第9讲 画轴对称的图形 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第9讲画轴对称的图形 目录 知识点1 轴对称变换的性质 2 知识点2 画轴对称图形的通用步骤 2 知识点3 平面直角坐标系对称规律（必考） 3 知识点4 镜面对称核心规律 3 知识点5 轴对称综合不变量 3 题型1 画轴对称图形 3 题型2 车牌号码的镜面对称 7 题型3 钟表的镜面对称 8 题型4 电子钟示数的镜面对称 11 题型5 坐标系中的对称 12 题型6 坐标与图形变化——轴对称 14 题型7 线段问题（轴对称综合问题） 16 题型8 面积问题（轴对称综合问题） 21 题型9 角度问题（轴对称综合问题） 26 题型10 其它问题（轴对称综合问题） 31 1. 知识目标：掌握轴对称变换的核心性质，熟练掌握画轴对称图形的标准步骤；熟记平面直角坐标系中坐标对称规律，了解生活中镜面对称的成像特点。 2. 能力目标：能规范绘制平面、坐标系中的轴对称图形，快速破解车牌、钟表、电子钟等镜面对称题型；熟练解决轴对称背景下的线段、角度、面积等综合几何问题。 3. 素养目标：建立数形结合、空间对称思维，掌握图形变换的不变性规律，提升几何作图、推理与综合计算能力。 知识点1 轴对称变换的性质 1. 轴对称变换前后的图形形状、大小完全不变（全等），仅位置改变。 2. 对称轴垂直平分任意一组对应点的连线。 3. 对称轴上的点的对称点是自身，对应线段相等、对应角相等。 4. 整个图形可由轴对称变换得到，是图形全等变换的重要形式。 知识点2 画轴对称图形的通用步骤 一找、二作、三连三步法： 1. 找：找出原图形的关键点（顶点、端点、转折点、交点）； 2. 作：过每个关键点作对称轴的垂线，延长截取等长线段，得到对称点； 3. 连：按照原图形顺序，依次连接所有对称点，得到轴对称图形。 例：如图(1)，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线对称的图形. （1）过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'=OA，A'就是点A关于直线l的对称点； （2）同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B'，C'； （3）连接A'B'，B'C'，C'A'，则△A'B'C'即为所求. 知识点3 平面直角坐标系对称规律（必考） 设点坐标为： 1. 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标变号 → 已知P点坐标，则它关于轴的对称点的坐标为，如下图所示： 　 即关于轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标互为相反数． 2. 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标变号 → 3. 关于直线对称：纵坐标不变，横坐标： 4. 关于直线对称：横坐标不变，纵坐标： 知识点4 镜面对称核心规律 1. 镜面成像为左右翻转、上下不变的轴对称变换； 2. 像与实物大小一致、左右相反，与竖直镜面成轴对称； 3. 钟表、数字、字母镜面对称均可通过左右翻转还原真实样貌。 知识点5 轴对称综合不变量 1. 不变量：边长、周长、角度、面积完全相等； 2. 变化量：点的位置、坐标、图形摆放方向。 题型1 画轴对称图形 解题技巧（三步规范作图法） 1. 定点：只抓取图形关键顶点，无需标记多余点，简化作图； 2. 作对称：过点作对称轴垂线，垂足居中，两侧线段长度严格相等； 3. 顺连接：严格按照原图顶点顺序连线，保证图形结构一致； 4. 核验：对应点连线垂直对称轴、距离相等，图形全等无变形。 【典例1】．如图，以直线为对称轴画出图形的另一半． 【答案】 解：如下图即为所求， 【分析】分别作出特殊点关于直线的对称点，顺次连接对应点得到的图形即为所求． 【详解】略 【变式1】．作图题（保留作图痕迹，不写作法）如图，已知， (1)作关于直线的轴对称图形； (2)作出中边上的高． 【答案】(1)如图，即为所作： (2)如图，高即为所作． 【分析】（1）分别作出、、关于直线的对称点，依次连接即可； （2）过点作所在直线的垂线段，垂足为，即为所求高． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2】．请在如图①②③的正方形网格中画出一个与已知三角形全等的三角形，使它与已知三角形组成一个轴对称图形，并用虚线画出其对称轴． 【答案】如图： 【分析】利用轴对称图形性质从左右对称，上下对称出发可画出题目所要求的图形． 【详解】略． 【变式3】．解决下列问题： (1)尺规作图，在图中，作中的平分线（只保留作图痕迹，不写作法．） (2)如图，把直角三角形放置在方格纸上，三角形的顶点都在格点上．在方格纸上用三种不同的方法画出与已知三角形成轴对称的三角形．（要求：在给定的图中画图，所画出的三角形的顶点都在格点上，所画出的三角形不涂黑） 【答案】(1) 解：如图，射线即为所求的角平分线 (2)解：如图三个三角形即为所求 【分析】（1）作的角平分线：先以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；再分别以这两个交 点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径画弧，两弧相交于一点；最后过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是角平分线． （2）根据轴对称图形的定义，找到对称轴进而画出图像即可． 【详解】（1）略． （2）略． 题型2 车牌号码的镜面对称 解题技巧（水平翻转、逐字符还原） 1. 核心原理：车牌镜面左右翻转、上下不颠倒； 2. 快速解法：将试卷/图片水平翻转180°（左右翻），直接读取真实号码； 3. 特殊字符：0、1、8左右对称不变，6与9互为翻转，其余字母数字反向识别； 4. 避坑：切勿上下翻转，杜绝数字颠倒错误。 【典例2】．一名运动员的球衣号码是“”，他在照镜子的时候，在镜子里看到的“号码”是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，可得在镜子里看到的“号码”是： ， 故选：C． 【变式1】．一列数字映在镜子里的像如图，这列数字是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查镜面对称性质，属于简单题，关键在于能够理解镜面对称性质.根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，据此作答即可. 【详解】根据镜面对称的性质，可以得到号码为， 故选：B. 【变式2】．小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 【答案】3265 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的号码与3265成轴对称，所以此时实际号码为3265， 故答案为：3265． 【变式3】．一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是_______． 【答案】 【分析】本题考查了镜面反射的性质；关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称． 【详解】解：实际车牌号是． 故答案为：． 题型3 钟表的镜面对称 解题技巧（12点互补法、快速算时间） 1. 万能公式：真实时间 = 12:00 − 镜面显示时间； 2. 原理：钟表镜面左右对称，整体与原钟表互补； 3. 实操方法：先读镜面时针分针时间，再用12时减法换算； 4. 整点特例：镜面显示12点、6点，真实时间不变。 【典例3】．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称． 【详解】解：实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点， 那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子， 所以应该是A或D答案之一，这两个答案中更接近八点的应该是第四个图形． 故选：D． 【变式1】．小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称．把镜中的表针的时刻再还原到实际即可选择． 【详解】解：如图， 接近的有A、C，A是，C是，最接近的是C． 故选：C． 【变式2】．墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是____________． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好左右相反，据此作答即可． 【详解】根据轴对称性质得，实际钟表如下： ∴实际时间是． 故答案为：． 【变式3】．河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是_________． 【答案】3时35分 【分析】本题考查轴对称，掌握轴对称的性质是解题的关键. 大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称，图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反，据此作答即可. 【详解】解：∵大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称， 如图， 图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反， ∴实际时间是，即3时35分. 故答案为：3时35分. 题型4 电子钟示数的镜面对称 解题技巧（翻转读数、字符互换） 1. 成像特点：电子数字左右翻转，时序位置整体颠倒； 2. 数字互换规则：镜面6变9、9变6，0、1、8保持不变； 3. 读数步骤：整体左右翻转 → 替换对称数字 → 读取真实时间； 4. 注意：电子钟无12点互补规律，仅用翻转法还原。 【典例4】．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，掌握镜面对称的性质是解决本题的关键． 根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，与成轴对称， ∴此时实际时刻为． 故选D． 【变式1】．下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据平面镜中的像与原示数左右对称，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．在平面镜中的像为，与原示数相同，符合题意； B．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； C．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； D．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意． 故选：A． 【变式2】．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 【答案】 【分析】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，据此解答即可． 【详解】解：根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称可知： 时间应该是． 【变式3】．东东放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车．由于去的早，他在候车室睡着了，等醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，则东东醒来时的正确时间是______． 【答案】 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据平面镜中的示数与实际时间左右对称，即可求解． 【详解】 解：∵平面镜中电子钟示数为“”，与左右对称， ∴东东醒来时的正确时间是“”， 故答案为：． 题型5 坐标系中的对称 解题技巧（记准口诀、快速换号） 1. 对称口诀：x对称x不变y变号，y对称y不变x变号； 2. 平行直线对称：关于、对称，用中点公式计算坐标； 3. 解题步骤：定点坐标→套对称规律→求出对称点→核验中点在对称轴上； 4. 易错规避：区分坐标轴对称与平行直线对称，不混淆坐标变换规则。 【典例5】．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可直接求解． 【详解】解：∵关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， 又∵点的坐标为，其横坐标为，纵坐标为，的相反数为， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 【变式1】．点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是． 【变式2】．已知点与点关于轴对称，则________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律：关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，求出，的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ． 【变式3】．已知点和点关于轴对称，则___________． 【答案】 【分析】本题考查关于轴对称的两点的坐标特征，求代数式的值，关键是掌握两点关于轴对称的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数.根据特征求出与的值，再代入所求代数式计算即可. 【详解】解：关于轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数， ∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴. 题型6 坐标与图形变化——轴对称 解题技巧（点变带动形变、定点绘图） 1. 核心思路：图形对称只需变换所有顶点坐标，边随顶点变化； 2. 标准流程：求各顶点对称坐标→坐标系描点→按原图顺序连线； 3. 性质应用：变换后图形周长、面积、边长完全不变； 4. 拓展：可根据坐标变化，反向判断对称轴位置。 【典例6】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，易得点和点关于直线对称，即可得出结果. 【详解】解：∵的顶点坐标分别为，，， ∴轴， ∵，且点在第四象限， ∴点和点关于直线对称， ∴. 【变式1】．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变得出，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵点的坐标和点的坐标关于轴对称， ∴，， ∴． 【变式2】．已知点与点关于轴对称，则______． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解： 点与点关于轴对称， ，， ． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，荷花 A，B，C，D的坐标分别是．为了让整个布局关于y轴对称，尽显对称美学，请你选择其中一朵荷花，通过一次平移实现这一目标．写出你的操作过程：______． 【答案】A点荷花向左平移1个单位长度 【分析】根据轴对称和平移的定义即可解答． 【详解】解：∵四个点中，点和关于y轴对称， ∴平移点A使得其与关于y轴对称， ∴平移A点荷花向左平移1个单位长度得到可实现目标．（答案不唯一） 题型7 线段问题（轴对称综合问题） 解题技巧（对称转化、线段等量替换） 1. 核心性质：对称线段长度相等，可实现线段转移、等量代换； 2. 解题思路：利用对称将分散线段转化到同一直线，求线段和、差最值； 3. 常用模型：将军饮马模型，借助轴对称化折为直； 4. 计算方法：结合勾股定理、线段中点性质求解长度。 【典例7】．某景区有一条笔直的观光车道和两个著名景点，景区计划在观光车道旁修建一个休息站，并铺设步道分别连接两个景点．某同学用直线（虚线）表示车道，，两点表示景点，线段（实线）表示步道，画出了如下四个示意图，则所需步道最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查最短路径问题，应作对称点，使三点的连线在同一直线上，这是此类问题的解题目标，把握此目标即可正确解题．根据轴对称分析即可得到答案． 【详解】根据题意，所需步道最短，应过点或点作对称点，再连接另一点，与直线的交点即为休息站，故选项A、B、D均错误，选项C正确， 故选：C． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，在轴上找一点，使得的周长最小，则当的周长取得最小值时，点坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则点即为所求． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则点 故答案为：． 【变式2】．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． (1)在图①中，点在格线上且是边上一点，作点关于的对称点； (2)在图②中，点是边上一点，在边上找点，使的值最小． 【答案】(1)如图①所示，点即为所作： (2)如图②所示，点即为所作 【分析】（1）根据网格的特点作出关于的对称线段，进而找到与网格线的交点，即可求解； （2）找到关于的对称点，连接交于点，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”． 【分析问题】 (1)如图1，为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案．正确的方案是____________（填序号）． 【解决问题】 (2)如图2，在中，点与点关于直线对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为____________． 【类比探究】 (3)如图3，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3上作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹） ②当将军走过的路程最短，且时，则____________． 【答案】(1)④ (2)11 (3)①如图，点、即为所求 ②70 【分析】（1）经典将军饮马问题中，求直线上一点使最短的方法是：作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线的交点即为所求； （2）连接，根据轴对称得出，则的周长，得出最小值为的长度，即可解答； （3）①分别作点关于的对称点、点关于的对称点，连接，交于，交于，点、即为所求，此时最短； ②由对称性质可知：，，从而求出，在中，根据三角形内角和定理求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴的周长， 当点共线，且点位于之间时，最小，最小值为的长度， ∵，， ∴周长最小值为； （3）解：①略 ②如图， 由对称性质可知：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 题型8 面积问题（轴对称综合问题） 解题技巧（全等等积、割补平移） 1. 核心结论：轴对称图形前后面积完全相等； 2. 阴影面积技巧：利用对称割补、拼接，将不规则图形转化为规则图形； 3. 组合图形：对称重叠部分面积相等，可抵消重复区域、简化计算； 4. 无需重复计算对称区域面积，直接等量代换求值。 【典例8】．如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，难度一般，要求学生熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用，便能简单做出此题． 连接，，根据轴对称的性质得到，，，求出，根据面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， 点P、关于对称，点P、关于对称，， ，，， ， 的面积， 故答案为：． 【变式1】．如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 【答案】8 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 【变式2】．如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的； (2)求四边形的面积； (3)在平面直角坐标系中，是否存在另一点，使得与全等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) (3)存在点，使得与全等，、和 【分析】本题主要考查了利用网格作轴对称图形，利用网格求出图形的面积，全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用网格作轴对称图形即可； （2）利用网格求梯形的面积即可； （3）借助网格和全等三角形判定定理，求点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）解：； （3）解：存在，如图所示， 当，此时点； 当，此时点； 当，此时点； 则存在点，使得与全等，、和． 【变式3】．如图，已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的， (2)连接、，直接写出四边形的面积． 【答案】(1) 如图，即为所作图形； (2)35 【分析】本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换及面积计算，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征以及利用割补法求面积． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，找到、、的对称点，再连接成三角形； （2）利用割补法求面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接、， 四边形的面积为：． 题型9 角度问题（轴对称综合问题） 解题技巧（对应角相等、逐层推导） 1. 核心性质：轴对称对应角完全相等，对称轴平分对应点的夹角； 2. 解题步骤：标注已知角→利用对称找等角→结合三角形内角和、平角推导未知角； 3. 常见模型：折叠类角度题本质为轴对称，折叠前后角度不变； 4. 关键：找准对称对应角，避免错找对应关系。 【典例9】．如图，在中，，，与关于直线成轴对称，，连接，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质；由轴对称图形的性质可得，进而结合三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：与关于直线成轴对称， ， ，， ， ， ，与关于直线成轴对称， ， ， ． 故选：C． 【变式1】．如图，在四边形中，，，点M，N分别是，上两个动点，当的周长最小时，的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查利用成轴对称的特征进行求解，作点关于的对称点，关于的对称点，连接与的交点即为所求的点、，利用三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，关于的对称点，则：． ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长最短， 连接与的交点即为所求的点、，如图： ∵， ∴三点共线，三点共线， ， 由轴对称的性质得： 故答案为：． 【变式2】．在一次数学活动课上，老师要求同学以“折纸中的数学”为主题开展折纸活动．如图1，在长方形纸片中，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处；再将沿折叠，使点落在点处，且，，三点在同一条直线上． (1)求的大小； (2)图2是由图1得到的四边形纸片，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，，，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，根据平角的定义，即可求解； （2）由（1）可知：，根据折叠的性质设，，根据平角的定义可得，，解方程求出，，结合四边形的内角和是，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，由图形折叠的特征可得：，， ， ， ． （2）解：如图2： 由（1）可知：， 设，， 则，， ∵，， 故，， 解得，， 在四边形中，， 在四边形中，． 【变式3】．如图，在中，，，，点为线段上一动点（点不与点重合），连接． (1)如图1，求证：． (2)过点作，交延长线于点．设． ①如图2，求的度数（用含的代数式表示）； ②如图3，当点与点关于直线对称时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①② 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性质，轴对称的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据条件得出为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质得出垂直平分线段，根据线段垂直平分线的性质即可得出结论； （2）①根据（1）中结论得出，继而得出，最后利用直角三角形的性质进行求解即可； ②利用轴对称的性质得出，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， 根据等腰三角形的三线合一得， 垂直平分线段， ∴； （2）解：①∵， ， 由（1）得， ， ∴， 即， 由（1）得为等腰直角三角形， ， ， ∵， ∴为直角三角形， ∴； ②∵点与点关于直线对称， ， 又, ∴， ∴， ∴， 解得． 题型10 其它问题（轴对称综合问题） 解题技巧（抓不变量、数形结合、模型迁移） 1. 通用思路：无论题型多变，始终抓住轴对称边长、角度、面积不变的核心； 2. 动态问题：图形平移、旋转结合对称时，优先锁定对称不变量； 3. 作图探究：先定点对称、再连线，结合几何性质推理结论； 4. 实际应用：图案设计、图形拼接，利用轴对称对称性保证图形规整。 【典例10】．如图，在四边形ABCD中，，，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点A关于CD的对称点H，作点A关于CB的对称点G，连接GH，与CD、CB分别相交于点F、点E，此时的周长最小，通过三角形的内角和定理，可求出∠G+∠H的度数，进而求出∠AEF+∠AFE的度数．最后即可求出的度数． 【详解】 如图，作点A关于CD的对称点H，作点A关于CB的对称点G，连接GH，与CD、CB分别相交于点F、点E； ∵∠BAD=140°， ∴∠G+∠H=180°-140°=40°， ∵点G和点H为点A的对称点， ∴AD=DH，AB=GB， ∵∠EBA=∠FDA=90°，即FD⊥AH，EB⊥AG， ∴FH=FA，EA=EG， ∴∠H=∠FAD，∠G=∠EAB， ∵∠AEF=∠G+∠EAB=2∠G，∠AFE=∠H+∠FAD=2∠H， ∴=180°-（2∠G+2∠H）=100°， 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用轴对称确定最短路径问题，熟练地掌握用轴对称图形的作法，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质是解题的关键． 【变式1】．如图，在四边形中，，，点E，F分别是线段、上的动点． （1）__________； （2）当的周长最小时，的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，四边形内角和为，三角形外角的性质． （1）利用四边形内角和为，即可作答； （2）首先作点关于，的对称点，，延长到点，根据轴对称的性质可得，，，，由“两点之间线段最短”可知当，，，四点共线时，的周长最小，由四边形内角和为可得，再由三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，进行角的和差计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵四边形内角和为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图，作点关于，的对称点，，延长到点， 则，，，， 的周长， 当，，，四点共线时，的周长最小， ，， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 【变式2】．如图是的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1单位，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点A、B、C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求完成画图，并回答问题． (1)直接写出三角形的面积_______； (2)在图1中： ①作的高，作中线； ②在高上画点P，连接，，使； (3)在图2中，M为上任意一点，在上画点N，使． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识点，并理解题意是解此题的关键． （1）利用三角形面积公式计算即可得解； （2）①根据三角形的高，中线的定义画出图形即可；②取点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求； （3）取点，连接，连接交于点，连接并延长交于，连接并延长交于点，则即为所作． 【详解】（1）解：三角形的面积为：； （2）解：①如图，线段，即为所求； ②如图，点即为所求； ； （3）解：如图，线段即为所求， ， 由作图可得，点、关于直线对称， ∴，， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3】．某校计划开展以“艺术点亮校园，梦想成就未来”为主题的校园文化艺术节活动，现向全体同学征集舞台设计方案．设计要求如下： I．舞台在如图1所示的长方形区域内设计，其中，为舞台前后两部分的分割线，（是常数），长方形区域的面积为； II．舞台的设计元素为圆弧和线段，除长方形区域原有的框线外，最多再添加三条圆弧线和两条线段（至少有一条是弧线），其中圆弧线只能用半圆弧和四分之一圆弧； III．设计后的整个舞台是轴对称图形，且舞台深度要达到，宽度要达到，面积大于且小于． (1)图2是七年级（1）班的“妙想”兴趣小组设计的舞台（阴影部分）． ①请直接写出图2中舞台的面积；（用含的代数式表示） ②当时，请通过计算，判断该舞台是否符合设计要求；    (2)请利用图3设计一种舞台方案，选择合适的值，并计算出舞台面积说明该方案满足要求．（画出相关弧线和线段，并用虚线标出的位置，舞台部分用斜线阴影表示）    【答案】(1)①或； ②符合要求，理由： 当时，． ，， ， ， ， 该舞台符合设计要求，   ； (2) 方案一：如图2所示即为所设计的舞台．   ， 当时，． 该舞台符合设计要求． 方案二：如图3所示即为所设计的舞台．   ， 当时，． ， 该舞台符合设计要求． 方案三：如图4所示即为所设计的舞台   ， 当时，． ． 该舞台符合设计要求． 方案四：如图5所示即为所设计的舞台   ， 当时，． ， ． 该舞台符合设计要求． 方案五：如图6所示即为所设计的舞台    当时，． ， ． 该舞台符合设计要求． 【分析】本题考查了长方形、半圆等几何图形的面积计算，以及轴对称图形的设计与应用．解题的关键在于正确理解舞台设计要求，合理组合图形，准确运用面积公式进行计算，并根据给定条件判断是否符合要求． （1）①根据图2的图形构成，利用长方形和半圆的面积公式，推导出舞台面积的代数式； ②将具体数值代入①中所得代数式，计算出面积后，与设计要求的面积范围进行比较，从而判断是否符合要求； （2）需要依据设计要求，在图3中设计出一种包含圆弧和线段的轴对称舞台方案，选择合适的数值，计算舞台面积并验证其满足要求． 【详解】（1）解：①或 ②略 （2）略 1．平面直角坐标系中．点关于轴的对称点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称点的坐标规律，用到的知识点是：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，根据规律计算即可求解． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，关于轴对称的点满足横坐标不变，纵坐标互为相反数， 又∵点的坐标为，其横坐标为，纵坐标为，的相反数为， ∴点关于轴的对称点坐标是． 2．已知和直线，求作关于直线对称的图形，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果如下，其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】解：根据轴对称的性质可知，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果中正确的是乙． 3．某区计划在公路旁修建一座新能源汽车充电站，使充电站到、两个小区之间的距离之和最短的方案是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称的性质，结合两点之间，线段最短，即可求解． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 根据两点之间，线段最短，可知选项中的汽车充电站到、两个小区之间的距离之和最短． 4．在平面直角坐标系中，已知点关于x轴的对称点是点B，下列关于点B的描述正确的是（     ） A．点B坐标是且到x轴距离是2 B．点B坐标是且到x轴距离是3 C．点B坐标是且到x轴距离是2 D．点B坐标是且到x轴距离是3 【答案】B 【分析】在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求出点B的坐标，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，据此可得答案． 【详解】解：∵点关于x轴的对称点是点B， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为． 5．点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据该规律即可求解． 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标特征是横坐标相等，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴对称的点，横坐标为，纵坐标为，即坐标为． 6．已知点，则下列说法正确的是（    ） A．直线PQ平行于x轴 B．直线PQ平行于y轴 C．点P与点Q关于x轴对称 D．点P与点Q关于y轴对称 【答案】B 【详解】已知点 ， ， ∵点和点的横坐标相等，纵坐标不相等，也不互为相反数， ∴直线平行于轴，不平行于轴，故A不符合题意，B符合题意． 若两点关于轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数，与不互为相反数，故C不符合题意． 若两点关于轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，两点横坐标相同，不满足条件，故D不符合题意． 选B． 7．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，在格纸中能画出与成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括本身），这样的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】如图所示，对称轴有五种位置，与成轴对称的格点三角形有5个． 8．如图，在正方形中，顶点A的坐标为，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系，然后求解即可． 【详解】解：∵点，轴，且边长为2， ∴点的坐标为， ∴点B关于x轴对称的点为，向左平移1个单位长度后的坐标为 同理可得，第2次变换后的坐标为， 第3次变换后的坐标为， 第4次变换后的坐标为， …… ∴当为奇数时，第n次变换后的坐标为；当为偶数时，第n次变换后的坐标为， ∴连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为． 9．春节是中华民族的传统节日，人们常用贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，则平移的方法可以是（   ） A．将灯笼向右平移7个单位 B．将灯笼向右平移5个单位 C．将灯笼向右平移4个单位 D．将灯笼向右平移2个单位 【答案】A 【分析】可知点B、D关于y轴对称，所以要使y轴两侧灯笼对称，需移动A、C两盏灯笼，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，，这四盏灯笼的纵坐标都是， ∴这四盏灯笼在一条直线上，这条直线平行于x轴， ∵，， ∴点B、D关于y轴对称，只需移动A、C两盏灯笼， ∵，， ∴可以将灯笼向右平移7个单位或将灯笼向右平移7个单位， 综上，平移的方法可以是A选项的方法． 10．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值是（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得点与关于轴对称，根据关于轴对称的点的坐标特征，求出，，代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：点与关于轴对称， ∴，， ∴， ∴． 11．如图是一幅源自山西剪纸文化的“晋”字团花剪纸，它将汉字“晋”与传统纹样巧妙融合，造型对称饱满．现将该剪纸放置在如图所示的平面直角坐标系中，若点的坐标为，则其关于轴的对称点的坐标为__________． 【答案】 【详解】解：点的坐标为，则其关于轴的对称点的坐标为． 12．如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为_____． 【答案】8 【分析】根据对称的性质得出，从而得到，利用等腰直角三角形面积的求得当与边上的高相等时，面积最小． 【详解】解：如图所示，连接，过点作线段的垂线，交的延长线于点． ∵点与点关于对称， 点与点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是个等腰直角三角形， ， ∴要使面积最小，需要的值最小， 当垂直时，即与重合时，的值最小． ∵，解得； ∴面积的最小值为． 【点睛】本题主要考查了将军饮马的模型，先利用对称的性质将求面积最小转化为求的最小值，最后利用点到直线垂线段最短解出答案． 13．在平面直角坐标系中，已知点和点为关于轴对称，则__________． 【答案】 【分析】根据题意得：，，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ∴， ∴． 14．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是．则经过第2026次变换后点C的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律和轴对称．根据题意点的坐标变化规律为每4次对称变换为一个循环．据此进行解答即可． 【详解】解：点C第1次关于y轴对称后的对应点在第二象限，坐标为， 第2次关于x轴对称后的对应点在第三象限，坐标为， 第3次关于y轴对称后的对应点在第四象限，坐标为， 第4次关于x轴对称后的对应点在第一象限，坐标为， 即点C回到了原始位置， ∴每4次对称变换为一个循环． ∵， ∴经过第2025次变换后点C的对应点与第1次变换后的位置相同，在第二象限，坐标为． 15．在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2028次变换后所得的点A的坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——对称及点的坐标变化规律，得出点A的坐标重复变换的规律是解题的关键． 根据所给变换方式，得出每经过4次变换，点A的坐标重复一次，据此可解决问题． 【详解】解：根据所给变换方式可知， 每经过次变换，点A的坐标重复一次， ∵， ∴第2028次变换后点A的坐标与第4次变换后点A的坐标相同， 又∵第4次变换后点A的坐标为， ∴第2028次变换后点A的坐标为． 故答案为：． 16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点，，都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹），并解答下列问题． (1)作关于直线的轴对称图形； (2)连接，，求四边形的面积； (3)在直线上作一点，使得． 【答案】(1)解：如图即为所作， (2)18 (3)解：如图即为所作， 【分析】（1）先根据轴对称的定义画出点，，，再顺次连接即可； （2）结合网格，利用梯形的面积公式计算即可； （3）作线段的垂直平分线，交直线于点即可． 【详解】（1）略． （2）解：如图，连接，， 则四边形的面积为． （3）略． 17．如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1．的三个顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找一点，使的值最小． (3)找到格点，连接，满足与平行且相等． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，点P即为所求； (3)如图，点、即为所求； 【分析】（1）根据轴对称的性质作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）连接交于点P，则点P即为所求； （3）根据格点特点找出符合条件的点D即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示： 根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小； （3）略 18．“十五五”规划纲要明确提出推动“低空经济”发展，通过无人机高效率配置资源，辐射助推农业、物流和应急提质发展．近日，首条无人机邮路正式实现常态化运营，为山区居民带来极大便利，也为解决偏远地区物流“最后一公里”难题提供了新思路．如图，已知A、B两个山村位于道路的同一侧，为解决山路物流难题，现要在道路边建造一座低空物流驿站． (1)若要使低空物流驿站到两个山村的总路程最短，驿站应选在哪个位置？（在图中分别标出驿站位置，保留作图痕迹，不用证明）． (2)已知购买1架甲型无人机3万元，1架乙型无人机4万元；甲型无人机平均每小时运送快递40件，乙型无人机平均每小时运送快递50件，现需要购买20架无人机，要求这批无人机每小时至少运送快递930件，那么如何购买甲型和乙型无人机，才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1) 如图所示，点位置即为驿站 (2)当甲型无人机购买7架，乙型无人机购买13架时，总费用最少，最少费用为73万元 【分析】(1)作点A关于道路(直线)的对称点，连接交道路(直线)于点P，连接即可； (2)设甲型无人机购买x架，则乙型无人机购买架，根据题意列出关于x的不等式组，得到x可以取得的值，再逐次计算总费用即可得出结论． 【详解】（1）解：根据作图痕迹可知点A关于道路(直线)的对称点为， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，可知即为所求，此时点即为驿站； （2）解：设甲型无人机购买x架，则乙型无人机购买架， 根据题意，得， 解得， ∵x为自然数， ∴x可以取得的值为， 当甲型无人机购买0架，乙型无人机购买20架时，总费用为(万元)； 当甲型无人机购买1架，乙型无人机购买19架时，总费用为(万元)； 当甲型无人机购买2架，乙型无人机购买18架时，总费用为(万元)； 当甲型无人机购买3架，乙型无人机购买17架时，总费用为(万元)； 当甲型无人机购买4架，乙型无人机购买16架时，总费用为(万元)； 当甲型无人机购买5架，乙型无人机购买15架时，总费用为万(元)； 当甲型无人机购买6架，乙型无人机购买14架时，总费用为(万元)； 当甲型无人机购买7架，乙型无人机购买13架时，总费用为(万元)； 综上，当甲型无人机购买7架，乙型无人机购买13架时，总费用最少，最少费用为73万元． 19．阅读材料：在平面直角坐标系中，点关于轴对称后得到点． 现在我们规定一种型复合对称：先把点关于轴对称，再将对称后的点横坐标加，得到对应点，我们把这种变换叫做点的“型对称变换”．对于平面直角坐标系中的图形，将图形上的所有点进行“型对称变换”称为图形的“型对称图形” 例如：将点作“3型对称变换”：，，对应点为． 在平面直角坐标系中，已知点和点． (1)将点进行“2型对称变换”后的对应点的坐标为_________； (2)将线段进行“型对称变换”后与轴有公共点，则的取值范围为__________； (3)已知同一平面内两点，，将线段进行“1型对称变换”后得到的对应线段为，在坐标轴上是否存在一点，使得，若存在请求出所有符合条件的点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）根据规定即可求解； （2）先求得，，再根据与轴有公共点，可得，即可求解； （3）先求得，，，再分点在轴上、在轴上进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点作“2型对称变换”：，，对应点为． （2）解：将点作“型对称变换”：，，对应点为， 将点作“型对称变换”：，，对应点为， ∵将线段进行“型对称变换”后与轴有公共点， ∴， ∴． （3）解：将点作“1型对称变换”：，，对应点为， 将点作“1型对称变换”：，，对应点为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点在轴上时，设， ∵，， ∴， 解得，， ∴或； 当点在轴上时，设， ∵，， 当时，如图，， 解得，不符合，舍去； 当时， 如图，在的上方时， ， 解得， ∴； 如图，在的下方时， ， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 20．如图1，平面直角坐标系中，点，，点在轴负半轴上，，且，满足． (1)直接写出点，，的坐标； (2)点关于轴的对称点为点，点是线段上一点，若直线平分三角形的面积，求点的横坐标； (3)动点从点出发以每秒个单位长度向轴负半轴运动，动点从点出发以每秒个单位长度向轴正半轴运动，设直线、交于点，设动点、运动的时间为秒， ①如图2，当时，试探究与面积的数量关系，并说明理由； ②若的面积为，请写出一个满足条件的点坐标是__________． 【答案】(1)，， (2)点的横坐标为 (3)①与面积相等，理由见解析；②坐标或 【分析】（1）利用被开方数为非负数求出的值，再代入求出，得到、坐标，最后根据和在轴负半轴的条件，求出点坐标； （2）先求关于轴的对称点，算出的面积，根据“平分面积”得的面积，再用三角形面积公式列方程，结合在线段上的取值范围，求出的横坐标； （3）①先表示出时和的长度，分别计算和，发现二者相等，再同时减去公共的四边形的面积，得到；②分、、和四种情况进行讨论，再根据的面积为，用割补法列出关于、分别列出方程，然后联立方程组求解，得到两个符合条件的点坐标． 【详解】（1）解：， ， ， ， 点的坐标为，点的坐标为， ， 点的坐标为． （2）解：点关于轴的对称点为点， 点的坐标为， ，， ，， ， 直线平分三角形的面积， ， 设点的坐标为， ，即， 解得， 点是线段上一点， ． （3）①解：当时，，， 则， ， 可得， 则， 故． ②解：设点的坐标为， 当，点与点重合，，故； 当，如图，点在第四象限， ， ，可得， ，， ，， ， ， ， ，， ，， ，即， 由， 解得， 点为； 若，如图，，点不存在； 若，如图，点在第二象限， ， ，可得， 同上法可证，，， 可得， 解得， 点为， 综上，点为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲画轴对称的图形 目录 知识点1 轴对称变换的性质 2 知识点2 画轴对称图形的通用步骤 2 知识点3 平面直角坐标系对称规律（必考） 3 知识点4 镜面对称核心规律 3 知识点5 轴对称综合不变量 3 题型1 画轴对称图形 3 题型2 车牌号码的镜面对称 5 题型3 钟表的镜面对称 6 题型4 电子钟示数的镜面对称 7 题型5 坐标系中的对称 7 题型6 坐标与图形变化——轴对称 8 题型7 线段问题（轴对称综合问题） 9 题型8 面积问题（轴对称综合问题） 11 题型9 角度问题（轴对称综合问题） 13 题型10 其它问题（轴对称综合问题） 14 1. 知识目标：掌握轴对称变换的核心性质，熟练掌握画轴对称图形的标准步骤；熟记平面直角坐标系中坐标对称规律，了解生活中镜面对称的成像特点。 2. 能力目标：能规范绘制平面、坐标系中的轴对称图形，快速破解车牌、钟表、电子钟等镜面对称题型；熟练解决轴对称背景下的线段、角度、面积等综合几何问题。 3. 素养目标：建立数形结合、空间对称思维，掌握图形变换的不变性规律，提升几何作图、推理与综合计算能力。 知识点1 轴对称变换的性质 1. 轴对称变换前后的图形形状、大小完全不变（全等），仅位置改变。 2. 对称轴垂直平分任意一组对应点的连线。 3. 对称轴上的点的对称点是自身，对应线段相等、对应角相等。 4. 整个图形可由轴对称变换得到，是图形全等变换的重要形式。 知识点2 画轴对称图形的通用步骤 一找、二作、三连三步法： 1. 找：找出原图形的关键点（顶点、端点、转折点、交点）； 2. 作：过每个关键点作对称轴的垂线，延长截取等长线段，得到对称点； 3. 连：按照原图形顺序，依次连接所有对称点，得到轴对称图形。 例：如图(1)，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线对称的图形. （1）过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'=OA，A'就是点A关于直线l的对称点； （2）同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B'，C'； （3）连接A'B'，B'C'，C'A'，则△A'B'C'即为所求. 知识点3 平面直角坐标系对称规律（必考） 设点坐标为： 1. 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标变号 → 已知P点坐标，则它关于轴的对称点的坐标为，如下图所示： 　 即关于轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标互为相反数． 2. 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标变号 → 3. 关于直线对称：纵坐标不变，横坐标： 4. 关于直线对称：横坐标不变，纵坐标： 知识点4 镜面对称核心规律 1. 镜面成像为左右翻转、上下不变的轴对称变换； 2. 像与实物大小一致、左右相反，与竖直镜面成轴对称； 3. 钟表、数字、字母镜面对称均可通过左右翻转还原真实样貌。 知识点5 轴对称综合不变量 1. 不变量：边长、周长、角度、面积完全相等； 2. 变化量：点的位置、坐标、图形摆放方向。 题型1 画轴对称图形 解题技巧（三步规范作图法） 1. 定点：只抓取图形关键顶点，无需标记多余点，简化作图； 2. 作对称：过点作对称轴垂线，垂足居中，两侧线段长度严格相等； 3. 顺连接：严格按照原图顶点顺序连线，保证图形结构一致； 4. 核验：对应点连线垂直对称轴、距离相等，图形全等无变形。 【典例1】．如图，以直线为对称轴画出图形的另一半． 【变式1】．作图题（保留作图痕迹，不写作法）如图，已知， (1)作关于直线的轴对称图形； (2)作出中边上的高． 【变式2】．请在如图①②③的正方形网格中画出一个与已知三角形全等的三角形，使它与已知三角形组成一个轴对称图形，并用虚线画出其对称轴． 【变式3】．解决下列问题： (1)尺规作图，在图中，作中的平分线（只保留作图痕迹，不写作法．） (2)如图，把直角三角形放置在方格纸上，三角形的顶点都在格点上．在方格纸上用三种不同的方法画出与已知三角形成轴对称的三角形．（要求：在给定的图中画图，所画出的三角形的顶点都在格点上，所画出的三角形不涂黑） 题型2 车牌号码的镜面对称 解题技巧（水平翻转、逐字符还原） 1. 核心原理：车牌镜面左右翻转、上下不颠倒； 2. 快速解法：将试卷/图片水平翻转180°（左右翻），直接读取真实号码； 3. 特殊字符：0、1、8左右对称不变，6与9互为翻转，其余字母数字反向识别； 4. 避坑：切勿上下翻转，杜绝数字颠倒错误。 【典例2】．一名运动员的球衣号码是“”，他在照镜子的时候，在镜子里看到的“号码”是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．一列数字映在镜子里的像如图，这列数字是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是___________． 【变式3】．一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是_______． 题型3 钟表的镜面对称 解题技巧（12点互补法、快速算时间） 1. 万能公式：真实时间 = 12:00 − 镜面显示时间； 2. 原理：钟表镜面左右对称，整体与原钟表互补； 3. 实操方法：先读镜面时针分针时间，再用12时减法换算； 4. 整点特例：镜面显示12点、6点，真实时间不变。 【典例3】．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是____________． 【变式3】．河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是_________． 题型4 电子钟示数的镜面对称 解题技巧（翻转读数、字符互换） 1. 成像特点：电子数字左右翻转，时序位置整体颠倒； 2. 数字互换规则：镜面6变9、9变6，0、1、8保持不变； 3. 读数步骤：整体左右翻转 → 替换对称数字 → 读取真实时间； 4. 注意：电子钟无12点互补规律，仅用翻转法还原。 【典例4】．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 【变式3】．东东放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车．由于去的早，他在候车室睡着了，等醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，则东东醒来时的正确时间是______． 题型5 坐标系中的对称 解题技巧（记准口诀、快速换号） 1. 对称口诀：x对称x不变y变号，y对称y不变x变号； 2. 平行直线对称：关于、对称，用中点公式计算坐标； 3. 解题步骤：定点坐标→套对称规律→求出对称点→核验中点在对称轴上； 4. 易错规避：区分坐标轴对称与平行直线对称，不混淆坐标变换规则。 【典例5】．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．已知点与点关于轴对称，则________． 【变式3】．已知点和点关于轴对称，则___________． 题型6 坐标与图形变化——轴对称 解题技巧（点变带动形变、定点绘图） 1. 核心思路：图形对称只需变换所有顶点坐标，边随顶点变化； 2. 标准流程：求各顶点对称坐标→坐标系描点→按原图顺序连线； 3. 性质应用：变换后图形周长、面积、边长完全不变； 4. 拓展：可根据坐标变化，反向判断对称轴位置。 【典例6】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．已知点与点关于轴对称，则______． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，荷花 A，B，C，D的坐标分别是．为了让整个布局关于y轴对称，尽显对称美学，请你选择其中一朵荷花，通过一次平移实现这一目标．写出你的操作过程：______． 题型7 线段问题（轴对称综合问题） 解题技巧（对称转化、线段等量替换） 1. 核心性质：对称线段长度相等，可实现线段转移、等量代换； 2. 解题思路：利用对称将分散线段转化到同一直线，求线段和、差最值； 3. 常用模型：将军饮马模型，借助轴对称化折为直； 4. 计算方法：结合勾股定理、线段中点性质求解长度。 【典例7】．某景区有一条笔直的观光车道和两个著名景点，景区计划在观光车道旁修建一个休息站，并铺设步道分别连接两个景点．某同学用直线（虚线）表示车道，，两点表示景点，线段（实线）表示步道，画出了如下四个示意图，则所需步道最短的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，在轴上找一点，使得的周长最小，则当的周长取得最小值时，点坐标是________． 【变式2】．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． (1)在图①中，点在格线上且是边上一点，作点关于的对称点； (2)在图②中，点是边上一点，在边上找点，使的值最小． 【变式3】．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”． 【分析问题】 (1)如图1，为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案．正确的方案是____________（填序号）． 【解决问题】 (2)如图2，在中，点与点关于直线对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为____________． 【类比探究】 (3)如图3，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3上作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹） ②当将军走过的路程最短，且时，则____________． 题型8 面积问题（轴对称综合问题） 解题技巧（全等等积、割补平移） 1. 核心结论：轴对称图形前后面积完全相等； 2. 阴影面积技巧：利用对称割补、拼接，将不规则图形转化为规则图形； 3. 组合图形：对称重叠部分面积相等，可抵消重复区域、简化计算； 4. 无需重复计算对称区域面积，直接等量代换求值。 【典例8】．如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 【变式1】．如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ． 【变式2】．如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的； (2)求四边形的面积； (3)在平面直角坐标系中，是否存在另一点，使得与全等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式3】．如图，已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的， (2)连接、，直接写出四边形的面积． 题型9 角度问题（轴对称综合问题） 解题技巧（对应角相等、逐层推导） 1. 核心性质：轴对称对应角完全相等，对称轴平分对应点的夹角； 2. 解题步骤：标注已知角→利用对称找等角→结合三角形内角和、平角推导未知角； 3. 常见模型：折叠类角度题本质为轴对称，折叠前后角度不变； 4. 关键：找准对称对应角，避免错找对应关系。 【典例9】．如图，在中，，，与关于直线成轴对称，，连接，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【变式1】．如图，在四边形中，，，点M，N分别是，上两个动点，当的周长最小时，的度数为________． 【变式2】．在一次数学活动课上，老师要求同学以“折纸中的数学”为主题开展折纸活动．如图1，在长方形纸片中，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处；再将沿折叠，使点落在点处，且，，三点在同一条直线上． (1)求的大小； (2)图2是由图1得到的四边形纸片，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，，，求的大小． 【变式3】．如图，在中，，，，点为线段上一动点（点不与点重合），连接． (1)如图1，求证：． (2)过点作，交延长线于点．设． ①如图2，求的度数（用含的代数式表示）； ②如图3，当点与点关于直线对称时，求的值． 题型10 其它问题（轴对称综合问题） 解题技巧（抓不变量、数形结合、模型迁移） 1. 通用思路：无论题型多变，始终抓住轴对称边长、角度、面积不变的核心； 2. 动态问题：图形平移、旋转结合对称时，优先锁定对称不变量； 3. 作图探究：先定点对称、再连线，结合几何性质推理结论； 4. 实际应用：图案设计、图形拼接，利用轴对称对称性保证图形规整。 【典例10】．如图，在四边形ABCD中，，，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在四边形中，，，点E，F分别是线段、上的动点． （1）__________； （2）当的周长最小时，的度数为__________． 【变式2】．如图是的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1单位，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点A、B、C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求完成画图，并回答问题． (1)直接写出三角形的面积_______； (2)在图1中： ①作的高，作中线； ②在高上画点P，连接，，使； (3)在图2中，M为上任意一点，在上画点N，使． 【变式3】．某校计划开展以“艺术点亮校园，梦想成就未来”为主题的校园文化艺术节活动，现向全体同学征集舞台设计方案．设计要求如下： I．舞台在如图1所示的长方形区域内设计，其中，为舞台前后两部分的分割线，（是常数），长方形区域的面积为； II．舞台的设计元素为圆弧和线段，除长方形区域原有的框线外，最多再添加三条圆弧线和两条线段（至少有一条是弧线），其中圆弧线只能用半圆弧和四分之一圆弧； III．设计后的整个舞台是轴对称图形，且舞台深度要达到，宽度要达到，面积大于且小于． (1)图2是七年级（1）班的“妙想”兴趣小组设计的舞台（阴影部分）． ①请直接写出图2中舞台的面积；（用含的代数式表示） ②当时，请通过计算，判断该舞台是否符合设计要求；    (2)请利用图3设计一种舞台方案，选择合适的值，并计算出舞台面积说明该方案满足要求．（画出相关弧线和线段，并用虚线标出的位置，舞台部分用斜线阴影表示）    1．平面直角坐标系中．点关于轴的对称点的坐标是（） A． B． C． D． 2．已知和直线，求作关于直线对称的图形，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果如下，其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．某区计划在公路旁修建一座新能源汽车充电站，使充电站到、两个小区之间的距离之和最短的方案是（     ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，已知点关于x轴的对称点是点B，下列关于点B的描述正确的是（     ） A．点B坐标是且到x轴距离是2 B．点B坐标是且到x轴距离是3 C．点B坐标是且到x轴距离是2 D．点B坐标是且到x轴距离是3 5．点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．已知点，则下列说法正确的是（    ） A．直线PQ平行于x轴 B．直线PQ平行于y轴 C．点P与点Q关于x轴对称 D．点P与点Q关于y轴对称 7．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，在格纸中能画出与成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括本身），这样的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．如图，在正方形中，顶点A的坐标为，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．春节是中华民族的传统节日，人们常用贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，则平移的方法可以是（   ） A．将灯笼向右平移7个单位 B．将灯笼向右平移5个单位 C．将灯笼向右平移4个单位 D．将灯笼向右平移2个单位 10．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值是（   ） A．1 B．0 C． D． 11．如图是一幅源自山西剪纸文化的“晋”字团花剪纸，它将汉字“晋”与传统纹样巧妙融合，造型对称饱满．现将该剪纸放置在如图所示的平面直角坐标系中，若点的坐标为，则其关于轴的对称点的坐标为__________． 12．如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为_____． 13．在平面直角坐标系中，已知点和点为关于轴对称，则__________． 14．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是．则经过第2026次变换后点C的对应点的坐标为______． 15．在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2028次变换后所得的点A的坐标是______． 16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点，，都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹），并解答下列问题． (1)作关于直线的轴对称图形； (2)连接，，求四边形的面积； (3)在直线上作一点，使得． 17．如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1．的三个顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找一点，使的值最小． (3)找到格点，连接，满足与平行且相等． 18．“十五五”规划纲要明确提出推动“低空经济”发展，通过无人机高效率配置资源，辐射助推农业、物流和应急提质发展．近日，首条无人机邮路正式实现常态化运营，为山区居民带来极大便利，也为解决偏远地区物流“最后一公里”难题提供了新思路．如图，已知A、B两个山村位于道路的同一侧，为解决山路物流难题，现要在道路边建造一座低空物流驿站． (1)若要使低空物流驿站到两个山村的总路程最短，驿站应选在哪个位置？（在图中分别标出驿站位置，保留作图痕迹，不用证明）． (2)已知购买1架甲型无人机3万元，1架乙型无人机4万元；甲型无人机平均每小时运送快递40件，乙型无人机平均每小时运送快递50件，现需要购买20架无人机，要求这批无人机每小时至少运送快递930件，那么如何购买甲型和乙型无人机，才能使总费用最少？并求出最少费用． 19．阅读材料：在平面直角坐标系中，点关于轴对称后得到点． 现在我们规定一种型复合对称：先把点关于轴对称，再将对称后的点横坐标加，得到对应点，我们把这种变换叫做点的“型对称变换”．对于平面直角坐标系中的图形，将图形上的所有点进行“型对称变换”称为图形的“型对称图形” 例如：将点作“3型对称变换”：，，对应点为． 在平面直角坐标系中，已知点和点． (1)将点进行“2型对称变换”后的对应点的坐标为_________； (2)将线段进行“型对称变换”后与轴有公共点，则的取值范围为__________； (3)已知同一平面内两点，，将线段进行“1型对称变换”后得到的对应线段为，在坐标轴上是否存在一点，使得，若存在请求出所有符合条件的点的坐标，若不存在请说明理由． 20．如图1，平面直角坐标系中，点，，点在轴负半轴上，，且，满足． (1)直接写出点，，的坐标； (2)点关于轴的对称点为点，点是线段上一点，若直线平分三角形的面积，求点的横坐标； (3)动点从点出发以每秒个单位长度向轴负半轴运动，动点从点出发以每秒个单位长度向轴正半轴运动，设直线、交于点，设动点、运动的时间为秒， ①如图2，当时，试探究与面积的数量关系，并说明理由； ②若的面积为，请写出一个满足条件的点坐标是__________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $