元购买同款数独九宫格盘，…，求第一次购买了多少套？同学们根据题意，设第一次购买了套，列得方程，则题目省略部分的文字为（     ） A．每套比上次降价5元，多买了10套 B．每套比上次降价5元，少买了10套 C．每套比上次涨价5元，少买了10套 D．每套比上次涨价5元，多买了10套 【变式1】．笔、墨、纸、砚被称为“文房四宝”．某书法社团计划购买，两种型号毛笔共50支，型号毛笔的单价是型号毛笔单价的1.4倍，购买型号毛笔共花费420元，购买型号毛笔共花费450元．设型号毛笔的单价是元/支，则可列分式方程为____． 【变式2】．今年春节，揭阳文化古城人气火爆，累计接待游客约50万人次．揭阳学宫推出两款文创纪念品：“揭阳古八景”书签和“进贤门”折扇．某文创店决定购进这两款纪念品，已知“揭阳古八景”书签每件的进价比“进贤门”折扇每件的进价少6元，花180元购买“揭阳古八景”书签的件数与花240元购买“进贤门”折扇的件数相等． (1)求书签和折扇每件的进价； (2)若该文创店以书签每件25元、折扇每件30元的价格销售，卖出20件书签和15件折扇，一共可获利多少元？ 【变式3】．随着我国人工智能的高速发展，智能机器人一跃成为学生最喜爱的研究对象．某中学计划购进A型和B型两款智能机器人供社团使用．学校第一次购买了A型机器人5台、B型机器人3台，一共花费41000元．已知每台A型机器人比每台B型机器人多1000元． (1)求每台A型、B型机器人的单价分别是多少元？ (2)学校第二次准备分别用72000元再次采购A、B型机器人．商家推出优惠活动，降低了两种机器人的售价．已知降价后，每台A型机器人的售价是每台B型机器人售价的1.2倍．此次采购中，用72000元购买的B型机器人数量，比相同金额购买A型机器人的数量多3台．求优惠后每台B型机器人的单价． 题型9 分式方程的和差倍分问题 解题技巧（倍数分数化、差量建等式） 1. 题型特征：已知两个量的和、差、倍数、分数比例关系； 2. 建模要点：根据“A是B的几分之几、A比B多/少几分之几”列分式等式； 3. 设元技巧：设标准量为x，另一个量用含x式子表示； 4. 核心优势：关系直白，只需找准比例、差量即可快速列式。 【典例9】．古代算书中记载了这样一个问题，大意是：现有商人贩布，若每匹布降价3钱，则用48钱买到布的数量，是用48钱按原价购买数量的2倍．问每匹布原价多少钱？若设每匹布原价钱，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，就是植物在生长过程中，通过光合作用、体内吸收多少二氧化碳的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天单位面积固碳量比洋槐一天单位面积固碳量每平方米多克，则洋槐一天单位面积固碳量是______克． 【变式2】．随着科技的飞速发展，人工智能（）已成为当今社会的热点话题，从自动驾驶汽车到智能家居，从医疗诊断到金融分析，正在改变着我们的生活方式和工作模式．某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且每台A型机器人搬运900吨货物所用的时间与每台B型机器人搬运1000吨货物所用的时间相同． (1)每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)该公司计划采购A，B两种型号的机器人共25台，且每天搬运的货物不低于2345吨，那么最多购买A型机器人多少台？ 【变式3】．随着科技创新，人形机器人融合多种先进技术，极具发展潜力与应用前景．为了提高工作效率，某工厂使用A，B两种型号机器人搬运货物．已知A型机器人每小时搬运货物的质量是B型机器人的1.5倍，A型机器人搬运货物的时间比B型机器人搬运货物的时间少，A，B两种机器人每小时分别搬运多少货物？ 题型10 分式方程的其他实际问题 解题技巧（通用建模四步法） 1. 辨模型：识别题目为浓度、配比、统计、生活数量变化等非常规题型； 2. 找不变：锁定题干中不变量、等量关系； 3. 列分式：根据“总量÷单位量=数量”的除法结构搭建分式方程； 4. 双检验：既验方程增根，又验数值符合生活实际，负数、不合理数值全部舍去。 【典例10】．古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固．工匠们制作了一种特定的榫卯结构，该结构中，一个榫需要的木材比一个卯需要的木材多1千克．已知用35千克木材制作的该种榫的数量与用30千克木材制作该种卯的数量相同．设制作1个这样的榫需要木材千克，根据题意，得（     ） A． B． C． D． 【变式1】．小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，已知燃油车的油箱容积为40升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航里程是________千米． 【变式2】．2026年峰会将在深圳举行．为提升会场周边的交通运力，深圳公交公司拟将A、B两种型号的大巴编入某条专线进行统一调度． (1)已知每辆B型大巴的核定载客人数是A型大巴的倍，使用B型大巴运送名乘客比A型大巴少辆车．请问每辆A型、B型大巴分别能运送多少人？ (2)峰会期间，需紧急调度车辆转运名志愿者从会场前往酒店．若已确定调用A型大巴辆，请问至少要调用B型大巴多少辆才能一次性运完所有志愿者？ 【变式3】．请同学们根据以下表格中的素材，探索完成任务： 合理规划校园活动区域 素材一 学校科创社团举办活动，规划出一块长方形场地，划分为游戏区和表演区，如图所示，其中游戏区是边长为米的正方形．      素材二 据活动现场统计，第一轮活动期间共有100名学生参与活动，其中60名学生选择了游戏区．两区域的学生排队入场，入场时，游戏区比表演区每分钟多进4人，且两区域的所有学生从入场到入场完毕所花费的时间恰好相等．所有人进入区域后不再进出． 素材三 已知表演区的宽比游戏区的边长少1米．为了更好优化后续区域分配，需知道区域的人员密集程度． 角度一：平均单位面积人流量数值越大，人员越密集； 角度二：人均面积，数值越大，人均空间越充足． (1)求游戏区平均每分钟入场多少人？ (2)①游戏区的平均单位面积人流量：__________；游戏区人均面积：_________；（用含的代数式表示） ②请从平均单位面积人流量或人均面积中任选一个角度，比较两个区域的人员密集程度，并说明理由． (3)为保障安全，学校要求游戏区的人均面积不能低于5平方米，则游戏区的边长最少是_________米．（精确到整数） 1．下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若分式方程有增根，则m的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若m为整数，关于x的不等式组有5个整数解，关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的m的值的和为（    ） A． B． C． D． 4．周末几名同学计划去聚餐，订了一桌价值280元的晚餐，出发前4名同学临时有事情不能参加，结果每个同学比原计划多出了16元的餐费，设最先打算参加聚餐的同学共x人，则所列方程为（     ） A． B． C． D． 5．某班同学从学校出发去烈士陵园扫墓，全程，一部分同学骑自行车先行，10分钟后，其余同学乘汽车出发．已知汽车的速度是自行车的3倍，汽车早10分钟到达．小州由已知信息列出方程，则方程中表示的是（     ） A．骑自行车的速度 B．汽车的速度 C．骑自行车到达所需的时间 D．汽车到达所需的时间 6．为美化泾川县的城市环境，县上有关部门计划对街道两旁共6000棵景观树木进行修剪整形．由于志愿者团队主动参与协助，实际每天修剪的树木数量比原计划多了20％，最终比原定工期提前5天完成全部修剪任务．若设原计划每天修剪树木x棵，可列方程是（     ） A． B． C． D． 7．某文创商店推出甲、乙两款笔记本，已知乙笔记本的单价是甲笔记本的倍，且用150元购买甲笔记本的数量比用165元购买乙笔记本的数量多4个，求甲、乙两款笔记本的单价．若设甲笔记本的单价为元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同．设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．为提升配送效率，某快递公司引入两款无人机开展业务测试.甲款无人机配送150件包裹，与乙款无人机配送120件包裹所用的总时间相同（每件包裹大小、重量一样），已知甲款无人机平均每小时比乙款无人机多配送10件包裹，求甲、乙两款无人机平均每小时各配送多少件包裹，若小明列出的方程为：，则小明设的代表的是（     ） A．甲款无人机配送150件包裹所用的时间 B．乙款无人机配送120件包裹所用的时间 C．甲款无人机平均每小时配送的包裹件数 D．乙款无人机平均每小时配送的包裹件数 10．每年七月份济南都会在大明湖景区举办“荷花艺术节”，为保障荷塘水质清澈、荷花长势良好，某团队承接了荷塘的清淤任务．若该团队实际每日清淤量比原计划提高，将提前天完成全部任务．设该团队原计划每日清淤量为，根据题意可列分式方程（     ） A． B． C． D． 11．若关于的分式方程有增根，则_______． 12．某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多，结果提前10天完成任务．设原来每天制作x件，则可列方程是_______． 13．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为_______． 14．分式方程的解是 ________ ． 15．新定义：如果两个实数a（）、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”．若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，则n的值______． 16．解下列方程： (1)； (2)． 17．解分式方程： (1)； (2)． 18．低空经济赋能乡村振兴，在广东某地万亩高标准农田里，农业无人机旋翼轰鸣，稻种精准洒落，科技助农的场景让农户们连连感叹．现有A，B两种型号的无人机可用来播种． (1)如果购买1台A型无人机和3台B型无人机需9万元，购买3台A型无人机和1台B型无人机需11万元，求两种型号的无人机单价分别是多少万元． (2)每台A型无人机比B型无人机日均播种面积多200亩，每台A型无人机播种1500亩所用时间与B型无人机播种900亩所用时间相等，求两种型号的无人机每台日均分别播种多少亩． 19．列方程解下列问题： 重庆坐拥“世界摩托之都”美誉，一年一度的重庆国际摩博会享誉海内外，本土摩托品牌赛场夺冠、远销海内外，尽显重庆制造实力．某本土摩托制造企业生产通勤代步摩托与赛道竞速摩托两类车型，已知该厂每日生产竞速摩托数量比通勤摩托多台，天生产通勤摩托的总产量与天生产竞速摩托的总产量相等． (1)求该厂每天生产通勤摩托、竞速摩托各多少台； (2)该厂紧跟产业升级浪潮，工厂完成智能生产线改造，升级后每日只生产一种车型，日产能大幅提升．升级后每日竞速摩托增产数量是通勤摩托增产数量的倍．现生产台通勤摩托、台竞速摩托总共用时天，求每日通勤摩托的增产数量． 20．为激发学生对科技的兴趣，某校计划购买甲、乙两种型号的机器人用于科技节展示．已知用200万元购买甲型机器人的数量，是用120万元购买乙型机器人数量的2倍，且每台乙型机器人比每台甲型机器人贵5万元．小丽和小亮分别提出了不同的解题思路： 学生 设未知量 所列方程 小丽 设甲型机器人的数量为台 小亮 设每台甲型机器人的价格为万元 （请补充） (1)请写出小亮所列的方程； (2)若购买甲、乙两种型号的机器人共16台，且总费用不超过420万元，则最多可购买乙型机器人多少台？ 21．某物流配送点使用甲、乙两款无人机开展同城配送服务，工作人员对这两款无人机进行飞行测试，（规定每架无人机单次执行的固定飞行距离称为一个航段），甲、乙两款无人机的单个航段的飞行距离不相同，现收集到如下信息： 信息1：两款无人机各飞行一个航段，合计用时21秒；甲飞行3个航段总用时与乙飞行4个航段总用时相等． 信息2：甲无人机单个航段距离比乙无人机的单个航段距离多10米，甲飞行200米所用的航段数与乙飞行160米所用的航段数相等． (1)求甲、乙两款无人机飞行单个航段所需时间． (2)求乙无人机单个航段距离． (3)由于配送环境限制，在一次长度为480米的配送任务中，需要甲、乙两款无人机合作完成配送，已知甲、乙两款无人机的飞行航段数都是整数，且途中货物交接时间为10秒，求完成本次配送任务的时间是多少秒． 22．某人形机器人半程马拉松赛分为自主组与遥控组，总赛程均为．赛事规则如下表：    自主组 最终成绩净用时站外换电罚时违规干预罚时 遥控组 最终成绩净用时站外换电罚时违规干预罚时 备注：①站外换电罚时：第1次罚时5分钟，第2次10分钟，逐次累加． ②违规干预罚时：每次罚时2分钟． ③自主组违规干预超过3次将强制转为遥控组，按遥控组计算最终成绩．例如：某自主组机器人全程净用时小时，站外换电1次，违规干预5次，则最终成绩为小时． 已知自主组的“天行号”机器人后半赛程的平均速度比前半赛程的平均速度快，后半赛程所用的时间是前半赛程所用时间的． (1)求“天行号”前半赛程的平均速度及赛完全程的净用时． (2)比赛中“天行号”有1次站外换电与次违规干预，最终成绩比净用时多，求的值． (3)在（2）的条件下，自主组的“跃动号”机器人在比赛中有2次站外换电与1次违规干预，它在第一段赛程的平均速度为，第二段赛程的平均速度为，第三段赛程的平均速度为．已知前两段赛程净用时之和为，后两段赛程净用时之和为．问：“跃动号”与“天行号”的最终成绩哪个更好？为什么？ 23．随着新能源汽车普及，某小区和某商场均配备了充电桩．小区新能源汽车充电桩收费标准按照“电费=充电量×电价”计费，表1为该小区充电桩不同时段的电价标准．商场新能源充电桩的收费标准按照“总费用=电费+服务费”计费，表2为该商场充电桩的收费标准，则“峰时”充10度电的总费用为：（元）． 表1： 项目 某小区新能源汽车分时电价方案 时段划分 峰时 17:00-22:00 平时 8:00-17:00 谷时 22:00-次日8:00 电价（元/度） a b 0.34 表2： 某商场新能源充电桩收费公示牌 收费时段 峰时 16:00-22:00 平时 10:00-16:00 谷时 22:00-次日10:00 电价（元/度） 0.56 c 服务费（元/度） 0.5 0.4 0.3 请根据以上素材解决下列问题： (1)小明爸爸第一天在小区“峰时”充了6度电，“平时”充了9度电，花费了7.8元；第二天在小区“峰时”充了12度电，“平时”充了15度电，花费了14.1元，求a，b的值； (2)小明爸爸发现在某商场充电时，“平时”花18元充电的度数与在“谷时”花14元充电的度数一样，求“谷时”的电价c为多少元/度？ (3)小明爸爸在小区“平时”充了m度电，又在某商场“平时”充了n度电，一共支付了20元．若充电的度数m、n均为正整数，则满足条件的m，n有几种情况？ 24．【综合实践】 材料 大多数小汽车是前轮驱动的，所以前轮的磨损程度比后轮严重，因此时间一长汽车行驶的安全性将大打折扣：如果同时更换前后轮，用车成本又会提高．因此，汽车使用手册上都有定期给前后轮换位的建议． 例如： 为了让轮胎均匀磨损并延长轮胎的使用寿命，我们建议每行驶进行一次轮胎换位． (1)设轮胎总的耗损量为单位1，在前轮时行驶a万千米报废，在后轮时行驶万千米报废．则该轮胎在前、后位置时的耗损率分别可表示为______、______．（说明：耗损率是指，每万千米轮胎的耗损量．） (2)若汽车前轮行驶万千米时报废，而后轮行驶到8万千米时报废．如果在汽车使用寿命内前、后轮位置只交换一次，那么汽车行驶多少万千米时，交换前、后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？（结果保留小数点后一位） (3)一款新型轮胎，安装在后轮可行驶的里程是安装在前轮的，装备该轮胎的汽车在轮胎的使用寿命内，前后轮胎只交换一次，共行驶了万千米前后轮胎同时报废．求该款新型轮胎安装在前轮和安装在后轮可行驶的里程数分别为多少万千米？（说明：分母中含有字母的方程，要将解代入原始方程中进行检验．） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 分式方程 目录 知识点1 分式方程的定义 2 知识点2 分式方程的解法（核心必考） 2 知识点3 分式方程解的分类 2 知识点4 分式方程应用题通用步骤 3 知识点5 常见应用题核心等量关系 3 题型1 分式方程的定义 3 题型2 解分式方程 5 题型3 根据分式方程解的情况求值 7 题型4 分式方程无解问题 9 题型5 列分式方程 11 题型6 分式方程的行程问题 13 题型7 分式方程的工程问题 15 题型8 分式方程的经济问题 18 题型9 分式方程的和差倍分问题 21 题型10 分式方程的其他实际问题 24 1. 知识目标：理解分式方程的定义，掌握分式方程的解法、验根规则；明晰分式方程有解、无解、解为正数/负数的判定依据，掌握各类实际问题的建模思路。 2. 能力目标：能准确判别分式方程，熟练规范解分式方程；可根据方程解的情况求参数，能独立列分式方程解决行程、工程、经济、和差倍分等各类应用题。 3. 素养目标：建立转化化归、方程建模思维，掌握分式方程验根的严谨解题习惯，能结合实际情境取舍方程解，规避解题常见易错点。 知识点1 分式方程的定义 1. 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 判定关键：只看分母是否含未知数，与分子是否含未知数无关；分母不含未知数的方程为整式方程。 3. 核心区分：整式方程分母为常数，分式方程分母含未知字母。 知识点2 分式方程的解法（核心必考） 1. 解题核心思想：化分式方程为整式方程。 2. 标准解题五步： ① 找最简公分母； ② 方程两边同乘最简公分母，去分母化为整式方程； ③ 解整式方程； ④ 必须验根（分式方程独有步骤）； ⑤ 作答，区分有效解与增根。 3. 增根定义：使分式方程分母为0的根，增根不是原分式方程的解，必须舍去。 知识点3 分式方程解的分类 1. 有解：整式方程的根不使最简公分母为0，为原方程有效解。 2. 无解：两种情况，一是整式方程无解；二是整式方程的根全部是增根。 3. 正负解：在方程有解的前提下，结合根的正负取值，限定参数范围，同时剔除增根。 知识点4 分式方程应用题通用步骤 审（审题找等量）→设（设未知数）→列（列分式方程）→解（解方程）→验（验根+验实际意义）→答（规范作答） 核心双验根：既要检验是否为方程增根，又要检验是否符合实际情境。 知识点5 常见应用题核心等量关系 1. 行程问题：时间=路程÷速度、相遇/追及时间差关系； 2. 工程问题：工作时间=工作总量÷工作效率（常设总量为1）； 3. 经济问题：单价、总价、数量三者关系，涨价降价、优惠折扣等量关系； 4. 和差倍分：多、少、倍、分、比、占、相等基础数量关系。 题型1 分式方程的定义 解题技巧（看分母、辨未知、秒判别） 1. 唯一判定标准：方程分母中是否含有未知数； 2. 常数区分：π、固定数字不属于未知数，含此类常数的分母不是分式方程； 3. 化简不影响：不看化简结果，只看原式初始形式； 4. 快速筛选：分母含未知字母→分式方程，否则为整式方程。 【典例1】．下列方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义判断即可，分式方程定义为分母中含有未知数的方程，据此可得出正确结果． 【详解】解：选项A：的分母是常数，不含未知数，是整式方程，不符合题意； 选项B：的分母为未知数，符合分式方程的定义，符合题意； 选项C：中所有分母都不含未知数，是整式方程，不符合题意； 选项D： 中，分母和都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合题意． 【变式1】．下列关于x的方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A.是一元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； B.分母中含有未知数，是分式方程，符合要求； C.分母为常数和，不含未知数，是一元一次整式方程，不符合要求； D.是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求． 【变式2】．下列关于x的式子是分式方程的是________．（请填写序号） ①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】该题考查了分式方程的定义，分式方程是指分母中含有未知数的方程．判断时需满足两个条件：一是方程为等式，二是分母中含有未知数． 【详解】解：方程①的分母中含未知数，故是分式方程；②不是方程，故不是分式方程；方程③的分母是常数，不含未知数，故不是分式方程；方程④的分母中含未知数，故是分式方程． 故答案为：①④． 【变式3】．下列方程：①；②；③；④，是分式方程的是________．（请填写序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查分式方程，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数，根据分式方程的概念：分母里含有字母的方程叫做分式方程一一判断，得出结果即可． 【详解】解：方程①②分母中不含未知数，故①②不是分式方程； 方程③④分母中含表示未知数的字母，故是分式方程； 故答案为： ③④． 题型2 解分式方程 解题技巧（去分母化整式、必验根、去增根） 1. 预处理：分母为多项式先因式分解，找准最简公分母； 2. 去分母：方程每一项全部同乘公分母，整数、常数项绝不漏乘； 3. 括号防护：分子为多项式时，去分母后整体加括号，防止符号错误； 4. 解整式方程：规范移项、合并、系数化1； 5. 强制验根：将解代入最简公分母，为0是增根（无解），不为0是有效解。 【典例2】．解方程：． 【答案】 【详解】解： 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 【变式1】．解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去分母，得出一元一次方程，解方程求出整式方程的解，最后检验即可得出答案； （2）先去分母，去括号，得出一元一次方程，解方程求出整式方程的解，最后检验即可得出答案． 【详解】（1）解： 去分母得，， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． （2）解：， 去分母得，， 去括号得，， 解得：． 经检验，是原分式方程的解． 【变式2】．解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）可知最简公分母是，方程两边乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再求解； （2）可知最简公分母是，方程两边乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再求解． 【详解】（1）解： 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， ∴原分式方程无解． 【变式3】．解方程：． 【答案】 【详解】解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 题型3 根据分式方程解的情况求值 解题技巧（先解方程、再限定范围、剔除增根） 1. 正常求解：把参数当作常数，解出含参数的方程根； 2. 条件限定：根据解为正数、负数、整数等条件列不等式； 3. 排除增根：额外保证根不使分母为0，剔除参数无效取值； 4. 整合取值：合并范围，得到参数最终取值或整数值。 【典例3】．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先将分式方程化为整式方程，用表示出方程的解，再根据解是非负数，结合分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式，求解即可得到的取值范围； 【详解】解：原方程 方程两边同时乘以，得： ， 整理得：， ∵分式方程的解是非负数，且分式有意义时分母不为， ∴，且， ∴，且 解得且； 【变式1】．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于a的表达式，再根据解为正数且分式分母不为0，列出不等式求解得到a的取值范围． 【详解】解： 去分母得：， 解得， 方程的解为正数， ，即， 解得， 又， ，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 【变式2】．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为_____． 【答案】 且 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于k的表达式，再根据解为负数，结合分式方程有意义的条件（分母不为0）求解k的取值范围即可． 【详解】解：给分式方程两边同乘， 化为整式方程得 ， 展开整理得 ，解得， ∵分式方程的解为负数， ∴，得， 又∵分式方程中分母不为0，即， ∴，得， ∴k的取值范围为且． 【变式3】．已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】先求解分式方程得到关于的表达式，再根据解为正数、分式有意义的条件列不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：原方程可变形为， 两边同乘得 ， 整理得 ， 即， ∵方程的解是正数， ∴， 解得， ∵分式方程分母不为0， ∴，即， 代入得， 解得， 因此的取值范围是且． 题型4 分式方程无解问题 解题技巧（双情况讨论、全覆盖无解模型） 1. 情况一：转化后的整式方程本身无解（如0x=非0常数）； 2. 情况二：整式方程有解，但所有解都是增根（使分母为0）； 3. 解题步骤：去分母得整式方程→找出所有增根→将增根代入整式方程求参数→合并两种情况； 4. 避坑要点：必须讨论两种无解情况，不能只算增根。 【典例4】．关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】分式方程无解的本质是解为增根，增根使原分式方程分母为0，先将分式方程化为整式方程，再根据增根计算m的值即可． 【详解】解：对原方程变形得， 方程两边同乘，得， 整理得， ∵原分式方程无解， ∴（分母为0的增根）， 代入得， 解得． 【变式1】．关于x的分式方程有增根，则a的值是（     ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】先根据分式分母为0确定增根的值，再将分式方程化为整式方程，代入增根计算得到的值． 【详解】解：∵分式方程有增根，分式的分母为和， ∴令，解得增根为； 方程两边同时乘最简公分母去分母，得：， 整理得：， 将增根代入，得， 解得． 【变式2】．若关于的分式方程有增根，则的值为__________． 【答案】5 【分析】分式方程的增根是使最简公分母为0的未知数的取值，先求出增根，再将增根代入去分母后得到的整式方程，即可求出m的值. 【详解】解：∵原分式方程有增根， ∴最简公分母，解得， 方程两边同乘去分母，得， 将代入，得. 【变式3】．若关于x的分式方程无解，则a的值是_________． 【答案】1或4 【分析】分式方程无解的情况包括化简后的整式方程无解或解出的根为增根，据此解答即可． 【详解】解：， ，即 ， 整理得：， 当时，即时，方程无解； 当时，， 若，则，解得，此时为增根，方程无解； 综上，或． 题型5 列分式方程 解题技巧（找等量、定除法、列分式） 1. 核心特征：题目出现时间、效率、单价、速度、平均量等除法型等量，优先列分式方程； 2. 设元技巧：优先设“单一量”（速度、效率、单价），方便列式； 3. 找等量：抓住“相等、比…多、比…少、提前、延后”列等式； 4. 列式规范：左右两边均为分式形式，保证是分式方程模型。 【典例5】．习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“套数总价单价”，结合“第二批购买的套数比第一批少4套”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，第二批八折销售， ∴第二批每套的价格为元， ∴第一批购买的套数为，第二批购买的套数为， 又∵第二批购买的套数比第一批少4套， ∴，因此正确选项为B． 【变式1】．数学家斐波那契编写的《算盘书》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同．求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由实际问题抽象出分式方程，解题关键是找准等量关系，即两次每人分得的钱数相等，正确用未知数表示两次每人分得的钱数即可列出方程． 【详解】解：设第一次分钱的人数为人，则第一次每人分得元，第二次每人分得元， 根据题意，可列方程． 【变式2】．轮船在静水中速度为，往返于相距的A、B两码头之间，顺水比逆水少用1小时．设水流速度为，可列方程为_________． 【答案】 【分析】分别表示顺水速度和逆水速度，再根据顺水比逆水少用1小时的时间关系列方程． 【详解】解：∵水流速度为，轮船在静水中速度为， ∴顺水速度为，逆水速度为， ∵A，B两码头相距，时间=路程÷速度， ∴逆水航行时间为小时，顺水航行时间为小时， ∵顺水比逆水少用1小时， ∴可列方程为． 【变式3】．甲、乙两人沿着总长度为的道路匀速行走，甲的速度是乙的倍，甲走完全程比乙少用．设乙的速度为，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【分析】根据“甲走完全程比乙少用．”列出方程，即可求解． 【详解】解：设乙的速度为，则甲的速度是，根据题意，可列方程为 ． 题型6 分式方程的行程问题 解题技巧（抓时间差、速度差、路程固定） 1. 固定公式：时间=路程÷速度，行程问题绝大多数以时间等量列方程； 2. 常见模型：变速行驶、往返行驶、快慢车时间差、顺水逆水航行； 3. 顺水逆水：顺水速度=静水速度+水速，逆水速度=静水速度-水速； 4. 列式核心：快者时间+时差=慢者时间，根据题意灵活移项构造等式。 【典例6】．为缅怀革命先烈，传承红色精神，合肥经济技术开发区某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的大蜀山烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设骑车的速度为，则汽车速度为，且， 根据题意得． 【变式1】．小丽和小颖相约周末到影院看电影，她们的家分别距离影院和．两人各自从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度之比是，结果小丽比小颖晚到达影院，则小丽的速度是________． 【答案】 【分析】本题利用路程、速度、时间的关系，根据已知速度比设未知数，由小丽比小颖晚到达得到时间差的等量关系，列分式方程求解即可，找到正确的等量关系是解题关键． 【详解】解：设小丽的速度为，则小颖的速度为 根据题意得： 解得 经检验是原分式方程的解，符合题意 则小丽的速度为 【变式2】．请认真阅读并解决相应的问题．下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，题目：暑假小卢和小吴相约各自开车到武夷山游玩，小卢家到武夷山的距离为，小吴家到武夷山的距离为，小卢比小吴每小时多行驶，两人从家里同时出发，同时到达，求小卢和小吴的行驶速度． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：小卢速度小吴速度 解法二 设小卢车速度为 等量关系：小卢用时小吴用时 ___________ (1)解法一所列方程中的表示________（填序号）； ①小卢行驶速度为；②小吴行驶速度为；③小卢和小吴行驶时间为； (2)请根据解法二列出方程，并求出小卢和小吴行驶速度． 【答案】(1)③ (2)；小卢和小吴行驶速度分别为和． 【分析】（1）根据路程除以时间等于速度，结合可得答案； （2）设小卢车速度为，利用小卢用时小吴用时建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意知，解法一所列的方程中的表示小卢和小吴行驶时间； （2）解：由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 当时，， 答：小卢和小吴行驶速度分别为和． 【变式3】．长治市博物馆位于山西省长治市潞州区太行西街号，占地面积平方米，建筑面积平方米，是一座地方综合性历史博物馆．某班级组织同学们乘坐大巴车前往长治市博物馆开展“研学之旅”．总路程约，大巴车从学校出发，其中一位老师因有事耽误，没有赶上大巴车，因此比大巴车晚从学校自驾小汽车出发，并以大巴车倍的速度走同样的路线赶往长治市博物馆，结果与大巴车同时到达．求大巴车和小汽车的平均速度． 【答案】大巴车的平均速度为，小汽车的平均速度为 【分析】设大巴车的平均速度为，则小汽车的平均速度为，然后根据时间路程速度列出方程求解即可． 【详解】解：设大巴车的平均速度为，则小汽车的平均速度为． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ． 答：大巴车的平均速度为，小汽车的平均速度为． 题型7 分式方程的工程问题 解题技巧（总量设1、效率除法、时间等量） 1. 常规设元：工作总量常设为1，工作效率=1÷单独完成天数； 2. 核心等量：合作效率×时间=总工作量，或新旧效率时间差等量； 3. 常见模型：单独做、合作做、提速提前完成、延期完工； 4. 列式关键：以“工作时间、工作总量不变”为核心搭建分式等式。 【典例7】．2026年11月峰会将在深圳举行，筹备组需为志愿者分装3000份服务物资包．现计划每天分装x份，可按期完成；实际采用了流水线分装模式，效率提升了，最终提前2天完成了全部分装任务，由题可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找到等量关系，列出分式方程． 【详解】解：计划每天分装份，计划完成时间为天， 实际效率提升，则实际每天分装份，实际完成时间为天， ∵实际提前2天完成， ∴． 【变式1】．两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了天，隧道被挖通．记总工程量为．设乙队单独施工挖通隧道需要天，根据题意，列出方程为________． 【答案】 【分析】先求出甲队每天的工作量，再根据甲完成的工作量与乙完成的工作量之和等于总工程量列方程即可． 【详解】解：∵1周为7天，甲队7天完成总工程的， ∴甲队单独施工1天完成总工程的， 设乙队单独施工挖通隧道需要天，则乙队单独施工1天完成总工程的， 根据题意，可知甲队一共施工了天，乙队一共施工了5天， 根据甲完成工作量乙完成工作量总工程量，总工程量为1，列方程得： ． 【变式2】．“扬小骐”是2026年扬州市半程马拉松吉祥物．现甲、乙两组同时加工“扬小骐”，乙组每小时比甲组多加工10件，乙组加工240件所用时间与甲组加工200件所用时间相同．为了知道甲、乙两组每小时分别加工多少件，现列出如下方程： ①；② ． (1)方程①中表示： ；方程②中表示： ； (2)任选一个方程，求出甲、乙两组每小时加工的件数． 【答案】(1)甲组每小时加工的件数；甲组加工200件所用的时间 或 乙组加工240件所用的时间 (2)甲组每小时加工50件，乙组每小时加工60件 【分析】（1）由可得方程①中表示：甲组每小时加工的件数；由可得方程②中表示：甲组加工200件所用的时间或乙组加工240件所用的时间. （2）分别解两个方程，进一步可得答案. 【详解】（1）解：方程①中表示：甲组每小时加工的件数；方程②中表示：甲组加工200件所用的时间或乙组加工240件所用的时间. （2）解：方程①：， 解得：， 经检验：是原方程的解 ，且符合题意， ， 答：甲组每小时加工50件，乙组每小时加工60件； 方程②：， 解得： ， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每小时加工50件，乙组每小时加工60件． 【变式3】．砺算科技是国产全自研公司，其生产的显卡分为专业卡和游戏卡两大类．某工厂有12条生产线，用于生产这两种显卡，每条生产线每年可以生产6万片专业卡或者4万片游戏卡．这些生产线全部投入生产，一年下来一共生产了62万片显卡． (1)该工厂生产的专业卡和游戏卡分别是多少万片？ (2)现工厂将这62万片显卡进行包装，工厂先按原来的速度包装了6万片，之后提高了包装效率，每月的包装量比原来增加了，结果比原定时间提前了3个月完成任务．求工厂原来每月能包装多少万片显卡？ 【答案】(1)专业卡和游戏卡分别是42万片和20万片 (2)工厂原来每月能包装7万片显卡 【分析】（1）设生产专业卡的生产线x条，生产游戏卡的生产线y条，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设原来每月能包装y万片显卡，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】（1）设生产专业卡的生产线x条，生产游戏卡的生产线y条． 由题意可得 解得 ∴专业卡和游戏卡分别是42万片和20万片． （2）解：设原来每月能包装y万片显卡 由题意可得 解得． ∴经检验，是方程的解，原来每月能包装7万片显卡． 题型8 分式方程的经济问题 解题技巧（单价数量总价、变化前后等量） 1. 核心公式：数量=总价÷单价、单价=总价÷数量； 2. 常见场景：涨价、降价、优惠、多买、少买、批量采购； 3. 建模思路：总价不变看单价数量变化，单价不变看总价数量变化； 4. 等量抓取：变化前后数量差、单价差为主要列式依据。 【典例8】．某校为数学社团在同一商家采购数独九宫格盘，第一次用1400元买了若干套，第二次用1500元购买同款数独九宫格盘，…，求第一次购买了多少套？同学们根据题意，设第一次购买了套，列得方程，则题目省略部分的文字为（     ） A．每套比上次降价5元，多买了10套 B．每套比上次降价5元，少买了10套 C．每套比上次涨价5元，少买了10套 D．每套比上次涨价5元，多买了10套 【答案】A 【分析】根据分式方程各部分的实际意义，分别分析两次购买的数量关系和单价关系，即可推出省略部分的条件． 【详解】解：设第一次购买了套，方程中第二次购买的数量为套， 第二次购买数量比第一次多套，即多买了套， 是第一次购买的单价，是第二次购买的单价，方程为， 第一次单价比第二次单价多元，即第二次每套比第一次降价元， 因此省略部分的文字为“每套比上次降价元，多买了套”． 【变式1】．笔、墨、纸、砚被称为“文房四宝”．某书法社团计划购买，两种型号毛笔共50支，型号毛笔的单价是型号毛笔单价的1.4倍，购买型号毛笔共花费420元，购买型号毛笔共花费450元．设型号毛笔的单价是元/支，则可列分式方程为____． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设型号毛笔单价为元/支，则型号毛笔单价为元/支．根据总价和单价可求出，两种型号毛笔的数量，再结合两种毛笔总数量为支这一等量关系列方程． 【详解】解：根据题意可得，型号毛笔数量为，型号毛笔数量为， 两种毛笔总数量为支， 列分式方程为 . 【变式2】．今年春节，揭阳文化古城人气火爆，累计接待游客约50万人次．揭阳学宫推出两款文创纪念品：“揭阳古八景”书签和“进贤门”折扇．某文创店决定购进这两款纪念品，已知“揭阳古八景”书签每件的进价比“进贤门”折扇每件的进价少6元，花180元购买“揭阳古八景”书签的件数与花240元购买“进贤门”折扇的件数相等． (1)求书签和折扇每件的进价； (2)若该文创店以书签每件25元、折扇每件30元的价格销售，卖出20件书签和15件折扇，一共可获利多少元？ 【答案】(1)书签每件的进价为18元，折扇每件的进价为24元 (2)一共可获利230元 【分析】（1）设书签每件的进价为元，则折扇每件的进价为元，根据题意建立方程，解方程，并进行检验即可得； （2）结合（1）的结论，列式计算即可得． 【详解】（1）解：设书签每件的进价为元，则折扇每件的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 则， 答：书签每件的进价为18元，折扇每件的进价为24元． （2）解： （元）， 答：一共可获利230元． 【变式3】．随着我国人工智能的高速发展，智能机器人一跃成为学生最喜爱的研究对象．某中学计划购进A型和B型两款智能机器人供社团使用．学校第一次购买了A型机器人5台、B型机器人3台，一共花费41000元．已知每台A型机器人比每台B型机器人多1000元． (1)求每台A型、B型机器人的单价分别是多少元？ (2)学校第二次准备分别用72000元再次采购A、B型机器人．商家推出优惠活动，降低了两种机器人的售价．已知降价后，每台A型机器人的售价是每台B型机器人售价的1.2倍．此次采购中，用72000元购买的B型机器人数量，比相同金额购买A型机器人的数量多3台．求优惠后每台B型机器人的单价． 【答案】(1)每台A型机器人的单价是5500元，每台B型机器人的单价是4500元 (2)优惠后每台B型机器人的单价是4000元 【分析】（1）设每台A型机器人的单价是x元，每台B型机器人的单价是y元，根据题意列方程组并求解即可； （2）设优惠后每台B型机器人的单价是m元，则优惠后每台A型机器人的单价是元，根据题意列分式方程并求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型机器人的单价是x元，每台B型机器人的单价是y元， 根据题意，得 解得 答：每台A型机器人的单价是5500元，每台B型机器人的单价是4500元； （2）解：设优惠后每台B型机器人的单价是m元，则优惠后每台A型机器人的单价是元， 根据题意，得 解得 经检验，是所列方程的解且符合题意， 答：优惠后每台B型机器人的单价是 4000元． 题型9 分式方程的和差倍分问题 解题技巧（倍数分数化、差量建等式） 1. 题型特征：已知两个量的和、差、倍数、分数比例关系； 2. 建模要点：根据“A是B的几分之几、A比B多/少几分之几”列分式等式； 3. 设元技巧：设标准量为x，另一个量用含x式子表示； 4. 核心优势：关系直白，只需找准比例、差量即可快速列式。 【典例9】．古代算书中记载了这样一个问题，大意是：现有商人贩布，若每匹布降价3钱，则用48钱买到布的数量，是用48钱按原价购买数量的2倍．问每匹布原价多少钱？若设每匹布原价钱，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量总价单价，分别表示出降价后和按原价购买布的数量，再根据题目给出的倍数关系列出方程即可． 【详解】解：设每匹布原价为钱，则降价后每匹布的价格为钱， 降价后用48钱买到布的数量为，原价用48钱买到布的数量为． 降价后买到布的数量是原价购买数量的倍， 可列方程为． 【变式1】．研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，就是植物在生长过程中，通过光合作用、体内吸收多少二氧化碳的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天单位面积固碳量比洋槐一天单位面积固碳量每平方米多克，则洋槐一天单位面积固碳量是______克． 【答案】 【分析】设洋槐一天单位面积固碳量是x克，根据题意列出分式方程求解即可 【详解】解：设洋槐一天单位面积固碳量是x克， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意． 所以洋槐一天单位面积固碳量是克． 【变式2】．随着科技的飞速发展，人工智能（）已成为当今社会的热点话题，从自动驾驶汽车到智能家居，从医疗诊断到金融分析，正在改变着我们的生活方式和工作模式．某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且每台A型机器人搬运900吨货物所用的时间与每台B型机器人搬运1000吨货物所用的时间相同． (1)每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)该公司计划采购A，B两种型号的机器人共25台，且每天搬运的货物不低于2345吨，那么最多购买A型机器人多少台？ 【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物100吨； (2)最多购买A型机器人15台． 【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物吨，根据每台A型机器人搬运900吨货物所用的时间与每台B型机器人搬运1000吨货物所用的时间相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出每台A型机器人每天搬运货物吨数，再将其代入中，即可求出每台B型机器人每天搬运货物吨数； （2）设购买m台A型机器人，则购买台B型机器人，根据每天搬运的货物不低于2345吨，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物吨， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物100吨； （2）解：设购买m台A型机器人，则购买台B型机器人， 根据题意得：， 解得：， ∵m是正整数， 的最大值为15． 答：最多购买A种型号的机器人15台． 【变式3】．随着科技创新，人形机器人融合多种先进技术，极具发展潜力与应用前景．为了提高工作效率，某工厂使用A，B两种型号机器人搬运货物．已知A型机器人每小时搬运货物的质量是B型机器人的1.5倍，A型机器人搬运货物的时间比B型机器人搬运货物的时间少，A，B两种机器人每小时分别搬运多少货物？ 【答案】A型机器人每小时搬运货物，B型机器人每小时搬运货物 【分析】利用工作时间工作总量工作效率的关系，设B型机器人每小时搬运货物质量为未知数，根据倍数关系得到A型的搬运效率，再根据时间差为列方程，求解检验后得到结果． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运货物，则A型机器人每小时搬运货物， 根据题意列方程得， 解得， 检验：当时，， 因此是原方程的解，符合题意， ， 答：A型机器人每小时搬运货物，B型机器人每小时搬运货物． 题型10 分式方程的其他实际问题 解题技巧（通用建模四步法） 1. 辨模型：识别题目为浓度、配比、统计、生活数量变化等非常规题型； 2. 找不变：锁定题干中不变量、等量关系； 3. 列分式：根据“总量÷单位量=数量”的除法结构搭建分式方程； 4. 双检验：既验方程增根，又验数值符合生活实际，负数、不合理数值全部舍去。 【典例10】．古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固．工匠们制作了一种特定的榫卯结构，该结构中，一个榫需要的木材比一个卯需要的木材多1千克．已知用35千克木材制作的该种榫的数量与用30千克木材制作该种卯的数量相同．设制作1个这样的榫需要木材千克，根据题意，得（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设制作个榫需要木材千克，则制作个卯需要木材千克，根据用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同，列出方程即可 ． 【详解】解：设制作个榫需要木材千克， ∵一个榫需要的木材比一个卯需要的木材多千克， ∴制作个卯需要木材千克， ∵用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同， ∴列方程为． 【变式1】．小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，已知燃油车的油箱容积为40升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航里程是________千米． 【答案】600 【分析】设两台汽车的续航里程是x千米，由题意可得分式方程并求解，再检验是否符合题意即可． 【详解】解：设两台汽车的续航里程是x千米，由题意可得 ， 解得， 经检验是方程的解， 即两台汽车的续航里程是600千米． 【变式2】．2026年峰会将在深圳举行．为提升会场周边的交通运力，深圳公交公司拟将A、B两种型号的大巴编入某条专线进行统一调度． (1)已知每辆B型大巴的核定载客人数是A型大巴的倍，使用B型大巴运送名乘客比A型大巴少辆车．请问每辆A型、B型大巴分别能运送多少人？ (2)峰会期间，需紧急调度车辆转运名志愿者从会场前往酒店．若已确定调用A型大巴辆，请问至少要调用B型大巴多少辆才能一次性运完所有志愿者？ 【答案】(1)每辆A型大巴的核定载客人数是人，每辆B型大巴的核定载客人数是人 (2)辆 【分析】（1）设每辆A型大巴的核定载客人数是人，则每辆B型大巴的核定载客人数是人，根据题意，得：，然后进行求解即可； （2）设调用B型大巴辆，根据题意，得：，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设每辆A型大巴的核定载客人数是人，则每辆B型大巴的核定载客人数是人，根据题意，得： ， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 则每辆B型大巴的核定载客人数：人， 答：每辆A型大巴的核定载客人数是人，每辆B型大巴的核定载客人数是人． （2）解：设调用B型大巴辆，根据题意，得： ， 解得， 为正整数， 最小值可以取． 答：B型车至少要调用辆才能一次性运完所有志愿者． 【变式3】．请同学们根据以下表格中的素材，探索完成任务： 合理规划校园活动区域 素材一 学校科创社团举办活动，规划出一块长方形场地，划分为游戏区和表演区，如图所示，其中游戏区是边长为米的正方形．      素材二 据活动现场统计，第一轮活动期间共有100名学生参与活动，其中60名学生选择了游戏区．两区域的学生排队入场，入场时，游戏区比表演区每分钟多进4人，且两区域的所有学生从入场到入场完毕所花费的时间恰好相等．所有人进入区域后不再进出． 素材三 已知表演区的宽比游戏区的边长少1米．为了更好优化后续区域分配，需知道区域的人员密集程度． 角度一：平均单位面积人流量数值越大，人员越密集； 角度二：人均面积，数值越大，人均空间越充足． (1)求游戏区平均每分钟入场多少人？ (2)①游戏区的平均单位面积人流量：__________；游戏区人均面积：_________；（用含的代数式表示） ②请从平均单位面积人流量或人均面积中任选一个角度，比较两个区域的人员密集程度，并说明理由． (3)为保障安全，学校要求游戏区的人均面积不能低于5平方米，则游戏区的边长最少是_________米．（精确到整数） 【答案】(1)12人 (2)①；；②选择角度一：平均单位面积人流量． 表演区的总人数为（人）， 表演区的平均单位面积人流量为， ， ， ， ， ， 数值越大，人员越密集， 游戏区的人员更密集． 选择角度二：人均面积． 表演区的总人数为（人）， 表演区的人均面积为， ， ， ， ， 数值越大，人均空间越充足， 游戏区的人员更密集 (3)18 【分析】（1）先算出表演区参与人数，设游戏区每分钟入场人数为未知数，利用两区入场总时间相等建立分式方程，解方程后检验分母不为零，得到每分钟入场人数． （2）先根据正方形面积公式和题目给出的两个定义式写出游戏区对应代数式，再求出表演区相关分式，通过作差通分比较分式大小，结合判断差值正负，对照题干判定规则得出哪个区域人员更密集． （3）依据人均面积不低于5平方米列出不等式，化简后求出a的取值范围，估算根式数值并验证相邻整数平方，向上取整得到符合要求的最小整数边长． 【详解】（1）解：设游戏区平均每分钟入场人，则表演区平均每分钟入场人． 表演区人数为人，根据两区域入场时间相等列方程： 解得． 检验：时分母不为0，是原方程的解． （2）游戏区是边长为的正方形，面积为，接待总人数60人： ∴平均单位面积人流量， 人均面积， ②略 （3）求游戏区的最小边长 由题意得游戏区人均面积， 即，． ，， 因此精确到整数，边长最少为18米． 1．下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分母中含有未知数的方程是分式方程，逐一判断即可求解． 【详解】解：选项A、B、D中的方程，分母中都不含未知数，所以都不是分式方程；只有选项C符合分式方程的定义，是分式方程． 2．若分式方程有增根，则m的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：令，得增根为 原方程整理为， 去分母得， 将代入得， 解得． 3．若m为整数，关于x的不等式组有5个整数解，关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的m的值的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式组的解集，根据解集情况得到，即，解，得到，根据分式方程的解为整数求出的值，结合已知条件得到满足条件的m的值，相加即可． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． 不等式组的解集为． 不等式组有5个整数解， 整数解为， ， 解得． 解分式方程， 两边同乘，得， 整理得， ，其中，且． 分式方程的解为整数，为整数， 是的整数约数， 即，对应的值为． 结合，，且即， 得符合条件的整数为． 所有满足条件的的值的和为． 4．周末几名同学计划去聚餐，订了一桌价值280元的晚餐，出发前4名同学临时有事情不能参加，结果每个同学比原计划多出了16元的餐费，设最先打算参加聚餐的同学共x人，则所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设原计划参加聚餐的同学共x人，分别表示出原计划和实际每人分摊的餐费，根据实际每人比原计划多分摊16元餐费，即可列出方程． 【详解】解：设最先打算参加聚餐的同学共x人， ∵原计划每人分摊餐费为元，实际参加人数为人， ∴实际每人分摊餐费为元， 又∵实际每个同学比原计划多出了16元餐费， ∴可得方程． 5．某班同学从学校出发去烈士陵园扫墓，全程，一部分同学骑自行车先行，10分钟后，其余同学乘汽车出发．已知汽车的速度是自行车的3倍，汽车早10分钟到达．小州由已知信息列出方程，则方程中表示的是（     ） A．骑自行车的速度 B．汽车的速度 C．骑自行车到达所需的时间 D．汽车到达所需的时间 【答案】A 【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合题目给出的方程和已知条件，推导的实际含义即可． 【详解】∵路程速度时间，，方程左边和为路程除以速度的形式， ∴代表速度， 设表示骑自行车的速度，则汽车速度为， 自行车先走分钟，汽车晚出发分钟且早到分钟， ∴骑自行车总共比乘汽车多用分钟，分钟小时， ∴骑自行车的总时间乘汽车的总时间，即， ∴表示骑自行车的速度． 6．为美化泾川县的城市环境，县上有关部门计划对街道两旁共6000棵景观树木进行修剪整形．由于志愿者团队主动参与协助，实际每天修剪的树木数量比原计划多了20％，最终比原定工期提前5天完成全部修剪任务．若设原计划每天修剪树木x棵，可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以工期差5天为等量关系，结合工作时间与工作总量、工作效率的关系列方程即可． 【详解】解：设原计划每天修剪棵，则实际每天修剪棵． 原计划工期为天，实际工期为天． ∵实际比原定工期提前5天完成， ∴． 7．某文创商店推出甲、乙两款笔记本，已知乙笔记本的单价是甲笔记本的倍，且用150元购买甲笔记本的数量比用165元购买乙笔记本的数量多4个，求甲、乙两款笔记本的单价．若设甲笔记本的单价为元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据设出的甲笔记本单价表示出乙笔记本的单价，再根据“150元购买甲笔记本的数量比165元购买乙笔记本的数量多4个”的等量关系列方程即可． 【详解】解：设甲笔记本的单价为元，则乙笔记本的单价为元． 由题意得，． 8．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同．设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列分式方程解决实际问题，解题思路是先根据题意表示出一片银杏树叶的平均滞尘量，再根据“片数=总滞尘量÷单片滞尘量”，结合两种树叶的片数相等列出方程． 【详解】解：∵设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，一片银杏树叶一年的平均滞尘量比国槐的2倍少， ∴一片银杏树叶一年的平均滞尘量为． ∵一年滞尘所需的银杏树叶的片数为，一年滞尘所需的国槐树叶的片数为，且两种树叶的片数相同， ∴可列方程：． 9．为提升配送效率，某快递公司引入两款无人机开展业务测试.甲款无人机配送150件包裹，与乙款无人机配送120件包裹所用的总时间相同（每件包裹大小、重量一样），已知甲款无人机平均每小时比乙款无人机多配送10件包裹，求甲、乙两款无人机平均每小时各配送多少件包裹，若小明列出的方程为：，则小明设的代表的是（     ） A．甲款无人机配送150件包裹所用的时间 B．乙款无人机配送120件包裹所用的时间 C．甲款无人机平均每小时配送的包裹件数 D．乙款无人机平均每小时配送的包裹件数 【答案】D 【详解】∵公式，题干给出甲配送150件与乙配送120件所用时间相等， 因此方程等式两边分别对应二者的工作时间. ∵已知甲款无人机平均每小时比乙款多配送10件，方程分母分别为和， ∴是甲平均每小时配送的包裹件数，是乙平均每小时配送的包裹件数. 10．每年七月份济南都会在大明湖景区举办“荷花艺术节”，为保障荷塘水质清澈、荷花长势良好，某团队承接了荷塘的清淤任务．若该团队实际每日清淤量比原计划提高，将提前天完成全部任务．设该团队原计划每日清淤量为，根据题意可列分式方程（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用工作时间工作总量工作效率，分别求出原计划和实际的完成天数，根据“原计划天数实际天数提前的3天”列分式方程即可． 【详解】解：设原计划每日清淤量为，实际每日清淤量比原计划提高， 实际每日清淤量为，总清淤量为， 原计划完成天数为，实际完成天数为， 实际提前3天完成任务，即原计划天数比实际天数多3天， 可列方程：． 11．若关于的分式方程有增根，则_______． 【答案】 【分析】根据分式方程增根的定义得到使分母为的根，再将分式方程化为整式方程，进而求出参数的值． 【详解】解：令，得增根， 方程两边同乘最简公分母得：， 将代入，得， ， 验证：当时，原方程为， 去分母得， 解得， 让分母，是增根，符合题意． 12．某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多，结果提前10天完成任务．设原来每天制作x件，则可列方程是_______． 【答案】 【分析】根据工作时间等于工作总量除以工作效率，分别表示出原来和实际完成任务的时间，再根据提前10天完成建立等量关系即可 【详解】解：由题意可得，原来每天制作件，原来完成件订单需要的时间为， 实际每天制作件数比原来多，因此实际每天制作件数为， 实际完成订单需要的时间为，结果提前天完成， 即原来用时比实际用时多天， 因此可列方程： 13．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，用含的式子表示，再根据方程的解为正数且分式有意义，列出不等式求解的取值范围. 【详解】解：原方程两边同乘最简公分母，得， 移项合并同类项，得， ∵方程的解是正数，且分式方程要有意义，分母不能为， ∴且， 解得且. 14．分式方程的解是 ________ ． 【答案】 【分析】先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解：， ， ， ， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 15．新定义：如果两个实数a（）、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”．若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，则n的值______． 【答案】1 【分析】根据“友好数对”的定义列出关于的方程，求解即可． 【详解】解：数对是关于的分式方程的“友好数对”， ，，且，即， 根据“友好数对”的定义，得， 解分式方程， 移项得， 解得， 方程的解满足， ， 解得， 检验：当时，各分母均不为，符合定义要求， 故． 16．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【详解】（1）解： 解得 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为； （2）解： 解得， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 17．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)分式方程无解 (2) 【分析】解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验． 【详解】（1）解：去分母得， 去括号得， 移项并合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时，， ∴分式方程无解； （2）解：去分母得， 去括号得， 移项并合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时，， ∴分式方程的解为． 18．低空经济赋能乡村振兴，在广东某地万亩高标准农田里，农业无人机旋翼轰鸣，稻种精准洒落，科技助农的场景让农户们连连感叹．现有A，B两种型号的无人机可用来播种． (1)如果购买1台A型无人机和3台B型无人机需9万元，购买3台A型无人机和1台B型无人机需11万元，求两种型号的无人机单价分别是多少万元． (2)每台A型无人机比B型无人机日均播种面积多200亩，每台A型无人机播种1500亩所用时间与B型无人机播种900亩所用时间相等，求两种型号的无人机每台日均分别播种多少亩． 【答案】(1)A型无人机单价为3万元，B型无人机单价为2万元． (2)A型无人机每台日均播种500亩，B型无人机每台日均播种300亩． 【详解】（1）解：设A型无人机的单价是x万元、B型无人机的单价是y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：A型无人机单价为3万元，B型无人机单价为2万元； （2）解：设A型无人机每台日均播种m亩，B型无人机每台日均播种亩，则 ， 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意， ， 答：A型无人机每台日均播种500亩，B型无人机每台日均播种300亩． 19．列方程解下列问题： 重庆坐拥“世界摩托之都”美誉，一年一度的重庆国际摩博会享誉海内外，本土摩托品牌赛场夺冠、远销海内外，尽显重庆制造实力．某本土摩托制造企业生产通勤代步摩托与赛道竞速摩托两类车型，已知该厂每日生产竞速摩托数量比通勤摩托多台，天生产通勤摩托的总产量与天生产竞速摩托的总产量相等． (1)求该厂每天生产通勤摩托、竞速摩托各多少台； (2)该厂紧跟产业升级浪潮，工厂完成智能生产线改造，升级后每日只生产一种车型，日产能大幅提升．升级后每日竞速摩托增产数量是通勤摩托增产数量的倍．现生产台通勤摩托、台竞速摩托总共用时天，求每日通勤摩托的增产数量． 【答案】(1)该厂每天生产通勤摩托台，竞速摩托台 (2)每日通勤摩托的增产数量为台 【分析】（1）根据“每日生产竞速摩托比通勤摩托多台，天生产通勤摩托总产量等于天生产竞速摩托总产量”的等量关系，列一元一次方程求解； （2）根据“生产台通勤摩托和台竞速摩托总用时天”的等量关系，列分式方程求解，检验后得到结果． 【详解】（1）解：设该厂每天生产通勤摩托台，则每天生产竞速摩托台． 根据题意得： 解得 则 答：该厂每天生产通勤摩托台，竞速摩托台． （2）设每日通勤摩托的增产数量为台，则每日竞速摩托的增产数量为台，升级后每日生产通勤摩托台，每日生产竞速摩托台 根据题意得： 方程两边同时乘得： 整理得 解得 检验：当时，，所以是原方程的解，符合题意． 答：每日通勤摩托的增产数量为25台． 20．为激发学生对科技的兴趣，某校计划购买甲、乙两种型号的机器人用于科技节展示．已知用200万元购买甲型机器人的数量，是用120万元购买乙型机器人数量的2倍，且每台乙型机器人比每台甲型机器人贵5万元．小丽和小亮分别提出了不同的解题思路： 学生 设未知量 所列方程 小丽 设甲型机器人的数量为台 小亮 设每台甲型机器人的价格为万元 （请补充） (1)请写出小亮所列的方程； (2)若购买甲、乙两种型号的机器人共16台，且总费用不超过420万元，则最多可购买乙型机器人多少台？ 【答案】(1)； (2)最多可购买乙型机器人4台 【分析】（1）根据“总价单价数量”，结合题干中甲型数量和乙型数量的倍数关系，即可列出小亮的方程； （2）先求解第一问的方程得到甲、乙两种型号的机器人的单价，再设购买乙型机器人的数量，根据总费用不超过420万元列出一元一次不等式，求解后取最大正整数解即可得到结果． 【详解】（1）解：∵设每台甲型机器人的价格为万元，且每台乙型机器人比每台甲型机器人贵万元， ∴每台乙型机器人的价格为万元， ∵用200万元购买甲型机器人的数量，是用120万元购买乙型机器人数量的倍， ∴可得方程：； （2）解：由（1）得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 则， ∴每台甲型机器人25万元，每台乙型机器人30万元， 设购买乙型机器人台，则购买甲型机器人台， 根据题意得， 解得， ∵是非负整数， ∴的最大值为， 答：最多可购买乙型机器人台． 21．某物流配送点使用甲、乙两款无人机开展同城配送服务，工作人员对这两款无人机进行飞行测试，（规定每架无人机单次执行的固定飞行距离称为一个航段），甲、乙两款无人机的单个航段的飞行距离不相同，现收集到如下信息： 信息1：两款无人机各飞行一个航段，合计用时21秒；甲飞行3个航段总用时与乙飞行4个航段总用时相等． 信息2：甲无人机单个航段距离比乙无人机的单个航段距离多10米，甲飞行200米所用的航段数与乙飞行160米所用的航段数相等． (1)求甲、乙两款无人机飞行单个航段所需时间． (2)求乙无人机单个航段距离． (3)由于配送环境限制，在一次长度为480米的配送任务中，需要甲、乙两款无人机合作完成配送，已知甲、乙两款无人机的飞行航段数都是整数，且途中货物交接时间为10秒，求完成本次配送任务的时间是多少秒． 【答案】(1)甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒 (2)乙无人机单个航段距离为米 (3)完成本次配送任务的时间是或秒 【分析】（1）设甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒，根据题意列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设乙无人机单个航段距离为米，则甲无人机单个航段距离为米，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （3）由（2）可得甲无人机单个航段距离为米，设甲飞行个航段，乙飞行个航段，由题意得，整理得，求出或，再分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒， 由题意可得， 解得， ∴甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒； （2）解：设乙无人机单个航段距离为米，则甲无人机单个航段距离为米， 由题意得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴乙无人机单个航段距离为米； （3）解：由（2）可得甲无人机单个航段距离为米， 设甲飞行个航段，乙飞行个航段， 由题意得， 整理得， ∵，为正整数， ∴或， 当时，（秒）， 当时，（秒）， ∴完成本次配送任务的时间是或秒． 22．某人形机器人半程马拉松赛分为自主组与遥控组，总赛程均为．赛事规则如下表：    自主组 最终成绩净用时站外换电罚时违规干预罚时 遥控组 最终成绩净用时站外换电罚时违规干预罚时 备注：①站外换电罚时：第1次罚时5分钟，第2次10分钟，逐次累加． ②违规干预罚时：每次罚时2分钟． ③自主组违规干预超过3次将强制转为遥控组，按遥控组计算最终成绩．例如：某自主组机器人全程净用时小时，站外换电1次，违规干预5次，则最终成绩为小时． 已知自主组的“天行号”机器人后半赛程的平均速度比前半赛程的平均速度快，后半赛程所用的时间是前半赛程所用时间的． (1)求“天行号”前半赛程的平均速度及赛完全程的净用时． (2)比赛中“天行号”有1次站外换电与次违规干预，最终成绩比净用时多，求的值． (3)在（2）的条件下，自主组的“跃动号”机器人在比赛中有2次站外换电与1次违规干预，它在第一段赛程的平均速度为，第二段赛程的平均速度为，第三段赛程的平均速度为．已知前两段赛程净用时之和为，后两段赛程净用时之和为．问：“跃动号”与“天行号”的最终成绩哪个更好？为什么？ 【答案】(1)“天行号”前半赛程的平均速度为，赛完全程的净用时为 (2) (3)解：“跃动号”的最终成绩更好， 理由：由题意得， 解得：， ∴，． 由题意得，解得， ∴． 经检验得是所列方程组的根，且符合题意． ∴“跃动号”的净用时为．             ∴“跃动号”的最终成绩为．         由（2）得“天行号”的最终成绩为． ∵， ∴“跃动号”的最终成绩更好． 【分析】（1）一半赛程为，设“天行号”前半赛程的平均速度为，则后半赛程的平均速度为，根据题意列方程求解即可； （2）分当时，当时，分别求解即可； （3）列方程求出“跃动号”的净用时间，从而求出“跃动号”的最终成绩，与“天行号”的最终成绩比较即可解答； 【详解】（1）解：设“天行号”前半赛程的平均速度为， 由题意得， 解得， 经检验得是所列方程的根，且符合题意， 跑完全程的净用时为， 答：“天行号”前半赛程的平均速度为，赛完全程的净用时为． （2）解：当时，由题意得， 解得（不符，舍去）， 当时，由题意得， 解得， 综上所述：． （3）略 23．随着新能源汽车普及，某小区和某商场均配备了充电桩．小区新能源汽车充电桩收费标准按照“电费=充电量×电价”计费，表1为该小区充电桩不同时段的电价标准．商场新能源充电桩的收费标准按照“总费用=电费+服务费”计费，表2为该商场充电桩的收费标准，则“峰时”充10度电的总费用为：（元）． 表1： 项目 某小区新能源汽车分时电价方案 时段划分 峰时 17:00-22:00 平时 8:00-17:00 谷时 22:00-次日8:00 电价（元/度） a b 0.34 表2： 某商场新能源充电桩收费公示牌 收费时段 峰时 16:00-22:00 平时 10:00-16:00 谷时 22:00-次日10:00 电价（元/度） 0.56 c 服务费（元/度） 0.5 0.4 0.3 请根据以上素材解决下列问题： (1)小明爸爸第一天在小区“峰时”充了6度电，“平时”充了9度电，花费了7.8元；第二天在小区“峰时”充了12度电，“平时”充了15度电，花费了14.1元，求a，b的值； (2)小明爸爸发现在某商场充电时，“平时”花18元充电的度数与在“谷时”花14元充电的度数一样，求“谷时”的电价c为多少元/度？ (3)小明爸爸在小区“平时”充了m度电，又在某商场“平时”充了n度电，一共支付了20元．若充电的度数m、n均为正整数，则满足条件的m，n有几种情况？ 【答案】(1)， (2)“谷时”的电价c为元/度； (3)种 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）根据题意列出分式方程，据此求解即可； （3）根据题意列出二元一次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∴，； （2）解：商场平时每度总费用：， 商场谷时每度总费用：， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：“谷时”的电价c为元/度； （3）解：小区平时电费单价元/度，小区平时总支付：， 商场平时电价，服务费， 商场平时每度总费用元/度，商场平时总支付：， 总费用方程：， 整理得， ∵m、n均为正整数，， ∴， ∴，； ，； ，； ，； ∴满足条件的m，n有种情况． 24．【综合实践】 材料 大多数小汽车是前轮驱动的，所以前轮的磨损程度比后轮严重，因此时间一长汽车行驶的安全性将大打折扣：如果同时更换前后轮，用车成本又会提高．因此，汽车使用手册上都有定期给前后轮换位的建议． 例如： 为了让轮胎均匀磨损并延长轮胎的使用寿命，我们建议每行驶进行一次轮胎换位． (1)设轮胎总的耗损量为单位1，在前轮时行驶a万千米报废，在后轮时行驶万千米报废．则该轮胎在前、后位置时的耗损率分别可表示为______、______．（说明：耗损率是指，每万千米轮胎的耗损量．） (2)若汽车前轮行驶万千米时报废，而后轮行驶到8万千米时报废．如果在汽车使用寿命内前、后轮位置只交换一次，那么汽车行驶多少万千米时，交换前、后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？（结果保留小数点后一位） (3)一款新型轮胎，安装在后轮可行驶的里程是安装在前轮的，装备该轮胎的汽车在轮胎的使用寿命内，前后轮胎只交换一次，共行驶了万千米前后轮胎同时报废．求该款新型轮胎安装在前轮和安装在后轮可行驶的里程数分别为多少万千米？（说明：分母中含有字母的方程，要将解代入原始方程中进行检验．） 【答案】(1)， (2)汽车行驶大约万千米时，交换前后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废； (3)安装在前轮可行驶的里程为万千米，则安装在后轮可行驶的里程为万千米． 【分析】（1）根据题意，结合关于损耗率的说明，即可求解； （2）设汽车行驶万千米时，交换前后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废，根据题意列方程求解即可； （3）设安装在前轮可行驶的里程为万千米，则安装在后轮可行驶的里程为万千米，轮胎交换前行驶了万千米，交换后行驶了万千米，根据题意列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵轮胎总的耗损量为单位1，在前轮时行驶a万千米报废，在后轮时行驶万千米报废， ∴该轮胎在前轮时的耗损率为，在后轮时的耗损率为． （2）解：设汽车行驶万千米时，交换前后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废， 根据题意可得， 解得， ， ∴汽车行驶大约万千米时，交换前后轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废． （3）解：设安装在前轮可行驶的里程为万千米，则安装在后轮可行驶的里程为万千米，轮胎交换前行驶了万千米，交换后行驶了万千米， 根据题意可得， 得， 解得， 经检验，是原方程组的解， ∴，， ∴安装在前轮可行驶的里程为万千米，则安装在后轮可行驶的里程为万千米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $