专题 1.5 二次函数与一元二次方程的关系基础知识专项突破讲与练（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的关系这一核心知识点，系统梳理两者本质关联（抛物线与x轴交点横坐标即方程实数根），判别式Δ的三重对应规律（根的情况与交点个数关系），拓展图像法求近似根、函数与直线交点等内容，结合易错点构建递进式学习支架。 该资料以知识梳理为基础、分层题型精析为核心，例题选自各地期中模拟题，通过图像法培养几何直观（数学眼光），判别式推理培养推理意识（数学思维），函数图像表达方程根培养模型意识（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后同步检测助学生查漏补缺。

专题 1.5 二次函数与一元二次方程的关系（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】二次函数与一元二次方程关系 1 【知识点二】判别式Δ的三重对应规律（重点） 2 【知识点三】拓展知识点 2 【知识点四】常见易错点 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】抛物线与坐标轴交点坐标 3 【题型 2】判别式与坐标轴交点个数关系 5 【题型 3】利用函数图像求方程的根 8 【题型 4】二次函数与直线交点问题（拓展） 10 【题型 5】图像法判断方程根的近似值 12 三.题型精析（巩固提升） 14 【题型 6】抛物线与坐标轴截距 14 【题型 7】一元二次不等式的解集 18 【题型 8】由二次函数图象判断式子符号 20 四.同步检测 23 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 23 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 28 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 33 一.知识梳理 【知识点一】二次函数与一元二次方程关系 对于二次函数 ，当函数值 时，解析式转化为一元二次方程 。 本质关联：二次函数图像与x轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的实数根。 【知识点二】判别式Δ的三重对应规律（重点） 令判别式 ，三者对应关系如下： 判别式取值 一元二次方程根的情况 二次函数图像与x轴交点个数 两个不相等的实数根 2个交点 两个相等的实数根 1个交点（顶点在x轴上，图像与x轴相切） 无实数根 无交点（图像全部在x轴上方或下方） 【知识点三】拓展知识点 1. 图像法求方程近似根：画出二次函数 的图像，图像与x轴交点的横坐标即为方程的根，可通过取值逼近法求近似根。 2. 函数值与方程的延伸关系： 若求 的根，可转化为求二次函数 与直线 交点的横坐标。 3. 根与系数的关系（韦达定理）： 当 时，方程 的两根 满足：，。 【知识点四】常见易错点 1. 忽略二次项系数 ，若 ，函数变为一次函数，方程变为一元一次方程，不再适用本专题规律。 2. 时，方程是两个相等的实数根，不是一个根，对应图像与x轴有一个交点（切点）。 3. 混淆“函数与x轴交点”和“函数与坐标轴交点”，坐标轴交点包含x轴、y轴，y轴交点为 ，与方程根无关。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】抛物线与坐标轴交点坐标 【例题1】（25-26九年级上·河南信阳·期中）抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和平面直角坐标系中两点间距离的计算，代入已知点求函数系数、利用勾股定理计算线段长度是解题的关键． （1）将已知点其代入抛物线解析式，解方程求出未知系数，即可确定解析式； （2）先通过求出点坐标，再通过解一元二次方程求出点坐标，最后利用勾股定理（是直角三角形）即可计算的长度． 解：（1）解：将点代入， 得，解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）将代入，得， ∴点， ∴， 令，得，解得，， ∴点， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·期中）二次函数的图象过点，则的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，求抛物线对称轴，把求关于x的一元二次方程的解转化为求二次函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键．先求抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性得到二次函数图象与x轴的另外一个交点坐标，从而得到的解． 解：∵二次函数的对称轴为直线，且函数图象与x轴交于点， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点为横坐标满足，解得， ∴方程的解为，， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·湖北黄石·阶段检测）抛物线与轴的交点坐标是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数与y轴的交点坐标，求出时的函数值即可得到答案． 解：在中，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·广东东莞·期中）已知抛物线 （1）求该抛物线与轴交点坐标，与轴交点坐标． （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）抛物线与轴交点坐标为和，与轴交点坐标为；（2）对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（）分别把和代入函数解析式计算即可求解； （）把二次函数的解析式转化为顶点式即可求解； 本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的对称轴和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 解：（1）解：当时，， 解得，， ∴抛物线与轴交点坐标为和； 当时，， ∴该抛物线与轴交点坐标为； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 【题型 2】判别式与坐标轴交点个数关系 【例题2】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知二次函数（为常数）． （1）若点在该函数图象上，求的值； （2）证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图象上有不重合的两点，，且，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）证明：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 即二次函数的图象与轴有两个不同的公共点； （3） 【分析】（1）将代入计算即可； （2）根据根的判别式证明即可； （3）求出对称轴，再根据二次函数的对称性作答即可． 解：（1）解：∵点在该函数图象上， ∴， 解得：； （2）略 （3）解：二次函数的对称轴为直线， ∵该函数图象上有不重合的两点，，且， ∴， 解得：． 【变式1】（2026·河南平顶山·一模）二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（     ）．    A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 【答案】A 解：由图可知，方程的根的情况为有两个不相等的实数根． 【变式2】（2024·四川绵阳·二模）已知函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则m的取值范围为______________． 【答案】或 【分析】分情况讨论：①直线与y=-x无交点，与y=-x2+2x有1个交点，则有，②直线与y=-x有1个交点，与y=-x2+2x无交点令<0，即可求解． 解：①根据图象可知：直线与y=-x无交点，与y=-x2+2x有1个交点， ②直线与y=-x有1个交点，与y=-x2+2x无交点 解得 故答案为：或 【点拨】本题考查了二次函数与一次函数的图象及性质，能够根据条件，数形结合的进行分析，分类讨论是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（为常数）． （1）求证：该函数的图像与轴总有公共点； （2）当该函数图像的顶点纵坐标的值最大时，的值为________． 【答案】（1）解：令，则， ∵，，， ∴， ∴方程有实数根， ∴该函数的图像与轴总有公共点； （2） 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质以及最值的求解方法，解题的关键是熟练掌握这些知识点进行求解． （1）令，得一元二次方程，证明方程总有实数根，即可证明函数图像与x轴有交点； （2）利用配方法将一般式写成顶点式，得到顶点坐标的纵坐标，再根据二次函数的性质求解即可． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴该函数图像的顶点纵坐标为， 设， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为0． 故答案为：． 【题型 3】利用函数图像求方程的根 【例题3】（23-24九年级上·浙江金华·阶段检测）已知二次函数过点 （1）求m的值 （2）求图象与坐标轴的交点 【答案】（1）；（2）与y轴的交点坐标为；与x轴的交点坐标为， 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与坐标轴的交点问题： （1）将代入即可求出m的值； （2）令可得图象与y轴的交点，令可得图象与x轴的交点． 解：（1）解：将代入， 得：， 解得； （2）解：由（1）得二次函数解析式为， 当时，， 图象与y轴的交点坐标为； 当时，， 解得，， 图象与x轴的交点坐标为，． 【变式1】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数图象如图所示，则方程的解是（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据二次函数图象得到二次函数对称轴和与x轴的一个交点坐标即可求解； 解：根据图象可知二次函数的对称轴为，二次函数与x轴的一个交点为， ∴二次函数与x轴另一个交点为 ∴程的解是或. 故选：D. 【点拨】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握相关知识是解题的关键. 【变式2】（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得． 解：抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为， 设另一个交点为， ， 解得：， 故另一个交点为， 关于的方程的解是： 【变式3】（24-25九年级上·北京昌平·期中）已知二次函数． （1）求该二次函数图像的对称轴与顶点坐标； （2）求该二次函数图像与轴、轴的交点． 【答案】（1）对称轴为轴，顶点坐标为；（2）与轴的交点坐标为，，与轴的交点 【分析】（1）由二次函数顶点式求解． （2）分别将，代入解析式求解． 解：（1）解：， 抛物线开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为． （2）将代入得， 解得，， 抛物线与轴交点坐标为，， 将代入得， 抛物线与轴交点坐标为． 【点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与性质． 【题型 4】二次函数与直线交点问题（拓展） 【例题4】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）已知抛物线与轴只有一个交点，则______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题．熟记相关结论是解题关键．二次函数与轴有两个交点，则；与轴有一个交点，则；与轴没有交点，则．据此即可求解． 解：当时，， 则由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·山东东营·期末）已知二次函数与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】利用当二次函数图像与x轴有交点时，则，即可求出，注意要考虑二次项系数不为0． 解：∵二次函数与x轴有交点， ∴，解得：且； 故答案选：D． 【点拨】本题考查了抛物线与x轴交点的情况和各系数之间的关系，解题关键是掌握当抛物线与x有交点时． 【变式2】（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）若抛物线的最低点在x轴上，则__________． 【答案】2 【分析】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程有一根说明函数图象与轴只有一个交点，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．由题意抛物线的最低点在轴上，可知抛物线与轴只有一个交点，得，从而求出的值． 解：抛物线的最低点在轴上， 方程，只有一根， ， 解得：或， 抛物线由最低点， ，即， ； 故答案为2． 【变式3】（24-25九年级上·北京平谷·期末）若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】分和两种情况分类讨论，时，利用进行求解即可． 解：当，与轴有一个交点； 当，由题意得：，解得：， 综上：时，函数的图象与轴有交点． 故选A． 【点拨】本题考查函数图象与的交点情况．注意二次项的系数是否为零，当函数为二次函数时，利用判别式来确定图象与交点的个数问题． 【题型 5】图像法判断方程根的近似值 【例题5】（23-24九年级上·山东淄博·阶段检测）一元二次方程的近似根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】变形原方程得到即可解答． 解：∵， ∴， ∴一元二次方程的近似根可以看做是函数和图象交点的横坐标， 故选：A． 【点拨】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，正确变形是关键． 【变式1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查观察图表得知函数值情况，一元二次方程的根，二次函数与一元二次方程的关系．通过观察函数值的变化，当时，时，因此方程根在和之间． 解：由表可知，当时，；当时，， 由于二次函数图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在和之间，即， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，再根据对称轴计算较大根的范围． 解：二次函数的对称轴为， 由表可知，当时，；当时，， 方程的一个较小根满足。 根关于对称轴对称，设较大根为，则 ， 。 当时，； 当时，； ， 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·江苏常州·期中）根据下列表格的对应值： x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.0044 0.0269 判断方程一个解x的取值范围为 _____． 【答案】 【分析】根据函数的图象与x轴的交点横坐标就是方程的根，结合表格中数据即可判断方程的一个解的范围． 解：由表中数据可知：当时，；当时，， ∴当时，在与之间， ∴方程一个解x的取值范围为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了求一元二次方程的近似根，掌握函数的图象与x轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 6】抛物线与坐标轴截距 【例题6】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线_______（填题序号即可）． 【答案】③ 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，通过求解每个抛物线与x轴的交点坐标，计算两点之间的距离，比较得出最短距离即可得出结论． 解：对于抛物线①： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线②： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线③： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 因为， 所以两交点之间的距离最短的是抛物线③． 故答案为：③． 【变式1】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，点A的坐标为，点B的坐标为 ，连接．若将绕点A逆时针旋转90°得到，点恰为抛物线的顶点，此抛物线与x轴相交于C，D两点，则线段的长为___． 【答案】2 【分析】首先根据题意求出点的坐标，进而得到抛物线的解析式，然后当时，即可求出C，D两点的坐标，最后可求出线段的长． 解：如图，作轴于点E，轴于点F， ∵绕点A逆时针旋转90°得到， ∴，， ∴四边形和四边形是矩形， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴抛物线， ∴当时，，即， 解得， ∴ ∴． 故答案为：2． 【点拨】此题考查了旋转的性质，二次函数的图象和性质，以及二次函数与x轴的交点问题，解题的关键是根据旋转的性质得到点的坐标． 【变式2】（24-25九年级上·山东烟台·期中）由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点（1，0）……求证这个二次函数的图象关于直线对称，根据现有信息，题中的二次函数一定不具有的性质是（    ） A．过点（3，0） B．顶点是（-2，2） C．在轴上截得的线段的长是2 D．与轴的交点是（0，3） 【答案】B 【分析】由题目条件可知该二次函数图象对称轴为x=2，可求得抛物线与x轴的另一交点，则可判断A、C；由抛物线顶点的横坐标应为对称轴，即可判断B；把x=0代入可求得y=c，由c的值有可能为3，故可判断D正确． 解：由题可知抛物线与x轴的一交点坐标为（1，0），抛物线对称轴为x=2， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0）， ∴在x轴上截得的线段长是3-1=2， ∴A、C正确，不符合题意； ∵该二次函数图象对称轴为x=2， ∴顶点横坐标应为2， ∴B一定不正确，符合题意； 把x=0代入可求得y=c， ∴当c=3时，抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）， ∴D有可能正确，不符合题意． 故选B． 【点拨】本题考查二次函数的图象和性质．掌握函数图象上的点关于对称轴的对称点一定也在二次函数的图象上是解题关键． 【变式3】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论： ①当时，函数图象的顶点坐标是； ②无论为何值，函数图象一定经过同一个点． ③当时，函数在时，随的增大而减小； ④当时，函数图象截轴所得的线段长度大于； 其中正确的结论是_____________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】此题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征. ①把代入，求得，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；②根据特征数的特点，直接得出的值，进一步验证即可解答；③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；④令函数值为，求得与轴交点坐标，利用两点间的距离公式解决问题. 解：①当时，特征数为， ∴ 函数图象的顶点坐标是：故①正确； ②当时，即 对任意，函数图象都经过点，故②结论正确； ③当时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：，在对称轴的右边随的增大而减小.因为当时，，即对称轴在右边，因此函数在右边先递增到对称轴位置，再递减，故③错误； ④当时，令，有， 解得， ∴， 所以当时，函数图象截轴所得的线段长度大于故④正确； 故答案为：①②④． 【题型 7】一元二次不等式的解集 【例题7】（25-26九年级上·北京·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图是二次函数的部分图象，则不等式的解集是_____． 【答案】或 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，会利用二次函数图象解不等式是解题的关键． 由二次函数的图象的对称性得抛物线与轴的一个交点为，由轴的下方的图象对应的函数值小于，即可求解． 解：由图像得，对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的一个交点为， ∴轴的下方的图像对应的函数值小于， ∴当或时，； ∴不等式的解集是或， 故答案为：或． 【变式2】（2023九年级·重庆·学业考试）如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（   ）    A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可． 解：∵抛物线与直线交于， ∴不等式为：或， 故选：． 【点拨】此题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关键 【变式3】（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图， 抛物线 与直线交于两点， 则不等式 的解集是________． 【答案】/ 解：观察图象可知当和时， 在交点之间时，一次函数的图象在抛物线下方，即， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 【分析】本题主要考查了抛物线与一次函数图象的交点求不等式的解集，确定图象之间的位置关系可得出函数值的大小． 【题型 8】由二次函数图象判断式子符号 【例题8】（26-27九年级·上海·暑假作业）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（     ） A． B．为任意实数） C． D．关于的方程有四个根 【答案】B 【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 解：该函数的对称轴为， ， 当时，，故A正确，不符合题意； 由题意，当时，该函数取得最大值，故为任意实数）， 即为任意实数），故B错误，符合题意； 对称轴是直线， 当时的函数值与当时的函数值相等， 当时，， 当时，，故C正确，不符合题意； 的函数图象即为的轴下侧图象翻转到轴上方， 的根个数即为图象和直线的交点个数，根据图象可得为4个，故D正确，不符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，；④当或时，．其中错误的是________．（填序号） 【答案】③ 解：函数图象与轴有两个交点， ，故①正确； 二次函数与轴的交点为，， 是方程的一个根，故②正确； 由图可知，当时，，当或时，，故③错误，④正确． 【变式2】（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（m为实数），其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由对称轴为直线可判断②，由时及抛物线的对称性可判断③，由图象可判断④，由时函数取最大值可判断⑤． 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴，故②正确； ∴，故①正确； ∵时，， ∴时，，故③不正确； 由图象可得当时，不一定大于0， ∴当时，不一定大于0，故④不正确； 由图象可得时，函数值取最大值， 即， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有3个． 【变式3】（2026·湖南长沙·二模）已知抛物线的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如上图所示，下列结论：①y的最大值为3；②；③当时，y随x的增大而减小；④．其中正确的序号为__________． 【答案】①②③④ 【分析】根据图象得到抛物线开口向下，顶点纵坐标为3，对称轴是直线，抛物线与x轴的另一个交点在点和点之间，然后逐项判断即可． 解：由图象可得，抛物线开口向下，顶点纵坐标为3 ∴y的最大值为3，故①正确； ∵对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和点之间， ∴当时，，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确； ∵对称轴是直线， ∴ ∴，故④正确． 综上所述，正确的序号为①②③④． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·陕西安康·期末）抛物线与轴的两个交点之间的距离是（      ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】先求出函数图像与x轴交点的坐标，进而即可求解． 解：当时，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为和， 抛物线与轴的两个交点之间的距离． 故选：D． 【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解法，正确理解题意，求出抛物线与x轴交点坐标是解题的关键． 2．（23-24九年级上·吉林·阶段检测）将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．直接将原函数写成顶点式，再利用二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式，再把各选项的点代入判断即可． 解：将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线解析式为：， 当时，，故不在此抛物线上，故A选项不合题意； 当时，，故在此抛物线上，故B选项符合题意； 当时，，故不在此抛物线上，故C选项不合题意； 当时，，故不在此抛物线上，故D选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级上·天津北辰·期中）已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（      ） A．， B．，0 C．，0 D．3，0 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，找出抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．根据抛物线与x轴交点的横坐标，即可得方程的解． 解：∵二次函数的图象与x轴的交点的横坐标为与， ∴的两根为：，． 故选：A． 4．（24-25九年级上·山东日照·阶段检测）根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围是（    ） 2.23 2.24 2.25 2.26 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据上面的表格，可得二次函数的图象与轴的交点坐标即为方程的解，当时，；当时，；则二次函数的图象与轴的交点的横坐标应在2.24和2.25之间． 本题主要考查了求一元二次方程的近似根，解题的关键是：熟练掌握求一元二次方程的近似根的方法． 解：∵当时，； 当时，； ∴方程的一个解的范围是：， 故选：C． 5．（23-24九年级上·四川泸州·阶段检测）已知二次函数，若关于x的方程在的范围内有解，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解决二次函数与一元二次方程的关系问题．根据“关于x的方程在的范围内有解，”转化为与在时有交点，利用二次函数解析式求出函数值在时的最大最小值，即可解题． 解：， 二次函数对称轴为，且二次函数在对称轴处取得最小值， ，且，，离对称轴越远，函数值越大， 当时，二次函数的最大值为， 在时，关于x的方程有解， 即可以看在与在时有交点， ， 故选：D． 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与y轴交点的横坐标为0，令代入抛物线解析式求出y的值，即可得到交点坐标． 解：∵y轴上所有点的横坐标都为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 7．（2026·四川内江·中考真题）如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 【答案】B 解：由函数图象知抛物线与轴交点在原点下方，则，故选项A不符合题意； 当时，，即，故选项B符合题意； 由图象知抛物线与轴有两个不同的交点，则，故选项C不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D不符合题意． 8．（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 9．（2026·陕西西安·三模）已知点，在抛物线上，若，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线对称轴，根据开口向上抛物线的性质，点离对称轴越远函数值越大，比较和的大小，再结合和的范围，判断、与的大小关系 解：∵抛物线中，开口向上 ∴对称轴为 ∵， ∴，即对称轴在区间内 ∵，点横坐标， ∴，在对称轴右侧 开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，函数值越大 计算点到对称轴的距离：，由 点到对称轴的距离： ∴离对称轴更远，得 比较、和的大小： 整理得 对于：， ，得 对于：， ，得 综上可得 10．（2026·江苏苏州·三模）如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由，当时整理得，结合函数图象即可求解． 解：当时，若，整理得， 由图象知，时，反比例函数的图象在二次函数的图象的下方， 当时，反比例函数的图象与二次函数的图象没有公共点， 则不等式的解集为． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）方程的两个根分别为，，则抛物线的对称轴是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据函数的图象与轴的交点的横坐标就是方程的根，从而可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵方程的两个根分别为，， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）抛物线与轴的交点坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点，根据题意得出，然后求出当时的值，即可以得到与轴的交点坐标，正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 解：当时，， ∴与轴的交点坐标是， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）根据一元二次方程的根的情况，可以判断二次函数的______与______的公共点的个数． 【答案】 图象 轴 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数图象与轴交点的情况与一元二次方程的解的关系即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：根据一元二次方程的根的情况，可以判断二次函数的图象与轴的公共点的个数， 故答案为：图象，轴． 14．（24-25九年级上·青海西宁·期末）二次函数的大致图象如图所示，则关于的方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．求出抛物线与直线的交点的横坐标即可． 解：由图象可得，过点，且对称轴为直线直线， ∴点也在的图象上． ∴关于的方程的解是抛物线与直线交点的横坐标，即为，． 故答案是：，． 15．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是___________； 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，观察图像可知二次函数有两个根，抛物线的两个根关于对称轴对称，正确利用数形结合分析是解题关键．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与轴的另一个交点，进而得出答案． 解：二次函数的抛物线与轴交于，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点为：， 故当函数值时，自变量的取值范围是：． 故答案为：． 16．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先根据二次函数的定义确定二次项系数不为0，再由二次函数图象与横轴有交点，可知对应一元二次方程有实数根，利用根的判别式大于等于0列不等式求解，即可得到的取值范围． 解： 是二次函数， ． 二次函数的图象与坐标系横轴有交点， 一元二次方程 有实数根， 根的判别式 ． 将 代入得， ， 解不等式得 ． 综上， 的取值范围是 且． 17．（25-26九年级上·山东泰安·期中）抛物线的顶点坐标为，且与x轴交于两点，已知两点相距4个单位，该抛物线的表达式为________． 【答案】 【分析】先设抛物线的顶点式，再求出交点坐标，代入顶点式求出二次项系数，即可得到抛物线表达式． 解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的两个交点相距个单位，且两点关于对称轴对称， 两个交点的横坐标为，，即交点为和， 将代入，可得，解得， 抛物线的表达式为． 18．（2026·江苏徐州·二模）如图为二次函数的图象，该图象与x轴的两个交点分别为，B．下列说法正确的是_________（写出所有正确结果的序号）． ①对称轴为直线；②当时，y随x的增大而增大；③；④． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数之间的关系． 根据二次函数对称轴公式以及二次函数增减性可以判断说法①、②；根据二次函数与x轴交点个数，结合二次函数与一元二次方程的关系可以判断说法③；根据点A，点B关于对称轴对称，结合点A坐标，求出点B坐标，最后将点B坐标代入二次函数解析式中，即可判断说法④． 解：对于说法①：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ∴①正确，符合题意； 对于说法②：∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， ∴②错误，不符合题意； 对于说法③：∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴， ∵二次函数， ∴， ∴即， ∴③正确，符合题意； 对于说法④：∵该二次函数图象与x轴的两个交点分别为，B， ∴点与点B关于对称轴对称， ∵该二次函数的对称轴为直线， ∴点， 将点代入二次函数中，得：， 即， ∴④正确，符合题意． 综上，说法正确的是：①③④． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）二次函数的图象与轴交于点，求一元二次方程的解． 【答案】（1）；（2），． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解与二次函数的关系． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：，解不等式可得：； 一元二次方程的解就是二次函数的图象与轴交于点的横坐标，根据二次函数的对称性，二次函数与轴的另一个交点坐标，两个交点的横坐标即为一元二次方程的解． 解：（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得：， 解得：； （2）解：二次函数的对称轴是直线， 设二次函数与轴的另一个交点坐标是， 二次函数的图象与轴交于点， 可得：， 解得：， 二次函数与轴的另一个交点坐标是， 一元二次方程的解是，． 20．（本小题满分8分）（23-24九年级上·吉林白城·期末）已知抛物线的顶点为，与轴的交点为． （1）求经过，两点的直线的解析式． （2）当抛物线函数值时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式，即可求出点坐标，令，即可求出点坐标，用待定系数法即可求解， （2）当时，求出抛物线与轴的两个交点坐标，根据抛物线的开口方向，即可求解， 本题考查了，把抛物线解析式化成顶点式，抛物线与坐标轴的交点，根据抛物线交点，确定不等式解集，解题的关键是：熟练掌握抛物线的性质． 解：（1）解：将化成顶点式：， ， 当时，， ， 设直线的解析式为：，则：，解得：， 直线的解析式为：， 故答案为：， （2）解：当时，， 或， ，， 抛物线与轴交点坐标为，， 抛物线开口向上， 当时，， 故答案为：． 21．（本小题满分10分）（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，而一次函数的图象也经过，两点． （1）求k，b的值； （2）结合图象直接写出的解集． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组），二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是： （1）利用二次函数的解析式求得、点的坐标，然后利用待定系数法即可求得、的值； （2）找到二次函数图象在一次函数图象下方（含交点）时自变量的范围即可． 解：（1）解：中，令，则， ， 令，则，解得，， ， 一次函数的图象经过，两点， ， 解得； （2）观察图象，的解集是． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·云南红河·期末）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若其与轴的一个交点为． （1）求一元二次方程的两个根分别是多少？ （2）根据函数图象直接写出不等式的解集是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，轴对称的性质，掌握二次函数的这些性质是解题的关键． （1）根据二次函数与一元二次方程的关系及抛物线的轴对称的性质回答即可； （2）根据抛物线的开口方向及抛物线与x轴的交点横坐标回答即可． 解：（1）解：二次函数图象关于对称轴对称，已知一个交点为，设另一个交点为。 根据对称轴性质：，解得, 所以，一元二次方程的两个根为． （2）解：由图象可知： 二次函数开口向上，由（1）知，图象与轴交于和， 因此，当时，的取值范围是． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·重庆·阶段检测）已知直线与x轴交于A点，与y轴交于B点，一抛物线经过A、B两点且其对称轴为，求： （1）抛物线的解析式； （2）抛物线的顶点坐标； （3）抛物线与x轴和y轴的交点及原点为顶点的三角形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）2 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质等知识，求出二次函数的解析式是关键． （1）求出，再利用待定系数法求出答案； （2）根据抛物线的性质即可得到答案； （3）求出抛物线与x轴和y轴的交点分别为，利用三角形面积公式进行解答即可． 解：（1）解：当时，， 当时，， 解得， ∵直线与x轴交于A点，与y轴交于B点， ∴， ∵一抛物线经过A、B两点且其对称轴为， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得到 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， （2）∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （3）当时，， 当时，，解得 ∴抛物线与x轴和y轴的交点分别为， ∴抛物线与x轴和y轴的交点及原点为顶点坐标的三角形的面积为． 24．（本小题满分12分）（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与抛物线有交点． （1）若其中一个交点为． ①求a的值； ②求抛物线与x轴的交点坐标； （2）若点，抛物线的图象与正方形的边有两个交点，求a的取值范围． 【答案】（1）①；②抛物线与轴的交点坐标为；（2） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质等知识，掌握以上性质是解题的关键． （1）①运用待定系数法求解即可； ②由①得，令，即，解方程即可； （2）根据正方形的性质求出点A的坐标为，再把和代入，求出的值即可得出结论． 解：（1）解：①把点代入中， 得 解得 ②由题意得抛物线的表达式为． 令，即， 解得，． 抛物线与轴的交点坐标为 （2）解：点， ， 点的坐标为， 拋物线开口向下， 将点代入得，解得． 将点代入得，解得． 抛物线的图象与正方形的边有两个交点，的取值范围是 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.5 二次函数与一元二次方程的关系（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】二次函数与一元二次方程关系 1 【知识点二】判别式Δ的三重对应规律（重点） 2 【知识点三】拓展知识点 2 【知识点四】常见易错点 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】抛物线与坐标轴交点坐标 3 【题型 2】判别式与坐标轴交点个数关系 3 【题型 3】利用函数图像求方程的根 4 【题型 4】二次函数与直线交点问题（拓展） 5 【题型 5】图像法判断方程根的近似值 5 三.题型精析（巩固提升） 6 【题型 6】抛物线与坐标轴截距 6 【题型 7】一元二次不等式的解集 7 【题型 8】由二次函数图象判断式子符号 8 四.同步检测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 12 一.知识梳理 【知识点一】二次函数与一元二次方程关系 对于二次函数 ，当函数值 时，解析式转化为一元二次方程 。 本质关联：二次函数图像与x轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的实数根。 【知识点二】判别式Δ的三重对应规律（重点） 令判别式 ，三者对应关系如下： 判别式取值 一元二次方程根的情况 二次函数图像与x轴交点个数 两个不相等的实数根 2个交点 两个相等的实数根 1个交点（顶点在x轴上，图像与x轴相切） 无实数根 无交点（图像全部在x轴上方或下方） 【知识点三】拓展知识点 1. 图像法求方程近似根：画出二次函数 的图像，图像与x轴交点的横坐标即为方程的根，可通过取值逼近法求近似根。 2. 函数值与方程的延伸关系： 若求 的根，可转化为求二次函数 与直线 交点的横坐标。 3. 根与系数的关系（韦达定理）： 当 时，方程 的两根 满足：，。 【知识点四】常见易错点 1. 忽略二次项系数 ，若 ，函数变为一次函数，方程变为一元一次方程，不再适用本专题规律。 2. 时，方程是两个相等的实数根，不是一个根，对应图像与x轴有一个交点（切点）。 3. 混淆“函数与x轴交点”和“函数与坐标轴交点”，坐标轴交点包含x轴、y轴，y轴交点为 ，与方程根无关。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】抛物线与坐标轴交点坐标 【例题1】（25-26九年级上·河南信阳·期中）抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）求的长． 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·期中）二次函数的图象过点，则的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（25-26九年级上·湖北黄石·阶段检测）抛物线与轴的交点坐标是___________． 【变式3】（24-25九年级上·广东东莞·期中）已知抛物线 （1）求该抛物线与轴交点坐标，与轴交点坐标． （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【题型 2】判别式与坐标轴交点个数关系 【例题2】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知二次函数（为常数）． （1）若点在该函数图象上，求的值； （2）证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图象上有不重合的两点，，且，直接写出的值． 【变式1】（2026·河南平顶山·一模）二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（     ）．    A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 【变式2】（2024·四川绵阳·二模）已知函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则m的取值范围为______________． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（为常数）． （1）求证：该函数的图像与轴总有公共点； （2）当该函数图像的顶点纵坐标的值最大时，的值为________． 【题型 3】利用函数图像求方程的根 【例题3】（23-24九年级上·浙江金华·阶段检测）已知二次函数过点 （1）求m的值 （2）求图象与坐标轴的交点 【变式1】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数图象如图所示，则方程的解是（    ）    A． B． C．或 D．或 【变式2】（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________． 【变式3】（24-25九年级上·北京昌平·期中）已知二次函数． （1）求该二次函数图像的对称轴与顶点坐标； （2）求该二次函数图像与轴、轴的交点． 【题型 4】二次函数与直线交点问题（拓展） 【例题4】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）已知抛物线与轴只有一个交点，则______． 【变式1】（24-25九年级上·山东东营·期末）已知二次函数与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式2】（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）若抛物线的最低点在x轴上，则__________． 【变式3】（24-25九年级上·北京平谷·期末）若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【题型 5】图像法判断方程根的近似值 【例题5】（23-24九年级上·山东淄博·阶段检测）一元二次方程的近似根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【变式1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【变式2】（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·江苏常州·期中）根据下列表格的对应值： x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.0044 0.0269 判断方程一个解x的取值范围为 _____． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 6】抛物线与坐标轴截距 【例题6】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线_______（填题序号即可）． 【变式1】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，点A的坐标为，点B的坐标为 ，连接．若将绕点A逆时针旋转90°得到，点恰为抛物线的顶点，此抛物线与x轴相交于C，D两点，则线段的长为___． 【变式2】（24-25九年级上·山东烟台·期中）由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点（1，0）……求证这个二次函数的图象关于直线对称，根据现有信息，题中的二次函数一定不具有的性质是（    ） A．过点（3，0） B．顶点是（-2，2） C．在轴上截得的线段的长是2 D．与轴的交点是（0，3） 【变式3】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论： ①当时，函数图象的顶点坐标是； ②无论为何值，函数图象一定经过同一个点． ③当时，函数在时，随的增大而减小； ④当时，函数图象截轴所得的线段长度大于； 其中正确的结论是_____________．（填序号） 【题型 7】一元二次不等式的解集 【例题7】（25-26九年级上·北京·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式1】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图是二次函数的部分图象，则不等式的解集是_____． 【变式2】（2023九年级·重庆·学业考试）如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（   ）    A．或 B．或 C． D． 【变式3】（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图， 抛物线 与直线交于两点， 则不等式 的解集是________． 【题型 8】由二次函数图象判断式子符号 【例题8】（26-27九年级·上海·暑假作业）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（     ） A． B．为任意实数） C． D．关于的方程有四个根 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，；④当或时，．其中错误的是________．（填序号） 【变式2】（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（m为实数），其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】（2026·湖南长沙·二模）已知抛物线的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如上图所示，下列结论：①y的最大值为3；②；③当时，y随x的增大而减小；④．其中正确的序号为__________． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·陕西安康·期末）抛物线与轴的两个交点之间的距离是（      ） A． B．2 C． D．4 2．（23-24九年级上·吉林·阶段检测）将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·天津北辰·期中）已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（      ） A．， B．，0 C．，0 D．3，0 4．（24-25九年级上·山东日照·阶段检测）根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围是（    ） 2.23 2.24 2.25 2.26 A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·四川泸州·阶段检测）已知二次函数，若关于x的方程在的范围内有解，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·四川内江·中考真题）如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 8．（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 9．（2026·陕西西安·三模）已知点，在抛物线上，若，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏苏州·三模）如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）方程的两个根分别为，，则抛物线的对称轴是______． 12．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）抛物线与轴的交点坐标是______． 13．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）根据一元二次方程的根的情况，可以判断二次函数的______与______的公共点的个数． 14．（24-25九年级上·青海西宁·期末）二次函数的大致图象如图所示，则关于的方程的解是______． 15．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是___________； 16．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________． 17．（25-26九年级上·山东泰安·期中）抛物线的顶点坐标为，且与x轴交于两点，已知两点相距4个单位，该抛物线的表达式为________． 18．（2026·江苏徐州·二模）如图为二次函数的图象，该图象与x轴的两个交点分别为，B．下列说法正确的是_________（写出所有正确结果的序号）． ①对称轴为直线；②当时，y随x的增大而增大；③；④． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）二次函数的图象与轴交于点，求一元二次方程的解． 20．（本小题满分8分）（23-24九年级上·吉林白城·期末）已知抛物线的顶点为，与轴的交点为． （1）求经过，两点的直线的解析式． （2）当抛物线函数值时，直接写出的取值范围． 21．（本小题满分10分）（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，而一次函数的图象也经过，两点． （1）求k，b的值； （2）结合图象直接写出的解集． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·云南红河·期末）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若其与轴的一个交点为． （1）求一元二次方程的两个根分别是多少？ （2）根据函数图象直接写出不等式的解集是多少？ 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·重庆·阶段检测）已知直线与x轴交于A点，与y轴交于B点，一抛物线经过A、B两点且其对称轴为，求： （1）抛物线的解析式； （2）抛物线的顶点坐标； （3）抛物线与x轴和y轴的交点及原点为顶点的三角形的面积． 24．（本小题满分12分）（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与抛物线有交点． （1）若其中一个交点为． ①求a的值； ②求抛物线与x轴的交点坐标； （2）若点，抛物线的图象与正方形的边有两个交点，求a的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $