宁夏回族自治区吴忠市吴忠中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

高 二 数 学 试 卷 答 案 一．单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A B A C C A 2． 多选题 9.ABD 10.ACD 11.BCD 1．从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（    ） A．全是红球 B．至多有1个红球 C．全是白球 D．1个红球，1个白球 【答案】B 【分析】根据题意，得到“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”，即可求解. 【详解】由题意知：从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球， 其中事件“至少有1个白球”即“取出2个白球或1个白球和一个红球”， 事件“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”. 2．已知等边三角形的边长为1，，，，那么（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】. 3.已知a，b，c为三条直线，，，为三个平面．下列命题为假命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】A 【分析】根据题意，由空间中直线与平面，平面与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A选项，令，，若，则一定有，，而在同一平面的a，b两条直线可以平行，也可以相交，故A错误； 对于B选项，这是线面平行的性质定理，故B正确； 对于C选项，这是面面垂直的判定定理，故C正确； 对于D项，设，，过平面内一点A，分别作，，如图所示， 因为，，，，所以， 又因为，所以，同理：， 又因为，、， 所以，故D项正确. 故选：A. 4.已知向量=(2，1)，=(1，﹣1)，向量在方向上的投影向量为（ ） A. (2，﹣2) B. (，) C. (，) D. (，) 答案：B 5.已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 答案：A 6.已知的周长为，面积为，，则边的长为(   ) A. B. C. D. 答案：C 7．已知向量，，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，得，即，则，而向量，，因此，所以. 8.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ） A．9 B．18 C． D．6 【答案】A 【分析】根据正弦定理和三角形内角和关系，确定是直角三角形，由勾股定理及基本不等式求得面积最大值. 【详解】由题设 及正弦定理可得 ， 又， 故，化简得， 因为，所以，即 ， 是直角三角形，直角在 ，   由勾股定理，直角在 ，故 ， 的面积 ，根据基本不等式 ，得： ， 因此 ，当且仅当 时取等号，即面积最大值为 . 2． 多选题 9.已知复数，则（   ） A．的虚部为1 B． C． D．的共轭复数为 【答案】ABD 【详解】，的虚部为1，A正确； ，B正确； ，C错误； 的共轭复数为，D正确． 10.下列说法中正确是（ ） A. 若向量满足，则存在唯一的实数λ，使得 B. 已知非零向，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 C. 已知平面⊥平面,直线⊥,则 D. 在正四面体 中，E，F，G分别为 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为 答案：ACD 11．中，角，，所对的边分别为，，，且，则（    ） A． B．若且有两解，则 C．若，则 D．若，则面积最大值为 【答案】BCD 【分析】先由正弦定理及三角恒等变换求出判断A，应用解的个数列式计算求解判断B，应用正弦定理及余弦定理计算判断C，利用余弦定理结合基本不等式得到，再利用面积公式计算判断D即可. 【详解】因为，所以由正弦定理，得， 得，由， ，又，则， 对于A， ，故错误； 对于B，因为有两解，则，得，得，故正确； 对于C，因为，所以， 由余弦定理得，得， 所以，故正确； 对于D，由余弦定理得，，得， 所以，当且仅当时等号成立， 则的面积为，故正确； 3． 填空题 12.若是虚数单位，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据虚数单位的循环计算结果． 【详解】由，，，，，……，可知，虚数单位以4为一个周期循环， 因为，故． 13.已知则__________． 答案： 14.如图， 在空间四边形中， 是边长为的等边三角形，平面平面，， 且， 则与平面所成角的大小是________________；二面角的余弦值是________． 【答案】 / 【难度】0.4 【知识点】求线面角、求二面角 【分析】说明为与平面所成的角，二面角的平面角为，结合解三角形知识即可求解. 【详解】第一空：过点作于点，   平面平面，平面平面，平面， 平面，则为与平面所成的角， ，，， 第二空：如图所示，过点作于点，过点作交于点，过点作垂直交于点，则， 取的中点，连接， 所以二面角的平面角为， 由题意，因为，，， 所以点分别是的中点，所以， 因为，，所以， 因为平面，平面，所以，所以， 所以三角形是等腰三角形，其中，， 由等面积法有，，解得， 所以，所以， 所以， 因为平面，，所以点在三角形内的射影必定为的交点， 即点在三角形内的射影必定为等边三角形的中心， 所以，，所以， 故所求为. 故答案为：；. 四．解答题 15.在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据正弦定理及，得 ， ，即，， 在中，，，又. （2），. 由余弦定理得，. ，. 故的周长 16.为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示． (1)求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； (2)估计样本中成绩的上四分位数，众数，平均数及方差； 【答案】(1)，90 (2)86 (3)平均数为91，方差为22． 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征求的值，再利用频率估计总体即可； （2）根据百分位数的求解方式求解即可； （3）根据分层抽样的方差公式求解． 【详解】（1）在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1， 则，解得， 估计样本中成绩不低于60分的人数为． （2）前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为， 所以成绩的上四分位数落在内，设其为， 则，解得， 即估计样本中成绩的上四分位数为86． （3）样本中成绩在内占成绩在内的比例为， 样本中成绩在内占成绩在内的比例为． 设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为， 由分层随机抽样的平均数公式可得， 由分层随机抽样的方差公式可得， 故样本中“良好”等级的成绩的平均数为91，方差为22． 17.如图，在正方体中． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）连接，可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明. 【详解】（1）因为为正方体，则∥，且， 可知为平行四边形，则∥， 且平面，平面，所以∥平面. （2）连接， 因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面， 可得平面， 由平面，可得， 同理可得：， 且，平面， 所以平面. 18.如图，在四棱锥中，平面，且底面是矩形，，是棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若是四棱锥外接球上的一点，求点到平面的最大距离． 【答案】(1)因为平面，平面，所以， 又四边形是矩形，所以， 又平面，平面，且，所以平面，     又平面，所以， 又是的中点，，所以， 又平面，平面，且，所以平面； (2)； (3)． 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，即可证明； （2）根据等体积法先求得点到平面的距离，进而可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）取的中点，连接，，，可得为四棱锥外接球的球心，根据等体积法可求得点到底面的距离，进而可求得点到平面的最大距离． 【详解】（1）略； （2）取的中点，连接． 因为，分别为，的中点，所以，， 又平面，所以平面， 所以，       由（1）得平面，又平面，所以， 又，所以，， 又，所以， 所以．    设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为． 由，解得， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）取的中点，连接，，． 因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 因为，平面，平面， 所以平面，平面， 因为平面，平面， 所以， 所以，，均为直角三角形，为斜边的中点， 所以为四棱锥外接球的球心， 由题可知，，所以．    设点到平面的距离为， 在三棱锥中，，即， 即，解得， 设点到平面的距离为， 又点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，所以，             在三棱锥中，设点到底面的距离为， 由，可得， 即，解得， 又点到平面的最大距离为点到平面的距离加半径，即为． 19.奔驰定理是一个关于三角形的几何定理，它的图形形状和奔驰轿车logo相似，因此得名.如图，P是内的任意一点，角A，B，C所对的边分别为总有优美等式：.   (1)若P是的内心，，延长AP交BC于点D，求； (2)若P是锐角的外心，，，求的取值范围. 19.（1）由于P是的内心，设内切圆的半径为， 由可得，即， 由，不妨设，故， 设，则,故, 由于与共线，而与不共线，因此必然，故，   （2）设外接圆的半径为, 则由得， 即， 由于，所以, 因此，又， 所以 , 由于三角形为锐角三角形，所以，解得，故, 故当时，取最小值， 当或时，，故. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠中学2026—2027学年第一学期开学考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（ ） A．全是红球 B．至多有1个红球 C．全是白球 D．1个红球，1个白球 2．已知等边三角形的边长为，，，，那么（ ） A．3 B． C． D． 3．已知，，，为三条直线，，，为三个平面．下列命题为假命题的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 4．已知向量，，向量在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 5．已知一组数据，，，，，的平均数是2，方差是，那么另一组数据，，，，，的平均数和方差分别为（ ） A．， B．2，3 C．， D．0，1 6．已知的周长为20，面积为，，则边的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．已知向量，，若，则（ ） A． B．1 C．2 D．3 8．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为（ ） A．9 B．18 C． D．6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分． 9．已知复数，则（ ） A．的虚部为1 B． C． D．的共轭复数为 10．下列说法中正确的是（ ） A．若向量，（）满足，则存在唯一的实数，使得 B．已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C．已知平面平面，直线，则或 D．在正四面体中，，，分别为，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 11．在中，角，，所对的边分别，，，且，则（ ） A． B．若且有两解，则 C．若，则 D．若，则面积最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若是虚数单位，则__________． 13．已知，，则__________． 14．如图，在空间四边形中，是边长为的等边三角形，平面平面，，且，则与平面所成角的大小是____________________；二面角的余弦值是__________． 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 16．（15分） 为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按，，…，分组，作出频率分布直方图如图所示． （1）求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； （2）估计样本中成绩的上四分位数，众数，平均数及方差； 17．（15分） 如图，在正方体中． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 18．（17分） 如图，在四棱锥中，平面，且底面是矩形，，是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若是四棱锥外接球上的一点，求点到平面的最大距离． 19．（17分） 奔驰定理是一个关于三角形的几何定理，它的图形形状和奔驰轿车相似，因此得名．如图，是内的任意一点，角，，所对的边分别为，，，总有优美等式：． （1）若是的内心，，延长交于点，求； （2）若是锐角的外心，，，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $