第10讲等腰三角形 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第10讲 等腰三角形 目录 知识点1 等腰三角形基础定义 2 知识点2 等腰三角形核心性质（必考） 2 知识点3 等腰三角形判定定理 3 知识点4 格点等腰三角形作图与识图原理 3 题型1 等边对等角 3 题型2 三线合一 6 题型3 根据等角对等边证明等腰三角形 8 题型4 根据等角对等边证明边相等 11 题型5 根据等角对等边求边长 15 题型6 格点图中画等腰三角形 20 题型7 找出图中的等腰三角形 24 题型8 等腰三角形的性质和判定 29 1. 知识目标：掌握等腰三角形的定义、等边对等角、三线合一核心性质；熟练掌握等角对等边判定定理；吃透含30°角直角三角形的专属性质；掌握格点等腰三角形作图、识图方法，理清等腰三角形性质与判定的区别与应用场景。 2. 能力目标：能利用等腰三角形性质求解边角、证明等量关系；熟练运用三线合一简化几何计算与证明；可独立完成等腰三角形判定、边长求解、格点作图、图形识别各类题型，具备基础几何综合推理能力。 3. 素养目标：建立数形结合、分类讨论的几何思维，规避等腰三角形漏解、错解问题，规范几何推理步骤，夯实轴对称几何板块核心基础。 知识点1 等腰三角形基础定义 1. 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边为腰，第三边为底边；两腰夹角为顶角，腰与底边夹角为底角。 2. 基础特征：等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴（底边的垂直平分线）。 3. 特殊说明：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点2 等腰三角形核心性质（必考） 1. 等边对等角：在等腰三角形中，相等的两条腰所对的底角相等。几何语言：若AB=AC，则∠B=∠C。 2. 三线合一：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。三条件知一得二，是简化几何证明的核心定理。 3. 拓展性质：等腰三角形两底角平分线、两腰中线、两腰高分别相等；底边上任意一点到两腰距离和等于一腰上的高。 知识点3 等腰三角形判定定理 等角对等边：在一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，该三角形为等腰三角形。几何语言：若∠B=∠C，则AB=AC。 核心区分：性质是“边相等→角相等”，判定是“角相等→边相等”，互为逆向推理。 知识点4 格点等腰三角形作图与识图原理 1. 作图核心：依托格点横竖等距特征，保证两边长度相等或两角相等； 2. 识图关键：结合勾股定理计算格点线段长度，判定等腰关系； 3. 分类逻辑：分顶角顶点在不同格点位置讨论，避免漏解。 题型1 等边对等角 解题技巧（边角互推+内角和闭环法） 1. 核心逻辑：只要锁定三角形两条边相等，直接得出对应底角相等； 2. 基础计算：已知顶角，底角=（180°−顶角）÷2；已知底角，顶角=180°−2×底角； 3. 综合推导：结合三角形外角、平行线、垂直性质，多层代换角度； 4. 避坑要点：严格区分顶角与底角，禁止随意对等边角。 【典例1】．如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边对等角、三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 【变式1】．如图，，则，，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质求得，再利用等边对等角结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式2】．如图，已知，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得出同旁内角互补，结合角的和差关系及等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理建立等量关系求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 【变式3】．如图，两外角平分线分别交所在的直线于点，且，则_____度． 【答案】12 【分析】设，根据是的角平分线，则，求出，，．根据，得，则，然后根据，即可求出． 【详解】解：设， ∴， ∴是的角平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，是的角平分线， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型2 三线合一 解题技巧（一推二秒杀法） 1. 定理核心：等腰三角形中，顶角平分线、底边中线、底边高，知其一即可推出另外两个； 2. 快速套用：遇等腰+垂直，直接得平分、中线；遇等腰+角平分，直接得垂直、平分底边； 3. 解题用途：简化垂直证明、线段平分证明、角度与边长计算，无需反复证全等； 4. 必考禁忌：三线合一仅适用于底边，腰上的高、中线、角平分线不重合。 【典例2】．为了使电线杆垂直于地面，如图所示，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳，，当固定点，到电线杆底端的距离相等且点，，在同一直线上时，电线杆就垂直于了，工程人员这种操作方法的依据是（     ） A．等腰三角形“三线合一”的性质 B．垂线段最短 C．等角对等边 D．垂直平分线上的点到两个端点的距离相等 【答案】A 【分析】根据题意，得到，三线合一得到. 【详解】解：由题意，工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”的性质. 【变式1】．如图，在等腰三角形中，，，分别是的中线和高，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用垂线的定义求出顶角的度数，再利用等腰三角形“三线合一”的性质求解． 【详解】解：是的高， ， ． ∵， ． ，是的中线， 平分， ． 【变式2】．如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则____________． 【答案】 【分析】首先根据在中，，于点，得到是的中线，进而得到，再利用不同的方式表示的面积，化简即可得到与的关系，最后进行求解得到答案． 【详解】解：∵在中，，于点， ∴是的中线， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴． 【变式3】．如图，在中，，，若，则的长为________． 【答案】6 【分析】由等角对等边得，根据等腰三角形三线合一得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型3 根据等角对等边证明等腰三角形 解题技巧（找等角→定等腰判定法） 1. 解题步骤：先通过平行线、角平分线、三角形内角和、外角性质推导两角相等； 2. 核心判定：两角相等→对边相等→三角形为等腰三角形； 3. 书写规范：先证等角，再证等边，最后判定等腰三角形； 4. 适用场景：无直接边长条件，仅角度条件的等腰证明题。 【典例3】．一个三角形的两个内角的度数分别为和，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和为求出第三个内角的度数，再根据三角形的分类标准判断三角形的类型即可． 【详解】解：∵三角形内角和为，已知两个内角分别为和 ∴第三个内角的度数为 ∴该三角形的三个内角分别为，，，三个角都小于，都是锐角，且三个角互不相等 ∴这个三角形是锐角三角形，不是钝角三角形、直角三角形，也不是等腰三角形． 【变式1】．如图，在中，点D，E分别是边的中点．若，，则的长为________． 【答案】4 【分析】根据三角形中位线，等腰三角形的判定和性质求解即可； 【详解】解：∵点D，E分别是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】．如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)证明：，， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】（1）根据直角三角形的性质，可求，再根据垂直平分线的性质，可得，从而，，最后计算即可求解； （2）根据三角形外角的性质，先求，，再证即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， 点M在边的垂直平分线上， ， ， ， ， 则的度数为． （2）略 【变式3】．在中，，平分，平分，过O点作，使． (1)图中共有几个等腰三角形？ (2)线段与线段，之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 【答案】(1)图中共有5个等腰三角形 (2)，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据得到是等腰三角形，根据平行线的性质得出，因此是等腰三角形．根据角平分线的定义得出，因此是等腰三角形．根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，因此，都是等腰三角形，即可解答； （2）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此根据线段的和差得到． 【详解】（1）解：∵， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴，， ∴，，即，都是等腰三角形． 综上所述，图中共有5个等腰三角形． （2）略 题型4 根据等角对等边证明边相等 解题技巧（等角转等边逆向推导法） 1. 推理逻辑：摒弃全等繁琐步骤，直接用“等角对等边”实现角度转线段； 2. 条件梳理：梳理题干隐含等角（公共角、对顶角、平行等角、折叠等角）； 3. 精准对应：严格锁定“相等角对应的边”，杜绝错配线段； 4. 优势：步骤简洁，是几何证明线段相等的快捷方法。 【典例4】．如图，将三角形沿方向平移至三角形，线段与相交于点，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平移前后对应边平行且相等，根据平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：由平移得， ， ，故A选项说法一定正确； 由平移得，故B选项说法一定正确； 由平移得，故C选项说法一定正确； 由平移得，， ，， 不一定等于， 不一定等于， 不一定正确．故D选项说法不一定正确． 【变式1】．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论： ； ； 点到各边的距离相等； 设，，则． 其中正确的是______． 【答案】 【分析】由角平分线的定义和平行线的性质得出，，进而得出，故错误；根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得正确；过点作于，作于，连接，由角平分线的性质定理得出，然后利用三角形的面积公式即可得出正确；由角平分线的性质定理得出于是可得结论正确． 【详解】解：∵和的平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，故错误，不符合题意； ∵和的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴，故正确，符合题意； 如图，过点作于，作于，连接， ∵和的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴ ，故正确，符合题意； 由，即点到各边的距离相等，故正确，符合题意； 综上可得：正确的是． 【变式2】．如图，点C，D在上，，，，，相交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：在和中， ∴， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，利用全等三角形的对应角相等可得结论； （2）利用全等三角形的对应边相等得到，再根据等角对等边得到，进而可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】．如图，在中，平分交于点，为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明：平分， ， ， ， ， ． (2)24 【分析】（1）可证，，即可得证； （2）作交于，可求，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作交于， 平分，， ， ． 题型5 根据等角对等边求边长 解题技巧（角度转化+边长代换法） 1. 核心思路：先求三角形内角度数，找到相等内角； 2. 等量代换：等角对等边，将未知边长转化为已知边长； 3. 综合计算：结合线段和差、周长条件，列等式求解未知边长； 4. 分类讨论：边长无明确说明时，区分腰与底边，避免漏解。 【典例5】．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用得到，然后结合得到，等量代换得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交边于点D，已知，．则线段的长为_________． 【答案】 【分析】首先由等边对等角求出，得到，由作图得，垂直平分，求出，然后结合含30度角直角三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由作图得，垂直平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式2】．如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点A、D在线段的垂直平分线上， ∴所在直线是线段的垂直平分线． 【分析】（1）根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据直角三角形的性质得出； （2）证明，得出，，说明点A、D在线段的垂直平分线上，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）略 【变式3】．在七年级下册第五章《图形的轴对称》中，我们初步认识了角平分线，并从轴对称的视角直观探究了角平分线的性质；进入本学期，我们对这一性质完成了严谨的逻辑证明，并进一步探究了其逆定理．在系统学习等腰三角形、直角三角形相关知识后，我们又对角平分线所蕴含的轴对称特征有了深入的理解．为了贯通思维梳理知识、提炼方法，深化对知识本质的理解，促进数学思维生长，我们进行了知识的梳理、回顾与深化总结． 复习目标：理解角平分线与轴对称的联系，掌握构造轴对称图形的方法并灵活解题． 问题：如图，平分，点是角平分线上一点，你能联想到什么数学知识？ 学生生成：可以想到角平分线的性质、角平分线的判定定理、等腰三角形、直角三角形等； (1)追问：你能添加辅助线，构造出轴对称图形吗？ 学生生成： 过角平分线上一点向角两边作垂线（如图）可以得到（根据__________）构造轴对称图形 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，与角的两边分别交于点和（如图），构造对称图形下的等腰 过角平分线上的一点作的平行线，与角的另一边交于点，构造对称图形中的等腰（如图） (2)追问：尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹）在角平分线的图形中，你还可以构造出其他轴对称图形吗？学生生成：如图 (3)灵活应用：如图在中，平分，，，，请直接写出的长． 【答案】(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； (2) (3)的长为． 【分析】（）根据角平分线的性质即可求解； （）以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交于点，连接即可构造轴对称图形； （）在上截取，连接，证明，则，，然后通过三角形外角性质可得，所以，再由线段的和与差即可求解． 【详解】（1）解：∵，，平分， ∴（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）， 故答案为：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； （2）解：略； （3）解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 题型6 格点图中画等腰三角形 解题技巧（三类顶点分类作图法） 1. 分类思路：固定底边，找顶点；固定顶点，找底边；利用格点对称找点； 2. 验证方法：通过格点勾股定理，计算线段长度，验证两边相等； 3. 作图规范：利用网格垂直、对称特征，保证图形规整，无误差； 4. 解题关键：分类讨论，不重不漏，穷尽所有符合条件的格点顶点。 【典例6】．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】结合网格特点与等腰三角形的定义，线段垂直平分线的定义可得答案. 【详解】解：如图， ∴当是等腰三角形，则符合条件的格点P共有个. 【变式1】．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图在的网格中，点的坐标为，点的坐标为，为第一象限内的整点，若连接不共线的三点构成轴对称图形，则点的坐标为_______． 【答案】，，，， 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，坐标与图形的变化，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键． 由不共线的三点构成轴对称图形，则是等腰三角形，再根据两圆一中垂可解决问题． 【详解】解：依题意，由不共线的三点构成轴对称图形， ∴是等腰三角形， 则以为圆心，以为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的点； 或以为圆心，以为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的点； 或以为底边，作其垂直平分线，与网格顶点相交，即为满足条件的点； 如图，共有符合要求的点坐标为：，，，，， 故答案为：，，，， 【变式2】．由边长为1的小正方形构成的10×12的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成画图（仅用无刻度的直尺）： (1)如图1，画出，使得与关于直线对称； (2)如图2： ①在上方画出，使得是以为底的等腰三角形，且顶角为； ②画出，使得． 【答案】(1) 如图所示． (2) 如图所示； 如图所示． 【分析】（1）根据轴对称的性质确定关于直线的对应点，然后再顺次连接即可； （2）①根据网格特点和等腰三角形，直角三角形的特点，在上方作图即可； ②根据网格的特点和全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】（1）略. （2）略. 【变式3】．在的方格纸中，点，，都在格点上，请按下列要求作图． (1)在图1中画出格点，使为等腰三角形（画一个点即可）． (2)在图2中画出格点，使． 【答案】(1)如图，点D即为所求；（画一个点即可） (2)如图，点E即为所求； 【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质，求解即可． （2）构造平行四边形求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型7 找出图中的等腰三角形 解题技巧（等角筛查+等边核验法） 1. 识图步骤：先筛查图形中所有相等线段、相等角度； 2. 快速判定：有等边或等角的三角形，即为等腰三角形； 3. 隐含条件：重点关注角平分线、平行线、折叠、垂直产生的等角等腰模型； 4. 排查技巧：从小到大、逐个筛查，避免遗漏隐藏等腰三角形。 【典例1】．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 【变式1】．如图，在中，，，是的平分线，于点，连接，交于点，则图中的等腰三角形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，掌握等角对等边的性质是解题的关键． 先计算各角的度数，利用角平分线性质、全等三角形判定，结合等角对等边逐一判定等腰三角形的个数． 【详解】解：在中，， 是的平分线， 是角平分线，，∴点到和的距离相等，即，∴是等腰三角形； 在和中，，，是等腰三角形； 在中，，是等腰三角形； 在中，且，是等边三角形，， 在中，，，是等腰三角形； 综上所述，图中的等腰三角形有△BDE、△ABE、△ACD、△BEC，共4个． 故选：C． 【变式2】．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 【变式3】．利用垂直平分线将三角形分割出等腰三角形： (1)如图1所示，中，，的垂直平分线交于点，连接，那么图中出现的等腰三角形是_____； (2)如图2所示，中，，的垂直平分线交于点，连接，那么图中出现的等腰三角形是_____； (3)尺规作图：请利用上述方法，将图3中的直角三角形分割成三个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法，写出结论） 【答案】(1) (2)， (3)如图，，和为等腰三角形 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，可得结论； （2）根据垂直平分线的性质得，根据等边对等角得，继而推出 ，，可得结论； （3）作 的垂直平分线交于点，连接，作的垂直平分线交于点，连接即可． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线交 于点， ∴， ∴是等腰三角形， ∴图中出现的等腰三角形是； （2）解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴图中出现的等腰三角形是，； （3）解：如图，作的垂直平分线交于点，连接，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， ， ∴，都是等腰三角形， ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴是等腰三角形， ∴图中出现的等腰三角形是，和． 题型8 等腰三角形的性质和判定 解题技巧（判定+性质闭环解题法） 1. 第一步（判定）：通过等角对等边，证明三角形为等腰三角形； 2. 第二步（性质）：利用等边对等角、三线合一，推导边角、垂直、平分等结论； 3. 综合拔高：结合含30°直角三角形性质、线段垂直平分线、全等三角形多层推理； 4. 解题逻辑：先定性（判定等腰），后定量（计算证明），分层拆解大题。 【典例8】．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一性质及线段垂直平分线性质得出及的度数，进而求解. 【详解】解：连接， ，， ，， 平分， ， 垂直平分， ， ， ，平分， 垂直平分， ， ， 【变式1】．如图，在中，，平分，于点，于点，则下列结论：是等腰三角形；；平分；垂直平分．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及线段垂直平分线的判定，首先根据等角对等边得出，再利用全等三角形的判定与性质逐一判断各个结论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，只有当时，，题目未给出的度数，故不一定是等腰三角形，即错误； ∵，， ∴，即，即正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，即正确； ∵，， ∴点、都在线段的垂直平分线上，即垂直平分，即正确； 综上所述，正确的结论有，共个． 【变式2】．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 【答案】 【分析】根据作图可得，是的垂直平分线，得到，再通过线段等量代换将的周长转化为，进而求出三角形周长． 【详解】解：由作图可知，， ， ， 由作图可知，直线是的垂直平分线， 点在直线上， ， ， 将代入得，， ，， ． 【变式3】．如图，在中，，点D，E在边上，且． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， 在和中， ， ， ， ∴为等腰三角形； (2) 【分析】（1）先由等边对等角得到，再证明即可； （2）由等腰三角形的性质以及三角形的外角性质求出，然后由全等三角形的性质求出，最后由三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 1．已知一个等腰三角形的顶角为，则它的底角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形顶角为， ∴底角度数为． 2．等腰三角形的一个角为，则它的另外两个角为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 或和 【答案】D 【分析】分两种情况：顶角为和底角为，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：当顶角为时，则底角为，即另外两个角为和， 当底角为时，则顶角为，即另外两个角为和 ， 综上所述，另外两个角为和 或和． 3．如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上且，连结、．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据等腰直角三角形的性质得出，再利用SAS证明，得出，最后利用三角形外角的性质求出即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 则． 4．如图，在中，垂直平分于点，是边的垂直平分线，交，，于点，，，连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直平分得出，，，根据是边的垂直平分线得出，根据直角三角形两锐角互余的性质及外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵垂直平分于点，点在上，， ∴，， ∴，，，， ∴，即， ∵是边的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴． 5．如图，点在线段上，以为边向上作，．以为底边作等腰，使，若，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用可证明，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 6．在中，，，垂直平分，垂足为点，交边于点，已知，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可知，根据等边对等角可知，根据三角形外角的性质可知，根据含角的直角三角形的性质可知． 【详解】解：如下图所示，连接， 垂直平分， ， ， ， ， ． 7．如图，牧民从生活区边上某点D出发，先到草地边上某点E牧马，再到小河边上某点F饮马，最后回到点D处．已知，点C到的距离为2千米，，则周长的最小值为（     ） A．1千米 B．2千米 C．4千米 D．8千米 【答案】B 【分析】分别作点D关于的对称点G，H，连接，可证明是等边三角形，得到；可证明当四点共线时，的周长有最小值，最小值为的长，由垂线段最短求出的最小值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，分别作点D关于的对称点G，H，连接， 由轴对称的性质可得，， ， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴； ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长有最小值，最小值为的长， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，即此时有最小值， ∵点C到的距离为2千米， ∴的最小值为2千米， ∴的周长的最小值为2千米． 8．如图，在锐角中，平分，，若、分别是、上的动点，当最小时，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称性得到和，再利用两点之间线段最短和垂线段最短得到时最小，根据同角的余角相等得到，最后利用外角性质得到的度数． 【详解】解：作点C关于直线的对称点，过点作于点，交于点，延长交于点H， ∵点C和点关于直线对称， ∴，， ∴， 当、、三点共线且时，最小，最小值为线段的长， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．如图，的面积为，平分，于点P，连接，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，先根据已知条件可得，再根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形中线的性质可得，，进一步可得的面积． 【详解】解：延长交于点，如图， 平分，， ，， ， ， ， ， ，， ， 的面积为， 的面积为． 10．如图，在中，，，把折叠，使落在上，点与上的点重合，展开后，折痕交于点，连结、．下列结论：①图中有4对全等三角形；②若将沿折叠，则点不一定落在上；③；④，上述结论中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，，由折叠的性质可得，，，利用全等三角形的判定和性质依次判断可求解． 【详解】解：，，， ，， 把折叠，使落在上，点与上的点重合， ， ，，， 在和中， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 图中共有4对全等三角形，故①正确； ， ， ， ， 将沿折叠，则点一定落在上，故②错误；，， ， ，故③正确； 连接， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 11．将沿方向平移，得到点，，的对应点分别为，，，与交于点，若，，．的长度为_______． 【答案】3 【分析】根据平移可得，得出，，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， ，， ． 12．如图，在中，，是上一点，连接．若，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】根据等边对等角得出，，，根据外角性质得出，根据三角形内角和定理得出，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 13．如图，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为_________时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 【答案】或 【分析】先求出，，的长，以及，再分六种情况：①，②，③，④，⑤，⑥，分别利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， ①当时， ∴，， ∴， 解得， ∴此时点的运动速度为； ②当时， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴此时点的运动速度为； ③当时， ∴，，， ∴，， ∴解得，， ∴， ∴此时点的运动速度为； ④当时， ∴，，， ∴，， 解得，， ∴， ∴此时点的运动速度为； ⑤当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴此时点的运动速度为； ⑥当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴此时点的运动速度为； 综上，当点的运动速度为或时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 14．如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点D．则的度数为_____． 【答案】/80度 【分析】根据作图痕迹可知所作直线为线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质得到，进而利用等腰三角形的性质和三角形外角性质求出的度数，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线， ， ， 是的外角， ， 在中，． 15．如图，在中，，点D是边上的中点，点E在边的延长线上，且，点F是直线上一动点，连接，若，则的最小值为______． 【答案】7 【分析】先由等腰三角形的性质得到垂直平分，则，再将转化为，即可求解最值． 【详解】解：连接， ∵，点D是边上的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点共线时，取得最小值为． 16．在中，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）直接根据直角三角形两锐角互余计算即可； （2）根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵在中，，，， ∴． 17．如图，已知中，． (1)基本作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图形中，求证：．请完成下面的证明过程： 证明：平分， ， 在与中 ， ，，， ，且， ， ， ， ， ． 【答案】(1)如图所示即为所求； (2)，，，， 【分析】（1）利用尺规作出角平分线及相等的线段，然后连接即可； （2）先证明，再结合，且，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 18．已知和均为等腰三角形，且． (1)如图1，若，，则的度数为 ； (2)如图2，当时， ①求证：； ②过点作，交的延长线于点．若，求点到的距离． 【答案】(1) (2)①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ② 【分析】（1）根据等边对等角先得出，结合三角形内角和定理得到，再根据角的和差求解即可； （2）①先得出，，再得出，根据平行线的判定即可得证；②过点作于点，得出，即平分，根据角平分线的性质定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①略． ②解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（2）①已证：， ∴，， ∴，即平分， 又∵，， ∴（角平分线的性质定理）， ∵， ∴， 即点到的距离为． 19．【问题初探】 (1)如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，， ①与全等吗？为什么？ ②过点作交于点，若，求的度数． 【问题解决】 (2)如图，某农场内有一处形状为的生态实践园（周围空地可利用），为观赏小路，点在边上，连接，，，为了满足游客的种植要求，现计划在的延长线上找一点，使得，连接，将区域规划为瓜果种植区，是的角平分线，在点处设置自助工具房，点在边上，连接，，已知米，米，求观赏小路的长．（小路的宽度以及自助工具房的大小均忽略不计） 【答案】(1)解：①全等，理由如下： 在与中 ， ∴； ② (2)观赏小路的长为140米. 【分析】（1）①利用，即可得证；②证明，得到，三角形的内角和定理求出的度数，再根据平行线的性质，进行求解即可； （2）证明，得到，等边对等角，结合三角形的外角的性质，得到，进而推出，证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可. 【详解】（1）解：①略； ②∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴米； 答：观赏小路的长为140米. 20．如图，在等腰直角中，，，点D在的延长线上，连接过点C作，使，连接． 【问题提出】 (1)请判断与是否垂直，并说明理由； 【问题探究】 (2)如图2，若点N为的中点，连接并延长至点K，使，连接，，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由如下： ∵， ∴， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)，理由如下： ∵N是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可知，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）先证明，可得，由，，可得，可得，即可证明结论； （2）先证明，可得，，再证明，可得，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 等腰三角形 目录 知识点1 等腰三角形基础定义 2 知识点2 等腰三角形核心性质（必考） 2 知识点3 等腰三角形判定定理 3 知识点4 格点等腰三角形作图与识图原理 3 题型1 等边对等角 3 题型2 三线合一 4 题型3 根据等角对等边证明等腰三角形 5 题型4 根据等角对等边证明边相等 6 题型5 根据等角对等边求边长 8 题型6 格点图中画等腰三角形 9 题型7 找出图中的等腰三角形 11 题型8 等腰三角形的性质和判定 13 1. 知识目标：掌握等腰三角形的定义、等边对等角、三线合一核心性质；熟练掌握等角对等边判定定理；吃透含30°角直角三角形的专属性质；掌握格点等腰三角形作图、识图方法，理清等腰三角形性质与判定的区别与应用场景。 2. 能力目标：能利用等腰三角形性质求解边角、证明等量关系；熟练运用三线合一简化几何计算与证明；可独立完成等腰三角形判定、边长求解、格点作图、图形识别各类题型，具备基础几何综合推理能力。 3. 素养目标：建立数形结合、分类讨论的几何思维，规避等腰三角形漏解、错解问题，规范几何推理步骤，夯实轴对称几何板块核心基础。 知识点1 等腰三角形基础定义 1. 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边为腰，第三边为底边；两腰夹角为顶角，腰与底边夹角为底角。 2. 基础特征：等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴（底边的垂直平分线）。 3. 特殊说明：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点2 等腰三角形核心性质（必考） 1. 等边对等角：在等腰三角形中，相等的两条腰所对的底角相等。几何语言：若AB=AC，则∠B=∠C。 2. 三线合一：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。三条件知一得二，是简化几何证明的核心定理。 3. 拓展性质：等腰三角形两底角平分线、两腰中线、两腰高分别相等；底边上任意一点到两腰距离和等于一腰上的高。 知识点3 等腰三角形判定定理 等角对等边：在一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，该三角形为等腰三角形。几何语言：若∠B=∠C，则AB=AC。 核心区分：性质是“边相等→角相等”，判定是“角相等→边相等”，互为逆向推理。 知识点4 格点等腰三角形作图与识图原理 1. 作图核心：依托格点横竖等距特征，保证两边长度相等或两角相等； 2. 识图关键：结合勾股定理计算格点线段长度，判定等腰关系； 3. 分类逻辑：分顶角顶点在不同格点位置讨论，避免漏解。 题型1 等边对等角 解题技巧（边角互推+内角和闭环法） 1. 核心逻辑：只要锁定三角形两条边相等，直接得出对应底角相等； 2. 基础计算：已知顶角，底角=（180°−顶角）÷2；已知底角，顶角=180°−2×底角； 3. 综合推导：结合三角形外角、平行线、垂直性质，多层代换角度； 4. 避坑要点：严格区分顶角与底角，禁止随意对等边角。 【典例1】．如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，，则，，的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，已知，则的度数为___________． 【变式3】．如图，两外角平分线分别交所在的直线于点，且，则_____度． 题型2 三线合一 解题技巧（一推二秒杀法） 1. 定理核心：等腰三角形中，顶角平分线、底边中线、底边高，知其一即可推出另外两个； 2. 快速套用：遇等腰+垂直，直接得平分、中线；遇等腰+角平分，直接得垂直、平分底边； 3. 解题用途：简化垂直证明、线段平分证明、角度与边长计算，无需反复证全等； 4. 必考禁忌：三线合一仅适用于底边，腰上的高、中线、角平分线不重合。 【典例2】．为了使电线杆垂直于地面，如图所示，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳，，当固定点，到电线杆底端的距离相等且点，，在同一直线上时，电线杆就垂直于了，工程人员这种操作方法的依据是（     ） A．等腰三角形“三线合一”的性质 B．垂线段最短 C．等角对等边 D．垂直平分线上的点到两个端点的距离相等 【变式1】．如图，在等腰三角形中，，，分别是的中线和高，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则____________． 【变式3】．如图，在中，，，若，则的长为________． 题型3 根据等角对等边证明等腰三角形 解题技巧（找等角→定等腰判定法） 1. 解题步骤：先通过平行线、角平分线、三角形内角和、外角性质推导两角相等； 2. 核心判定：两角相等→对边相等→三角形为等腰三角形； 3. 书写规范：先证等角，再证等边，最后判定等腰三角形； 4. 适用场景：无直接边长条件，仅角度条件的等腰证明题。 【典例3】．一个三角形的两个内角的度数分别为和，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【变式1】．如图，在中，点D，E分别是边的中点．若，，则的长为________． 【变式2】．如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【变式3】．在中，，平分，平分，过O点作，使． (1)图中共有几个等腰三角形？ (2)线段与线段，之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 题型4 根据等角对等边证明边相等 解题技巧（等角转等边逆向推导法） 1. 推理逻辑：摒弃全等繁琐步骤，直接用“等角对等边”实现角度转线段； 2. 条件梳理：梳理题干隐含等角（公共角、对顶角、平行等角、折叠等角）； 3. 精准对应：严格锁定“相等角对应的边”，杜绝错配线段； 4. 优势：步骤简洁，是几何证明线段相等的快捷方法。 【典例4】．如图，将三角形沿方向平移至三角形，线段与相交于点，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论： ； ； 点到各边的距离相等； 设，，则． 其中正确的是______． 【变式2】．如图，点C，D在上，，，，，相交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 【变式3】．如图，在中，平分交于点，为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 题型5 根据等角对等边求边长 解题技巧（角度转化+边长代换法） 1. 核心思路：先求三角形内角度数，找到相等内角； 2. 等量代换：等角对等边，将未知边长转化为已知边长； 3. 综合计算：结合线段和差、周长条件，列等式求解未知边长； 4. 分类讨论：边长无明确说明时，区分腰与底边，避免漏解。 【典例5】．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交边于点D，已知，．则线段的长为_________． 【变式2】．如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 【变式3】．在七年级下册第五章《图形的轴对称》中，我们初步认识了角平分线，并从轴对称的视角直观探究了角平分线的性质；进入本学期，我们对这一性质完成了严谨的逻辑证明，并进一步探究了其逆定理．在系统学习等腰三角形、直角三角形相关知识后，我们又对角平分线所蕴含的轴对称特征有了深入的理解．为了贯通思维梳理知识、提炼方法，深化对知识本质的理解，促进数学思维生长，我们进行了知识的梳理、回顾与深化总结． 复习目标：理解角平分线与轴对称的联系，掌握构造轴对称图形的方法并灵活解题． 问题：如图，平分，点是角平分线上一点，你能联想到什么数学知识？ 学生生成：可以想到角平分线的性质、角平分线的判定定理、等腰三角形、直角三角形等； (1)追问：你能添加辅助线，构造出轴对称图形吗？ 学生生成： 过角平分线上一点向角两边作垂线（如图）可以得到（根据__________）构造轴对称图形 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，与角的两边分别交于点和（如图），构造对称图形下的等腰 过角平分线上的一点作的平行线，与角的另一边交于点，构造对称图形中的等腰（如图） (2)追问：尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹）在角平分线的图形中，你还可以构造出其他轴对称图形吗？学生生成：如图 (3)灵活应用：如图在中，平分，，，，请直接写出的长． 题型6 格点图中画等腰三角形 解题技巧（三类顶点分类作图法） 1. 分类思路：固定底边，找顶点；固定顶点，找底边；利用格点对称找点； 2. 验证方法：通过格点勾股定理，计算线段长度，验证两边相等； 3. 作图规范：利用网格垂直、对称特征，保证图形规整，无误差； 4. 解题关键：分类讨论，不重不漏，穷尽所有符合条件的格点顶点。 【典例6】．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式1】．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图在的网格中，点的坐标为，点的坐标为，为第一象限内的整点，若连接不共线的三点构成轴对称图形，则点的坐标为_______． 【变式2】．由边长为1的小正方形构成的10×12的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成画图（仅用无刻度的直尺）： (1)如图1，画出，使得与关于直线对称； (2)如图2： ①在上方画出，使得是以为底的等腰三角形，且顶角为； ②画出，使得． 【变式3】．在的方格纸中，点，，都在格点上，请按下列要求作图． (1)在图1中画出格点，使为等腰三角形（画一个点即可）． (2)在图2中画出格点，使． 题型7 找出图中的等腰三角形 解题技巧（等角筛查+等边核验法） 1. 识图步骤：先筛查图形中所有相等线段、相等角度； 2. 快速判定：有等边或等角的三角形，即为等腰三角形； 3. 隐含条件：重点关注角平分线、平行线、折叠、垂直产生的等角等腰模型； 4. 排查技巧：从小到大、逐个筛查，避免遗漏隐藏等腰三角形。 【典例1】．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1】．如图，在中，，，是的平分线，于点，连接，交于点，则图中的等腰三角形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【变式3】．利用垂直平分线将三角形分割出等腰三角形： (1)如图1所示，中，，的垂直平分线交于点，连接，那么图中出现的等腰三角形是_____； (2)如图2所示，中，，的垂直平分线交于点，连接，那么图中出现的等腰三角形是_____； (3)尺规作图：请利用上述方法，将图3中的直角三角形分割成三个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法，写出结论） 题型8 等腰三角形的性质和判定 解题技巧（判定+性质闭环解题法） 1. 第一步（判定）：通过等角对等边，证明三角形为等腰三角形； 2. 第二步（性质）：利用等边对等角、三线合一，推导边角、垂直、平分等结论； 3. 综合拔高：结合含30°直角三角形性质、线段垂直平分线、全等三角形多层推理； 4. 解题逻辑：先定性（判定等腰），后定量（计算证明），分层拆解大题。 【典例8】．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为（） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，，平分，于点，于点，则下列结论：是等腰三角形；；平分；垂直平分．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 【变式3】．如图，在中，，点D，E在边上，且． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 1．已知一个等腰三角形的顶角为，则它的底角的度数为（     ） A． B． C． D． 2．等腰三角形的一个角为，则它的另外两个角为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 或和 3．如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上且，连结、．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，垂直平分于点，是边的垂直平分线，交，，于点，，，连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，点在线段上，以为边向上作，．以为底边作等腰，使，若，，则等于（     ） A． B． C． D． 6．在中，，，垂直平分，垂足为点，交边于点，已知，则的长是（     ） A． B． C． D． 7．如图，牧民从生活区边上某点D出发，先到草地边上某点E牧马，再到小河边上某点F饮马，最后回到点D处．已知，点C到的距离为2千米，，则周长的最小值为（     ） A．1千米 B．2千米 C．4千米 D．8千米 8．如图，在锐角中，平分，，若、分别是、上的动点，当最小时，的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，的面积为，平分，于点P，连接，则的面积为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，把折叠，使落在上，点与上的点重合，展开后，折痕交于点，连结、．下列结论：①图中有4对全等三角形；②若将沿折叠，则点不一定落在上；③；④，上述结论中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．将沿方向平移，得到点，，的对应点分别为，，，与交于点，若，，．的长度为_______． 12．如图，在中，，是上一点，连接．若，则的度数是________． 13．如图，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为_________时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 14．如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点D．则的度数为_____． 15．如图，在中，，点D是边上的中点，点E在边的延长线上，且，点F是直线上一动点，连接，若，则的最小值为______． 16．在中，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 17．如图，已知中，． (1)基本作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图形中，求证：．请完成下面的证明过程： 证明：平分， ， 在与中 ， ，，， ，且， ， ， ， ， ． 18．已知和均为等腰三角形，且． (1)如图1，若，，则的度数为 ； (2)如图2，当时， ①求证：； ②过点作，交的延长线于点．若，求点到的距离． 19．【问题初探】 (1)如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，， ①与全等吗？为什么？ ②过点作交于点，若，求的度数． 【问题解决】 (2)如图，某农场内有一处形状为的生态实践园（周围空地可利用），为观赏小路，点在边上，连接，，，为了满足游客的种植要求，现计划在的延长线上找一点，使得，连接，将区域规划为瓜果种植区，是的角平分线，在点处设置自助工具房，点在边上，连接，，已知米，米，求观赏小路的长．（小路的宽度以及自助工具房的大小均忽略不计） 20．如图，在等腰直角中，，，点D在的延长线上，连接过点C作，使，连接． 【问题提出】 (1)请判断与是否垂直，并说明理由； 【问题探究】 (2)如图2，若点N为的中点，连接并延长至点K，使，连接，，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $