第15讲 因式分解 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第15讲 因式分解 目录 知识点1 因式分解基础定义 2 知识点2 公因式与提公因式法 2 知识点3 公式法因式分解（两大核心公式） 2 知识点4 进阶分解方法（拓展必考） 3 知识点5 因式分解通用解题顺序（万能流程） 3 题型1 判断是否是因式分解 3 题型2 已知因式分解的结果求参数 4 题型3 公因式 4 题型4 提公因式法分解因式 5 题型5 平方差公式分解因式 6 题型6 完全平方公式分解因式 6 题型7 综合提公因式和公式法分解因式 7 题型8 因式分解在有理数简算中的应用 8 题型9 十字相乘法 8 题型10 分组分解法 10 题型11 因式分解的应用 12 1. 知识目标：理解因式分解的定义，掌握因式分解与整式乘法的互逆关系；熟练掌握提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法四大分解方法，熟记分解步骤与判定标准。 2. 能力目标：能准确判断因式分解变形，熟练找公因式、规范分解多项式；掌握综合分解技巧、参数求解方法，能运用因式分解进行简便运算与实际应用。 3. 素养目标：建立逆向运算、分类讨论、化繁为简的数学思维，养成“先提公因式、再套公式、分解彻底”的解题习惯，规避因式分解常见易错点。 知识点1 因式分解基础定义 1. 定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做因式分解。 2. 核心关系：因式分解与整式乘法互为逆运算（整式乘法：积→和差；因式分解：和差→积）。 3. 终极要求：分解必须彻底，直到每个因式不能再分解为止。 4. 判定三标准：结果是乘积形式、全部为整式、左右式子恒等。 知识点2 公因式与提公因式法 1. 公因式定义：多项式各项共有的公共因式，可为单项式或多项式。 2. 公因式三步确定法： ① 定系数：取各项系数的最大公约数； ② 定字母：取各项共有相同字母； ③ 定指数：相同字母取各项中最低次幂。 3. 提公因式公式：。 4. 符号规则：首项为负时，整体提取负号，括号内各项全部变号。 知识点3 公式法因式分解（两大核心公式） 1. 平方差公式（两项式专用）：，适用条件：两项、异号、均为平方形式。 2. 完全平方公式（三项式专用）： ， 适用条件：首尾平方同号、中间项为首尾底数乘积的±2倍。 知识点4 进阶分解方法（拓展必考） 1. 十字相乘法：针对二次三项式，拆分常数项、凑一次项系数。 2. 分组分解法：四项及以上多项式，分组后先组内提公因式或套公式，再整体分解。 知识点5 因式分解通用解题顺序（万能流程） 1. 先提：优先提取公因式（含负号公因式）； 2. 再套：两项套平方差，三项套完全平方或十字相乘； 3. 后分：多项用分组分解； 4. 严查：反复检查，确保分解彻底、无遗漏、可还原。 题型1 判断是否是因式分解 解题技巧（三招秒杀判定法） 1. 看形式：结果必须是整式×整式的乘积形式，加减连接直接排除； 2. 看对象：左边必须是多项式，右边必须是多个整式乘积； 3. 看运算：杜绝部分分解、杜绝加减残留，左右必须恒等； 4. 避坑要点：结果含分式、含加减运算、单向变形不彻底，均不是因式分解。 【典例1】．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是___________． 【变式3】．下列变形①；②；③；④；⑤中，是因式分解的是______（填序号） 题型2 已知因式分解的结果求参数 解题技巧（展开对比、系数对应法） 1. 将右侧因式乘积完整展开、合并同类项； 2. 与左侧原式对齐次数，同次项系数一一对应相等； 3. 列方程求解字母参数，多参数依次联立求解； 4. 快速技巧：简单题型可直接用公式系数规律口算，无需全部展开。 【典例2】．若多项式可因式分解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．已知多项式能分解因式为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．已知是多项式的一个因式，则它的另一个因式是________________． 【变式3】．已知整式分解因式的结果为，则______． 题型3 公因式 解题技巧（三步精准找公因式） 1. 系数：取所有项系数的最大公约数，含负数只看绝对值； 2. 字母：只保留全部项共有的字母，独有字母全部舍弃； 3. 指数：相同字母取最低次幂，高次幂降为最低次； 4. 进阶：多项式整体可作为公因式，整体结构一致即可直接判定。 【典例3】．对多项式进行因式分解，可以提取的公因式为（     ）． A． B． C． D． 【变式1】．运用提公因式法将分解因式，应提取的最大公因式是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．多项式的公因式是__________． 【变式3】．与的公因式是________． 题型4 提公因式法分解因式 解题技巧（一提干净、符号归位法） 1. 找全公因式：按系数、字母、指数三步锁定最大公因式； 2. 整体提取：一次性提净所有公因式，杜绝残留部分公因式； 3. 符号处理：首项为负，必提负号，括号内各项统一变号； 4. 补1原则：某项全部提出后，剩余位置补1，禁止空项； 5. 检验：提取后用整式乘法还原，核对与原式是否一致。 【典例4】．因式分解： (1) (2) 【变式1】．因式分解： (1)； (2)． 【变式2】．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】．分解因式： (1)； (2)． 题型5 平方差公式分解因式 解题技巧（先判结构、再套公式） 1. 结构判定：严格满足两项、平方形式、符号相反； 2. 变形适配：非标准形式先整理、移项、提负号，凑平方差结构； 3. 分解运算：； 4. 彻底检查：分解后若仍有平方差结构，必须二次分解，杜绝半途而废。 【典例5】．下列多项式可以用平方差公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．因式分解：_____． 【变式3】．已知为正整数，用因式分解的方法证明能被整除． 题型6 完全平方公式分解因式 解题技巧（三判一定、精准套用） 1. 结构三判：三项式、首尾平方且同号、中间项为±2倍首尾底数积； 2. 符号判定：中间项正则和平方，中间项负则差平方； 3. 易错规避：严格区分平方差与完全平方，不缺项、不错符号； 4. 整体套用：底数可为单项式、多项式，整体视作一个整体分解。 【典例6】．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．分解因式：______． 【变式2】．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则 原式 再将“a”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)因式分解：______． (2)因式分解：． 【变式3】．下列多项式中，哪些可以用公式法因式分解？你是怎样分解的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型7 综合提公因式和公式法分解因式 解题技巧（先提后套、层层分解） 1. 固定顺序：先提公因式（必须第一步），再判断剩余式子结构； 2. 结构匹配：提完公因式剩两项→套平方差，剩三项→套完全平方； 3. 逐层分解：一次分解后仍可分解的，持续分解至最简； 4. 最终校验：无公因式、无平方结构、所有因式均为最简整式。 【典例7】．把下列各式因式分解 (1) (2) 【变式1】．因式分解： (1)； (2)． 【变式2】．分解因式： (1)； (2)． 【变式3】．分解因式： (1)； (2)． 题型8 因式分解在有理数简算中的应用 解题技巧（提公因式凑整、公式化简秒杀） 1. 核心思路：逆向思维，将复杂加减算式转化为乘积形式； 2. 提公因式简算：提取公共数字、小数、分数，合并凑整； 3. 公式简算：凑平方差、完全平方结构，消去复杂乘方、乘法； 4. 优势：大幅减少大数运算、小数运算，零误差快速出结果。 【典例8】．利用因式分解进行计算：． 【变式1】．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【变式2】．因式分解、用因式分解进行简便计算： (1)因式分解：； (2)用因式分解进行简便计算：． 【变式3】．用简便方法计算： (1) (2) 题型9 十字相乘法 解题技巧（拆常数、凑中项、十字验证） 1. 适用题型：二次三项式； 2. 核心口诀：首尾拆分、交叉相乘、和为中项； 3. 拆分规则：拆分常数项c，两个数乘积等于c，和等于一次项系数b； 4. 符号规律：c正两数同号，c负两数异号，跟随中项符号； 5. 书写结果：横向书写因式，拆分正确直接组合。 【典例9】．将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【变式1】．因式分解： (1)； (2)． 【变式2】．利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，、、、为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【变式3】．项目式学习 素材1：用配方法分解二次三项式 对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种方法称作“配方法”． 例如，把分解因式，我们可以这样进行：     （加上，再减去）         （完全平方公式）     （平方差公式） ． 配方法是代数变形时常用的一种重要方法，我们在今后会继续学到． 素材2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． (1)任务目标1：根据素材1，把分解因式； (2)任务目标2：结合素材1和素材2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 题型10 分组分解法 解题技巧（合理分组、先组后整） 1. 适用题型：四项及以上多项式，无整体公因式、无法直接套公式； 2. 分组原则：两两分组、三一分组，优先保证组内能分解、组间有公因式； 3. 解题步骤：分组→组内提公因式/套公式→整体提公因式→分解彻底； 4. 技巧：多次尝试分组方式，以最终可整体分解为判定标准。 【典例10】．在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如： ．若a，b，c是的三边长，且满足 ，则的形状为（     ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式1】．对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 例：． 请用分组分解法将因式分解为___． 【变式2】．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解，请阅读下面材料完成相应问题． 从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． 分组分解法：例如：． 拆项法：例如：． (1)利用分组分解法，因式分解； (2)利用拆项法，因式分解； 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到因式分解的恒等式． (3)根据图1，多项式可以因式分解为___________； (4)根据图2，若，，求的值． 【变式3】．常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先因式分解，再求值：，其中． 题型11 因式分解的应用 解题技巧（建模转化、因式简化求值） 1. 代数式求值：先因式分解化简式子，再代入数值，简化复杂运算； 2. 整除问题：分解后含目标整式，即可判定整除关系； 3. 最值问题：配方分解为完全平方形式，利用平方非负性求最值； 4. 实际应用：面积、周长、数量关系建模，因式分解简化列式计算。 【典例11】．若一个正整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“梦想数”．例如：因为5可以表示为的形式，所以5是“梦想数”． (1)若13是“梦想数”，则13可以表示为的形式； (2)请你再写两个小于30的“梦想数”（5和13除外）：________，________； (3)已知（x，y，k是正整数），要使M为“梦想数”，求k的值．（用因式分解的方法解答） 【变式1】．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，，，因此，，都是“和谐数”． (1)特例感知： “和谐数”， “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)，为正整数，且，若是“和谐数”． 求的值； 若是“和谐数”，请说明是“和谐数”． 【变式2】．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： (2)证明：无论取何值时，的值一定是非负数． 【变式3】．代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论． 【提出问题】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究． (1)【特例感知】小明的方法是从小到大逐一列举： 3 则小明列举的第8个“智慧数”是 ． (2)【推理证明】小华在小明列举的基础上发现：除1外，所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明： 证明：设k是正整数， 又∵k是正整数，∴为大于或等于3的奇数． ∴除1外，所有的正奇数都是“智慧数”． 她还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，请参考上面的方法进行证明． (3)【综合应用】用含有k的式子表示除1、2、4外的其它非“智慧数”：___________（k是正整数），将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是___________． 1．下面各式从左到右的变形，属于正确的因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．若多项式可分解为，则的值为（     ） A．2 B． C．1 D． 3．已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为（     ） A．8 B． C． D．24 4．将多项式分解因式时，应提取的公因式为（     ） A． B．y C． D． 5．一次课堂练习，小敏同学做了如下四道因式分解的习题，你认为小敏同学分解不彻底的是（     ） A． B． C． D． 6．若a、b、c为三角形的三条边长，且，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 7．图1中有三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形．将图1中不同卡片“叠”在一起，可得面积之差，图2是种卡片与种卡片叠放在一起的，阴影部分的面积，图3是种卡片与种卡片叠放在一起的图形，其阴影部分的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．小丁喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列四个字：安，美，好，吉，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．好美 B．美好 C．吉安美 D．吉安好 9．如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出一个多项式的因式分解（     ） A． B． C． D． 10．利用因式分解可以生成密码，其方法为：先对给定多项式进行因式分解，再对各因式赋值得到因式码，最后将因式码按照从小到大的顺序排列即可得到密码．例如多项式，可分解因式得到．若取，，可得，，，其中12，17，13即为各因式对应的因式码，将这些因式码按从小到大排序后即可得到密码121317．现有多项式，当取，时，按照上述方法生成的密码是（     ） A．4840 B．4820 C．8420 D．4480 11．因式分解：________． 12．若，，则_______． 13．定义∶是以，，为系数的二次多项式，即，其中，，均为实数，例如，，则．若，则_________． 14．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是：____________（写出一个即可）． 15．阅读材料，并填空： 索菲·杰曼是18世纪法国著名女数学家，被誉为“数学花木兰”． 她猜想并证明了“（，且m为自然数）一定是合数”．为了纪念她的发现，后人称为杰曼合数．她的证明过程就是对二项式进行因式分解．此二项式既没有公因式可提，也不能直接利用公式．她发现该二项式可化为平方和形式：，与完全平方式“”对比，缺少了中间项“”．于是原式加上，为了不改变原式的值再减去，原式变为，化简得到（______），最后利用平方差公式再进行一次因式分解，可得______，由此得证：当且为自然数时，一定能化为两个非“1”整数乘积的形式，所以一定是合数． 16．因式分解： (1) (2) 17．【阅读材料】要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得，这种分解因式的方法称为分组分解法． 根据以上方法回答下列问题： (1)【尝试填空】________； (2)【解决问题】因式分解：； (3)【拓展应用】已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 18．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式． 材料：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项， 而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ． 人们为了纪念苏菲・姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 19．在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图1可以得到；如图2可以得到；现有长与宽分别为，的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为__________，小正方形的面积可表示为__________________； ②结合图3的拼接方式，直接写出与之间的关系：__________________________； （用含，的代数式表示出来） (2)若满足，求的值； (3)【拓展提升】 如图4，在正方形中，，分别是边，上的点，已知，，长方形的面积是，分别以，为边作正方形，正方形，求阴影部分的面积． 20．我国著名数学家华罗庚曾言：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”实则，数与形是刻画同一数理内涵的两种表征形式——代数算式是符号语言，几何图形是直观语言，二者互通互译，方能尽显数学本质． 【材料准备】 如图1所示，有①②③种不同型号的卡片若干，其中型号①、型号②分别是边长为和的正方形，型号③是长为，宽为的长方形． 【析形感数】 (1)现用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形，根据图示写出一个因式分解式子：_______________； 【析数构形】 (2)以上型号卡片（数量不限）能拼出面积为的长方形吗？说明理由． 【数形融通】 (3)已知1个型号①，个型号②和个型号③卡片能拼成一个大长方形．解决问题： ①当时，求满足条件的所有的值； ②求证：是一个整数的平方． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 因式分解 目录 知识点1 因式分解基础定义 2 知识点2 公因式与提公因式法 2 知识点3 公式法因式分解（两大核心公式） 2 知识点4 进阶分解方法（拓展必考） 3 知识点5 因式分解通用解题顺序（万能流程） 3 题型1 判断是否是因式分解 3 题型2 已知因式分解的结果求参数 5 题型3 公因式 7 题型4 提公因式法分解因式 8 题型5 平方差公式分解因式 10 题型6 完全平方公式分解因式 12 题型7 综合提公因式和公式法分解因式 14 题型8 因式分解在有理数简算中的应用 16 题型9 十字相乘法 19 题型10 分组分解法 23 题型11 因式分解的应用 27 1. 知识目标：理解因式分解的定义，掌握因式分解与整式乘法的互逆关系；熟练掌握提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法四大分解方法，熟记分解步骤与判定标准。 2. 能力目标：能准确判断因式分解变形，熟练找公因式、规范分解多项式；掌握综合分解技巧、参数求解方法，能运用因式分解进行简便运算与实际应用。 3. 素养目标：建立逆向运算、分类讨论、化繁为简的数学思维，养成“先提公因式、再套公式、分解彻底”的解题习惯，规避因式分解常见易错点。 知识点1 因式分解基础定义 1. 定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做因式分解。 2. 核心关系：因式分解与整式乘法互为逆运算（整式乘法：积→和差；因式分解：和差→积）。 3. 终极要求：分解必须彻底，直到每个因式不能再分解为止。 4. 判定三标准：结果是乘积形式、全部为整式、左右式子恒等。 知识点2 公因式与提公因式法 1. 公因式定义：多项式各项共有的公共因式，可为单项式或多项式。 2. 公因式三步确定法： ① 定系数：取各项系数的最大公约数； ② 定字母：取各项共有相同字母； ③ 定指数：相同字母取各项中最低次幂。 3. 提公因式公式：。 4. 符号规则：首项为负时，整体提取负号，括号内各项全部变号。 知识点3 公式法因式分解（两大核心公式） 1. 平方差公式（两项式专用）：，适用条件：两项、异号、均为平方形式。 2. 完全平方公式（三项式专用）： ， 适用条件：首尾平方同号、中间项为首尾底数乘积的±2倍。 知识点4 进阶分解方法（拓展必考） 1. 十字相乘法：针对二次三项式，拆分常数项、凑一次项系数。 2. 分组分解法：四项及以上多项式，分组后先组内提公因式或套公式，再整体分解。 知识点5 因式分解通用解题顺序（万能流程） 1. 先提：优先提取公因式（含负号公因式）； 2. 再套：两项套平方差，三项套完全平方或十字相乘； 3. 后分：多项用分组分解； 4. 严查：反复检查，确保分解彻底、无遗漏、可还原。 题型1 判断是否是因式分解 解题技巧（三招秒杀判定法） 1. 看形式：结果必须是整式×整式的乘积形式，加减连接直接排除； 2. 看对象：左边必须是多项式，右边必须是多个整式乘积； 3. 看运算：杜绝部分分解、杜绝加减残留，左右必须恒等； 4. 避坑要点：结果含分式、含加减运算、单向变形不彻底，均不是因式分解。 【典例1】．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式的积的形式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A：是整式乘法，不是因式分解，故A不符合题意； 选项B：右边不是整式的积的形式，故B不符合题意； 选项C：中是分式，右边不是整式的积的形式，故C不符合题意； 选项D：符合因式分解的要求，故D符合题意． 【变式1】．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解要求左边为多项式，右边为几个整式的乘积，据此逐一判断各选项． 【详解】解：A 选项：，右边是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解，故A选项不符合要求； B 选项：，是整式乘法，从乘积化为多项式，不是因式分解，故B选项不符合要求； C 选项：，右边不是整式，结果不是整式乘积，不是因式分解，故C选项不符合要求； D 选项：，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故D选项符合要求． 【变式2】．下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是___________． 【答案】④ 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：①中不是整式，它不是因式分解； ②是乘法运算，它不是因式分解； ③中等号左边是单项式，它不是因式分解； ④符合因式分解的定义，它是因式分解． 故答案为：④． 【变式3】．下列变形①；②；③；④；⑤中，是因式分解的是______（填序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，直接利用因式分解的意义分析得出答案． 【详解】解：①，是多项式乘法，故①不是因式分解； ②，是因式分解，； ③是单项式，不是因式分解； ④中不是整式，故④不是因式分解； ⑤，等式右边不是整式的乘积，故⑤不是因式分解， 故答案为：②． 题型2 已知因式分解的结果求参数 解题技巧（展开对比、系数对应法） 1. 将右侧因式乘积完整展开、合并同类项； 2. 与左侧原式对齐次数，同次项系数一一对应相等； 3. 列方程求解字母参数，多参数依次联立求解； 4. 快速技巧：简单题型可直接用公式系数规律口算，无需全部展开。 【典例2】．若多项式可因式分解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用多项式乘多项式法则展开因式分解后的式子，根据多项式相等对应系数相等求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，， ∴． 【变式1】．已知多项式能分解因式为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】展开因式乘积，根据多项式对应项系数相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ，， 解得， ∴． 【变式2】．已知是多项式的一个因式，则它的另一个因式是________________． 【答案】/ 【分析】设出另一个因式，利用因式乘积展开后对应系数相等求解． 【详解】解：设多项式的另一个因式为，则， ， ， 解得：， 因此另一个因式为． 【变式3】．已知整式分解因式的结果为，则______． 【答案】100 【分析】将分解因式后的结果展开，对比原式对应项的系数即可求得． 【详解】解：， 由题意得， ． 题型3 公因式 解题技巧（三步精准找公因式） 1. 系数：取所有项系数的最大公约数，含负数只看绝对值； 2. 字母：只保留全部项共有的字母，独有字母全部舍弃； 3. 指数：相同字母取最低次幂，高次幂降为最低次； 4. 进阶：多项式整体可作为公因式，整体结构一致即可直接判定。 【典例3】．对多项式进行因式分解，可以提取的公因式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出系数的最大公约数与相同字母的最低次幂，再得到公因式． 【详解】解：∵多项式中，两项系数和的最大公约数为，两项共有的字母为和，的最低次数为，的最低次数为， ∴公因式为． 【变式1】．运用提公因式法将分解因式，应提取的最大公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求系数的最大公约数，再找各项相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到最大公因式； 【详解】解：∵ 多项式中，系数4和12的最大公约数为4，各项共有的字母是a和b，a的最低次幂为，b的最低次幂为，c仅在第二项出现，不参与公因式构成， ∴ 最大公因式为； 【变式2】．多项式的公因式是__________． 【答案】 【分析】本题根据公因式的定义，先计算多项式各项系数的最大公约数，再提取各项共有的相同字母的最低次幂，两者乘积即为所求公因式． 【详解】解：， 因此多项式的公因式为． 【变式3】．与的公因式是________． 【答案】 【分析】根据公因式的定义，分别求出系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，相乘即可得到公因式． 【详解】与的公因式为． 题型4 提公因式法分解因式 解题技巧（一提干净、符号归位法） 1. 找全公因式：按系数、字母、指数三步锁定最大公因式； 2. 整体提取：一次性提净所有公因式，杜绝残留部分公因式； 3. 符号处理：首项为负，必提负号，括号内各项统一变号； 4. 补1原则：某项全部提出后，剩余位置补1，禁止空项； 5. 检验：提取后用整式乘法还原，核对与原式是否一致。 【典例4】．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式即可完成分解； （2）先凑出公因式，然后运用提取公因式法求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 【变式1】．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】首先观察多项式各项，确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，两者相乘得到公因式；因为因式分解提公因式法的规则是将公因式提取到括号外，所以用多项式的每一项分别除以公因式，将得到的结果作为括号内的因式，整理后完成分解；如果多项式首项系数为负，那么先提取负号，使括号内首项系数为正，再对剩余部分提取公因式． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式3】．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 题型5 平方差公式分解因式 解题技巧（先判结构、再套公式） 1. 结构判定：严格满足两项、平方形式、符号相反； 2. 变形适配：非标准形式先整理、移项、提负号，凑平方差结构； 3. 分解运算：； 4. 彻底检查：分解后若仍有平方差结构，必须二次分解，杜绝半途而废。 【典例5】．下列多项式可以用平方差公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能用平方差公式分解的多项式需要满足可写成的形式，即两个平方项符号相反，为差的形式，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，是两个平方项的和，符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解； 选项B：，符合的形式，满足平方差公式分解因式的条件； 选项C：，两个平方项符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解； 选项D：，是两个平方项的和，符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解． 【变式1】．因式分解：_____． 【答案】 【分析】运用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 【变式2】．因式分解：． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ． 【变式3】．已知为正整数，用因式分解的方法证明能被整除． 【答案】证明： ， 为正整数， 和是两个连续正整数，其中必有一个能被整除，即是的倍数， 可设（为正整数）， ， 是的倍数，为正整数， 能被整除． 【分析】先利用平方差公式对原式进行因式分解，再根据为正整数得到和是连续正整数，必有一个是偶数，由此证明分解后的式子含有因数，即可说明原式能被整除． 【详解】略 题型6 完全平方公式分解因式 解题技巧（三判一定、精准套用） 1. 结构三判：三项式、首尾平方且同号、中间项为±2倍首尾底数积； 2. 符号判定：中间项正则和平方，中间项负则差平方； 3. 易错规避：严格区分平方差与完全平方，不缺项、不错符号； 4. 整体套用：底数可为单项式、多项式，整体视作一个整体分解。 【典例6】．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、多项式无法化为两数差的平方形式，不能用完全平方公式分解． B、为平方差形式，不能用完全平方公式分解． C、，能用完全平方公式分解． D、多项式无法化为两数和或差的平方形式，不能用完全平方公式分解． 【变式1】．分解因式：______． 【答案】 【分析】先整理原式为，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 【变式2】．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则 原式 再将“a”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)因式分解：______． (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照材料的解题方法，将看成整体，进行因式分解即可； （2）仿照材料的解题方法，将看成整体，将式子整理后进行因式分解即可． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令，则 原式 再将“a”还原，得原式． （2）解：将“”看成整体，令，则 原式 再将“m”还原，得原式． 【变式3】．下列多项式中，哪些可以用公式法因式分解？你是怎样分解的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)可以用公式法因式分解，结果为 (2)不可以用公式法因式分解 (3)可以用公式法因式分解，结果为 (4)不可以用公式法因式分解 【详解】（1）解：可以用完全平方公式分解因式； ； （2）解：不符合完全平方公式特点，不能用公式分解因式； （3）解：可以用完全平方公式分解因式： （4）解：不符合完全平方公式特点，不能用公式分解因式． 题型7 综合提公因式和公式法分解因式 解题技巧（先提后套、层层分解） 1. 固定顺序：先提公因式（必须第一步），再判断剩余式子结构； 2. 结构匹配：提完公因式剩两项→套平方差，剩三项→套完全平方； 3. 逐层分解：一次分解后仍可分解的，持续分解至最简； 4. 最终校验：无公因式、无平方结构、所有因式均为最简整式。 【典例7】．把下列各式因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型8 因式分解在有理数简算中的应用 解题技巧（提公因式凑整、公式化简秒杀） 1. 核心思路：逆向思维，将复杂加减算式转化为乘积形式； 2. 提公因式简算：提取公共数字、小数、分数，合并凑整； 3. 公式简算：凑平方差、完全平方结构，消去复杂乘方、乘法； 4. 优势：大幅减少大数运算、小数运算，零误差快速出结果。 【典例8】．利用因式分解进行计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式1】．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式因式分解后计算； （2）先对式子变形，再用完全平方公式因式分解后计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】．因式分解、用因式分解进行简便计算： (1)因式分解：； (2)用因式分解进行简便计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： . 【变式3】．用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)41200 (2)3200 【详解】（1）解：原式     ； （2）解：原式 ． 题型9 十字相乘法 解题技巧（拆常数、凑中项、十字验证） 1. 适用题型：二次三项式； 2. 核心口诀：首尾拆分、交叉相乘、和为中项； 3. 拆分规则：拆分常数项c，两个数乘积等于c，和等于一次项系数b； 4. 符号规律：c正两数同号，c负两数异号，跟随中项符号； 5. 书写结果：横向书写因式，拆分正确直接组合。 【典例9】．将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1】．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式分解彻底即可； （2）先分组分解，再利用提取公因式法分解即可; 【详解】（1）解： ; （2）解： ; 【变式2】．利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，、、、为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将拆为，拆为9与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （2）将拆为，拆为1与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （3）把看成整体，将拆为，6拆为与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：， ，，， ； （2）解：， ，，， ； （3）解：， ，，， ． 【变式3】．项目式学习 素材1：用配方法分解二次三项式 对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种方法称作“配方法”． 例如，把分解因式，我们可以这样进行：     （加上，再减去）         （完全平方公式）     （平方差公式） ． 配方法是代数变形时常用的一种重要方法，我们在今后会继续学到． 素材2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． (1)任务目标1：根据素材1，把分解因式； (2)任务目标2：结合素材1和素材2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）直接根据材料1，仿照例题即可求解； （2）①令，仿照例题即可求解； ②令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解：①令， 则原式， 所以； ②令， 则原式 ， 所以原式 ． 题型10 分组分解法 解题技巧（合理分组、先组后整） 1. 适用题型：四项及以上多项式，无整体公因式、无法直接套公式； 2. 分组原则：两两分组、三一分组，优先保证组内能分解、组间有公因式； 3. 解题步骤：分组→组内提公因式/套公式→整体提公因式→分解彻底； 4. 技巧：多次尝试分组方式，以最终可整体分解为判定标准。 【典例10】．在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如： ．若a，b，c是的三边长，且满足 ，则的形状为（     ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】将已知等式移项后分组因式分解，结合三角形三边的性质即可判断的形状． 【详解】解： ， 移项得 ， 分组得 ， 分解得 ， 提取公因式得 ， ∵ ，，是的三边长， ∴ ，即 ， ∴ ，即 ， ∴ 是等腰三角形． 【变式1】．对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 例：． 请用分组分解法将因式分解为___． 【答案】 【分析】观察多项式结构，将后三项分为一组，可利用完全平方公式分解，前两项分为一组，可利用提公因式法分解，分组后再提取公因式即可完成因式分解． 【详解】解： ． 【变式2】．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解，请阅读下面材料完成相应问题． 从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． 分组分解法：例如：． 拆项法：例如：． (1)利用分组分解法，因式分解； (2)利用拆项法，因式分解； 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到因式分解的恒等式． (3)根据图1，多项式可以因式分解为___________； (4)根据图2，若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)12 【分析】（1）根据题干中提供的信息利用分组分解法即可； （2）根据题干中提供的信息利用拆项法分解因式即可； （3）结合图形可得大长方形的面积等于内部所有小图形的面积之和，从而利用因式分解得出结果； （4）根据图形可得出，结合已知条件可得到，由图形边长的实际意义可知，a，b，c均为正数，从而求得结果． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：由图1可知，大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的总面积为， ∵大长方形的总面积等于内部所有小图形的面积之和，即， 两个表达式对应同一个图形的面积， ∴因式分解结果为． （4）解：由图2可知，大正方形的总面积等于内部所有小图形的面积之和， ∴， ∵，， ∴， 由图形边长的实际意义可知，a，b，c均为正数， ∴， ∴． 【变式3】．常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先因式分解，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 原式． 题型11 因式分解的应用 解题技巧（建模转化、因式简化求值） 1. 代数式求值：先因式分解化简式子，再代入数值，简化复杂运算； 2. 整除问题：分解后含目标整式，即可判定整除关系； 3. 最值问题：配方分解为完全平方形式，利用平方非负性求最值； 4. 实际应用：面积、周长、数量关系建模，因式分解简化列式计算。 【典例11】．若一个正整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“梦想数”．例如：因为5可以表示为的形式，所以5是“梦想数”． (1)若13是“梦想数”，则13可以表示为的形式； (2)请你再写两个小于30的“梦想数”（5和13除外）：________，________； (3)已知（x，y，k是正整数），要使M为“梦想数”，求k的值．（用因式分解的方法解答） 【答案】(1)2，3 (2)10，25．（答案不唯一） (3) 【分析】（1）根据“梦想数”的概念解答； （2）根据“梦想数”的概念解答； （3）根据完全平方公式将代数式进行变形，可求k的值． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：由，， 故是“梦想数”； （3）解： 要使M是“梦想数”， 则为完全平方式， ， 是正整数， ，此时，是“梦想数”． 【变式1】．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，，，因此，，都是“和谐数”． (1)特例感知： “和谐数”， “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)，为正整数，且，若是“和谐数”． 求的值； 若是“和谐数”，请说明是“和谐数”． 【答案】(1)是，不是 (2)能，理由如下： 设两个正奇数分别是和， ， “和谐数”能被整除； (3)； 是“和谐数”， （为正整数）， 由知，， ， ， ， ， ， ， 是“和谐数”． 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，进而表示出，再将和分别代入求解，据此判断即可； （2）根据“和谐数”的定义及完全平方公式进行说明即可； （3）先利用平方差公式化简的表达式，再利用“和谐数”的定义求解即可；利用中的结论将、转化为关于的表达式，再利用“和谐数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数， ， 令，解得，是正整数， 即， 是和谐数； 令， 解得，不是正整数， 不是和谐数； （2）略； （3）解：根据题意得：， 是“和谐数”， ； 略． 【变式2】．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： (2)证明：无论取何值时，的值一定是非负数． 【答案】(1) (2)证明：将“”看成整体，令， 则：原式， 再将“”还原，得原式， ， 无论取何值时，的值一定是非负数． 【分析】（1）令，代入原式，利用完全平方式因式分解，再将“”还原即可； （2）令，代入原式，化简后再利用完全平方式因式分解，再将“”还原，得原式，任何情况下，都是非负数，题目得证． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则：原式， 再将“”还原，得原式； （2）略 【变式3】．代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论． 【提出问题】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究． (1)【特例感知】小明的方法是从小到大逐一列举： 3 则小明列举的第8个“智慧数”是 ． (2)【推理证明】小华在小明列举的基础上发现：除1外，所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明： 证明：设k是正整数， 又∵k是正整数，∴为大于或等于3的奇数． ∴除1外，所有的正奇数都是“智慧数”． 她还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，请参考上面的方法进行证明． (3)【综合应用】用含有k的式子表示除1、2、4外的其它非“智慧数”：___________（k是正整数），将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是___________． 【答案】(1)13 (2)证明：设n是大于1的正整数， 则 ， ∵n是大于1的正整数， ∴和都是正整数， ∴是“智慧数”， 又∵能被4整除， ∴除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”． (3)；2703 【分析】（1）根据规律即可解答； （2）仿照题中的证明，即可解答； （3）根据探究，前四个正整数只有3是“智慧数”，后面的正整数每连续四个中就有三个是“智慧数”，由此可得第2025个“智慧数”，进而可得答案． 【详解】（1）解：第7个“智慧数”是； 第8个“智慧数”是； （2）略 （3）解：由（2）可知除1外的所有奇数是“智慧数”，除4外的所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， ∴除1，2，4外的非“智慧数”一定是偶数且不能被4整除， ∴除1，2，4外的非“智慧数”除以4的余数一定为2， ∴除1，2，4外的非“智慧数”可以表示为； 观察可知，从1开始的正整数中，前四个正整数中只有3为“智慧数”，此后每连续四个正整数中有三个“智慧数”， 将智慧数分为3个一组，在第2组开始，每组的第一个数为的组数倍， ∴第n组的第一个数为（，且n为正整数）． ∵， ∴第2025个智慧数是第675组中的第3个数， ∴第2023个智慧数是2700，第2024个智慧数是2701，第2025个智慧数是2703． 1．下面各式从左到右的变形，属于正确的因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A中，等式右边为，不是整式乘积的形式，不属于因式分解，不符合要求； 选项B中，变形是整式乘法，是从整式乘积化为多项式，不是因式分解，不符合要求； 选项C中，左边是多项式，右边是整式乘积，且，变形正确，属于正确的因式分解，符合要求； 选项D中，，变形错误，不符合要求. 2．若多项式可分解为，则的值为（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先展开因式分解后的式子，利用多项式相等对应项系数相等求出和的值，再计算即可． 【详解】首先展开因式分解后的式子 又原多项式为，两个多项式相等对应系数相等 ∴， 将代入得 ∴ 故选：C． 3．已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为（     ） A．8 B． C． D．24 【答案】B 【分析】若多项式含有因式，则当时，该多项式的值为，代入即可求出的值. 【详解】解：∵ 二次三项式有一个因式为 ， ∴ 当时，， 将代入等式得： ， 化简计算得：， 解得：. 4．将多项式分解因式时，应提取的公因式为（     ） A． B．y C． D． 【答案】C 【分析】先求系数的最大公约数，再找各项共有的相同字母的最低次幂，两者乘积即为公因式． 【详解】解：∵多项式的系数为和，和的最大公约数是， 又∵两项共有的相同字母为，的最低次幂是，多项式第一项不含字母， ∴应提取的公因式为． 5．一次课堂练习，小敏同学做了如下四道因式分解的习题，你认为小敏同学分解不彻底的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：，分解彻底，不符合要求； B选项：，分解彻底，不符合要求； C选项：，分解彻底，不符合要求； D选项：，其中仍可利用平方差公式继续分解为，因此该选项分解不彻底，符合题意． 6．若a、b、c为三角形的三条边长，且，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对等式左边用平方差公式因式分解，结合三角形三边关系判断m的符号． 【详解】解： ， ∵为三角形的三条边长， ∴， ， ∴， ， ∴， 即． 7．图1中有三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形．将图1中不同卡片“叠”在一起，可得面积之差，图2是种卡片与种卡片叠放在一起的，阴影部分的面积，图3是种卡片与种卡片叠放在一起的图形，其阴影部分的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据图形阴影面积列出两个等式，再将两式相减化简，变形得到的值． 【详解】解：根据题意可知，，， 则， 由，， 可得， 故． 8．小丁喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列四个字：安，美，好，吉，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．好美 B．美好 C．吉安美 D．吉安好 【答案】C 【分析】先利用提取公因式法和平方差公式对原式因式分解，再结合已知的式子与汉字的对应关系，得到结果对应的密码信息． 【详解】解：∵ ， 由已知对应关系，对应美，对应吉，对应安， ∴ 三个因式对应的汉字为美、吉、安， 结果呈现的密码信息是吉安美． 9．如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出一个多项式的因式分解（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算四个小图形的面积之和，再确定拼成的大长方形的长和宽，根据面积相等即可得出多项式的因式分解形式，注意因式分解是将和化为积的形式． 【详解】解：∵四个小图形的面积分别为：，，，， ∴四个图形的面积之和为：， 又∵这四个图形能拼成一个大长方形， ∴大长方形的长为，宽为或长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∴根据面积相等可得：且符合多项式的因式分解． 10．利用因式分解可以生成密码，其方法为：先对给定多项式进行因式分解，再对各因式赋值得到因式码，最后将因式码按照从小到大的顺序排列即可得到密码．例如多项式，可分解因式得到．若取，，可得，，，其中12，17，13即为各因式对应的因式码，将这些因式码按从小到大排序后即可得到密码121317．现有多项式，当取，时，按照上述方法生成的密码是（     ） A．4840 B．4820 C．8420 D．4480 【答案】A 【分析】先对给定多项式用平方差公式因式分解，再代入p、q的值计算各因式的结果，将结果从小到大排序后拼接得到密码，即可选出正确选项． 【详解】解：对多项式因式分解 再对用平方差公式分解，得 将，代入各因式计算： 得到因式码为，按从小到大排序后拼接得密码． 11．因式分解：________． 【答案】 【分析】整理后提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 12．若，，则_______． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ． 13．定义∶是以，，为系数的二次多项式，即，其中，，均为实数，例如，，则．若，则_________． 【答案】 【分析】本题为新定义下的多项式乘法问题，先根据定义写出两个多项式的乘积等式，再将代入等式，通过提取公因式化简即可得到所求结果． 【详解】解： 根据定义可得，， 因此可得， 将代入等式两边，得， ∴， ∴， ∴． 14．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是：____________（写出一个即可）． 【答案】121236或361212或123612（答案不唯一） 【分析】先对多项式运用提公因式法和平方差公式进行因式分解，再代入，计算各因式的值，将各因式的值按顺序组合即可得到密码． 【详解】解： ， 当，时，，， 将三个因式的值按顺序排列，可得密码为121236或361212或123612． 15．阅读材料，并填空： 索菲·杰曼是18世纪法国著名女数学家，被誉为“数学花木兰”． 她猜想并证明了“（，且m为自然数）一定是合数”．为了纪念她的发现，后人称为杰曼合数．她的证明过程就是对二项式进行因式分解．此二项式既没有公因式可提，也不能直接利用公式．她发现该二项式可化为平方和形式：，与完全平方式“”对比，缺少了中间项“”．于是原式加上，为了不改变原式的值再减去，原式变为，化简得到（______），最后利用平方差公式再进行一次因式分解，可得______，由此得证：当且为自然数时，一定能化为两个非“1”整数乘积的形式，所以一定是合数． 【答案】 【分析】第一空，利用完全平方公式把前面三项分解因式即可；第二空，利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 16．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因数，再利用完全平方公式进行因式分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．【阅读材料】要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得，这种分解因式的方法称为分组分解法． 根据以上方法回答下列问题： (1)【尝试填空】________； (2)【解决问题】因式分解：； (3)【拓展应用】已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)这个三角形是等边三角形，理由如下： ， ， ∴， ，， ． ，，                 ，， ， ∴这个三角形是等边三角形． 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，利用非负性得到，，之间的关系，即可得出结果． 【详解】（1）解：原式  ． （2）解：原式， ， ．                 （3）略 18．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式． 材料：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项， 而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ． 人们为了纪念苏菲・姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，原式可化为，再进一步求解即可； （2）把原式化为，再进一步求解即可； （3）把原式化为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：设， ； （2）解： （3）解： ． 19．在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图1可以得到；如图2可以得到；现有长与宽分别为，的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为__________，小正方形的面积可表示为__________________； ②结合图3的拼接方式，直接写出与之间的关系：__________________________； （用含，的代数式表示出来） (2)若满足，求的值； (3)【拓展提升】 如图4，在正方形中，，分别是边，上的点，已知，，长方形的面积是，分别以，为边作正方形，正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)①；；② (2) (3) 【分析】（1）①结合图形直接写出答案即可；②用两种不同的方法表示大正方形面积即可； （2）利用完全平方公式计算即可；设，，则，，再利用完全平方公式计算即可； （3）设，，求得，，利用完全平方公式求得，再利用计算即可． 【详解】（1）解：①观察图3，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积可表示为，小正方形的面积可表示为； ②大正方形是由个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成， 则与之间的关系：； （2）解：设，，则，， ， ． （3）解：设，， 由题意得，，， 正方形， ， ，即， ，， ， 正方形，正方形， ． 20．我国著名数学家华罗庚曾言：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”实则，数与形是刻画同一数理内涵的两种表征形式——代数算式是符号语言，几何图形是直观语言，二者互通互译，方能尽显数学本质． 【材料准备】 如图1所示，有①②③种不同型号的卡片若干，其中型号①、型号②分别是边长为和的正方形，型号③是长为，宽为的长方形． 【析形感数】 (1)现用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形，根据图示写出一个因式分解式子：_______________； 【析数构形】 (2)以上型号卡片（数量不限）能拼出面积为的长方形吗？说明理由． 【数形融通】 (3)已知1个型号①，个型号②和个型号③卡片能拼成一个大长方形．解决问题： ①当时，求满足条件的所有的值； ②求证：是一个整数的平方． 【答案】(1) (2)解：能拼出，理由如下： ∵， ∴用1张型号①，2张型号②和3张型号③卡片，可以拼成一个长，宽的大长方形． (3)①的值为，，； ②证明：∵1个型号①，个型号②和个型号③能拼成一个大长方形， ∴大长方形的面积为，且可以因式分解， 设（、为正整数）， ∴，， ∴ ， ∵、为正整数， ∴是整数， ∴是一个整数的平方． 【分析】（1）分别用两种式子表示出大正方形的面积，即可得出答案； （2）把因式分解，得出，即可得出答案； （3）①先根据所用卡片表示出大长方形的面积，设大长方形的长为，宽为，得出长方形面积，对照系数得出，根据、为正整数得出符合条件的、的值，即可求出的值； ②由所用卡片表示出大长方形的面积为，设，可得，，进而用、表示出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形， ∴大正方形的面积可表示为， 大正方形的面积还可表示为， ∴写出一个因式分解式子为． （2）解：略 （3）解：①∵1个型号①，个型号②和个型号③能拼成一个大长方形，， ∴大长方形的面积为， 设大长方形的宽为，长为，（、为正整数，）， ∴大长方形的面积为， ∴， ∴， ∵、为正整数， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴的值为，，． ②略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $